第12讲 导数的常考题型归类讲义（思维导图+6大知识点+12大题型+过关测试）-2025-2026学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学导数单元复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，将导数的概念、运算、单调性、极值与最值等核心知识点，以表格形式归纳公式法则，并通过知识框架图呈现各要点的内在逻辑，突出几何意义、物理意义等重难点联系。 讲义亮点在于12类常考题型的“举一反三”设计，如切线问题、实际体积优化问题等，结合例题与变式题培养数学眼光，通过构造函数比较大小、证明不等式等题型发展数学思维。过关测试分层设置，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习。

第12讲 导数的常考题型归类 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1 ：导数的概念和几何意义 4 知识点2 ：导数的运算 4 知识点3 ：函数的单调性与导数的关系 5 知识点4 ：利用导数判断函数单调性的步骤 5 知识点5 ：函数的极值 6 知识点6 ：函数的最大（小）值 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：导数定义的应用 7 题型二：切线问题 7 题型三：实际问题 7 题型四：已知单调性求参数 9 题型五：讨论含参数的单调性 9 题型六：构造函数比较大小 10 题型七：求解导数不等式 11 题型八：求函数的极值问题（含参与不含参） 11 题型九：求函数的最值问题（含参与不含参） 12 题型十：证明不等式问题 13 题型十一：不等式恒(能)成立问题 14 题型十二：零点问题 15 05 过关测试 17 知识点1 ：导数的概念和几何意义 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点2 ：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 知识点3 ：函数的单调性与导数的关系 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点4 ：利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段. 知识点5 ：函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． （4）求极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 知识点6 ：函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 题型一：导数定义的应用 【例1】（2025·高二·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-1】（2025·高二·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【变式1-2】（2025·高二·甘肃白银·期末）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B．1 C．6 D．12 【变式1-3】（2025·高二·云南曲靖·期末）已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 题型二：切线问题 【例2】（2025·高二·广东汕头·期末）函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 【变式2-1】曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-2】（2025·高二·河北保定·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 【变式2-3】（2025·高二·吉林长春·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 题型三：实际问题 【例3】（2025·高二·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．    (1)若将加工制作成的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积记为，请将表示为关于的函数，并求的最大值； (2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，请指出此时的值；若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积． 【变式3-1】（2025·高二·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【变式3-2】（2025·高二·上海松江·月考）某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； (2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 【变式3-3】（2025·高二·湖北荆门·月考）如图，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.某公司准备投资一个大型矩形游乐园. (1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程； (2)设点P的坐标为，求游乐园的面积S； (3)求游乐园面积的最大值. 题型四：已知单调性求参数 【例4】（2025·高二·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 【变式4-1】（2025·高二·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【变式4-2】（2025·高二·河北沧州·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是 ． 题型五：讨论含参数的单调性 【例5】（2025·高二·江苏·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 【变式5-1】（2025·高三·天津武清·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 【变式5-2】（2025·高三·广东广州·月考）已知函数． (1)当，求在区间上的最大值； (2)讨论的单调性． 【变式5-3】（2025·高三·北京·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 题型六：构造函数比较大小 【例6】（2025·高二·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高三·湖南长沙·月考）设，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高二·福建福州·期中）设，，，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高二·浙江杭州·期中）已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型七：求解导数不等式 【例7】（2025·高二·山东潍坊·期中）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高二·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高三·云南大理·期中）已知定义在上的函数的导函数为，若对任意x，都有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 题型八：求函数的极值问题（含参与不含参） 【例8】（2025·高二·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数在处切线的方程； (2)求函数的极值． 【变式8-1】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【变式8-2】（2025·高二·宁夏·期中）若在处有极值，则 ． 【变式8-3】（2025·高二·黑龙江·期中）已知函数在处取得极大值，则实数的取值为 ． 【变式8-4】（2025·高二·河北秦皇岛·期末）设，，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 ． 题型九：求函数的最值问题（含参与不含参） 【例9】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【变式9-1】（2025·高二·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【变式9-2】（2025·高二·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【变式9-3】（2025·高二·江苏·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 题型十：证明不等式问题 【例10】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 (1)当，求的极值； (2)若，，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求证： 【变式10-1】（2025·高二·安徽合肥·期末）已知函数 (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若，求证：对于任意，不等式成立． 【变式10-2】（2025·陕西西安·一模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)设，证明：. 【变式10-3】（2025·高三·天津滨海新·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 题型十一：不等式恒(能)成立问题 【例11】（2025·高二·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【变式11-1】（2025·高二·福建厦门·期中）已知函数 . (1)讨论函数的单调性; (2)若不等式在上恒成立， 求实数的取值范围. 【变式11-2】（2025·高二·江西上饶·期中）已知函数，其中， (1)求的最小值； (2)若，求的取值集合； (3)若，其中，求的最大值． 【变式11-3】（2025·高二·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 题型十二：零点问题 【例12】（2025·高二·内蒙古·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上存在极小值． (3)判断在上是否存在零点，并说明理由． 【变式12-1】（2025·高二·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 【变式12-2】（2025·高二·四川·期末）已知三次项为且不含常数项的三次函数的两个极值点分别为和3． (1)求的解析式； (2)若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 【变式12-3】（2025·高二·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 1．（2025·高二·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 2．（2025·高二·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·陕西渭南·期末）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·陕西榆林·期中）对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知，，，要比较，，的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·浙江·期中）已知，，，其中是自然对数的底数，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·河南焦作·期末）已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·云南昆明·期中）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 9．（2025·高二·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 10．（2025·高二·甘肃临夏·期末）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 11．（2025·高三·上海·月考）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 12．（2025·高二·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 13．（2025·高二·天津·期中）已知函数，当时，取得极大值，当时，取得极小值. (1)求的值； (2)求的极小值. 14．（2025·高二·吉林长春·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，若的最大值为4，求的值. 15．（2025·高三·山东聊城·月考）已知函数． (1)若函数，且，求在上的单调区间； (2)若，证明：． 16．（2025·高三·湖南长沙·月考）已知函数，. (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 17．（2025·高二·上海·期中）已知函数，. (1)若函数在处有极值，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记函数（是自然对数的底数），若对任意、且时，均有，求实数a的取值范围. 18．（2025·高二·福建泉州·期末）已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 19．（2025·高二·湖南郴州·期末）已知函数， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，设函数，讨论函数零点的个数． 20．（2025·高二·黑龙江·期末）已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 导数的常考题型归类 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1 ：导数的概念和几何意义 4 知识点2 ：导数的运算 4 知识点3 ：函数的单调性与导数的关系 5 知识点4 ：利用导数判断函数单调性的步骤 5 知识点5 ：函数的极值 6 知识点6 ：函数的最大（小）值 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：导数定义的应用 7 题型二：切线问题 8 题型三：实际问题 9 题型四：已知单调性求参数 13 题型五：讨论含参数的单调性 14 题型六：构造函数比较大小 17 题型七：求解导数不等式 19 题型八：求函数的极值问题（含参与不含参） 21 题型九：求函数的最值问题（含参与不含参） 23 题型十：证明不等式问题 25 题型十一：不等式恒(能)成立问题 30 题型十二：零点问题 34 05 过关测试 38 知识点1 ：导数的概念和几何意义 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点2 ：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 知识点3 ：函数的单调性与导数的关系 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点4 ：利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论； （3）求出导数的零点； （4）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； （5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段. 知识点5 ：函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． （4）求极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 知识点6 ：函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 题型一：导数定义的应用 【例1】（2025·高二·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 【变式1-1】（2025·高二·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【解析】由导数的定义得，故D正确. 故选：D 【变式1-2】（2025·高二·甘肃白银·期末）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B．1 C．6 D．12 【答案】D 【解析】因为， 所以在处的瞬时变化率为12. 故选：D 【变式1-3】（2025·高二·云南曲靖·期末）已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，故时，的瞬时变化率为. 故选：B 题型二：切线问题 【例2】（2025·高二·广东汕头·期末）函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 【答案】C 【解析】设切点为， ，则切线方程为， 整理得， 又切线过点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或，斜率为或． 故选：C． 【变式2-1】曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 【变式2-2】（2025·高二·河北保定·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 【答案】C 【解析】设与相切于点， ，故切线斜率， 在点处的切线方程为， 即，故， 设与相切于点， ，则，所以，解得， 在处的切线方程为， 即，故， 所以， 将代入上式得， 整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，所以； 当时，切线方程为，故，，所以； 综上所述：或0. 故选：C. 【变式2-3】（2025·高二·吉林长春·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】由题意有，所以， 因为在点处的切线与直线垂直， 所以， 故选：A. 题型三：实际问题 【例3】（2025·高二·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．    (1)若将加工制作成的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积记为，请将表示为关于的函数，并求的最大值； (2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，请指出此时的值；若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积． 【解析】（1）如图所示，   ，又，， 即三棱柱的高，又棱柱底面积， 三棱柱容器的体积， 即所求函数关系式为. 则，当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值为32. 即，且的最大值为32cm³. （2）减掉的三个四边形材料面积之和为， 则，解得：. 正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为，又该正三棱柱的高为， 若金属球体的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，球的半径， 该金属球体的最大体积. 【变式3-1】（2025·高二·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【解析】（1）由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. （2）设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 【变式3-2】（2025·高二·上海松江·月考）某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； (2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 【解析】（1）由题意知， ， . （2）， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 则当时，利润最大，最大为520万元. 【变式3-3】（2025·高二·湖北荆门·月考）如图，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.某公司准备投资一个大型矩形游乐园. (1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程； (2)设点P的坐标为，求游乐园的面积S； (3)求游乐园面积的最大值. 【解析】（1）如图，以M点为原点，所在直线为y轴建立平面 直角坐标系，则.设抛物线方程为. ∵点D在抛物线上，，解得， ∴抛物线方程为. （2）设是曲线上任一点，则 ，，∴矩形游乐园面积为 ， （3）求导得，，令，得， 解得或（舍）. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. ∴当时，S有极大值且为最大值， 此时，， ∴游乐园的最大面积为. 题型四：已知单调性求参数 【例4】（2025·高二·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-1】（2025·高二·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高二·河北沧州·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为， 若函数在定义域上不是单调函数， 可知导函数的函数值既有正值又有负值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型五：讨论含参数的单调性 【例5】（2025·高二·江苏·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 【解析】（1）由题意，则， 又切线与直线垂直，所以，解得. （2）因为，故， 则， 当时，，令，解得， 故在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减； 当时，令有，且， 故在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减； 当时，恒成立，在单调递减； 当时，在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在单调递减，无单调递增区间； 当时， 在上单调递增，在，上单调递减. （3）由题意，， 所以在上恒成立， 因为时，，所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可，所以， 所以a的取值范围为. 【变式5-1】（2025·高三·天津武清·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 【解析】（1）由题设，则， 又在点处的切线的斜率为，则，可得； （2）由题设且， 当，则，故在上单调递减， 当，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，的递减区间为，无递增区间， 时，的递减区间为，递增区间为. 【变式5-2】（2025·高三·广东广州·月考）已知函数． (1)当，求在区间上的最大值； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，求导得， 因，当或时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值为，又， 故在区间上的最大值为6. （2）因，令或， 则当，即时，，即在上单调递增； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上， 当时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式5-3】（2025·高三·北京·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【解析】（1）若，则，， ，，则切线方程为； （2）函数的定义域为. . 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 题型六：构造函数比较大小 【例6】（2025·高二·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 当时，则，可得， 可知在上单调递减， 因为，，， 且，则，所以． 故选：D． 【变式6-1】（2025·高三·湖南长沙·月考）设，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，且， 构造函数，可得， 当时，，单调递减， 又由，故，即. 选选：C. 【变式6-2】（2025·高二·福建福州·期中）设，，，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得最大值， 因为，，， ， 当时，函数单调递增，可得，即． 故选：B． 【变式6-3】（2025·高二·浙江杭州·期中）已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，即在上单调递增，故，即，故，即； 设，则，即在上单调递减，故，故，即. 于是. 故选：A 题型七：求解导数不等式 【例7】（2025·高二·山东潍坊·期中）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，的定义域为，故的定义域为， 则， 当时，，故在上恒成立， 故在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，故， 所以， 所以为偶函数，，则，故 在上单调递减， 当时，，即， 由于在上单调递增，故， 当时，，即， 由于在上单调递减，故， 则不等式的解集为. 故选：D 【变式7-1】（2025·高二·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故答案为：B. 【变式7-2】（2025·高三·云南大理·期中）已知定义在上的函数的导函数为，若对任意x，都有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则， 且，所以函数在上为减函数． 又为奇函数，则有，所以． 当时，， 故不等式的解集是． 故选：B 【变式7-3】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令函数，由恒成立，得， 函数在上单调递减，而， 不等式，解得， 所以的解集为. 故选：D 题型八：求函数的极值问题（含参与不含参） 【例8】（2025·高二·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数在处切线的方程； (2)求函数的极值． 【解析】（1）因为函数， 所以求导得. 所以.又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）因为. 令，解得或. 当或时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的极大值为，极小值为. 【变式8-1】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由得， 因为函数有两个极值点，所以有两个异号零点， 即有两个不同的根，显然，则有两个不同的根，令， 则与的图象有两个不同的交点， ，当和时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在时，取得极小值，作出图象如图： 由图可知，所以，所以m的取值范围是 . 故答案为： 【变式8-2】（2025·高二·宁夏·期中）若在处有极值，则 ． 【答案】 【解析】已知，， 因为函数在处有极值，所以， 将代入中，得到，解得， 当时，，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点，符合题意. 故答案为：. 【变式8-3】（2025·高二·黑龙江·期中）已知函数在处取得极大值，则实数的取值为 ． 【答案】 【解析】由函数，可得， 因为是函数的极值点，可得， 即，解得或， 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在区间上单调递增，在区间单调递减， 此时，在处函数取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，， 令，解得；令，解得或， 所以在区间上单调递减，在区间单调递增， 此时，在处函数取得极大值，符合题意， 综上可得，实数的值为. 故答案为： 【变式8-4】（2025·高二·河北秦皇岛·期末）设，，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题知，的定义域为，， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根， 所以，解得，即的取值范围为. 故答案为： 题型九：求函数的最值问题（含参与不含参） 【例9】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【解析】（1）由题意得的定义域为， 且， 当时，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， ， 所以，解得或， 故函数的最小值为2，实数的值为或e. 【变式9-1】（2025·高二·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【解析】（1）由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 【变式9-2】（2025·高二·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【解析】（1）依题意可得，又当时，取得极值， 所以，即，解得，经验证符合题意， 所以. （2）可知，. 令，则得或 0 2 + 0 - 0 + 极大值1 极小值 ，，所以在区间上的最大值为1，最小值为. 【变式9-3】（2025·高二·江苏·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【解析】（1）由题意函数的定义域为， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得与矛盾，故舍去； 综上所述，. 题型十：证明不等式问题 【例10】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 (1)当，求的极值； (2)若，，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求证： 【解析】（1）当，，， ，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 的极小值为，无极大值； （2）若，，即， ∴（若，取，则，而，不满足）， 由得，即， 记， 则， 当时，单调递增，，， 当时，时，单调递减，则， 矛盾， 当时，，矛盾， 综上所述，的取值范围为； （3）若有两个极值点， 有两个零点， 令，则方程等价于有两个解， 不妨令，， 记，则，令得，令得， 则在单调递减，单调递增，∴， 要证， 由在递增，只要证， 令，则， 则在递减，，，即，，又在递增，， ，即，. 【变式10-1】（2025·高二·安徽合肥·期末）已知函数 (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若，求证：对于任意，不等式成立． 【解析】（1）的定义域为， ∴， 令，解得， 当时，即时，函数在单调递增， 当时，即时，函数在单调递减， ∴ ∵恒成立，∴， ∴， （2）证明：由（1）知，， ∴在上为增函数， 欲证明不等式成立， 先证明， 即证， 设， ∴， ∴在内为减函数， ∴ ∴对于成立， 欲证，即证， 设， ∴， ∴在内为增函数， ∴ ∴对于成立， 综上所述对于任意，不等式成立. 【变式10-2】（2025·陕西西安·一模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)设，证明：. 【解析】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设，则，又， 设，则， 若，则，因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当，且时，， 则， 所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）证明：取，则，总有成立， 令，则，，， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 故不等式成立. 【变式10-3】（2025·高三·天津滨海新·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【解析】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 题型十一：不等式恒(能)成立问题 【例11】（2025·高二·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【解析】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 【变式11-1】（2025·高二·福建厦门·期中）已知函数 . (1)讨论函数的单调性; (2)若不等式在上恒成立， 求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 当时，，故在R上单调递减； 当时，令，即，解得， 令，得， 综上：当时，在R上单调递减； 当时，在 单调递增,在单调递减. （2）在上恒成立，即， 令，则， 当时，，则，故， 当时，，则，故， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，因为，所以， 所以. 【变式11-2】（2025·高二·江西上饶·期中）已知函数，其中， (1)求的最小值； (2)若，求的取值集合； (3)若，其中，求的最大值． 【解析】（1）， ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， （2）恒成立，则恒成立即可 设 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，要使恒成立，即，则， 综上所述：的取值范围是． （3）（3）已知， 则恒成立， 即恒成立，等价于恒成立， 也就是恒成立． 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 在上单调递减，所以 即，所以，所以， 又因为，所以的最大值为2． 【变式11-3】（2025·高二·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【解析】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 题型十二：零点问题 【例12】（2025·高二·内蒙古·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上存在极小值． (3)判断在上是否存在零点，并说明理由． 【解析】（1）因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． （2）， 因为的图象是一条连续不断的曲线， 所以在上必存在一个异号零点， 即存在正数，使得，且当时，， 当时，， 所以在处取得极小值，即在上存在极小值． （3）在上无零点． 理由如下： 当时，，可得． 令函数，则， 当时，单调递增． 又，所以， 从而，所以在上无零点． 【变式12-1】（2025·高二·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 【解析】（1）函数， 则，，解得， 所以的解析式为. （2），， 则， 由，得；由，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 【变式12-2】（2025·高二·四川·期末）已知三次项为且不含常数项的三次函数的两个极值点分别为和3． (1)求的解析式； (2)若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 【解析】（1）由题设，则. 由题意，得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理，得，解得， 此时． 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意． 综上，． （2）直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根， 即关于的方程仅有两个实根． 设，则． 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 且，． 根据题意，得或， 解得或． 【变式12-3】（2025·高二·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 【解析】（1）依题意，，， 由，得；由，得， 故函数的单调增区间是，单调减区间是； （2）原方程可化为，即，亦即， 若原方程在有实根，则与在上有交点， 因为，所以在上单调递增，又， 且时，且速度远远快于x，所以，所以， 所以要使与在上有交点，则， 综上，当时，关于x的方程在区间内有实根. 1．（2025·高二·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】解法一：函数， 则， 所以，解得． 解法二：，而， 所以，解得． 故选：A 2．（2025·高二·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，， 由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率. 对于A、B项，由可得，，解得. 当时，切点为，此时切线方程为， 整理可得，切线方程为，故B项正确. 当时，切点为，此时切线方程为， 整理可得，切线方程为，故A项正确； 对于C、D项，由可得，，解得，切点为， 此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误. 故选：D. 4．（2025·高二·陕西渭南·期末）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点不在函数的图象上，得，则， 设过点的直线与的图象相切于点，， 切线方程为，则， 整理得，令，依题意，函数只有一个零点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使仅有一个零点，当且仅当， 解得或，所以实数的取值范围为 故选：C 5．（2025·高二·陕西榆林·期中）对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知，，，要比较，，的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 则， 当，即，，， 所以，在上单调递增， 因为, 所以有， 即， 所以有， 即， 所以有． 故选：A． 6．（2025·高二·浙江·期中）已知，，，其中是自然对数的底数，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，又由，得到， 令，则，所以，当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又因为，所以，即， 故选：C. 7．（2025·高二·河南焦作·期末）已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题易知不满足不等式，当时，令， 则，，，（为常数）， 故，又，，解得，. 不等式，即，得，解得或. 故选：A 8．（2025·高二·云南昆明·期中）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 设，则， 所以时，，故在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以时；时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，所以的取值范围是. 故答案为： 9．（2025·高二·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数在定义域为R，求导得， 依题意，，即恒成立，而，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 10．（2025·高二·甘肃临夏·期末）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，因为函数在定义域上是增函数， 所以在恒成立， 所以在恒成立，所以 因为，所以. 故答案为：. 11．（2025·高三·上海·月考）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【解析】（1）设，代入可得，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 12．（2025·高二·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【解析】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 13．（2025·高二·天津·期中）已知函数，当时，取得极大值，当时，取得极小值. (1)求的值； (2)求的极小值. 【解析】（1）∵，∴. ∵当时，取得极大值，当时，取得极小值， ∴和是方程的两根， 所以，解得， 此时，所以， 所以当或时，当时， 即在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意； 所以，. （2）由（1）知，， ∵当时取得极大值， ∴，∴， 则， 此时函数的极小值为. 14．（2025·高二·吉林长春·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，若的最大值为4，求的值. 【解析】（1）当时，， 而，则切点为，可得， 由斜率的几何意义得斜率为，故切线方程为. （2）因为， 所以， 故， 令，则， 因为，所以，， 可得，令，， 令，， 故的单调递增区间是， 单调递减区间是. （3）令，则可化为， 而，由题意得，故， 令，解得，下面我们讨论和的大小关系， 当时，解得，此时在上单调递减， 此时的最大值为， 令，则， 此时，故恒成立，则在上单调递增， 则，可得的最大值不可能为，故排除， 当时，解得，令，， 令，，故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 得到，解得. 15．（2025·高三·山东聊城·月考）已知函数． (1)若函数，且，求在上的单调区间； (2)若，证明：． 【解析】（1）当时，，求导得， 由，得，令函数，求导得， 函数在上单调递增，则当时，，即， 因此函数在上单调递增， 所以函数在上的递增区间为，无递减区间. （2）不等式，由，得， 只需证明，令，只证明， 令，求导得，函数在上单调递增，且， 则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则，所以当时，. 16．（2025·高三·湖南长沙·月考）已知函数，. (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解析】（1）时，，， 令， ，；，， 在单调递减，在单调递增， 时，，，则， 其中，，时，， 时，；，， 在单调递减，在单调递增， 的极小值为，无极大值. （2）（i），， 令，，，在单调递增， 令，即在有2个零点，，且，， ， 时，，在单调递增，不存在2个零点，，时，；时，， 在单调递减，在单调递增， 时，；时，， ，. （ii）， 设，，， 由（i）知，，即证，即证， 令，则，，， 又，即,即， 所以，故，故即证， 即证， 令,，， 所以在上单调递增， 所以，结论得证. 17．（2025·高二·上海·期中）已知函数，. (1)若函数在处有极值，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记函数（是自然对数的底数），若对任意、且时，均有，求实数a的取值范围. 【解析】（1）在处取得极值， 又因为，则， 故，得； 当时，，， 当或时，，所以在和是单调递增， 当时，，所以在时单调递减， 所以是极值点，所以符合题意， （2）由（1）知在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 当时，，当时，， 所以关于x的方程有3个不同的实根，所以， 所以实数m的取值范围为； （3），在上单调递减， 对任意、且，、则， 则对任意、且，均有成立， 转化为，对任意、且时、 均有成立， 即，即 所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，， 故，得在上恒成立， 令，则，令，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 故，故． ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，， 故，得在上恒成立， 因为函数在上为单调递增函数，故，此时． 综上所述，实数的取值范围为． 18．（2025·高二·福建泉州·期末）已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1），得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． （2）（i）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 19．（2025·高二·湖南郴州·期末）已知函数， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，设函数，讨论函数零点的个数． 【解析】（1）当时， 求导得，所以，又 所以在点处的切线方程为 （2）当时，，所以， 令，求导得， 因为，所以在上单调递增，所以. 因为，所以当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以有唯一零点； 下证当时，无零点 法一：当时，因为， 所以， 令，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 又，， 故在上有唯一的零点β，即， 因此有 当时，，即；当时，，即． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为最小值． 由，得， 所以在时， 因为，所以，又因为当时，，所以． 所以． 因此当时，没有零点. 综上所述，时，有1个零点；当时，没有零点 法二：（放缩法）先证 记，则 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，即，当且仅当时等号成立 再证： 由得，即， 所以，当且仅当，即时等号成立 所以 因此当时，没有零点． 20．（2025·高二·黑龙江·期末）已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 【解析】（1）显然的定义域为，， ，为偶函数. （2），当且仅当时，取等号， ，所以的最小值为. （3），当时，，则在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 若仅一个实数根，则，                                  方程仅有两个不同的实数根，不合题意.                        所以应有两个不同的实数根， 即：方程和共有四个不同的实数根， 每个方程各有2个不同的实数根，所以，， 则，且，所以. 故的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $