5.3.2函数的极值与最大（小）值（1）课件 -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦函数的极值与最值，以复习函数单调性与导数关系为支架，通过高台跳水等实例引导学生观察导数为0的点的性质，自然衔接极值概念，构建“复习-探究-归纳”的知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，用问题链驱动探究，结合表格分析导数符号与函数单调性培养数学思维，通过对比极值与最值的区别训练数学语言表达。实例丰富如例5表格应用，帮助学生形成结构化认知，教师可借助清晰流程提升教学效率。

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 函数的单调性与其导函数的正负的关系： 注意：此关系常常用于已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围. 在某个区间(a, b)内 反之 复习回顾 复习回顾 求函数f(x)单调区间的一般步骤： 求定义域 求导函数 f ′(x) 解f ′(x)>0 解f ′(x)<0 单调递增区间 单调递减区间 原因：参数的取值对函数的单调性有影响 复习回顾 判断含参函数f(x)的单调性----分类讨论 原则：统一标准、逐级进行、不重不漏 常用依据：二次项系数、根的判别式、根的大小关系 步骤：求导函数 确定分界点 分类讨论 观察图(1), 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 问题1 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢? x y O a b (1) 放大t=a附近的图象, 如图(2)所示. (2) 课堂探究 相应地,导数的符号有什么变化规律? 由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的附近, 当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0; 当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0. 这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0. 问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 课堂探究 零点存在定理 探究 如图示，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y=f(x)在这些点的导数值是多少? 在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律? x y O a b c d e 课堂探究 以x=a, b两点为例, 可以发现, 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近 其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0, 右侧f′(x)>0. 类似地, 函数y=f(x)在点x=b的 函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f'(b)=0; 而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0, 右侧f'(x)<0. x y O a b c d e 课堂探究 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为 极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. x y O a b c d e 课堂探究 在定义中, 极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值. 图中还有哪些极值和极值点？ 例5 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) 课堂探究 x y O -2 2 课堂探究 例5 求可导函数f(x)极值的步骤： (2) 求导数f ′(x)； (3) 求方程f ′(x)=0的根； (4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格； (1) 确定函数的定义域； 总结提升 (5) 判断，给出结论. 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 导函数 原函数 不一定，例如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是函数的极值点. 思考1 极大值一定大于极小值吗? O a x1 x2 x3 x4 b x y y=f(x) 不一定，如图中 在x1处的极大值就 小于x4处的极小值. 思考2 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 课堂探究 (3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. (1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值； (2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； (5) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. (4) 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点； 总结提升 即: f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的 ______ _条件. 必要不充分 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值. 课堂探究 思考3 下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗? 你能进一步找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？ x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 课堂探究 思考4 在图(1)、图(2)中，观察[a, b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a, b]上有最大值、最小值吗? 如果有，最大值和最小值分别是什么? x y O a b (1) (2) x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 课堂探究 一般地，如果在区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 由上述例子可知，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 课堂探究 说明： 在闭区间[a,b]上连续的函数必有最大值和最小值. 这里有两层意思： （1）给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值； （2）在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值. （1） （2） 课堂探究 我们知道，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值； 那么把闭区间[a,b]换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？ 函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。 有两个极值点时，函数有无最值情况不定。 课堂探究 例6 解： x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) x y O 4 2 3 典例精讲 先减后增 必为最小值 如果函数 f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么求 f(x)在[a ,b]内的最大值与最小值的步骤为： ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 总结提升 总结提升 求定义域⇒求导函数⇒求导函数零点⇒判断单调性 ⇒ 求极值 求最值 ⇒ 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的， 函数的极值可以有多个，但最值只能有一个； 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得； 有极值的未必有最值，有最值的未必有极值； 极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 总结提升 函数的极值与最值的区别是什么？ 24 判断正误 (1)开区间上的单调连续函数无最值． (　) (2)函数的最大值一定是函数的极大值． (　) (3)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值． (　) (4)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得． (　) (5)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合． (　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 牛刀小试 证明： 课本P94 巩固训练 1、证明不等式：x-1 ≥ lnx, x∈(0,+∞). 构造函数 求函数的最值 将不等式证明问题转化为求函数最值问题 证明： x y O 1 π 课本P97 巩固训练 2、利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：sinx < x, x∈(0,π). 课堂小结 什么是极值和最值？ 极值和最值有什么区别和联系？ 求可导函数的极值和最值的步骤是什么？ $