精品解析：黑龙江省牡丹江市名校协作体2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

高一学年期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：高一数学组 审题人：高一数学组 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量 B. 若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C. 与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D. 向量的模是一个非负实数 3. “”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 第一象限的角必是锐角 C. 若，则与的终边相同 D. 不是周期函数． 5. 已知,则的值为 A. 2 B. C. -2 D. 6. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A. 24 B. 26 C. 8 D. 16 7. 关于函数，下列命题正确的是 A. 由可得是的整数倍 B. 函数的表达式可改写成 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 8. 定义在上的偶函数，当时，则=的所有零点之和为 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列式子结果为的是（ ） ①； ②； ③； ④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. （多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象的最小正周期为 B. C. 将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象的解析式为 D. 不等式的解集为 11. 欧拉公式：（是虚数单位，…，）非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等．令可得，它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起．下列关于欧拉公式的结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若1弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所在的扇形面积等于________ 13. 已知锐角的终边经过点，则________. 14. 已知函数，若存在实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则______. 四、解答题（本题共5小题共77分，其中15题13分、16、17题15分、18、19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 化简并求值 （1）化简：； （2）求值：. 16. 计算与求值 （1）已知，，，，求的值. （2）已知，，且，，求的值； 17. 已知函数． （1）求在上的值域， （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 如图，单位圆上有一点，点P以点为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，点的纵坐标y是关于时间x的函数，记作. （1）当时，求； （2）若将函数向左平移个单位长度后，得到的曲线关于y轴对称，求的最小正值. 19. 已知函数，. （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （2）如果对任意，总存在，使成立，则称与是友好函数.已知当时，在区间上，与是友好函数，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一学年期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：高一数学组 审题人：高一数学组 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间． 【详解】解：函数在其定义域上单调递增， （2），（1）， （2）（1）． 根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是， 故选． 【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量 B. 若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C. 与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D. 向量的模是一个非负实数 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据共线向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据空间向量模的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 3. “”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的性质判断即可. 【详解】正切函数的对称中心为，， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充要条件. 故选：C． 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 第一象限的角必是锐角 C. 若，则与的终边相同 D. 不是周期函数． 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的定义可知A错误；容易举出反例判定BC错误；根据正弦函数的性质和周期函数的定义，的利用反证法可以证明D正确. 【详解】由正切函数的定义可知函数的定义域为，x=0时正切函数是有意义的，0∉，故A错误； 380°是第一象限角，但不是锐角，故B错误； 60°和120°的正弦值相等，但终边不相同，故C错误； 假若函数是周期函数，存在T>0,使得f(x+T)=f(x)对于任意实数x恒成立， 当x≥0时,由正弦函数的周期性得,T=2kπ,k∈N*， 但, , ， 所以函数不是周期函数，故D正确. 故选：D. 5. 已知,则的值为 A. 2 B. C. -2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，对分子和分母同时除以，利用，可将原式化简成，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知，，故选：B. 【点睛】本题主要考查了同角的基本关系的应用，熟练掌握和应用是解题关键，属于基础题. 6. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（ ）. A. 24 B. 26 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】依题意有= ，解得，得到，再令,求解得到的值，减去最初的即得所求． 【详解】依题意有= ，即 ， 两边取对数得 ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有， 两边取对数得， 所以再经过的时间为． 故选:． 7. 关于函数，下列命题正确的是 A. 由可得是的整数倍 B. 函数的表达式可改写成 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】举出反例，可判断A是否正确；通过诱导公式可判断B是否正确；根据正弦型函数的对称中心在曲线上可判断C是否正确；根据正弦型函数在对称轴处取得最值可判断D是否正确. 【详解】函数，最小正周期为． 对于A：当，时，满足，但是不满足是的整数倍，故A错误； 对于B：由诱导公式可得，故B错误； 对于C：令，可得，故C错误； 对于D：当时，可得，所以的图象关于直线对称，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用的基本性质判断各选项的正误，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，属于基础题. 8. 定义在上的偶函数，当时，则=的所有零点之和为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数函数 的表达式，计算出表达式，画图（本题可以直接算）. 【详解】 是上的偶函数，当时，,得到 可以作出及大致图像,又零点转化图像交点横坐标问题,如上图可以求出交点横坐标分别,选择A 【点睛】函数所有零点和常见考题有借助函数对称性求值,而本题通过等价关系,将零点问题转化两图象交点横坐标问题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列式子结果为的是（ ） ①； ②； ③； ④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用即可得①正确；，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由与正切的和差角公式即可得③正确④错误. 【详解】对于①，由于， 所以 ； 对于②，由于， 所以； 对于③，因为， ； 对于④，因为， ； 故选：ABC 10. （多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象的最小正周期为 B. C. 将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象的解析式为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由函数图象得到最小正周期；B选项，由图象求出，得到函数解析式；C选项，根据伸缩变换和平移变换的法则得到；D选项，整体法求解不等式，求出解集. 【详解】A选项，的最小正周期，A错误； B选项，， 则，即， 由可得，，即，B正确； C选项，将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，得到， 再向上移动3个单位长度后得到的解析式为，C正确； D选项，由可得，，即， 所以，解得， 即不等式的解集为，D正确． 故选：BCD 11. 欧拉公式：（是虚数单位，…，）非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等．令可得，它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起．下列关于欧拉公式的结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据欧拉公式逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，，所以，所以B正确， 对于C，因为，所以C错误， 对于D，因为，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若1弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所在的扇形面积等于________ 【答案】2 【解析】 【分析】算出扇形所在的圆的半径后可得扇形的面积. 【详解】设扇形所在的圆的半径为，则（）， 故圆心角所在的扇形面积等于. 故答案为：2. 【点睛】本题考查扇形的弧长与面积，熟记公式是解题的关键，本题属于容易题. 13. 已知锐角的终边经过点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义计算出锐角的正弦和余弦值，利用两角差的余弦公式可计算出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，. 由两角差的余弦公式可得. 故答案为：. 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，同时也考查了利用两角差的余弦公式求值，考查计算能力，是基础题． 14. 已知函数，若存在实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由二倍角的正余弦公式和辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的对称性和周期性计算可得. 【详解】 ， 最小正周期为， 因为在上恰好有三个实数解，，， 所以，由对称性可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题共77分，其中15题13分、16、17题15分、18、19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 化简并求值 （1）化简：； （2）求值：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的运算可得； （2）由诱导公式计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 16. 计算与求值 （1）已知，，，，求的值. （2）已知，，且，，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数关系结合两角差的余弦公式计算可得； （2）由同角的三角函数关系结合两角差的余弦公式计算后再利用特殊角的余弦值可得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，，且，， 所以，， 所以 ， 又，即，， 所以两式相加可得， 所以. 17. 已知函数． （1）求在上的值域， （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差角公式和辅助角公式化简函数，由的取值范围得到函数在对应区间的值域； （2）由（1）知道函数的取值范围，通过讨论的范围，利用分离常数得到的不等式.通过函数的单调性，得到不等式另一边的范围，由不等式恒成立得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ∴ ∴. 【小问2详解】 由（1）可知，，令，则 当时，∵， ∴， 令，∵函数，在上均单调递增， ∴函数在上单调递增， ∴，∴； 当时，不等式恒成立， 当时，∵， ∴， 令，∵函数，在上均单调递增， ∴函数在上单调递增， ∴， ∴， 综上所诉. 18. 如图，单位圆上有一点，点P以点为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，点的纵坐标y是关于时间x的函数，记作. （1）当时，求； （2）若将函数向左平移个单位长度后，得到的曲线关于y轴对称，求的最小正值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义求得初相，再根据正弦函数的周期性，可得，代入，即可求出结果； （2）根据图象平移可知，又是偶函数，所以，，由此可得最小值为3. 【小问1详解】 点是单位圆上一点，它从初始位置开始，按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，设初相为， ∴，∴． 所以， 当时， 【小问2详解】 图象关于轴对称， 则是偶函数，则，， 得，，最小值为3. 19. 已知函数，. （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （2）如果对任意，总存在，使成立，则称与是友好函数.已知当时，在区间上，与是友好函数，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，函数，得到其对称轴为，要使得函数在有零点，则满足且，即可求解； （2）当时，分别求得函数的值域，得到集合，再由题意转化为集合间的包含关系，根据集合的运算即可求解. 【小问1详解】 因为， ∴函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点，其图象如图，则且，即， 解得， 所以所求实数a的取值范围是． 【小问2详解】 当时，. ∴当时，，记． 由题意知当时显然不适合题意. 当时，在上是增函数， 所以，记， 由题意可得，所以， 当时，在上是减函数， ，记， 由题意可得，所以， 综上所述:或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $