5.3.1 函数的单调性 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“导数在研究函数单调性中的应用”，课堂导入通过回顾必修函数性质及导数概念，以“函数哪些性质与局部变化有关”等问题链搭建学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以高台跳水情境结合图像分析，引导学生用数学眼光观察单调性与导数正负的关系，通过多个函数实例探究规律培养数学思维，典例精讲步骤清晰助力数学语言表达。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

5.3 导数在研究函数中的应用 在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 课堂导入 函数的哪些性质与局部变化有关？ 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢? 5.3.1 函数的单调性 回顾：函数的单调性——定义 一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有 (1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数. 课堂导入 判断函数单调性的方法有哪些? 1.定义法： 2.图像法： 3.性质法:增+增→增，减+减→减，-增→减，奇偶、复合函数单调性的性质 回顾：函数的单调性——判断 课堂导入 t h a O b (1) t h a O b (2) 思考1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象. 课堂探究 t h a O b (1) t h a O b (2) 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 如何从数学上刻画这种区别? 观察图象可以发现: (1) 从起跳到最高点，运动员的重心 处于上升状态，离水面的高度h随 时间t的增加而增加，即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0. (2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0. 课堂探究 思考2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 对于高台跳水问题，可以发现: 当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增； 当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减. 这种情况是否具有一般性呢? t h a O b (1) t h a O b (2) 课堂探究 思考3 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x y O (1) x y O (2) x y O (3) x y O (4) 课堂探究 函数的单调性与导数的正负的关系： 如图示，导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率，可以发现: 在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在x=x0附近单调递增； 在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在x=x1附近单调递减. x y O (x0, f(x0)) (x1, f(x1)) 课堂探究 函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 思考1 如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 思考2 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有 f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性? f(x)仍为增函数. x y O 课堂探究 思考3 该结论反过来成立吗? 不成立 充分不必要 函数的单调性与其导函数的正负的关系： 注意：此关系常常用于已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围. 在某个区间(a, b)内 反之 总结提升 例1 利用导数判断下列函数的单调性: 解： x y O (1) x y O (2) π -π 典例精讲 解： x y O (3) 1 1 典例精讲 例1 利用导数判断下列函数的单调性: ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. 判定函数单调性的步骤： 总结提升 解： 例2 x y O 1 4 典例精讲 例3 解： x (－∞, －1) －1 (－1, 2) 2 (2, －∞) f′(x) f(x) x y O -1 1 • 2 • 典例精讲 判断函数y=f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 总结提升 导数没有零点怎么办？ 判断函数y=f(x)的单调性的步骤： 总结提升 求定义域⇒求导函数⇒求零点⇒判断单调性 “求单调区间”，可不求零点， 直接令f′(x)>0,f′(x)<0即可 x y O 1 • (1) 探究 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间 (0,＋∞)上增长快慢的情况. 课堂探究 x y O (2) 一般地，如果一个函数在某一范围内 导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； 反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 课堂探究 精确 定量 例4 x y O 1 • 解： 典例精讲 总结提升 要掌握证明！ 思考 结合函数单调性的定义，思考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负的关系. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间M A，在区间M中任取两个值x1, x2，当改变量∆x=x2-x1>0时，有∆y=f(x2)-f(x1)>0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是增函数. 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，那么就说这个函数在这个区间M上具有单调性. 课堂探究 在区间(a, b)上,任取A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))两点,则函数f(x)的平均变化率为 其几何意义为直线AB的斜率. 若f(x)在区间(a, b)上是增函数，则其斜率为正,其导数为正；若f(x)在区间(a, b)上是减函数，则其斜率为负，其导数也为负. 思考 结合函数单调性的定义，思考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负的关系. 课堂探究 判断正误 (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增． (　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 牛刀小试 1. 判断下列函数的单调性: 解： 课本P87 巩固训练 2、设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1, ＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是____________． 解：f′(x)＝3x2＋a. ∵ f(x)在(1, ＋∞)内是增函数， ∴ 3x2＋a ≥ 0对x∈(1, ＋∞)恒成立， 即a ≥ －3x2对x∈(1, ＋∞)恒成立 . 又当x∈(1, ＋∞)时，－3x2 <－3， ∴ a ≥ －3. [－3, ＋∞) 巩固训练 1.函数单调性与导数符号的关系是： 2.判定函数单调性的步骤： 求定义域⇒求导函数⇒求零点⇒判断单调性 “求单调区间”，可不求零点， 直接令f′(x)>0,f′(x)<0即可 课堂小结 $