第4章 等可能条件下的概率（复习课件）数学苏科版九年级上册

该初中数学单元复习课件围绕等可能条件下的概率展开，系统构建了从基本概念到计算方法、再到实际应用的知识网络。通过“知识图谱”清晰呈现古典概型与几何概型的异同，借助树状图和列表法将复杂事件的列举过程可视化，帮助学生理解不同情境下概率模型的建立逻辑，强化知识点间的内在联系。 其亮点在于融合核心素养理念，以“数学眼光”引导学生从生活实例中抽象出等可能性本质，用“数学思维”设计分层练习如转盘问题与汉字组合游戏，培养推理意识与建模能力。针对训练题覆盖基础巩固、易错辨析与综合应用，例如通过“红球黄球数量关系”题强化概率与代数的关联，实现个性化复习目标。教师可据此精准施教，学生则能在真实情境中深化理解，提升解题策略与数学表达能力。

单元复习课件 第四章 等可能条件下的概率 苏科版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解等可能性的基本概念和特征，掌握等可能条件下概率的计算公式 ，并能用它计算简单事件的概率。会使用画树状图和列表的方法来列举所有等可能的结果，了解概率在几何图形中的应用。 3.将实际问题转化为概率模型进行求解。 2.经历从实际问题中抽象出概率公式的过程， 通过绘制树状图和表格的活动，培养思维的条理性和严谨性，做到不重不漏。 单元学习目标 有限条件下的等可能性 等可能条件下的概率 试验结果的有限性 等可能性 P(A)= 几何模型 P= 古典模型 基本特征 基本特征 计算方法 列举等可能结果的方法 树状图 计算方法 有限条件下的等可能性 各种试验结果可能性相同 列表法 试验结果有无数个 每个试验结果 单元知识图谱 考点一、 等可能性 定义： 一个试验有 n 个可能的结果，且每个结果出现的机会均等，则这些结果的发生是__________的。 等可能​ 2.结果的数量相等 ________ 等可能性 ≠ 考点串讲 考点二、 概率的计算公式 1.古典概型公式： 如果一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，那么事件 A 发生的概率为：___________ 2. 概率范围：0 ≤ P(A) ≤______ 。 P(必然事件) = _____，P(不可能事件) =________ 。 P= ​ 1 0 1 考点串讲 ______ ： 适用于分步完成的试验，能清晰展示所有可能路径。 _______ ： 适用于涉及两个要素的试验，能直观呈现所有组合。 核心原则： 列举时必须做到__________。 树状图 ​ 考点三、复杂事件的列举方法 列表法 不重不漏 ​ 考点串讲 考点四、几何概型 1.一般地,设试验结果落在某个区域S 中每一点的机会均等,如果把 试验结果落在S中的一个小区域M 中记为事件A,那么P =___________. 2.转盘问题:P = ___________ 。 3.概率比较：直接比较概率值的大小即可判断哪个事件发生的______更大。 可能性 考点串讲 例1：  题型一、等可能性 D 解析：平分秋色的可能性为  ， A、C发生的可能性很小, B不可能发生.故选D. 下列成语反映的事件中,发生的可能性最大的是 (　    ) A.守株待兔　　B.刻舟求剑 C.绝处逢生　　D.平分秋色 题型剖析 题型一、等可能性 理解“等可能性”的前提 每个结果出现的机会均等。 题型剖析 变式： 题型一、等可能性    有下列说法:①从一个装有相同数量的红、白、蓝三种除 颜色不同其余都相同的竹签的盒子中,任意抽出一支竹签,抽 到三种颜色竹签的可能性相同;②任意抛掷一个啤酒瓶瓶盖, 把印有商标的一面视为正面,则啤酒瓶瓶盖落地后正面向上 和反面向上的可能性相同;③在适宜的条件下种一粒油菜种 子,观察它是否发芽,则“发芽”与“不发芽”是等可能的. 其中,正确的说法有　　　    .(填序号) ① 题型剖析 题型一、等可能性    解析 ：  ①因为各颜色竹签的数量相同,所以抽到每种颜色竹 签的可能性相同,故①正确; ②因为啤酒瓶瓶盖两面不均匀,所以落地后正面向上和反面向上的可能性不相同,故②错误; ③在适宜的条件下种一粒油菜种子,它“发芽”的可能性大于“不发芽”的可能性,故③错误. 题型剖析 题型二、随机事件的概率公式 例2： 如图,桌面上有3张卡片,1张正面朝上.任意将其中1张卡片正反面 对调一次后,这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是　　　    .     解析　任意将其中1张卡片正反面对调一次,有3种对调方式, 其中只有对调2张反面朝上的卡片中的1张才能使3张卡片中 出现2张正面朝上,∴所求概率为  . 题型剖析 题型二、随机事件的概率公式 在等可能条件下，随机事件 A 发生的概率计算公式为： P(A) = ​ 题型剖析 题型二、随机事件的概率公式 变式：    小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签,他想送给好朋友小乐一张.小文将书签背面朝上(背面完全相同),让小乐从中随机抽取一张,则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 (　    ) A. 　 　B. 　 　C.  　D.  C 题型剖析 题型二、随机事件的概率公式 变式： 解析：　 ∵第2张图案和第4张图案既是轴对称图形又是中心对称图形, ∴小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心 对称图形的概率为  . 故选C. 题型剖析 题型三、用画树状图法求概率 例3： 一个不透明的袋子中装有4个小球,分别标有编号1,2,3,4,这些小球除编号外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出1个球,这个球的编号是2的概率为    　　    ; (2)搅匀后从中任意摸出1个球,记录球的编号后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球,求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率. 题型剖析 题型三、用画树状图法求概率 例3： 解析 (1)  . (2)画树状图如下:   一共有16种等可能的结果,其中第2次摸到的小球编号比第1 次摸到的小球编号大1的共有3种,∴P(第2次摸到的小球编 号比第1次摸到的小球编号大1)=  . 题型剖析 题型三、用画树状图法求概率 1.当一个问题涉及两个或两个以上的步骤，并且每一步都有多种可能的结果时，使用树状图是最清晰、最不易出错的方法。 2.第一步：定义步骤与起点 第二步：画出第一层分支 第三步：逐层添加后续分支 第四步：列出最终结果并计算 题型剖析 变式： 题型三、用画树状图法求概率 如图所示的是一个竖直放置的钉板,其中,阴影圆面表示钉板上的钉子,A1、B1、B2、…、D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙,这些空隙大小均相等,从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球,圆球下落过程中,总是碰到空隙正下方的钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽内.用画树状图的方法,求圆球落入③号槽内的概率. 题型剖析 变式： 题型三、用画树状图法求概率 解析　 画树状图如图:   由树状图可得共有8种等可能的情况,其中落入③号槽内的 情况有3种, ∴P(圆球落入③号槽内)=  . 题型剖析 题型四、列表求概率 例4： 小英有两顶帽子,分别为红色和黑色,有三条围巾,分别为红色、黑色和白色,她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上,恰好为红色帽子和红色围巾的概率是 (　    ) A. 　　B. 　　C. 　　D.  C 题型剖析 题型四、列表求概率 例4： 解析　列表如下: 围巾帽子　 红 黑 白 红 (红,红) (红,黑) (红,白) 黑 (黑,红) (黑,黑) (黑,白) 由表格可得,共有6种等可能的结果,恰好取到红色帽子和红 色围巾的结果有1种,∴恰好取到红色帽子和红色围巾的概 率为  .故选C. 题型剖析 解题步骤 题型四、列表求概率 第一步：识别两个维度 通常维度一是第一次操作，维度二是第二次操作。 第二步：绘制表格框架 第三步：填充表格内容 第四步：分析表格求概率 题型剖析 变式： 题型四、列表求概率 我们把十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做“中高数”,如796就是一个“中高数”.若十位上的数字为7,则从3、4、5、6、8、9中任选两数,与7组成“中高数”的概率是 (　    ) A. 　 　B. 　 　C. 　 　D.  C 题型剖析 变式： 题型四、列表求概率 解析　列表如下: 百位数字 个位数字　     3 4 5 6 8 9 3 - 473 573 673 873 973 4 374 - 574 674 874 974 5 375 475 - 675 875 975 6 376 476 576 - 876 976 8 378 478 578 678 - 978 9 379 479 579 679 879 - 由表格可得,共有30种等可能的结果,与7组成“中高数”的 结果有12种,∴与7组成“中高数”的概率是   =  .故选C. 题型剖析 题型五、几何模型的概率 如图,在正方形ABCD中,分别以四个顶点为圆心,以边长的一半为半径画圆弧,若随机向正方形ABCD内投一粒米(米粒大小忽略不计), 则米粒落在图中阴影部分的概率为　　　    .   解析　 设正方形的边长为2a,则4个扇形的半径均为a, ∴米粒落在阴影部分的概率为  =  . 例5： 题型剖析 题型五、几何模型的概率 1.几何概型 适用于连续的、结果个数无限且等可能的情况 2.转化：将概率问题转化为几何图形问题。 分别计算整个区域的几何度量和事件区域的几何度量。 求比：用事件区域的度量除以整个区域的度量，得到概率。 题型剖析 变式： 题型五、几何模型的概率 如图,已知☉O是小正方形的外接圆,是大正方形的内切圆.现假设可以随意在图中取点,则这个点取在阴影部分的概率是　　　    .   解析　 设正方形的边长为2a,则4个扇形的半径均为a, ∴米粒落在阴影部分的概率为  =  . 题型剖析 1． 解析   ∵任意摸出一个球,摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同, ∴摸到黄球的概率为0.5,∴袋中球的总个数为10÷0.5=20, ∴a+b+10=20,∴a+b=10,故答案为a+b=10. 一个袋子中装有a个红球,10个黄球,b个白球,每个球除颜色外都相同,任意摸出一个球,摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同,那么a与b的关系是　　　       . a+b=10 针对训练 2． 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它是儒家思想的核心著作,是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本,不放回,再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是　　　    . 针对训练 2． 把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D， 画树状图如图: 共有12种等可能的情况,其中抽取的两本恰好是《论语》和 《大学》的情况有2种,∴抽取的两本恰好是《论语》和 《大学》的概率是  =  . 针对训练 3． 有7张扑克牌如图所示,将其打乱顺序后,背面朝上放在桌面上,若从中随机抽取一张,则抽到的花色可能性最大的是 (　    )  A. 　　B. 　　C. 　　D.  解析：由题图可得抽到黑桃的可能性为 ,抽到红心的可能 性为  ,抽到梅花的可能性为  ,抽到方块的可能性为  ,∵ > > ,∴抽到的花色可能性最大的是红心.故选B. B 针对训练 4． 袋子里有8个红球,m个白球,3个黑球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,若摸出红球的可能性最大,则m的值不可能是 (　    ) A.1　 　B.3　 C.5　 　D.10 解析：　袋子里有8个红球,m个白球,3个黑球,若摸到红球的可 能性最大,则袋子里红球的个数最多,所以m的值不可能大于 8.观察选项,只有选项D符合题意.故选D. D 针对训练 5． 如图,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,假设可以随机在正六边形中取一点,那么这个点取在阴影部分的概率是 (　    ) A. 　　 B. 　　 C. 　 　D.  解析:设DF的长为2h,则正六边形的面积为3AF·h, 阴影部分的面积为AF·h, ∴这个点取在阴影部分的概率是 =  故选B. B 针对训练 6． 在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球,这些球除颜色外都相同,将袋子中的球充分摇匀后,随机摸出一球. (1)摸出的球是红球的概率是多少?摸出的球是黄球的概率是多少? (2)为了使摸出红球和黄球的概率相同,再放进去7个球,那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少? 针对训练 解析　 (1)∵袋子中装有9个红球和6个黄球,这些球除颜色外 都相同,∴摸出每一个球的可能性都相同, ∴摸出红球的概率是 = ,摸出黄球的概率是 =  . (2)设放入红球x个,则放入黄球(7-x)个, 由题意得 = ,解得x=2,则7-x=5, ∴放进去的这7个球中红球有2个,黄球有5个. 针对训练 7． 汉字是世界上最古老的文字之一.字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示,三个汉字可以看成轴对称图形,小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则:将这三个字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜;否则小慧获胜,你认为这个游戏对谁有利?说明理由. 针对训练 7． 解析　这个游戏对小慧有利. 理由:画树状图如下:   共有9种等可能的结果,其中能构成上下结构的汉字的结果有4种:(土,土)构成“圭”,(口,口)构成“吕”,(木,口)构成“杏”或“呆”,(口,木)构成“呆”或“杏”, ∴P(小敏获胜)= ,P(小慧获胜)=  , ∵  <  ,∴游戏对小慧有利. 针对训练 8． 有甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数0,1,2;乙袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数-1,-2,0.先从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数为x,再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数为y,确定点M的坐标为(x,y). (1)用画树状图法或列表法列举点M所有可能的坐标; (2)求点M(x,y)在函数y=-x+1的图像上的概率; (3)在平面直角坐标系xOy中,☉O的半径是2,求过点M(x,y)能 作☉O的切线的概率. 针对训练 8． 解析　   (1)画树状图如下:   共有9种等可能的结果,点M所有可能的坐标为(0,-1),(0,-2), (0,0),(1,-1),(1,-2),(1,0),(2,-1),(2,-2),(2,0). 针对训练 ✅ 知识构建：等可能条件下的概率 定义→公式→求法 →应用 ✅ 思想方法： 随机思想、统计思想、数形结合思想、分类讨论思想、 建模思想、 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $