5.1.1 变化率问题 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“导数的概念及其意义”，从必修一函数单调性定性研究切入，通过高台跳水运动员运动状态分析，以平均速度局限性为问题链起点，逐步引出瞬时速度、切线斜率，最终抽象出函数瞬时变化率，搭建“具体到抽象”的探究支架。 其亮点在于以实际情境驱动，用数学眼光发现运动与几何问题中的变化规律，通过极限过程探究培养数学思维，用符号表达与几何意义结合体现数学语言。如高台跳水瞬时速度计算、抛物线切线斜率推导，小结统一步骤“一差二比三极限”，助力学生抽象能力与推理意识发展，教师可直接用于探究式教学提升效率。

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异, 知道“对数增长” 是越来越慢的, “指数爆炸” 比“直线上升” 快得多, 进一步的能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？ 5.1.1 变化率问题 课堂导入 定性→定量 变化率： 一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率. 课堂导入 问题1 高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中，运动员 在运动过程中的重心相对于水面的高 度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位： s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11. 如何描述运动员从起跳到入水 的过程中运动的快慢程度呢？ 直觉告诉我们，运动员从起跳到 入水的过程中, 在上升阶段运动的越来越慢, 在下降阶段运动的越来越快, 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述它的运动状态. 课堂探究 例如, 在 0 ≤ t ≤ 0.5这段时间里， =2.35(m/s) 在 1≤ t ≤2这段时间里， h t o = -9.9(m/s) 一般地，在t1 ≤ t ≤ 这段时间里， = -4.9(t1 + t2)+4.8 课堂探究 思考? 计算运动员在0≤ t ≤ 这段时间内的平均速度, 你发现了什么? 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 我们发现, 运动员在0≤ t ≤ 这段时间内的平均速度为0. 显然, 在这段时间内, 运动员并不处于静止状态. 因此, 用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态, 需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 课堂探究 探究！瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1时的瞬时速度吗? 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是, 可以想象, 如果不断缩短这一时间段的长度, 那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度. 为了求运动员在t=1时的瞬时速度, 我们在t=1之后或之前, 任意取一个时刻1+Δt, Δt是时间改变量, 可以是正值, 也可以是负值, 但不为0. 当Δt >0时, 1+Δt在1之后; 当Δt<0时, 1+Δt在1之前. 当Δt >0时, 把运动员在时间段[1, 1+Δt]内近似看成做匀速直线运动, 并计算时间段内的平均速度, 用平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度. 课堂探究 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 当Δt <0时, 在时间段[1+Δt, 1]内可作类似处理. 为了提高近似表示的精度, 我们不断缩短时间间隔, 得到如下表格: 当Δt <0时, 在时间段[1+Δt, 1]内 当Δt >0时, 在时间段[1, 1+Δt]内 Δt = = =4.9Δt5 Δt = = =4.9Δt5 观察! 给出Δt更多的值, 利用计算工具计算对应的平均速度的值. 当Δt无限趋近于0时, 平均速度有什么变化规律? 课堂探究 当Δt <0时, 在时间段[1+Δt, 1]内 当Δt >0时, 在时间段[1, 1+Δt]内 Δt=-0.01 -4.951 Δt=0.01 -5.049 Δt=-0.001 -4.9951 Δt=0.001 -5.0049 Δt=-0.0001 -4.99951 Δt=0.0001 -5.00049 Δt=-0.00001 -4.999951 Δt=0.00001 -5.000049 Δt=-0.000001 -4.9999951 Δt=0.000001 -5.0000049 ∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙ 我们发现，当Δt 趋近于0时, 即无论 t 从小于1的一边 , 还是从大于1的一边无限趋近于1时, 平均速度都无限趋近于 –5. 课堂探究 事实上，由 ==4.9Δt5可以发现，当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt也无限趋近于0，所以无限趋近于－5. 这与前面的结论一致. 数学中，我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时， =的极限”，记为 从物理的角度看 , 时间间隔 |Δt |无限趋近于0时 , 平均速度就无限趋近于 t =1时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 1时的瞬时速度v(1)= –5 m/s. 课堂探究 总结提升 平均速度与瞬时速度的关系： 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值． 总结提升 总结提升 思考? 高台跳水运动员的速度: h(t)＝- 4.9t2＋4.8t＋11. (1)求运动员在t＝2s 时的瞬时速度; 解：因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在时间段[2，2＋Δt]（或[2＋Δt ，2]）的平均速度为 课堂探究 思考? h(t)＝- 4.9t2＋4.8t＋11. (2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度; 解：运动员在时间段[t0 ， t0＋Δt]（或[t0＋Δt ， t0]）的平均速度为 课堂探究 问题2 抛物线的切线的斜率 我们知道 , 如果一条直线与一个圆只有一个公共点 , 那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？ 下面我们以抛物线 f(x)=x2为例进行研究. 探究! 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2 在点P0(1, 1)处的切线？ 与研究瞬时速度类似, 为了研究抛物线f(x)=x2 在点P0 (1, 1)处的切线 , 我们通常在点P0(1, 1)的附近取一点P(x, x2) 考察抛物线f(x)=x2的割线P0P 的变化情况. 课堂探究 观察！如图, 当点P(x, x2)沿着抛物线 f(x)=x2 趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P 有什么变化趋势? 我们发现, 当点P无限趋近于点P0时，割线PP0无限趋近于一个确定的位置, 这个确定位置的直线P0T称为抛物线 f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线. 课堂探究 探究！我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线 f(x)=x2 在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率呢？ 从上述切线的定义可见，抛物线在点处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在的联系. 记∆x=x-1, 则点P的坐标(1+ ∆x, (1+ ∆x)2)，于是割线P0P的斜率 k= = = ∆x+2 . 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精度，得到如下表格. 课堂探究 Δx <0 Δx>0 ∆x k=∆x+2 ∆x k=∆x+2 -0.01 1.99 0.01 2.01 -0.001 1.999 0.001 2.001 -0.0001 1.9999 0.0001 2.0001 -0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 -0.000001 1.999999 0.000001 2.000001 ∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙ 我们发现，当Δx无限趋近于0时 , 即无论 x从小于1的一边 , 还是从大于1的一边无限趋近于1时, 割线P0P的斜率k都无限趋近于 2. 课堂探究 事实上，由k==Δx2可以直接看出，当Δx无限趋近于0时， Δx2无限趋近于2，所以k无限趋近于2. 我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时， k=的极限”，记为 从几何图形上看, 当横坐标间隔|∆x|无限变小时, 点P无限趋近于点P0, 于是割线P0P无限趋近于点处的切线P0T ,这时, 割线P0P 的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0, 因此切线P0T的斜率k0=2. 课堂探究 思考？ 观察问题1中的函数h(t)＝- 4.9t2＋4.8t＋11的图象, 平均速度 = 的几何意义是什么？瞬时速度v(1)呢? t O h 1 (1, h(1)) (1+∆t, h(1+∆t)) h(t)＝- 4.9t2＋4.8t＋11 课堂探究 抛物线上连接点(1, h(1))和点(1+∆t, h(1+∆t))的割线的斜率； 抛物线在点(1, h(1))处的切线的斜率. 其中∆y＝f(x0＋Δx)－f(x0). 把平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率 总结提升 求函数在x0处的变化率的步骤： (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0； (2)求函数的增量Δy＝ ； (3)求平均变化率 ＝ ； (4)求瞬时变化率 . 总结提升 判断正误 (1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负，但不能为0. (　　) (2)高台跳水运动员的瞬时速度是刻画跳水高度在时间区间[t1，t2]上变化快慢的物理量． (　　) (3)高台跳水运动员的平均速度可正可负． (　　) (4)平均变化率与瞬时变化率可能相等． (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 牛刀小试 例 求抛物线f(x)=2x2-1在x=1处的切线方程. 典例精讲 物体运动的平均速度 物体运动的瞬时速度 割线的斜率 切线的斜率 无限逼近 无限逼近 课堂小结 课堂小结 一差 统一步骤 课堂小结 二比 三极限 Δx＝x1－x0，Δy＝ ＝ ＝······ 求运动物体瞬时速度的3个步骤 第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度＝； 第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数，即 v＝s′(t0)＝ .　 我们把比值＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx). 这时，x的变化量为Δx＝(x0＋Δx)－x0； y的变化量为用Δy表示， $