4.2.2 等差数列的前n项和 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版2019选择性必修第一册 第四章 圆锥曲线的方程 4.2.2 等差数列的前n项和公式 学习目标 学科素养 1.能推导等差数列的前n项和公式，并熟练掌握 ，， 之间的关系，能够由其中三个求另外两个.(重点) 2.能够利用等差数列的前项和公式的函数特征判断等差数 列以及求其前n项和的最值.(难点) 3.能较熟练应用等差数列前n项和公式求和.(重点) 4.掌握等差数列前n项和性质的推导与应用.(难点) 数学运算 逻辑推理 数学建模 复习导入 性质1：等差数列每相邻两项之间插入项构成新等差数列 设等差数列中的公差为 若是等差数列，公差为，则，，，… ()是公差为的等差数列． （若下标成等差数列，则对应的项也成等差数列） 性质2： 等差数列的性质 如：a2+a8＝a4+a6＝a3+a7 性质3： （若下标和相等，则对应项的和也相等.） 等式两边作和的项数必须一样多 对有穷等差数列，与首末项“等距”的两项之和等于首末项的和 am+an＝ap+aq m+n＝p+q 如：a2+a8＝2a5 等差数列的性质 复习导入 ②数列{c＋an}是公差为 的等差数列； 性质4：数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2,则数{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为 的等差数列. (pd1+qd2) 推广： 若数列{an}是公差为d的等差数列，c为常数，则有 ①数列{an＋an+k}是公差为 的等差数列； ③数列{c·an}的公差为 的等差数列； d cd 2d 等差数列的性质 性质5：在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，则am+n=0 . 复习导入 等差数列中对称设项法 复习导入 探究新知 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋‧‧‧＋100=？ 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案: (1+ 100)+(2+99)+‧‧‧+ (50+51)=101×50= 5050. 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ① 前100项的和的问题. 探究新知 高斯的算法： 这里用到了数列的性质： 若m+n=p+q,则am+ an=ap+ aq. 不同数的求和 相同数的求和 转化 问题1:你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗?你能从中得到求数列的前n项和的方法吗? 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 探究新知 问题2:你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？ 思路4（拿出中间项，再首尾配对） 原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51 思路1（拿出末项，再首尾配对） 原式=(1+2+3+… + 100)+101 思路2（先凑成偶数项，再配对） 原式=(1+2+3+… + 101+102)-102 思路3（先凑成偶数项，再配对） 原式=0+1+2+3+… + 100+101 结论：当n为奇数时，“首尾配对”不太方便. 探究新知 问题3:你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 将上述方法推广到一般，可以得到: 当n是偶数时，有: 于是有 探究新知 问题3:你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 当n是奇数时，有: ∴对任意正整数n，都有 于是有 ② 探究新知 问题4:我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论? ① 倒序相加求和法 ② ① 探究新知 问题5:倒序相加求和法能否推广到求等差数列{an}的前n项和？ 左右两边分别相加 n个 若是等差数列，若， 则. 等差数列的性质： 探究新知 等差数列前n项和公式 如果等差数列{an}的首项a1, 公差为d, 那么该等差数列的前n项和公式为 (1) 把等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d带入上式，得 (2) 追问：等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1, d, n, an, Sn”五个量,已知几个量就可以确定其他量？ 知三求二 探究新知 (1) (2) 等差数列前n项和公式 性质1： 问题6：你还能发现这一特性的应用吗？P20 探究新知 问题6：不从公式(1)出发，你能用其他方法得到公式(2)吗？ (1) (2) 解： 等差数列前n项和公式 探究新知 教材P21 (1) (2) 探究新知 教材P21 (1) (2) 探究新知 等差数列{an}的通项公式满足一次函数关系：an=dn+a1-d . 问题7：等差数列{an}的前n项和公式满足什么函数关系？ (1) (2) 性质2：数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn(A,B为常数). 探究：已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0.研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论. 探究新知 猜想：r=0时，数列{an}为等差数列 证明： 探究新知 教材P24（练习） 探究新知 教材P25 性质3:数列{an}是公差为d 等差数列 探究新知 法2： 两式相减得： 教材P21 探究新知 思考： 探究新知 问题8： 证明： 性质4: 探究新知 变式:已知等差数列{an}的n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30. 解法2： 解法1： 解法3： 探究新知 教材P23 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261. 求此数列中间一项的值以及项数. 问题9：通过解决本题，等差数列又会有什么样的性质？该性质和什么有关？ 探究新知 问题9：通过解决本题，等差数列又会有什么性质呢？这个性质和什么有关呢？ (1)若一个等差数列的项数为奇数，设其项数为2n+1，则 最中间一项 性质5： 探究新知 (2)若一个等差数列的项数为偶数，设其项数为2n，则 性质6： 问题9：通过解决本题，等差数列又会有什么性质呢？这个性质和什么有关呢？ 探究新知 问题10：如果数列{an}、{bn}是项数相同的等差数列，Sn、Tn分别是它们前n项和，那么S2n-1与T2n-1会有什么关系？ 性质7： 探究新知 变式：设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn， 若 ，求 的值. 探究新知 性质8： 探究新知 例9：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 教材P23 等差数列的前n项和Sn的最值问题 探究新知 等差数列an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，n∈N* 的图像. n o an 1 2 a1 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) 1 2 a6 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a5 a4 a3 a2 a1 f(x)＝dx＋(a1－d) d＞0时，数列{an}为递增数列; d=0时, 数列{an}为常数列 d＜0时，数列{an}为 递减数列. 等差数列对应图象上所有的点在同一条直线上： 等差数列的通项公式的函数特征： 探究新知 1 2 a1 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) d＞0时，数列{an}为递增数列; d＜0时，数列{an}为 递减数列. 1 2 a6 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a5 a4 a3 a2 a1 f(x)＝dx＋(a1－d) 等差数列的通项公式的函数特征： 1 2 a1 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) 1 2 a6 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a5 a4 a3 a2 a1 f(x)＝dx＋(a1－d) 利用邻项异号求Sn的最值 等差数列an和Sn的关系 有最小值S1 有最大值S1 有最大值 有最小值 探究新知 探究新知 等差数列的前n项和Sn的最值问题 (3)求Sn的最值： (1)一般形式： (2)图象： 结合二次函数的开口/对称轴分析 探究新知 例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 =10,公差d=-2，则Sn 是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值;若不存在，请说明理由. 解法一： 教材P23 由 得 即 探究新知 解法二： 例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 =10,公差d=-2，则Sn 是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值;若不存在，请说明理由. 教材P23 求等差数列前n项和的最值的方法 方法1：由 利用二次函数的对称轴求得取得最值时的n的值及最值 (在离对称轴最近的正整数处取得). 方法2：利用an的符号： ①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,由an≥0，an+1≤0 ，求n. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,由an ≤0，an+1 ≥ 0，求n. 探究新知 探究新知 教材P24 3.已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，‧‧‧的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值? 如果存在，求出取得最值时n的值. 3.已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，‧‧‧的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值? 如果存在，求出取得最值时n的值. 探究新知 教材P24 课堂小结 等差数列前n项和公式 如果等差数列{an}的首项a1, 公差为d, 那么该等差数列的前n项和公式为 (1) 把等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d带入上式，得 (2) a1, d, n, an, Sn 知三求二 ② ① 倒序相加求和法 课堂小结 性质1： 性质2：数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn(A,B为常数). 课堂小结 性质3:数列{an}是公差为d 等差数列 性质4: 性质5： 性质6： 课堂小结 性质7： 性质8： 课堂小结 求等差数列前n项和的最大(小)的方法 方法1：由 利用二次函数的对称轴求得取得最值时的n的值及最值 (在离对称轴最近的正整数处取得). 方法2：利用an的符号： ①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,由an≥0，an+1≤0 ，求n. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,由an ≤0，an+1 ≥ 0，求n. 作业布置 1.导学案:P18-P23. 2.课时作业（六、七） (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. 对于等差数列的前n项和公 式的相关量,,,,中， 已知三个量就可以确定其他量， 即知三求二. 解：（1）因为，， 根据公式，可得． （2）因为，，所以．根据公式， 可得． 例6：已知数列是等差数列． （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若，，，求． 解：（3）把，，代入， 得. 整理，得． 所以． 解得，或(舍去)． 例6：已知数列是等差数列． （3）若，，，求． 即等差数列的前n项和为常数项为零的关于n的二次函数， 简记为：，其中. （1）证明：设等差数列的公差为d，则， ，又（常数）， 是等差数列． 7.已知是等差数列的前项和． （1）证明是等差数列； 解：由题意，知，． 把它们代入公式，得， 解方程组，得． 例7：已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220． 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 在例7条件下计算,并判断,,能否为等差数列. ∴，， 显然，满足，构成等差数列. 由可得，，， 一般地，分别为等差数列的前项，前项， 前项的和，则成等差数列吗？ ∴eq \f(S10,10)，eq \f(S20,20)，eq \f(S30,30)成等差数列， ∴eq \f(S10,10)＋eq \f(S30,30)＝2×eq \f(S20,20)， ∴S30＝30× ＝30×(122－31)＝2 730. ∴S10，S20－S10，S30－S20 也成等差数列， ∵数列{an}为等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220， ∴S30＝2 730. ∵ 是以a1为首项，eq \f(d,2)为公差的等差数列 $