作业(二) 导数与函数的单调性-【假期作业】2026年高二数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

暑假作业生活的智慧大概就在于遇事问个为什 作业（二） 导数与函数的单调性 1知识整合 1.函数的单调性与导数的关系 条件 结论 f(x)在(a,b)内 f'(x)>0 单调递增 函数y=f(.x) f(x)在(a,b)内 在区间(a,b) f'(x)<0 单调递减 上可导 f(x)在(a,b)内 f'(x)=0 是常数函数 2.厘清三组关系 (1)“在某区间内f'(x)>0(f(x)<0)”是 “函数f(x)在此区间上为增（减）函数”的 充分不必要条件。 (2)可导函数f(x)在(a,b)上是增（减）函 数的充要条件是对Hx∈(a,b),都有 f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的 任意子区间内都不恒为零 (3)对于可导函数f(x),“f'(x)=0”是 “函数f(x)在x=x。处有极值”的必要不 充分条件。 2基础诊断 1.已知函数f(x)=lnx一3x+a(a∈R),则 f(x)的单调递增区间为 A.(o,5》 C.(0,3) D.(3,+∞) 2.已知函数f(x)的部分图象如图所示，其导 函数为f'(x),则 么。 [每日格言] 今 月 日 鸟 星期 天气 X2 X3 A.f(x1)>f(x2)>f(x8) B.f'(x1)>f'(x3)>f'(x2) C.f(x3)>f(x2)>f(x1) D.f(x2)>f(x3)>f(x1) 3.(教材改编)函数f(x)=xlnx的单调递减 区间是 4.若f)-3+2-ax+b在[1，十∞)上 单调递增，则a的取值范围是 3综合应用 1.(多选)函数f(x)=(x-3)e在下列区间 上单调递增的是 A.（-∞，2) B.(0,3) C.(3,4) D.(2,+∞) 2.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图，则 不等式xf(x)<0的解集为 2101 3 A.(0,号)U2,+∞) B.(-,3u(},2) C.(-∞，0)U(32 D.(-1,0)U(1,3) [每日格言]在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始， 3.已知函数f(x)=asin x,x∈R,则f(), f(1),()的大小关系为 A.f()>f1)>f(》 B.f1)>f()>f() C.f()>f1)>f) D.f()>f(5>f1) 4.(多选)若函数f(x)-2x-9nx在区间 [m一1，m+1]上单调，则实数m的值可 能是 ( A.4 B.3 C.2 D.1 5.函数y=血工十的单调减区间为 6.已知f(x)=e-2ar在[1,3]上是增函数， 则实数a的取值范围为 7.已知函数f(x)=lnx十ax2+(2a+1)x. (1)当a=一1时，求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的单调性， 5 并由信心跨出第一步。 高二数学（配RJA版） 8已知函数r)=。g)=1- (1)求f(x)的单调区间： (2)当x>1时，判断并证明f(x)与g(x) 的大小关系 4真题体验 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)= ae一lnx在区间(1,2)单调递增，则a的 最小值为 () A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 2.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数 f(x)=a+(1+a)在(0，十∞)上单调递 增，则a的取值范围是 暑假作业现实是此岸，理想是彼岸，中间隔着湍急的河流，行动则是架在河上的桥梁。 [每日格言] 3.(2024·全国甲卷·文)已知函数f(x)= 5易错警示 a(x-1)-lnx+1. (1)求f(x)的单调区间； 易错一 忽略函数的定义域 (2)当a≤2时，证明：当x>1时，f(x)< [示例1] 函数f(x)=x2-2lnx的单调 e-1恒成立. 递减区间是 [名师叮嘱]先求出函数f(x)的定义域，再由 f'(x)>0,f'(x)<0求出函数的单调区间. 易错二 忽略导函数为零 [示例2] 若函数fx)=r十1+at在 [行十∞)上是增函数，侧实数a的取值范 围是 [名师叮嘱]根据函数单调性求参数范围或最 : 值时，应由f(x)≥0或f'(x)≤0求解. 6暑假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为 2x十1与曲线y=g(x)相切于点(xoyo),则- +7=2,得 x=-号，则%=2，+1=0，所以0=n(-号+1）十a, 所以a=n2. 答案ln2 【易错警示】 [示例1][解析]由已知得F(x)=f(x3一1)十f(1一x3) 在R上可导，所以F(x)=3xf(x3-1)-3.x(1-x3), 则F(1)=3f(0)-3f(0)=0. [答案]0 [示例2】B由题意，可得点(-号0）不在曲线y=2xn x+3上，设切点为(xy),因为y'=2lnx十2，所以所求 切线的斜率k=2lnx。十2= 2yo 2，+7：所以%= x+2 2zlnx+2x。+lnx。+1,因为点(xy)是切点，所以y =2.xlnx+3,所以2 Zoln zo+2x+lnxo+1=2.oIn Zo +3,即2xo+lnx-2=0.设f(.x）=2x+lnx-2(x> 0),明显f(x)在(0，十∞)上单调递增，且f(1)=0,所以 2x。十lnx。一2=0有唯一解x。=1,则所求切线的斜率k =2,故所求切线方程为y=2(2+号)=2x+1即2x-y +1=0. 作业（二）导数与函数的单调性 【基础诊断】 1.A2.D3.(0,）4.(-0,3] 【综合应用】 1.CDf(x)=e十(x-3)e=(x-2)e, 令f'(x)>0可得x>2, 所以函数∫(x)=(x一3)e的单调递增区间为 (2,十o),故选CD. 2.C由f(x)的图象可知f()在(-o,号)和(2，十o) 上单调递增，在（号2）上单词递减， 则当x(-0,号)时.x)>0,xe(2.+o∞)时.f) 0, x∈(}，2)时，f(x)<0,所以不等式xf(x)<0的解集 为(-，0)U(号，2).故选C. 3.Af(x)=csin x,x∈R,则f(x)=sinx十xcos z, 则0<x<受时，f(x)>0,f(x)=zsin z单调递增， 又0<<1<号<，则f()>f1)>f(人故 选A. 4.AC由题意得函数f(x)的定义域为(0，十∞)， f(x)=x-9=x-9 由f(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间 为[3，十∞)， 由f(x)≤0，可得0<x≤3，则函数∫(x)的单调递减区 间为(0,3]， 因为f(x)在区间[m-1,m+1]上单调， 所以18支m-1≥8，解得1m≤2或≥ 结合选项可得A,C符合题意.故选AC. 5.解析 函教y=血+1的定义城为(0，+c0), y=(In z+1)'z-(In z+Dz=1-(In z+D--Inz t- x 由y<0得>1，所以y=血+中的单调减区间为1，十60). 答案(1，十∞) 参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 [每日格言] 6.解析由题意(x)=(e-m)'·(x2-2a.x)'= (2x-2a)e-mr≥0，在[1,3]上恒成立， 因为e-2ar>0在R上恒成立， 所以只需x一a≥0在[1,3]上恒成立即可，即a≤xmm=1, 所以实数a的取值范围为（一∞，1]. 答案(-∞，1] 7.解析(1)当a=一1时，函数f(x)=lnx一x一x的定义 域为(0，十0)， 求号得/(x)=1-2x-1==2x-x十1= _(x+1)(2x-1) 当x(（0,)时fx)>0:当x(分+0）时) <0, 所以函数f(x)在(0,2)上单调道增，在(2，+©）上 单调递减. (2)函数f()的定义城为0，+©)，求导得f(z)=是十 2ax+2a+1=+1)(2az+1D 当a≥0时，(x)>0,函数f(x)在(0，十∞)上单调递增； 当a<0时，由f(x)>0,得x∈(0，-)：由f(x)<0 得xe(-a+∞）小 品数1x)在(0，-云)上单词递增，在(-云十∞)上 单调递减， 所以当a≥0时，函数f(x)在(0，十o∞)上单调递增； 当a<0时，画数f()在(0，-。)上单词递增，在 （-云十∞)上单调递减。 8.解析(1)由题意：(x)=(2-x)e,(x)=0,x=2, 当x∈(-c0,2)时，f(x)>0;当x∈(2，十o)时，f(x)<0 故f(x)的单调递增区间为（一∞，2），单调递减区间为(2， +∞). (2)f(x)<g(x),证明如下： 由题意，f(x)一g(x) =(x-1)(e-1）=x-1)(x-e) x 令h(x)=x一e,则h'(x)=1一e, 因为x>1,所以h'(x)<0,即h(x)在(1，十o)上单调递 减，故h(x)<h(1)=1-e<0, 则x-e<0,x-1>0,xe>0, 所以f(x)-g(x)<0,即f(x)<g(x). 【真题体验】 1.Cf'()=ae-1≥0对Vx∈1,2)恒成立， x a≥l e g(x)=在(1,2)单调递减，g(x)<g(1)= e a≥选C 2.解析由函数的解析式可得f(x)=alna十(1十a)·ln (1十a)≥0在区间(0，+c∞)上恒成立， 则(1+a)ln(1十a)≥-alna, 中（生）广≥-n。在区问(0，十0）上恤成立. a 故(）)广=12-n4a而a+112. In a 故ln1+a)≥0，故n(at）之一na [每日格言]不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 高二数学（配RJA版） 即aCa+1)≥1，故5-1≤a<1,结合题意可得实数a 函u)取得大（）空，所以。≥ .故实数a l0<a<1, 2 的取维花用关[，小就参室为[。，小 的取值范围是 「5，+∞） 3 [答案] 答案 [ 5，+∞) 3 3.解析(1)因为f(x)=a(x-1)-lnx十1，所以f(x)=a 作业（三）导数与函数的极值、最值 -1=ax-1 ,x>0, 【基础诊断】 x 若a≤0，则(x)<0恒成立，所以f(.x)在(0，+∞)上单 1hA2.CaD4.号 调递减，即f(x)的单调递减区间为(0，十○)，无单调递增 【综合应用】 区间： 1.C由f(x)图象知，当x∈（一oo,c)U(e,十o)时，f(x) 若a>0,别当0<<时(x)<0,当x>时f) >0,当x∈(c,e)时，f(x)<0, 所以函数f(x)在(-co,c)上单调递增，在(c,e)上单调递 >0,所以x)的单词递减区同为(0，日），单调递增区同 减，在(e,十o)上单调递增. 对于A,因为a<bc,所以f(c)>f(b)>f(a),不正确： 为（日+） 对于B,C,由单调性知：c为极大值点，e为极小值点，B不 正确，C正确； 综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，十∞)，无单 对于D,由于d∈(c,e),则f(c)>f(d)>f(e),f(d)不是 调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为 最小值，不正确，故选C (0,日)单调递培区同为（日十∞） 2.C因为f(.x)=e-ex,所以(.x)=e-e 当x∈(-∞，1)时，(x)<0,f(x)单调递减， (2)证明证法一（放缩法） 当x∈(1，十∞)时，(x)>0,f(x)单调递增， 因为a≤2，所以当x>1时，e-1-f(x)=e1-a(x-1) 故f(x)的最小值为f(1)=0,无最大值.故选C. +In x-12e-!-2x+In z+1. 3.BC 令g(x)=e1-2x+lnx+l,则只需证当x>1时g(x) AD选项，f(x)=3x-2-x(3-x) e >0. 当x∈(-∞，3)时，f'(x)≥0，当x∈(3，+o)时， 易知g()=e-2+子 f(x)<0, 故f(x)在x∈（一∞，3）上单调递增，在x∈ 令A)=g,则()=。-是在1，+o)上单调 (3,十c∞)上单调递减， 故f(x)有最大值但没有最小值且f(x)只有一个极值 递增， 点，AD错误； 则当x>1时，h(x)>h'(1)=0,所以h(x)=g'(x)在(1， BC选项，由于e>0恒成立，故当x∈（一co,0)时， 十∞)上单调递增， f(x)0, 所以当x>1时，g'(x)>g(1)=0,故g(x)在(1，十∞)上 令f(x)=0,得x=0,所以函数f(x)仅有一个零点，BC 单调递增，所以当x>1时，g(x)>g(1)=0,即当x>1 正确.故选BC. 时，f(x)<el恒成立. 4.C由f(x)=-x3+3x-1,可得(x)=-3x2+3= 证法二（作差法直接求导证明） 一3(x+1)(x一1)， 设g(x)=a(x-1)-lnx+1-e1,只需证当x>1时 当x<-1或x>1时，(x)<0;当-1<x<1时， g(x)<0即可.易知g()=a-上-e, f(x)>0. 即函数f(x)在（一∞，一1），(1，十∞)上单调递减；在 (一1,1)上单调递增. 令h(x)=g'(x),则h'(x)=1 -e1, 对于A,由以上分析知f(x)在x=一1处取得极小值，故 A正确； 由基本初等函数的单调性可知h'(x)在(1，十o)上单调 递减，则当x>1时，h'(x)<'(1)=1-1=0, 对于B,结合以上分析，因f(-2)=1>0,f(-1)=-3<0, f(1)=1>0,f(2)=-3<0, 所以h(x)=g'(x)在(1，十©o)上单调递减， 由零点存在定理知，f(x)有3个零，点，故B正确： 于是当x>1时，g'(x)<g'(1)=a2, 对于C,因f(x)在（一2，一1）上递减，在（一1,1）上递增， 又a≤2，所以a一2≤0，则当x>1时，g'(x)<0,故g(x) 在(1,2)上递减， 在(1，十∞)上单调递减，所以当x>1时，g(x)<g(1)=0, 而f(-2)=f(1)=1,f(一1)=f(2)=一3，故f(x)在区 即当x>1时，f(x)<e1恒成立. 间（一2,2）上的值域为[一3,1]，故C错误； 【易错警示】 对于D,因f(-x)+f(x)=-(-x)3+3(-x)-1+ [示例1][解析]函数f(x)=x2-2lnx的定义城是(0， (-x3+3.x-1)=x3-3x-1+(-x3+3.x-1)=-2, +o∞)，f(x)=2.x- 2=2(x-1)x+D,令f(x)<0, 即f(一x)=一2-f(x),故曲线y=f(x)的对称中心为 (0,一1)，即D正确.故选C. 因为x>0,所以解得0<x<1,即函数f(x)=x2一2lnx 5.解析因为f(x)=x3一ax2十bx在x=1处取得极值4， 的单调递减区间是(0,1). 所以f(1)=0且f(1)=4. [答案](0,1) 又f(x)=3.x2-2a.x+b,所以f(1)=3-2a+b=0,① [示例2】[解折]由已知，得了)=2x十a一，若画数 : 又f(1)=1-a十b=4,② 联立①②，解得a=6,b=9,经验证符合题意， f)在[子，+)上是增画教，则当xe[子，+)助， 所以a-b=6-9=-3. 答案一3 2x+a-宁≥0版成立.即a≥}-2x恒成立，甲a≥ 6.解析由题意可知：f()=心+2-1，x>0, (侵-2x）设()=立-2x,则)=子-2<0， 因为品数f(x)=ax++2n2在（侵，2）上有板位，说 即画餐u()在[片十一)上单调递减，所以当x=子时。 明其导数在(2,2）内有变号零点， 49