5.2.2 导数的四则运算法则 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的四则运算法则，通过复习基本初等函数导数公式，从函数乘积导数的实际问题切入，引导学生用具体函数计算探究和差法则，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以课堂探究驱动知识生成，学生通过自主计算发现法则培养数学眼光，结合饮用水净化费用实例用导数解决实际问题体现数学语言，典例与练习强化数学思维。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

5.2.2 导数的四则运算法则 1 基本初等函数的导数公式： 复习回顾 在例2中，当p0=5时，p(t)=5×1.05t. 这时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数. 一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢? 探究！设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x)+g(x)]′与[f(x)−g(x)]′，它们与f′(x) 和g'(x)有什么关系? 再取几组函数试试，由此你能想到什么? 设y=f(x)+g(x)=x2+x, 因为 课堂探究 探究！设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x)+g(x)]'与[f(x)−g(x)]'，它们f '(x)与g'(x)有什么关系？再取几组函数试试，由此你能想到什么? 设y=f(x)+g(x)=x2+x, 因为 所以 [f(x)+g(x)]′= f'(x)+g'(x) . 而 f'(x)=(x2)'=2x, g'(x)=(x)'=1 同样地，对于上述函数，[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x) 课堂探究 一般地，对于两个函数和(或差)的导数，我们有如下法则： [f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g′(x) 例3 求下列函数的导数： (1)y=x3-x+3 (2)y=2x+cosx 解：(1)y'=(x3-x+3)'=(x3)'-(x)'+(3)'=3x2-1 (2)y'=(2x+cosx)'=(2x)'+(cosx)'=2xln2-sinx 典例精讲 思考?设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x) g(x)]′与f′(x)g′(x), 它们是否相等? f (x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商? 通过计算可知 [f(x) g(x)]′=(x3)′=3x2, f′(x)g′(x)=2x ∙ 1=2x, 因此 [f(x) g(x)]′≠ f′(x)g′(x). 事实上，对于两个函数f (x)和g(x)的乘积(或商) 的导数，我们有如下的法则： [f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)； 课堂探究 事实上，对于两个函数f (x)和g(x)的乘积(或商) 的导数，我们有如下的法则： [f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)； 由两个函数f (x)和g(x)的乘积的导数法则： [Cf(x)]′=C′(x)f(x)+Cf′(x)= Cf′(x) ； 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 [Cf(x)]′=Cf′(x) . 课堂探究 两个函数的加、减、乘、除的导数运算法则： 总结提升 多个函数加减乘除呢？ 解：(1)y'=(x3ex)' =(x3)′ex+x3(ex)' =3x2ex+x3ex 典例精讲 =(x3)′ex+x3(ex)' =3x2ex+x3ex 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 典例精讲 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 典例精讲 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 由上述计算可知, c′(98)=25c′(90). 它表示进化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率 , 大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍 . 这说明水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快. 典例精讲 判断正误 (1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2. (　) (2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)． (　) (3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 牛刀小试 巩固练习 巩固练习 求复杂函数的导数的方法 求函数的导数时,一般要遵循“先化简再求导”的原则,这样一方面可以简化求导的过程,另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题.尤其是当函数解析式中含有三角函数时,更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理,最后再套用公式求导. 总结提升 巩固练习 解： 课本P78 巩固练习 4.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________． 解：∵f(x)＝x2＋2xf′(1)， ∴f′(x)＝2x＋2f′(1). 令x＝1，得f′(1)＝2×1＋2f′(1)， 解得f′(1)＝－2， ∴f′(x)＝2x－4， ∴f′(0)＝2×0－4＝－4. 巩固练习 导数的四则运算法则： 课堂小结 (2) y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝(3x2＋x3)ex. 1.求下列函数的导数． (1) y＝2x2＋ln x＋cos x；(2) y＝x3ex； (3) y＝；(4) y＝2x·log2x－. 解：(1) y′＝(2x2)′＋(ln x)′＋(cos x)′＝4x＋－sin x． (4) ∵y＝2x·log2x－＝2x·log2x－1－， ∴y′＝2x ln 2·log2x＋2x·＋ ＝2x ln x＋＋. (3) y＝；(4) y＝2x·log2x－. (3) ∵y＝＝＝cos x－sin x， ∴ y′＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x． (1)y＝2x3＋3x2－5x＋4； (2)y＝ax3－bx＋c； (3)y＝sinx－x＋1； (4)y＝(3x2＋1)(2－x)； (5)y＝(1＋x2)cosx； (6)y=2xcosx-3log2 x . $