第10讲 活用数列通项公式讲义（思维导图+1大知识点+13大题型+过关测试）-2025-2026学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义通过思维导图系统梳理数列通项公式的知识体系，将观察法、公式法、累加法等八大求通项方法按“定义理解-方法应用-综合拓展”分层呈现，用知识框架图清晰标注构造法、Sn求通项等重难点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型全覆盖+分层变式”的练习设计，含直接法到双数列问题等13类题型，如实际应用中企业资金增长问题培养用数学眼光观察现实世界的能力，构造法之一次型题型训练逻辑推理的数学思维。每个题型配例题及变式题，基础生可掌握通法，优生能突破难点，助力教师实施精准分层教学。

第10讲 活用数列通项公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：求数列通项公式的常用方法 4 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：直接法 7 题型二：累乘法 8 题型三：累加法 9 题型四：构造法之常数型 12 题型五：构造法之一次型 14 题型六：构造法之指数型 15 题型七：构造法之分式型 17 题型八：双构造法 19 题型九：已知Sn求通项 21 题型十：前n项积问题 23 题型十一：实际应用问题 25 题型十二：因式分解型求通项 28 题型十三：双数列问题 30 05 过关测试 32 知识点一：求数列通项公式的常用方法 类型Ⅰ 观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ 公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ 构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 题型一：直接法 【例1】（2025·高二·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【解析】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式1-1】（2025·高二·浙江温州·期末）2，4，6，8，10，，第项为 . 【答案】 【解析】由数列2，4，6，8，10，，得，所以. 故答案为：. 【变式1-2】（2025·高二·山东青岛·期中）数列的一个通项公式 . 【答案】 【解析】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍， 则通项公式为. 故答案为： 【变式1-3】（2025·高二·河南南阳·期中）已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为 ． 【答案】 【解析】根据题意，数列的前5项依次为，即， 则的一个通项公式为， 故答案为： 题型二：累乘法 【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 【变式2-1】（2025·高二·四川成都·月考）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 【变式2-2】（2025·高二·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 【答案】210 【解析】由已知，得， ∵，∴，得， 由累乘法得，∴, 故答案为：210. 【变式2-3】（2025·高二·北京·期中）数列中，若，，则 . 【答案】 【解析】由题意，，可得，所以， 所以. 故答案为：. 题型三：累加法 【例3】（2025·高二·江苏盐城·期末）数列 满足，则 . 【答案】 【解析】由可得：， 当时， ，，，……，， 所以上述式子相乘可得：，所以， 令，，所以满足，所以. 设数列 的前项和为， ①， ②， ①减②可得： 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 【变式3-1】（2025·高二·甘肃武威·期末）已知数列满足，，则 ． 【答案】70 【解析】因为，所以， 累加可得： ， 则． 故答案为：70 【变式3-2】（2025·高二·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由题意有：，， 上式相加得， 所以，所以， 因为在单调递减，在单调递增， 所以， 故答案为：. 【变式3-3】（2025·高三·河北沧州·月考）设数列满足，且，则数列的前10项和为 ． 【答案】 【解析】因为数列满足，且， 所以当时，， 当时，上式也成立， 所以，所以， 则的前项和， 所以数列的前10项和为． 故答案为：. 【变式3-4】（2025·高二·辽宁锦州·期末）写出数列的一个递推公式：， ；一个通项公式： . 【答案】 （答案不唯一）； . 【解析】记数列的第n项为， 则 依此类推可得， 所以可得数列的一个递推公式为； 所以. 故答案为：； 【变式3-5】（2025·高二·上海·期末）若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】因为数列是以为公差，为首项的等差数列，则，且， 所以，，，，， 以上等式累加得， 故. 故当时，. 也满足，故对任意的，. 故答案为：. 题型四：构造法之常数型 【例4】（2025·高二·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 【变式4-1】（2025·高二·广西防城港·月考）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 【变式4-2】（2025·高二·河南开封·期末）已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 【答案】D 【解析】， ， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，即， 对于A、令，解得2，故A错误； 对于B、令，解得2，故B错误； 对于C、令，解得2，故C错误； 对于D、令，解得2，是第10项，故D正确 故选： 【变式4-3】（2025·高二·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【解析】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 【变式4-4】（2025·高二·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【答案】 【解析】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 题型五：构造法之一次型 【例5】（2025·高二·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 【答案】 【解析】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 【变式5-1】（2025·高二·上海嘉定·期末）对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 因为为严格递增数列，所以，恒成立， 即，恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，且当为偶数时，恒成立， 当为奇数时，恒成立， 因为随的增大而减小，所以，故， 当为偶数时，恒成立， 因为随的增大而增大，所以，故， 所以，故， 所以满足条件的数列的个数为个. 故选：B. 题型六：构造法之指数型 【例6】（2025·高二·山东淄博·期中）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式6-1】（2025·高一·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式6-2】（2025·高二·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 【变式6-3】（2025·高二·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【解析】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 题型七：构造法之分式型 【例7】（2025·高二·河南南阳·期末）数列满足，.正项等比数列满足，. (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解析】（1）由题意得，，即，且， 所以是以2为首项，为公差的等差数列， ，. （2）设的公比为，，， 则，解得或（舍去）， ，. ，① ，② ①-②，得 ， 所以. 【变式7-1】（2025·高二·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第项； (2)猜想数列的通项公式，并证明. 【解析】（1），，. （2）由（1）可猜想. 证明：由，可得， 即，又，所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 则，所以. 【变式7-2】（2025·高二·福建宁德·月考）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 【变式7-3】（2025·高二·广东湛江·月考）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【解析】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 题型八：双构造法 【例8】已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 【解析】（1）∵，，∴， ∵，∴， 又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，. （2）∵， ∴当时， ，又也满足上式， 所以. 【变式8-1】已知数列满足，，，求的通项公式． 【解析】因为，所以， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以， 所以当时， ， 又当时，，符合上式， 所以对于任意正整数n都有． 【变式8-2】（2025·高三·安徽·月考）已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【解析】（1）已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. （3）已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 题型九：已知Sn求通项 【例9】（2025·高二·全国·期末）已知数列的前n项和为，且．求证：是等比数列； 【解析】在数列中，， 当时，， 两式相减得，整理得， 所以， 当时，，解得，则， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. 【变式9-1】（2025·高三·内蒙古呼和浩特·期中）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有. (1)求的通项公式. (2)求数列的前20项和.（设，计算结果用含的式子表示） 【解析】（1）对于任意的正整数，，则， 两式相减，得，整理得， 于是，而当时，，解得， 因此数列是首项为，公比为2的等比数列，故， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，设数列的前项和为， 则， 令， 因此， 两式相减得：， 则，于是， 所以. 【变式9-2】（2025·高二·北京·期中）已知数列的前项和为，． (1)求的值； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）． 【解析】（1）由，可得，解得， 时，，即，解得， 时，，即，解得； （2）当时，由，可得， 两式相减可得，整理为，即， 则数列是首项为6，公比为2的等比数列， 可得，即； （3）不存在 假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列， 设，，成等差数列，且，，，， 即有，即为， 化为，可得， 上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立． 故数列中不存在三项，它们可以构成等差数列． 【变式9-3】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前项和为. 【解析】（1）因为， 所以， 又，则，故， 所以是首项与公比都为的等比数列. （2）依题意，， 当时，， 两式相减，得 整理得，即，则， 又，所以， 所以是各项为的常数列， 所以，即. （3）由（1）得，即， 所以， 则， 所以， 两式相减，得 . 所以. 题型十：前n项积问题 【例10】（2025·高二·浙江·期中）记为数列的前项积，已知. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【解析】（1）因为记为数列的前项积，所以. 由，得，即， 又，所以， 所以是首项，公差为的等差数列； （2）由（1）得， 所以，即； （3）， ① ② 由①②得 ， 所以. 【变式10-1】（2025·高二·江苏苏州·期中）记为数列的前项积，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 当时，，，， 累加得， 所以 又当时，也满足， 所以. 故选：C. 【变式10-2】（2025·高二·辽宁·月考）设数列的前项积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列的前项积，即； 所以. 故选：A 题型十一：实际应用问题 【例11】（2025·高二·江苏南通·期中）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉(如图（1）)；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去……．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉 个正方形，第n个图中所有挖掉的正方形的面积和为 ． 【答案】 73 【解析】记第个图形中共挖掉个正方形，根据，计算可得； 记第个图形中共挖掉的正方形的面积为，则，，利用累加法以及等比数列求和公式可求得.记第个图形中共挖掉个正方形，则， 所以，个，， 记第个图形中共挖掉的正方形的面积为， 则， ， ， ， ， 将以上个等式相加得 . 故答案为：73；. 【变式11-1】（2025·黑龙江吉林·二模）某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，. 故选：A. 【变式11-2】（2025·高二·江苏淮安·期末）“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】A 【解析】设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为， 由题意可得第次向外作的正方形面积和与第次向外作的正方形面积和相等， 即每次向外作的正方形面积和为，而， 故向外作了5次正方形 又，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 则， 所以“勾股树”上所有正方形的个数为. 故选：A. 【变式11-3】（2025·高二·广东广州·期末）蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记表示该雄蜂上溯第代祖辈数量，例如.那么，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，当时，， A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，， 故，D错误. 故选：B 题型十二：因式分解型求通项 【例12】（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【解析】（1）依题意，，， 所以，， 所以，. （2）依题意，，， 所以， 所以是首项为，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 【变式12-1】已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且． （1）求的值及数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 【解析】解：（1）， 当时，，， 解得． 又，， ， 当时，， 当时上式也成立， ． （2）数列满足，且． ． ， 当为偶数时，数列的前项和为 ． 当为奇数时，数列的前项和为 ． 当时也成立， ． 【变式12-2】（2024•仓山区校级月考）已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 【解析】证明：由， 变形得：， 由于为正项数列，， 利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：， 从而． 题型十三：双数列问题 【例13】数列,满足,且,. (1)证明:为等比数列; (2)求,的通项. 【解析】（1）证明：由，可得：， ，代入， 可得：， 化为：， ， 为等比数列，首项为-14，公比为3. （2）由（1）可得：， 化为：， 数列是等比数列，首项为16，公比为2. ， 可得：， . 【变式13-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足，，，，则______，______． 【答案】          【解析】由题设，，则，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，故， ，则， 令，则， 故，而， 所以是常数列，且，则. 故答案为：，. 1．（2025·高二·江苏南京·月考）设为数列的前项积，已知，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则由可得， 即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：B. 2．（2025·高二·江苏苏州·期中）已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【解析】由题意，，， ，，， 当时正整数的最大值为12. 故选A. 3．（2025·高二·上海杨浦·月考）已知数列，则该数列的通项公式可能为. 【答案】，答案不唯一 【解析】通过观察可知，该数列的绝对值是，即奇数列， 所以. 故答案为：，答案不唯一 4．（2025·高二·福建龙岩·月考）数列的一个通项公式为. 【答案】 【解析】可化为， 所以分子部分为， 分母部分为， 奇数项为正，偶数项为负，则， 则. 故答案为： 5．（2025·高二·北京西城·期中）已知数列满足，，则．当时，取得最小值． 【答案】8 【解析】数列满足，由，得； 当时， ， 所以当时，取得最小值. 故答案为：；8 6．（2025·高三·广东深圳·月考）已知数列中，，当时，，则的通项公式为． 【答案】 【解析】当时，，故， 其中，故为首项为2，公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 7．（2025·高二·云南丽江·月考）数列的首项，，令，则． 【答案】/ 【解析】因为， 所以，又， 所以， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 代入得， 设数列的前项和为， 则， 则. 故答案为： 8．（2025·高二·全国·期末）已知等差数列的通项公式，数列满足．证明：数列是等比数列，并求的通项公式； 【解析】因为数列满足，即 所以， 又，，故，， 所以，， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以的通项公式为. 9．（2025·高二·广西河池·期末）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 【解析】（1），又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得：，. （3）由（2）得：. 10．（2025·高二·湖南永州·期末）在数列，中，，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【解析】（1）因为，， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，所以， 由，可得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以； （2）由，得到， 令，则， 当时，，得到， 当时，，所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到， 所以； （3） ， 所以，所以， ，故得证. 11．（2025·高三·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 【解析】（1）已知，， ， 是以为首项、为公比的等比数列， ． （2）由（1）可知，， ， ， ； 由，可得，为整数， 的最小值为2026． 12．已知数列满足，，为数列的前项和． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【解析】（1）对整理有：， 等式两边同时除以可得， 等式两边再同时减得，即， 又由，可得，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）得的通项公式为， 得，所以． （3）由（2）知， 所以 ． 13．（2025·高三·陕西·月考）已知在数列中，，且当时，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【解析】（1）当时，， 又，可得， 当时，，则， 又，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故； （2）由（1）知， 则， 则数列的前项和 ， 又，则， 故. 14．（2025·高二·福建三明·期末）某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，… (1)写出，，，并证明数列是等比数列； (2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？ 【解析】（1），， ， 因为，所以， 又，所以是首项为3，公比为的等比数列； （2）由（1）得， 故，令，解得， 其中， 所以，所以， 故至少需要在年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元. 15．（2025·高二·辽宁·期末）已知数列满足，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 【解析】（1），， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； ， 当时，，即， 当时，，所以，即， 当时，，； （2）由（1）得 ， ， 作差可得， . 16．（2025·高二·江西赣州·期末）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如. (1)求； (2)求的通项公式； (3)证明：. 【解析】（1）因为第二次得到数列，所以第三次得到数列 所以； （2）设第次构造后得的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为 ， 则 ， ，可得，， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，即； （3）由（2）得， 所以当时，， 当时，所以 ， 综上所述，. 17．（2025·江苏宿迁·三模）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． （2）①由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 18．（2025·高二·浙江绍兴·期末）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 【解析】（1）由，即， 可得，且，故， 可知是首项为2，公比为的等比数列， 则，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知. 显然，， 当时，则，可得. 于是 ； 综上所述：. 19．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围. 【解析】（1）证明：因为， 所以，即， 因为，所以， 故数列是以12为首项，3为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）知， 所以. 当为偶数时， ， 因为是单调递减的，所以. 当为奇数时， ， 又是单调递增的， 因为，所以. 要使存在，使，只需，即， 故的取值范围是. 20．数列满足，． (1)求，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【解析】（1）由，． 可得，，． （2）由，两边取倒数化简可得：， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即． 数列的通项公式为 （3）． 数列的前项和． ， ． ． 21．（2025·高二·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，所以（）. 相减得，即. 所以. 因为是正项数列，所以， 所以，即. 故是等差数列. 令，得，解得， 所以. （2）（2）因为，则， 即. 所以， 所以. 22．（2025·高二·全国·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）当时，，解得， 由，可得， 两式相减得， 即时，， 则， 因，所以是首项和公比均为的等比数列， 所以，即， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得， 所以， 所以数列的前项和． 23．（2025·高三·重庆·月考）设数列的前项和为，已知. (1)求； (2)求的通项公式； (3)当为何值时，取得最大值，请说明理由. 【解析】（1）已知. 令，则，所以解得. 令，，解得. （2）因为①，所以当时，②， ①-②得，即. 又. 故 . 所以. （3）易知是首项为正数的递减等差数列 由，即，解得. 所以， 因此，而. ，所以, 又. 所以中，最大，即当时，取最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 活用数列通项公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：求数列通项公式的常用方法 4 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：直接法 7 题型二：累乘法 7 题型三：累加法 7 题型四：构造法之常数型 8 题型五：构造法之一次型 8 题型六：构造法之指数型 8 题型七：构造法之分式型 9 题型八：双构造法 10 题型九：已知Sn求通项 10 题型十：前n项积问题 11 题型十一：实际应用问题 12 题型十二：因式分解型求通项 13 题型十三：双数列问题 14 05 过关测试 15 知识点一：求数列通项公式的常用方法 类型Ⅰ 观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ 公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ 构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 题型一：直接法 【例1】（2025·高二·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【变式1-1】（2025·高二·浙江温州·期末）2，4，6，8，10，，第项为 . 【变式1-2】（2025·高二·山东青岛·期中）数列的一个通项公式 . 【变式1-3】（2025·高二·河南南阳·期中）已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为 ． 题型二：累乘法 【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【变式2-1】（2025·高二·四川成都·月考）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【变式2-2】（2025·高二·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 【变式2-3】（2025·高二·北京·期中）数列中，若，，则 . 题型三：累加法 【例3】（2025·高二·江苏盐城·期末）数列 满足，则 . 【变式3-1】（2025·高二·甘肃武威·期末）已知数列满足，，则 ． 【变式3-2】（2025·高二·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为 . 【变式3-3】（2025·高三·河北沧州·月考）设数列满足，且，则数列的前10项和为 ． 【变式3-4】（2025·高二·辽宁锦州·期末）写出数列的一个递推公式：， ；一个通项公式： . 【变式3-5】（2025·高二·上海·期末）若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式 . 题型四：构造法之常数型 【例4】（2025·高二·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高二·广西防城港·月考）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高二·河南开封·期末）已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 【变式4-3】（2025·高二·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【变式4-4】（2025·高二·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 题型五：构造法之一次型 【例5】（2025·高二·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 【变式5-1】（2025·高二·上海嘉定·期末）对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 题型六：构造法之指数型 【例6】（2025·高二·山东淄博·期中）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【变式6-1】（2025·高一·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【变式6-2】（2025·高二·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高二·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 题型七：构造法之分式型 【例7】（2025·高二·河南南阳·期末）数列满足，.正项等比数列满足，. (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式7-1】（2025·高二·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第项； (2)猜想数列的通项公式，并证明. 【变式7-2】（2025·高二·福建宁德·月考）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高二·广东湛江·月考）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 题型八：双构造法 【例8】已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 【变式8-1】已知数列满足，，，求的通项公式． 【变式8-2】（2025·高三·安徽·月考）已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 题型九：已知Sn求通项 【例9】（2025·高二·全国·期末）已知数列的前n项和为，且．求证：是等比数列； 【变式9-1】（2025·高三·内蒙古呼和浩特·期中）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有. (1)求的通项公式. (2)求数列的前20项和.（设，计算结果用含的式子表示） 【变式9-2】（2025·高二·北京·期中）已知数列的前项和为，． (1)求的值； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）． 【变式9-3】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前项和为. 题型十：前n项积问题 【例10】（2025·高二·浙江·期中）记为数列的前项积，已知. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【变式10-1】（2025·高二·江苏苏州·期中）记为数列的前项积，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·高二·辽宁·月考）设数列的前项积，则（   ） A． B． C． D． 题型十一：实际应用问题 【例11】（2025·高二·江苏南通·期中）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉(如图（1）)；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去……．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉 个正方形，第n个图中所有挖掉的正方形的面积和为 ． 【变式11-1】（2025·黑龙江吉林·二模）某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·高二·江苏淮安·期末）“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【变式11-3】（2025·高二·广东广州·期末）蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记表示该雄蜂上溯第代祖辈数量，例如.那么，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十二：因式分解型求通项 【例12】（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【变式12-1】已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且． （1）求的值及数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 【变式12-2】（2024•仓山区校级月考）已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 题型十三：双数列问题 【例13】数列,满足,且,. (1)证明:为等比数列; (2)求,的通项. 【变式13-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足，，，，则______，______． 1．（2025·高二·江苏南京·月考）设为数列的前项积，已知，则（） A． B． C． D． 2．（2025·高二·江苏苏州·期中）已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（） A．12 B．13 C．14 D．15 3．（2025·高二·上海杨浦·月考）已知数列，则该数列的通项公式可能为. 4．（2025·高二·福建龙岩·月考）数列的一个通项公式为. 5．（2025·高二·北京西城·期中）已知数列满足，，则．当时，取得最小值． 6．（2025·高三·广东深圳·月考）已知数列中，，当时，，则的通项公式为． 7．（2025·高二·云南丽江·月考）数列的首项，，令，则． 8．（2025·高二·全国·期末）已知等差数列的通项公式，数列满足．证明：数列是等比数列，并求的通项公式； 9．（2025·高二·广西河池·期末）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 10．（2025·高二·湖南永州·期末）在数列，中，，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 11．（2025·高三·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 12．已知数列满足，，为数列的前项和． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 13．（2025·高三·陕西·月考）已知在数列中，，且当时，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 14．（2025·高二·福建三明·期末）某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，… (1)写出，，，并证明数列是等比数列； (2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？ 15．（2025·高二·辽宁·期末）已知数列满足，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 16．（2025·高二·江西赣州·期末）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如. (1)求； (2)求的通项公式； (3)证明：. 17．（2025·江苏宿迁·三模）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 18．（2025·高二·浙江绍兴·期末）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 19．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围. 20．数列满足，． (1)求，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 21．（2025·高二·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 22．（2025·高二·全国·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 23．（2025·高三·重庆·月考）设数列的前项和为，已知. (1)求； (2)求的通项公式； (3)当为何值时，取得最大值，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $