2.1 平面直角坐标系 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第2章 图形与坐标 2.1 平面直角坐标系 第1课时 平面直角坐标系 学习目标 1．理解平面直角坐标系的概念. 了解建立了平面直角坐标系后平面上的点与有序实数对一一对应. 2．能画出平面直角坐标系，在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标. 知识回顾 在数轴上，如何确定一个点的位置呢? A 点记作 -2，B 点记作 3. 也就是说， 例如: 在数轴上一般用一个数据就可以表示一个点的位置． 课时导入 思考1 老师在教室里想找一个学生： 提示1：只给一个数据“第 4 列”，你能确定老师要找的学生是谁吗？ 提示2：给出两个数据“第 4 列，第 2 排”，你能确定是谁了吗？ 生活中，我们常常遇到描述各种物体的位置，说一说，如何确定一位同学在教室里的座位呢？ 说一说 讲台 2 1 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 第2排 第4列 (列数，排数) 约定：列数在前，排数在后 (4，2) (1) 在座位表中“6 列 3 排”与“3 列 6 排”中的“ 6 ”的含义有什么不同？你能找到它们对应的位置吗？ (2) 如果将“6 列 3 排”简记作(6，3)，那么“ 3 列 6 排”如何表示？(5，6)表示什么含义？ (6，5)呢? (3) 在教室里，确定一个座位一般需要几个数据？ 两个数据：列数和排数. 动脑筋 如何用有序实数对来表示平面上任一点的位置？ 思考 从前面的例子可以看到，第4列是从横向来数的，第2排是从纵向来数的.这启发我们，用有序实数对表示平面上任一点M的位置，可按以下步骤进行： 第一步，在平面上另选一点O，过点O画两条互相垂直的数轴，其中一条叫横轴(通常称为x轴)，另一条叫纵轴(通常称为y轴)，点O是这两条数轴的公共原点. y O x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1 y轴 原点 x轴 知识讲解 平面直角坐标系的概念： 其中，取向右为横轴正方向，向上为纵轴正方向，并且横轴与纵轴的单位长度通常取一样的长度(有时也可以取不同长度). 这样就建立了一个平面直角坐标系，记作xOy，其中点O称为平面直角坐标系的原点，如图. y O x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1 y轴 原点 x轴 若以点M为原点建立平面直角坐标系，则点M的坐标是多少？ 知识讲解 平面直角坐标系的概念： 第二步，过点M作轴的垂线，与轴相交于点C；再过点M作y轴的垂线，与y轴相交于点D.如图，若点C在x轴上表示-4，点D在y轴上表示5，则(-4，5)就表示点M的位置，并称(-4，5)为点M的坐标，其中-4称为横坐标，5称为纵坐标. y O x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1 M(-4,5) y轴 原点 x轴 D C M( 0，0) 问题 知识讲解 平面直角坐标系的概念： 反之，为了找出坐标为(4，2)的点，在x轴上找到表示4的点A，过点A作x轴的垂线，再在y轴上找到表示2的点B，过点B作y轴的垂线，这两条垂线的交点P就是坐标为(4，2)的点. y O x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1 综上所述，在建立平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应. P(4,2) B A y O x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1 在平面直角坐标系中，两条坐标轴(即横轴和纵轴)把平面分成如图所示的I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，我们把这四个区域分别称为第一、二、三、 四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. I 第一象限 Ⅱ 第二象限 Ⅲ 第三象限 Ⅳ 第四象限 思考：坐标平面上的点与有序实数对(坐标)是什么关系? 类似数轴上的点与实数一一对应，我们可以得出： ① 对于坐标平面内任意一点 M，都有唯一的一对有序实数 (x，y) (即点 M 的坐标)和它对应； ② 反过来，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面上都有唯一的一点 M (即坐标为(x，y)的点)和它对应. 也就是说，坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的. 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 在 x 轴的正半轴上 在 x 轴的负半轴上 在 y 轴的正半轴上 在 y 轴的负半轴上 0 + + - - 0 0 0 A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C E 活动 观察直角坐标系，填写坐标轴上的点的坐标的特征: 不看平面直角坐标系，你能迅速说出点 (-5，0)，(0，-5)，(3，0)，(0，3)，(0，0)所在的位置吗？ (1)如图，写出平面直角坐标系中点A，B，C，D，E，F的坐标. y x 例1 1 B O 1 F E D C A 解 （1）由图可知，所求各点的坐标分别为： A(3，4)，B(-4，3)，C(-3，0)，D(-2，-4)，E(0，-3)，F(3，-3). (2)在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限. P(5,4)，Q(-3,4)，M(-4,-1)，N(2,-4). y x 例1 1 B O 1 F N E D M C P Q A 解 (2)如图，先在x轴上找到表示5的点，再在y轴上找出表示4的点，过这两个点分别作x轴、y轴的垂线，两垂线的交点就是点P. 类似地，可以找到点Q，M，N的位置，如图所示． 由图可知，点P在第一象限，点Q在第二象限，点M在第三象限，点N在第四象限. 活动 观察平面直角坐标系，填写各象限内的点的坐标符号特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + - - - + - A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C D E 不看平面直角坐标系，你能迅速说出点 A(4，5)，B(-2，3)，C(-4，-1)，D(2.5，-2)，E(0，-4) 所在的象限吗？ 随 堂 小 测 1. 如图，点 A 的坐标为 ( ) A. ( -2，3) B. ( 3，-2) C . ( -2，-3) D . ( 2，3) x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 -1 -2 A A 2.点 A (m＋3，m＋1)在 x 轴上，则 A 点的坐标为( ) A. (0，－2) B. (2，0) C. (4，0) D. (0，－4) 【解析】点 A(m＋3，m＋1)在 x 轴上，根据 x 轴上点的坐标特征知 m＋1＝0，求出 m 的值代入 m＋3 中即可． B 归纳：坐标轴上的点的坐标特点：x 轴上的点的纵坐标为 0，y 轴上的点的横坐标为 0. 根据点的坐标的特征确定字母取值，进而求出点的坐标． 3.已知点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 1. 如果过点 P 作两坐标轴的垂线，垂足分别在 x 轴的正半轴上和 y 轴的负半轴上，那么点 P 的坐标是 (　　) A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(1，2) 解析：由点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 1，可知点 P 的纵坐标的绝对值为 2，横坐标的绝对值为 1. 又因为过点 P 作两坐标轴的垂线，垂足分别在 x 轴的正半轴上和 y 轴的负半轴上，所以点 P 在第四象限，故其横坐标为正，纵坐标为负. 所以点 P 的坐标是 (1，-2)． B 4. 在 y 轴上的点的横坐标是______，在 x 轴上的点的纵坐标是______. 5. 点 M(-8，12)到 x 轴的距离是______，到 y 轴的距离是______. 0 0 12 8 6. 已知 P 点坐标为(a + 1，a－3). ①若点 P 在 x 轴上，则 a = ； ②若点 P 在 y 轴上，则 a = ； 3 -1 7.在平面直角坐标系中，点 P (m，m－2) 在第一象限内，则 m 的取值范围是_______． 解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于 m 的一元一次不等式 组 解得 m＞2. m＞2 归纳：求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围． 9. 若点 P(x，y)在第四象限，| x | = 5，| y | = 4，则点 P 的坐标为 . (5，-4) 8. 已知 a < b < 0，那么点 P(a，－b)在第 象限. 二 10.在直角坐标系中描出下列各点： A(4，3)， B(-2，3)， C(-4，-1)， D(2，-2). 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · B · A · D · C A(3，6) B(0，－8) C(－7，－5) D(－6，0) E(－3.6，5) F(5，－6) G(0，0) 第一象限 第三象限 第二象限 第四象限 y 轴负半轴上 x 轴负半轴上 原点 11.下列各点分别在坐标平面的什么位置上？ A B C E F D 1 2 3 4 -1 -2 1 2 3 -1 -2 -3 A(-2，0) B(0，-3) C(3，-3) D(4，0) E(3，3) F(0，3) y O x 12.写出下图中的多边形 ABCDEF 各个顶点的坐标. 13.设点 M(a，b) 为平面直角坐标系中的点． (1) 当 a > 0，b < 0 时，点 M 位于第几象限？ (2) 当 ab > 0 时，点 M 位于第几象限？ (3) 当 a 为任意有理数，且 b < 0 时，点 M 位于哪里？ 解：(1) 点M 在第四象限. (2) 可能在第一象限 (a > 0，b > 0) 或者在第三象限( a< 0，b< 0 ). (3) 可能在第三象限 (a < 0，b < 0 ) 或者第四象限 (a > 0，b < 0 ) 或者 y 轴负半轴上 (a = 0，b < 0)． 平面直角坐标系 定义：原点、坐标轴 点的坐标 定义与符号特征 描点 点的坐标的确定 小结 第2章 图形与坐标 2.1 平面直角坐标系 第2课时 利用坐标或方位确定位置 学习目标 1．在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置. 2．在平面上，能用方位角和距离刻画两物体的相对位置. 知识回顾 密码文字游戏： 如图，若“家”字的位置记作(1，9)，请你破解密文：(3，3) (5，5) (2，7) (2，2) (1，8) (8，7) (8，8). ９ 家 个 和 怎 他 是 的 去 常 ８ 聪 到 饿 日 一 有 啊 ！ 哦 ７ 的 我 是 发 搞 可 了 明 在 ６ 确 小 大 北 京 你 才 批 不 ５ 年 没 定 妈 ， 爸 事 达 方 ４ 营 业 女 天 员 各 合 乎 经 ３ 由 于 嘿 毫 力 量 靠 孩 济 ２ 仍 真 击 歼 安 机 麻 生 世 １ 然 往 亲 赌 东 门 密 棒 暗 0 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 密文是：“嘿，我真聪明！” 课时导入 思考 如图是某中学的校区平面示意图（小方格的边长代表1个单位长度），试建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示校门、图书馆、花坛、体育场、教学大楼、国旗杆、实验楼和体育馆的位置. 校门的位置为 图书馆的位置为 花坛的位置为 体育场的位置为 教学大楼的位置为 国旗杆的位置为 实验楼的位置为 体育馆的位置为 如图，以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy. （0，0）， （3，1）， （3，4）， （4，7）， （0，7）， （0，3）， （-4，6）， （-3，2）. 若以国旗杆所在位置为原点建立平面直角坐标系，则校区内各建筑物的坐标会发生变化吗？若发生变化，试写出此时各点的坐标. 做一做 如图，以旗杆所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，校区内各建筑物的坐标会发生改变. (-3,-2) (0,-3) (3,-2) (3,1) (4,4) (0,4) (-4,3) (0,0) x y O 知识讲解 利用平面直角坐标系确定位置： 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： （1）建立直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； （2）根据具体问题确定单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. 根据以下条件画一幅示意图， 并分别标出学校、书店、电影院、汽车站的位置. （1）从学校向东走 500 m，再向北走 450 m 到书店. （2）从学校向西走 300 m，再向南走 300 m，最后向东走 50 m 到电影院. （3）从学校向南走 600 m，再向东走 400 m 到汽车站. 例2 解：如图，以学校所在位置为原点，分别以正东、正北 方向为 x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，规定 1 个单位长度代表 100 m . 根据已知条件可得， 书店位于点 A（5，4.5）处， 电影院位于点 B（-2.5，-3）处， 汽车站位于点 C（4，-6） 处. 在日常生活中，除了用平面直角坐标系刻画物体之间的位置关系外，有时还可借助方向和距离（或称方位）来刻画两物体的相对位置. (1)如图，小婷家距学校1000 m，如何用方向和距离来描述小婷家相对于学校的位置？ (2)反过来，学校相对于小婷家的位置应怎样用方向与距离来描述呢？ 解 (1)小婷家在学校北偏西60°方向上，距学校1000 m的位置. 像北偏西 60°、 南偏东 60°这样的角称为方位角. 议一议 (2)学校在小婷家南偏东60°方向上，距小婷家1000 m的位置. 如图，12时某渔政船在某海岛（C处）正南方向、距海岛30海里的A处.渔政船以每小时20海里的速度向东航行，14时到达B处，并测得海岛的方向是在北偏西53°8´.那么此时渔政船相对于海岛的位置怎样描述呢？ 解：如图，连接AB，BC，AC， 则△ABC是直角三角形，∠CAB=90°. 在Rt△ABC中， 因为AC=30海里，AB=20×2=40海里， 所以BC===50(海里). 由于在点B处测得海岛在北偏西53°8´的方向上， 则∠BCA=53°8´. 故此时，渔政船在海岛南偏东53°8´的方向，距海岛50海里的位置. 例3 随 堂 小 测 1. 海事救灾船前去救援某海域失火轮船，需要先确定（　 ） A. 方位角　　　　　 　B. 距离 C. 失火轮船的国籍　　 D. 方位角和距离 D 2．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（ ） A. 3 楼 5 号房　　　　 B. 北偏西 40° 方向 C. 解放路 30 号　　　 D. 东经 120°，北纬 30° B 8 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ● ● ● ● ● ● ● ● 大门 食堂 宿舍楼 宣传橱窗 实验楼 教学楼 运动场 办公楼 (9，6) (8，5) (3，7) (6，8) (7，4) (2，2) (3，3) （5，2） 3. 已知大门的位置，用有序数对表示学校里的各个地点. 4. 观察如图所示的象棋盘，若“相”的位置表示为 (3，5)，请回答问题： （1）说出“將”与“帥”的位置； （2）说出“馬 3 进 4”（即第 3 列 的“馬”前进到第 4 列）后的位置． 解：(1) (9，5)，(1，5). (2) (3，4) 或 (7，4). 小结 确定位置 平面直角坐标系 方位+距离法 $