精品解析：江苏省南通市海门中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

江苏省海门中学2025-2026学年度第一学期一月学情调研 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补集的定义求出，，再由集合交集的定义求解即可. 【详解】因为全集 ， ，， 所以，， 所以 故选： 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式得出的值，再利用二倍角公式和弦化切可得出的值. 【详解】由，得， ， 故选：C. 3. 若，且，，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得. 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 4. 幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再由，排除部分选项求解. 【详解】函数的定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数，即可排除A， 当时，，排除， 故选：B． 6. 若函数的定义域为，值域为，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，确定函数在上的单调性和值域，列式求解即可得的值. 【详解】，， ∴则函数为常数，且在单调递增， 又∵函数的定义域为， 函数的值域为， ， . 故选：A. 7. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式列出调整前后的生物丰富度指数表达式，对①②式进行变形，根据对数运算得出答案. 【详解】由题意得①，②， 则， 即，即， 所以， 故选：D 8. 已知函数在上只有一个零点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别作出函数与函数的图象，分，讨论即可． 【详解】由，得， 在同一坐标系内作出函数与函数的大致图象， 当时，，如图， 当时，与的图象有一个交点，符合题意； 当时，，如图， 当时，要与的图象有一个交点，当且仅当， 即，而，解得， 综上，正实数m的取值范围为． 故选：D 【点睛】关键点点睛：解决的关键是作出二次函数与三角函数的图象，利用数形结合求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 以下结果正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用对数的运算法则计算即可判断A；根据指数幂的运算法则结合完全平方公式计算即可判断B；通过角度制与弧度制的互化可判断C；利用两角和差的正弦公式以及诱导公式计算可判断D. 【详解】对于A选项， ，故A正确； 对于B选项，因为，两边平方，得， 解得，两边平方，得， 所以，故B错误； 对于C选项，，故C正确. 对于D选项， ，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同 B. 命题“，”的否定是“， C. 已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件 D. 三个内角A，B，C满足 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用相同函数定义即得；对于B，利用带量词的命题的否定要求即可判断；对于C，通过取反例即可排除；对于D，利用三角形内角和关系与诱导公式推理即得. 【详解】对于A，由函数的定义可知，当两个函数的定义域相同，对应关系相同， 则值域一定相同，故A正确； 对于B，命题"，"的否定是"，"，故B错误； 对于C，若取，，满足，是第一象限角，且，但，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 11. 对于，下列正确的有（ ） A. 若，则关于直线对称 B. 若，则关于点中心对称 C. 若在上有且仅有4个根，则 D. 若在上单调，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令，求解即可；对于B，令，即可求得对称中心为，；对于C，由条件得，求解即可；对于D，由条件得，求解即可. 【详解】对于AB，若，则， 令，得，，所以关于直线对称，故A正确； 令，得，，所以关于，中心对称，故B错误； 对于CD，当时，， 若在上有且仅有4个根，所以，解得，故C正确； 若在上单调，则，解得，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则________. 【答案】7 【解析】 【分析】令，证明为奇函数求解. 【详解】令，定义域为， 且， 所以为奇函数， 所以， 即， 所以. 故答案为：7 13. 已知函数，其中，若，且的相邻两条对称轴间的距离大于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】跟可得，易得，进而可求出，再利用待定系数法求出即可. 【详解】由，可知， 解得， 又的相邻两条对称轴间的距离大于，所以， 所以，故，满足题意， 由，即， 解得，又，所以， 故． 故答案为：. 14. 已知锐角，满足，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值． 【详解】解：，， 即， ，均为锐角，则，， ， 当且仅当时，即当时，故，时等号成立. 因此，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，集合 （1）求 ； （2）若，求p，q的值； （3）若，求 【答案】（1） （2） （3）解析见详解 【解析】 【分析】（1）解分式不等式即可； （2）根据集合相等，利用函数的零点和方程根的关系结合韦达定理求解； （3）先由得到p，q的关系，代入后求解含参的一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由得，，解得，即. 【小问2详解】 由，知， ， 即，； 【小问3详解】 因为，所以， 所以，即， 当，即时，，此时 当，即时，，解集为，此时； 当，即时，，此时 16. 已知定义在上的函数图象关于原点对称，且 （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式 【答案】（1） （2）在上单调递增； 证明如下：令， ， 由， 则，，， ， 即在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由关于原点对称可得，，再结合代入计算即可得； （2）借助单调性的定义证明即可； （3）结合奇函数性质及函数单调性，列不等式求解即可. 【小问1详解】 定义在上的函数图象关于原点对称， 为上的奇函数，，解得； ， 又，故，， 其满足，故为奇函数，图象关于原点对称， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得为奇函数， 故由，得，， 又在上单调递增， 则有，解得， 故不等式的解集为 17. 记函数的最小正周期为，已知，且． （1）求的值； （2）已知是函数在上的两个零点． ①求实数的取值范围； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化一，再根据，求出的范围，根据可得出函数的对称轴，进而可求出答案； （2）①利用换元法，将问题转化为在上有两个交点，从而结合函数图象即可求出的范围； ②易得，不妨设，先求出，再利用二倍角的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 ， 由，得，所以， 又因为，，所以函数关于对称， 所以，所以， 又，所以； 【小问2详解】 ①由（1）得， 令，则， 令，因为，所以， 因为函数在上的两个零点， 所以函数在上有两个交点， 作出函数的图象， 由图可知； ②时，， 由（1）可得， 不妨设，则， 又， 所以， 所以， 即，所以，所以， 又，，所以， 所以. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 18. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量（百件）与销售价格（元）的关系如下图（每段图象为直线段，，，）. （1）请写出月利润L关于P的函数关系式； （2）当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额； （3）该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年 参考数据：，，， 【答案】（1） （2）当元时，月利润余额最大为20000元 （3）最早可望在11年后还清 【解析】 【分析】（1）求出与的关系式，由题意可得，继而即可求解； （2）由（1）的解析式，分和时讨论，结合二次函数的最值即可求解； （3）设可在第n年还清，结合题意可得，代入参考数据计算继而可求解. 【小问1详解】 设该店月利润余额为L， 则由题设得， 由图可得线段的方程为：，， 即； 线段的方程为：，， 即； 所以， 所以. 即. 【小问2详解】 当时，， 所以当元时，（元）， 当时，， 当元时，（元）， 故当元时，月利润余额最大为20000元； 【小问3详解】 设可在第年还清，依题意有， 即， 的图象与的图象至多有两个点， 又当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 可知函数有两个零点，， 当时，， 又，所以最早可望在11年后还清. 19. 一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 （1）求函数， ； （2）若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程有两根，，求的最小值. 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求反函数的步骤仔细计算即可求函数，的解析式 ； （2）令，则，原不等式等价于在上恒成立，分三种情况讨论，分别利用函数单调性求最值，求出实数的取值范围，综合三种情况可得答案； （3）先通过换元结合韦达定理，可得满足，， 则可化为，再利用二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以函数的反函数是， 可知，. 【小问2详解】 由（1）可证且， 因此， 令，可知， 即在上恒成立， 令， 当，可知在上单调递增， ，可知， 当时，易知不符合， 当时，可知， 只需要且， 即且， 可知， 综上：或 【小问3详解】 由可知：， 即有两根，， 令，，， 则有两根，， 满足，， 可知，， 因此 =， 令，再令， 则，， 易知当时，，故最小值为 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2025-2026学年度第一学期一月学情调研 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，值域为，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 6 7. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上只有一个零点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 以下结果正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同 B. 命题“，”的否定是“， C. 已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件 D. 三个内角A，B，C满足 11. 对于，下列正确的有（ ） A. 若，则关于直线对称 B. 若，则关于点中心对称 C. 若在上有且仅有4个根，则 D. 若在上单调，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则________. 13. 已知函数，其中，若，且的相邻两条对称轴间的距离大于，则______． 14. 已知锐角，满足，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，集合 （1）求 ； （2）若，求p，q的值； （3）若，求 16. 已知定义在上的函数图象关于原点对称，且 （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式 17. 记函数的最小正周期为，已知，且． （1）求的值； （2）已知是函数在上的两个零点． ①求实数的取值范围； ②若，求的值． 18. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量（百件）与销售价格（元）的关系如下图（每段图象为直线段，，，）. （1）请写出月利润L关于P的函数关系式； （2）当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额； （3）该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年 参考数据：，，， 19. 一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 （1）求函数， ； （2）若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程有两根，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $