浙江省绍兴市嵊州市高级中学2025-2026学年高二上学期期末综合数学试卷（四）（选择性必修一、二全部）

2025学年高二数学第一学期期末综合（四） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围. 【详解】∵直线的斜率,， 设直线的倾斜角为，则， 解得. 故选：A. 2． 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 3．已知等差数列前9项的和为27，，则 (　　) A100 B99 C98 D97 【答案】C【解析】由等差数列性质可知：，故，而，因此公差∴．故选C． 4．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 5．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将曲线方程化为，利用直线与曲线位置关系，结合图形即可求解. 【详解】依题意，曲线的方程可化为：它表示以原点为圆心，2为半径的右半圆，如图： 直线过定点， 直线与相切时，可得，解得， 直线过点时，， 根据图形，结合对称性可得，直线与曲线有两个交点时， 实数的取值范围是. 故选：D. 6．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析: 设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心， 且，故． 因为，故， 故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 而三角形内切圆的圆心为，半径为， 故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为 故选,B 7．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A． 8．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答. 【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，    设，则，显然有，， ， 因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以E的离心率为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积不变 B．平面 C． D．平面平面 【答案】ABD 【分析】A选项利用三棱锥换底可得，B选项利用面面平行证线面平行，C选项利用三角形中两个直角推导矛盾，D选项利用线面垂直证明面面垂直. 【详解】选项A，因为，而，三角形的面积是定值， 又因为点P在上运动,,平面,所以平面，所以点P到面的距离是定值, 所以三棱锥的体积是定值,故A正确； 选项B，因为,平面,平面，所以平面, 同理平面，且，所以平面//平面, 在平面内,所以平面，故B正确; 选项C，因为平面,平面，所以, 正方形中,,，所以平面, 平面，所以，若，又, 平面，平面，所以平面, 平面，则，又因为, 则与，则中有两个直角，矛盾，所以C错误； 选项D，因为平面，平面，所以, 正方形中,，又,平面，平面, 所以平面,平面，所以, 同理可得,又,平面,平面, 所以平面，又平面，所以平面平面，D正确. 故选：ABD 10．设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 11．已知抛物线的焦点为，、、为抛物线上的点，，若抛物线在点、处的切线的斜率分别为、，且两切线交于点、为抛物线的准线与轴的交点，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．直线的倾斜角 C．若，则直线的方程为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点，分两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出，结合焦半径公式计算最小值判断D. 【详解】由题，则向量、的夹角为，故、、三点共线， 设直线的方程为，与的方程联立得， 设、，， 则，， 故，， 由抛物线的定义得，， 故，，所以A错误； 设，， 当时，直线倾斜角大于等于， 当时，， 所以直线的倾斜角，B正确； 记直线的斜率为，令，则， 则，， 又， 所以，所以， 又直线过点，故直线的方程为，C错误； 因为直线的方程为，又， 所以直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 联立直线、的方程得，即， 又，所以， 当时，等号成立，所以的最小值为，D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 已知为等比数列，，，则______． 【答案】 解析：设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_______． 【答案】 解析：设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为 14．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知圆的圆心在第一象限，半径为，且经过直线与直线的交点. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意设圆的方程，求出两条直线的交点坐标，将交点坐标代入圆的方程即可； （2）分切线的斜率是否存在两种情况讨论，根据圆心到切线的距离等于半径即可. 【详解】（1）由圆的圆心在第一象限，半径为， 可设圆的方程为，其中， 联立，解得两直线的交点为， 由得，又因为， 所以，圆心为， 所以圆的方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线为， 此时，圆心到直线的距离，舍去； ②当切线的斜率存在时，设直线方程为，即， 此时，圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为或. 16．已知数列和满足，，，． 证明：是等比数列，是等差数列； 求和的通项公式． 【答案】见解析；，. 【官方解析】 由题设得，即． 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列． 由题设得，即． 又因为，所以是首项为，公差为的等差数列． 由知，，． 所以， ． 17．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 18．如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为，与的交点为． (Ⅰ)证明：为的中点； (Ⅱ)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； (Ⅲ)若，梯形的面积为，求平面与底面所成二面角的大小． 【答案】(Ⅰ)证：因为，，，，所以平面//平面．从而平面与这两个平面的交线相互平行，即． 故与的对应边相互平行，于是． 所以，即为的中点． (Ⅱ)解：如第(20)题图1， 连接，．设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和．设，则． ， ， 所以， 又， 所以， 故． (Ⅲ)解法1：如第(20)题图1，在中，，垂足为，连接， 又，且． 所以⊥平面，于是． 所以为平面与底面所成二面角的平面角， 因为∥,,所以． 又因为梯形的面积为，,所以，． 于是，． 故平面与底面所成二面角的大小为． 解法2：如第(20)题图2，以为原点，分别为轴和轴为正方向建立空间直角坐标系． 设． 因为，所以． 从而，， 所以，． 设平面的法向量， 由得 所以． 又因为平面的法向量． 所以， 故平面与底面所成二面角的大小为． 19．已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，． (Ⅰ)求直线的斜率； (Ⅱ)求椭圆的方程； (Ⅲ)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线(为原点)的斜率的取值范围． 【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ) ；(Ⅲ)． 解析：(Ⅰ)由已知有，又由，可得，， 设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有 ，解得． (Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得 ，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为 (Ⅲ)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得 或， 设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得． ①当时，有，因此，于是，得 ②当时，有，因此，于是，得 综上，直线的斜率的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年高二数学第一学期期末综合（四) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的， xsina-y-1=0 1.直线 的倾斜角的取值范围是() A平g.[任c侣[匠 2.若a,5.d是空间中的一组基底，则下列可与向量a+6,ā-2无 构成基底的向量是() A.日 B.+26 C.a+2d D. 3.已知等差数列4前9项的和为27,40-8，则4w（) A100 B99 C98 D97 4.已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点F到准线的距离为2，过焦点F且斜率为2的直线与抛物线交于 1 1 A,B两点，则AFBF的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.若直线：m(r-4)+y=0与曲线x=V4-少有两个交点，则实数m的取值范围是(） A.( 31 B.(-0,V5] 3’2 D. 6.已知正三棱锥P-AB 的六条棱长均为6，S是△1BC 及其内部的点构成的集合.设集合 T={Q∈SP≤5，则T表示的区域的面积为 第1页/共5页 3π A.4 B.元 C.2π D.3元 7.设函数八()是奇函数f(xx∈R)的导函数，f-)=0,当x>0时，f'()-f()<0,则使得 f(x)>0成立的x的取值范围是 () A.（-0,-1)U(0,1) B.（-1,0)U(L,+o)C.（-0,-U(-1,0)D.(0,1)UL,+∞) 8.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反 E:xy2 向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线B:。=1a>0,b>0)； 的左、右焦点分别为F,F,从B发出 的光线经过图2中的A'B两点反射后，分别经过点c和)，且o∠B4C= 5’AB⊥BD,则E的离心 率为() F B 图1 图2 √5 7 V10 A.2 B.3 C.2 D.√5 二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.点P在正方体ABCD-A,B,C1D的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是() A.三棱锥A-D,PC的体积不变 B.A1P/i平面ACD C.AC⊥AP D.平面PDB,⊥平面ACD1 10.设函数f)=(-(-4),则（) 第2页/共5页 A.x=3是f四的极小值点 B.当0<x<1时，f<fx C.当<r<2 -4<f(2x-1)<0 时， D.当1<r<0时.f2-)>f) 时， IⅡ.已知抛物线C:2=4y的焦点为F,ABp为抛物线c上的点，cos(F1,FB=-l,若抛物线C 在点A、B处的切线的斜率分别为、，且两切线交于点M、N为抛物线C的准线与'轴的交点，则 以下结论正确的是() A.若AF+BF=4,则AF.BF=-1 B.直线pv的倾斜角a≥牙 C.若乐+=2，则直线AB的方程为+y+1=0 D.MF 的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知0}为等比数列，a,044=a,46,a,40=-8,则4= 13.在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x-y=1右支上的一个动点，若点P到直线x-y+1=0的 距离大于C恒成立，则实数C的最大值为 14.已知函数f()=e-x<0,>0,函数)的图象在点A,fx)和点Bx,f的两条切线互 AMI 相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则BN取值范围是一· 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知圆C的圆心CL)在第一象限，半径为5，且经过直线x+3y-2=0与直线3x-2y-6=0的交点 (1)求圆C的方程； 2过点P1-3引作圆C的切线，求切线的方程 第3页/共5页 16.已知数列a和b满足4=1,6=0,40=30，-b.+4,4b=3动。-0，-4。 (们证明：{a.+b,}是等比数列，{a,-b,是等差数列： (2)求a和b,}的通项公式。 17.已知函数fx=ae+al-x )讨论的单调性： 2证明：当a>0时，fx>21a+ 18.如图，四棱柱{a=3(乙元乙中，AA上底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD//BC,且 AD=2BC.过A,C,D三点的平面记为a,BB与a的交点为2. A D (I)证明：为BB的中点： B ()求此四棱柱被平面“所分成上下两部分的体积之比： (m若A4=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6， 求平面a与底面ABCD所成二面角的大小. B 第4页/共5页 x2 y2 19.已知椭圆a2+-(a>b>0) √阝 的左焦点为F(一C,O),离心率为3，点M在椭圆上且位于第一象限， IFM 直线FM被圆 264 4截得的线段的长为c, 3」 (I)求直线FM的斜率： (Ⅱ)求椭圆的方程： (D设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于V2,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围. 第5页/共5页