5.2.1基本初等函数的导数课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数，通过复习导数定义、几何意义等旧知切入，引导学生探究常数函数、幂函数等导数推导过程，逐步构建从具体到抽象的公式表学习支架。 其亮点在于结合路程函数、物价上涨等实例培养数学眼光，通过定义推导发展数学思维，以规范公式和例题强化数学语言。采用探究式教学，学生能深化理解，教师可高效开展教学。

5.2.1 基本初等函数的导数 5.2 导数的运算 由导数的定义可知, 一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题. 1.导数的概念 2.导数的几何意义 3.导函数的概念 f ′(x0)是函数y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0. 复习回顾 1. 函数y=f(x)=c的导数. 若y=c(图5.2-1)表示路程关于时间的函数，则 y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 课堂探究 2. 函数y=f(x)=x的导数. 若y=x(图5.2-2)表示路程关于时间的函数，则 y′= 1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. 课堂探究 3.函数y=f(x)=x2的导数. 课堂探究 3.函数y=f(x)=x2的导数. y′=2x表示函数y=x2的图像(图5.2-3) 上的点(x, y)处切线的斜率为2x, 说明随x的变化，切线的斜率也在变化. 若y=x2可表示路程关于时间的函数，则y′=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看， y′=2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y=x2减少得越来越慢； 当x>0时, 随着x的增加, |y′|越来越大, y=x2增加得越来越快. 课堂探究 4.函数y=f(x)=x3的导数. y′=3x2表示函数y=x3的图像(图5.2-4) 上的点(x, y)处切线的斜率为3x2, 这说明随x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 课堂探究 5.函数y=f(x)= 的导数. 课堂探究 结合函数的图象及其导数y′= - 发现： 易得曲线y=在点（1，1）处的切线方程: 当x<0时，随着x的增加，函数y= 减少得越来越快； 当x>0时，随着x的增加，函数y= 减少得越来越慢. 课堂探究 6.函数y=f(x)=的导数. 前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数，一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用. 课堂探究 基本初等函数的导数公式 总结提升 必须牢记公式！！！ 例1 求下列函数的导数: 解： 典例精讲 例2 假设某地在20年间的年均膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为：p(t)=p0 (1+5%)t，其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少?(精确到0.001元/年) 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨. 当p0=5时呢? 典例精讲 p(t)=5× 1.05t 如何求导？ 牛刀小试 1. 求下列函数的导数: 解： 课本P75 巩固练习 解： 课本P75 巩固练习 1. 求下列函数的导数: 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 课本P75 巩固练习 解： 课本P75 巩固练习 解： 课本P75 巩固练习 5.已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 巩固练习 变式. 求曲线y＝ln x的过点O(0，0)的切线方程． 巩固练习 根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数. 探究 ：画出函数y=的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程. 判断正误 (1)若y＝，则y′＝×2＝1. (　　) (2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x． (　　) (3)f(x)＝，则f′(x)＝－. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 解：∵y′＝，∴k＝y′|x＝e＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 解：由y＝ln x得y′＝， ∵O(0，0)不在曲线y＝ln x 上， ∴设切点Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， ∴＝，即x0＝e， ∴Q(e，1)，所以k＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)， 即x－ey＝0. $