5.3.1 函数的单调性 习题课课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦利用导数研究函数单调性，涵盖定义关系、判断步骤、含参分类讨论及恒成立问题。通过知能小测回顾基础，知识梳理明确核心方法，搭建从基础应用到综合探究的学习支架。 其亮点在于分层递进的典例与训练，如例2含参分类讨论结合“统一标准、逐级进行”原则培养数学思维的推理能力，知能小测图像题发展数学眼光的几何直观。总结提升系统归纳方法，帮助学生规范数学语言表达，学生能构建方法体系，教师可直接用于教学提升效率。

函数的单调性----习题课 1．定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递___ f′(x)＜0 单调递___ 知识梳理 2.在区间(a，b)上导函数大（小）于零是原函数单调递增（减）的 条件. 增 减 充分不必要 知识梳理 3.判断函数y=f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的 ； 第2步，求出 的零点； 第3步，用 将f(x)的定义域划分为 ，列表给出f '(x)在各区间上的 ，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 定义域 导数f ′(x) f ′(x)的零点 若干个区间 正负 (1)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　)A．(－∞，2)　　　 B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞) 知能小测 √ (2)导函数y＝f ′(x)的图象如图所示， 则函数y＝f(x)的图象可能是 (　) 知能小测 √ 典例精讲 例1、求函数f(x)＝－x3＋3x2的单调区间. 解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x)＝－3x2＋6x. 令f ′(x)>0，得0<x<2； 令f ′(x)<0，得x<0或x>2. ∴f(x)在(0,2)上单调递增，在(－∞，0)， (2，＋∞)上单调递减， ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(－∞，0) 和 (2，＋∞)． 总结提升 一、求函数f(x)单调区间的一般步骤： 求定义域 求导函数 f ′(x) 解f ′(x)>0 解f ′(x)<0 单调递增区间 单调递减区间 练习1、求函数f(x)＝x3－12x＋8的单调递增区间. 巩固训练 解：函数f(x)的定义域为R. ∵f(x)＝x3－12x＋8， ∴f ′(x)＝3x2－12. 令f ′(x)>0， 得x<－2或x>2， 因此，函数f(x)的单调递增区间为 (－∞，－2)和(2，＋∞) 例2、讨论函数f(x)＝x3－ax－1的单调性. 典例精讲 ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝± . 当x＞ 或x＜－ 时，f ′(x)＞0； 当－ ＜x＜ 时，f ′(x)＜0. 解：函数f (x)定义域为R, f ′(x)＝3x2－a. ①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． 例2、讨论函数f(x)＝x3－ax－1的单调性. 典例精讲 因此f(x)在(－∞，－ )和( ，+∞)上为增函数，f(x)在(－ ， )上为减函数． 综上所述，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；当a＞0时，f(x)在上(－∞，－ )和( ，+∞) 为增函数，在(－ ， )上为减函数． 原因：参数的取值对函数的单调性有影响 总结提升 二、判断含参函数f(x)的单调性----分类讨论 原则：统一标准、逐级进行、不重不漏 常用依据：二次项系数、根的判别式、根的大小关系 步骤：求导函数 确定分界点 分类讨论 巩固训练 练习2、本例中，函数f(x)不变，若f(x)在区间 (1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围． 所以f ′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立， 即3x2－a≥0在(1，＋∞)恒成立， 所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立， 即a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]． 解1：因为f ′(x)＝3x2－a， 且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 恒成立问题 三、解决恒成立问题的方法： 总结提升 若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上 恒成立，则转化为f(x)max≤m. 若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则转化为f(x)min≥m. 巩固训练 练习2、本例中，函数f(x)不变，若f(x)在区间 (1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围． 解2：由例2知，a≤0时符合题意. f(x)的单调增区间为(－∞，－ )和( ，+∞). 因为f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以 ≤1,解得0<a≤3， 故a的取值范围为(－∞，3]． 区间包含问题 a＞0时, 巩固训练 练习3、本例中，函数f(x)不变，若f(x)在区间 (－1,1)上不单调，求a的取值范围． ． 解：由例2知，a≤0时不符合题意. 当a＞0时,由f ′(x)＝0，得x＝± ． ∵f(x)在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜ ＜1，即0＜a＜3， 即a的取值范围为(0,3)． 不单调 导数有正有负 零点在区间内部 例3、已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－ ，讨论函数f(x)的单调性． 典例精讲 解：由题知定义域为R, a≠0, f ′(x)＝3ax2－6x＝3ax(x－ ) . 令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ . ①当a>0时， 典例精讲 若x∈(0， )，则f ′(x)<0， ∴f(x)在区间(0， )上为减函数． 若x∈( ，＋∞)，则f ′(x)>0， ∴f(x)在区间( ，＋∞)上为增函数． 例3、已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－ ，讨论函数f(x)的单调性． 若x∈(－∞，0)，则f ′(x)>0. ∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数． 典例精讲 ②当a<0时， 若x∈(－∞， ) ，则f ′(x)<0， ∴f(x)在(－∞， )上为减函数． ∴f(x)在区间( ，0)上为增函数． ∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数． 例3、已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－ ，讨论函数f(x)的单调性． 若x∈(0，＋∞)，则f ′(x)<0， 若x∈( ，0)，则f ′(x)>0， 求导函数 确定分界点 分类讨论 练习4、试求函数f(x)＝－ ax3＋x2＋1(a≤0)的单调区间． 巩固训练 解：函数f(x)的定义域为R, f ′(x)＝－ax2＋2x(a≤0)． ①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a<0时，令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝ . 练习4、试求函数f(x)＝－ ax3＋x2＋1(a≤0)的单调区间． 巩固训练 因为a<0，故 <0， 所以当 x>0 或 x < 时，f ′(x)>0； 当 < x<0时，f ′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间为(－∞， )和(0，＋∞)，单调递减区间为 ( ，0). 练习5、求函数f(x)=kx-lnx的单调区间. 巩固训练 课堂小结 求函数f(x)单调区间的一般步骤； 判断含参函数f(x)的单调性----分类讨论； 解决恒成立问题的方法. 课堂小结 课后作业 1、总结反思本节内容; 2、独立完成课本97页习题5.3第1、2题. 课后作业 $