寒假作业10 二次函数的图象与性质15大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 二次函数的图象与性质 一、相交线 知识点一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 知识点二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点三、二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点四、二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点五、二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 二次函数的相关概念 1．（25-26九年级上·湖南怀化·月考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 3．（2025九年级上·四川眉山·专题练习）若函数的图象是抛物线，则m的值为 ． 4．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 题型二 二次函数的图象 5．（25-26九年级上·广东·月考）已知二次函数图象的对称轴为，点，和都在该函数的图象上，当时，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）一次函数和二次函数（a，b，c是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图像的对称轴是_______； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图像： (3)根据图像回答下列问题： ①当时，的取值范围为 ； ②当时，的取值范围为 ； 题型三 二次函数的性质 9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知二次函数中的x，y满足下表：根据表中信息，下列判断不正确的是（　　） x … 0 1 2 … y … 4 0 0 … A．图象开口向上 B．当时， C．图像的对称轴是直线 D．函数的最小值是 10．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有 ．（只填序号） 11．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式，观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：___________； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】方程的解集为____________； (4)【巩固应用】若方程无解，则的取值范围是____________. 12．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______． ②若时，随的增大而减小，则的取值范围是_______； ③已知点，，都在此二次函数的图象上，则，，的大小关系是_______（用“”连接）． 题型四 二次函数的一般式、顶点式、交点式 13．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 15．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，则该二次函数的表达式为 ． 16．（25-26九年级上·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． 题型五 二次函数的最值 17．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知：、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的坐标为，则二次函数（   ） A．有最大值，最大值为3 B．有最大值，最大值为 C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为3 18．（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 19．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是 ． 20．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知y关于x的二次函数． (1)当时， ①求二次函数的顶点坐标． ②当时，该函数的最小值是3，求m的值． (2)当时，该二次函数最大值与最小值的和为8，求a的值． 题型六 二次函数的图象与各项系数符号 21．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图所示是二次函数图象的一部分，图象经过点，二次函数图象的对称轴为直线，给出四个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；其中正确结论有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 22．（25-26九年级上·山东·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是(        ) A．1 B．2 C．3 D．4 23．（25-26九年级下·全国·期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③的解集是；④(m为任意实数)．其中正确的是 ．（填序号） 24．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有 个． 题型七 一次函数、二次函数图象综合判断 25．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是（    ） A．或 B． C．0 D．或 27．（25-26九年级上·重庆永川·期中）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是 ． 28．（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，直线和抛物线相交于点和点． (1)求点和点的坐标 (2)直接写出不等式的解集． 题型八 二次函数的对称性 29．（25-26九年级上·山东德州·月考）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 30．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 二次函数图象的对称轴为对应的函数值．则的值为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·吉林长春·期末）抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是 ． 32．（25-26九年级上·北京·月考）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 ．．． ．．． 0 0 4 ．．． (1)在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象： (2)结合图象回答问题： ①抛物线的对称轴为直线___________； ②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________； ③当时，的取值范围是___________． 题型九 二次函数图象的平移 33．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线表达式是 ． 34．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，然后将所得抛物线绕坐标原点旋转，所得抛物线的解析式是 ． 35．（25-26九年级上·河南周口·月考）已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)将该二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新的二次函数图象，求新图象的解析式． 36．（25-26九年级上·浙江温州·期中）在直角坐标系中，已知抛物线 (1)当时． ①求抛物线的对称轴和顶点坐标； ②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线经过点和，求m的值． (2)已知点，都在抛物线上，且，求n的取值范围． 题型十 图象法解一元二次不等式 37．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 38．（25-26九年级上·广东广州·期中）抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量x的取值范围为 ． 39．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 40．（25-26九年级上·江西上饶·月考）已知二次函数． (1)二次函数图象与轴的交点坐标是______，与轴的交点的坐标是______，顶点坐标是______； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，当时，的取值范围是______． 题型十一 根据交点确定不等式的解集 41．（25-26九年级上·山东德州·月考）抛物线与直线相交于如图所示的A，B两点，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 42．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 43．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是 ． 44．（25-26九年级上·北京·月考）已知二次函数． (1)此函数图象的对称轴______和顶点坐标______； (2)画出此函数的图象； (3)当时，的取值范围是______； (4)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． 题型十二 待定系数法求二次函数解析式 45．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 46．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求a，b满足的数量关系； (2)若点在该函数图象上，无论m为何值，始终有．求a的值． 47．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，抛物线与轴相交于，两点，与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)求以点B、C、D为顶点的三角形的面积． 48．（25-26九年级上·北京·月考）已知二次函数 (a，b，c是常数，)，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … m 1 … y … 0 0 … (1)则 ； (2)求该二次函数的表达式； (3)当时，则y的取值范围是 ． 题型十三 二次函数与坐标轴的交点问题 49．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（   ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 50．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）将二次函数化成一般式为 ，图像与轴交点坐标为 ，当时，函数的取值范围是 ，若，则自变量取值范围是 ． 51．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求该二次函数的顶点坐标及的面积． 52．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知二次函数的图像顶点为，且经过点． (1)二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为_______． (2)已知点，在该抛物线图像上，则m______n（填“<”，“>”，“=”） (3)求这个二次函数的表达式； 题型十四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 53．（25-26九年级上·北京海淀·月考）二次函数的部分图象和对称轴如图所示． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围． 54．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程式的两个根． (2)写出不等式的解集． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 55．（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 a 0 … (1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标：________， _______ (3)当时，写出方程的解． 56．（24-25九年级上·江苏南京·月考）对于抛物线． (1)它与轴交点的坐标为____，与轴交点的坐标为____，顶点坐标为____； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； … … … … (3)利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是____． 题型十五 二次函数与方程、不等式综合 57．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点． 根据图象回答问题： (1)______； (2)当时，二次函数的取值范围为______； (3)若一次函数的图象经过点，当时，的取值范围为______． 58．（25-26九年级上·北京·期中）已知一次函数和二次函数．部分自变量和对应的函数值如表： 0 1 0 1 2 3 3 0 0 3 (1)函数的对称轴为：　　； (2)根据表中数据，在坐标系中画出两个函数的图象； (3)根据函数图象直接写出关于的不等式的解集是　　． 59．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知二次函数（为常数，且）． (1)若函数图象过点，求的值； (2)若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标； (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 60．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像．请根据函数图像，回答下列问题： (1)观察探究： ①方程的解为： ； ②若方程有四个实数根，则的取值范围是 ． (2)延伸思考： ①在同一个直角坐标系中画出函数的图像； ②观察图像，直线与两个函数图像最多有 个公共点； ③直接写出当时，自变量的取值范围 ． 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 2．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（    ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数，当时，该函数图象与轴有且只有一个交点，则的取值范围是 ． 6．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．⑥，其中正确的有 ． 7．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为，在对称轴上有一点P，使的值最小的P的坐标为 ． 8．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为，，某二次函数图象在平移过程中，顶点始终在线段上，与x轴交于C，D两点，若线段的最小值为2，则最大值为 ． 9．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，若，求点的坐标． 10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 11．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． (1)请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； (2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 12．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 m 0 3 … (1)________；将其配方成的形式为____________________． (2)在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象． (3)填空：①当时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是__________； ②将原抛物线沿着x轴翻折所得的抛物线对应的函数表达式为________________． 1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，抛物线过点、，已知，点在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为．则下列结论正确的是（    ） A． B．若，当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，则t的取值范围为 C．关于的方程有实数根 D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知函数，当时，函数值随增大而减小，且对于任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·月考）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为 ． 4．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）二次函数图象的对称轴过点，该函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是 ． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为． (1)若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知二次函数，一次函数，其中a，c为常数且． (1)求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； (2)若，时，填空：①当时，则的取值范围是_____；②当时，的取值范围是_____ (3)点、分别在二次函数和一次函数图像上．若抛物线上存在两个不同的点，求的范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 二次函数的图象与性质 一、相交线 知识点一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 知识点二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点三、二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点四、二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点五、二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 二次函数的相关概念 1．（25-26九年级上·湖南怀化·月考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次． 【详解】解：选项A：，为一次函数，不是二次函数； 选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C：，是整式，，一定为二次函数； 选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 3．（2025九年级上·四川眉山·专题练习）若函数的图象是抛物线，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据题意可得函数是二次函数，根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：依题意是二次函数， ∴且， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 题型二 二次函数的图象 5．（25-26九年级上·广东·月考）已知二次函数图象的对称轴为，点，和都在该函数的图象上，当时，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．利用二次函数开口向上时，根据二次函数的性质及点到对称轴的距离与函数值的关系比较大小即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，且点到对称轴的距离越大，函数值越大， 点A、B、C的横坐标分别为、m、，且， ∴，，， 点A到对称轴的距离， 点B到对称轴的距离， 点C到对称轴的距离， ∵， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）一次函数和二次函数（a，b，c是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一次函数的性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象特点是解题的关键．先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：选项：一次函数，二次函数，不符合题意； 选项：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； 选项：一次函数，二次函数，不符合题意； 选项：一次函数，；二次函数，，可得，不符合题意； 故选：． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据题意可得二次函数开口向上，对称轴为直线，当时随增大而增大，说明对称轴在直线左侧或重合，即． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图像的对称轴是_______； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图像： (3)根据图像回答下列问题： ①当时，的取值范围为 ； ②当时，的取值范围为 ； 【答案】(1)直线 (2)；图见解析 (3)①或；② 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值． ()根据对称轴计算公式求解即可； ()先求出对应的函数值，再补全表格，然后描点连线即可； ()①②根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：二次函数解析式， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）解：在中， 当时，， 即； 当时，， 即； 函数图象如下所示： （3）解：①由函数图象可知，当时，的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，的取值范围为， 故答案为：． 题型三 二次函数的性质 9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知二次函数中的x，y满足下表：根据表中信息，下列判断不正确的是（　　） x … 0 1 2 … y … 4 0 0 … A．图象开口向上 B．当时， C．图像的对称轴是直线 D．函数的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，二次函数的对称性，熟记各性质并准确理解图表数据是解题的关键．根据二次函数的增减性和对称性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由表可知，y先随x的增大而减小，再随x的增大而增大，所以，抛物线开口向上，故本选项不符合题意； B、由表可知当时，正确，故本选项不符合题意； C、∵和1时的y的值相等， ∴图象的对称轴是直线正确，故本选项不符合题意； D、时函数有最小值，一定小于，故本选项符合题意． 故选：D． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：①②③． 11．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式，观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：___________； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】方程的解集为____________； (4)【巩固应用】若方程无解，则的取值范围是____________. 【答案】(1)3 (2)图见解析 (3) (4) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键． （1）把代入求出m值即可； （2）根据表格数据描点连线绘制图象即可； （3）先求出两个图象交点坐标，借助图象得到不等式的解集； （4）根据方程无解，即抛物线与直线无交点，结合图象 即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 故答案为：3； （2）解：根据表格中数据描点，连线，画出函数图象如下： （3）解：由题意得：， 解得：，； ∴二次函数与一次函数图象的交点坐标是或， ∴观察图象知，不等式的解集是； （4）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∴方程无解，即抛物线与直线无交点， ∴方程无解时，的取值范围是． 12．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______． ②若时，随的增大而减小，则的取值范围是_______； ③已知点，，都在此二次函数的图象上，则，，的大小关系是_______（用“”连接）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点，连线画出函数图象即可； （2）①根据函数图象即可得到答案； ②根据二次函数的性质及对称轴即可得答案； ③根据二次函数的对称性得出点关于对称轴对称的点的坐标，根据二次函数的增减性即可得答案． 【详解】（1）解：列表如下： … … … … 画函数图象如下所示： （2）解：当时，，当时，， ①由图象可知，当时，的取值范围是； ②∵时，随的增大而减小，图象的对称轴为直线， ∴的取值范围是； ③∵对称轴为直线，开口向上， ∴关于对称轴对称的点的坐标为，当时，随的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：①；②；③． 题型四 二次函数的一般式、顶点式、交点式 13．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数解析式；由于二次函数经过点，，可设函数为，再代入点求出，得到一般式后通过配方化为顶点式． 【详解】∵图像经过，，∴设二次函数为． 代入点得， 解得：． ∴． 配方：． ∴顶点式为， 故选：C． 14．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质与性质是解题的关键，由点和可知二次函数的根为和，再代入点求出系数，从而函数开口向上，故时的取值范围在根之外． 【详解】解：∵ 二次函数图象经过点和， ∴ 和是的两个根， 设二次函数为， ∵函数图象过： ∴， ∴， ∴， ∴，即： ∴， ∴或 故选A． 15．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，则该二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用二次函数的对称轴公式求出参数，再代入已知点坐标求出参数． 【详解】解：由二次函数的对称轴公式，其中，对称轴为， 得：， 解得：， 将和点代入函数解析式， 得：， 解得：， 故函数解析式为， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：； （2）解：， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 题型五 二次函数的最值 17．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知：、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的坐标为，则二次函数（   ） A．有最大值，最大值为3 B．有最大值，最大值为 C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为3 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由M和N关于y轴对称，M在双曲线上，N在直线上，可求出，代入二次函数得，开口向下，有最大值，利用顶点公式求最值 【详解】解：∵、两点关于轴对称，点的坐标为， ∴， ∵M在上， ∴， ∵N在上， ∴， ， ∴二次函数 ∵二次项系数， ∴函数有最大值，最大值， 故选：B． 18．（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得； ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得：； 综上所述，或， 即m的值可能是2． 故选：C． 19．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 二次函数为顶点式，开口向下，顶点在内，最大值在顶点处取得，然后求出时的值，最小值在左端点处取得，就可得到y的取值范围． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，且开口向下， ∵对称轴在区间内，因此函数在处取得最大值， 当时，； 当时，， ∴当时，函数最小值为， 故当时，函数值取值范围为， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知y关于x的二次函数． (1)当时， ①求二次函数的顶点坐标． ②当时，该函数的最小值是3，求m的值． (2)当时，该二次函数最大值与最小值的和为8，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）①根据题意，当时，可得，即可确定该二次函数图像的顶点坐标；②结合，易知当时，y随x的增大而减小，进而可得，且当时，，可知，求解即可获得答案； （2）首先确定该二次函数图像的对称轴为直线，进一步可知当和3时，y有最值，然后分和两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：①当时， ∴该二次函数图像的顶点坐标为； ②， ∴当时，y随x的增大而减小， ，且当时，， ，解得，（舍去）， ； （2）∵对称轴直线，且， ∴当和3时，y有最值， 分和两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，最小值为，最大值为， 由题意得，解得，符合； 当时，抛物线开口向下，最大值为，最小值为， 由题意得，解，不符合，故舍去， 综上所述，的值为1． 题型六 二次函数的图象与各项系数符号 21．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图所示是二次函数图象的一部分，图象经过点，二次函数图象的对称轴为直线，给出四个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；其中正确结论有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象开口向下可得，由对称轴公式可得，据此可判断①；根据对称轴和开口方向可判断②；由对称性可得图象经过点，则二次函数图象与x轴有两个不同的交点，据此可判断③；可求出当时，，据此可判断④． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，故②正确； ∵二次函数图象经过点， ∴由对称性可知，图象经过点， ∴二次函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故③错误； 函数图象开口向下，且图象经过点和， ∴当时，， ∴，故④错误； ∴正确的有①②，共2个， 故选：D． 22．（25-26九年级上·山东·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是(        ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，与系数有关的代数式的符号的判定，熟记各系数符号与函数图象的关系是解题的关键． 由二次函数图象可得：，可判断①；由对称轴，可判断②；将代入函数，得出，判断③；抛物线与x轴有两个交点，可判断④ 【详解】解：∵①二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，，，与轴交于正半轴，，故故①不正确； ②对称轴，故②正确； ③时，由对称轴，可得时，，即，故③正确； ④与轴有两交点，判别式，故④正确． 故正确个数为． 故选：C． 23．（25-26九年级下·全国·期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③的解集是；④(m为任意实数)．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了利用二次函数的图象判断式子的符号、二次函数的图象与性质等知识点，从函数图象上得到相关信息是解题的关键． 先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当时，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ，故①不正确； 代入点得，， 将代入得，，故②正确； 抛物线的对称轴为，且经过点， 抛物线也经过点， 当时，， 的解集是，故③正确； 当时，取得最大值，最大值为， ，即，故④正确； 综上，正确的是②③④． 故答案为：②③④． 24．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·月考）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． ①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ②∵对称轴为直线， 即， ∴，故结论②正确； ③∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， ，故结论斯正确． 综上所述，正确的结论共3个． 故答案为：3． 题型七 一次函数、二次函数图象综合判断 25．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数的图象的综合判断，根据一次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； B、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）符合题意； C、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； D、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； 故选B． 26．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是（    ） A．或 B． C．0 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线有四个不同公共点的条件是解题的关键．先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与新图象恰有四个公共点时m的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴曲线所对应的函数解析式为， ①当直线与x轴重合，即时与新图象有两个公共点， ②当时，直线与和组成新图象有三个公共点； ③所以当时，与新图象有二个公共点； ④当时，直线与新图象有四个交点，如图， ∴当时，直线与新图象有四个交点． 故选：C． 27．（25-26九年级上·重庆永川·期中）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【详解】解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 28．（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，直线和抛物线相交于点和点． (1)求点和点的坐标 (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）联立直线解析式和抛物线解析式，求解即可获得答案； （2）结合函数图像，由二次函数图像在直线上方部分，即可获得答案． 【详解】（1）解：联立直线解析式和抛物线解析式， 可得， 解得，， ∴； （2）由（1）得， 结合图像，可知不等式的解集为或． 题型八 二次函数的对称性 29．（25-26九年级上·山东德州·月考）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得对称轴为直线，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出二次函数与轴的交点坐标为，则该点关于对称轴的对称点为，结合，且得出，解得，当点、都在对称轴左边时，由可得，，解得，当点、在对称轴两侧时，由可得，，解得，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点和点纵坐标相同， ∴对称轴为直线， ∵二次函数解析式为， ∴，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 在中，当时，，即二次函数与轴的交点坐标为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵，且， ∴， 解得：， 当点、都在对称轴左边时，由可得，， 解得， 当点、在对称轴两侧时，由可得，， 解得， 综上所述，由或，结合的条件， 的取值范围是或 故选：B． 30．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 二次函数图象的对称轴为对应的函数值．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点是解题的关键． 由表格数据可知，和时y值均为7，利用二次函数对称性求对称轴，再根据对称轴求时的函数值． 【详解】∵和时，， ∴ 对称轴， ∵ 对称轴为， ∴， ∵关于的对称为直线，且时， ∴时，，即， ∴． 故选：C． 31．（25-26九年级上·吉林长春·期末）抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由和时的值都是，根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，由时可知抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴即可求出另一个交点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 根据对称性，另一个交点的横坐标为，纵坐标为0， ∴另一个交点的坐标为， 故答案为：． 32．（25-26九年级上·北京·月考）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 ．．． ．．． 0 0 4 ．．． (1)在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象： (2)结合图象回答问题： ①抛物线的对称轴为直线___________； ②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________； ③当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或；③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与不等式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据表格，描点连线作图即可； （2）①根据二次函数图象的对称性求解即可； ②结合图象，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应的自变量取值求解即可； ③设交点式求出抛物线解析式，进而得到当时，有最小值为；当时，有最大值为，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：函数图象如下图; （2）解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； ②由函数图象可知，点在抛物线上， 当或时，抛物线图象在直线图象上方， 即时，的取值范围是或； ③设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， 则抛物线解析式为， ， 当时，有最小值为；当时，有最大值为； 的取值范围是． 题型九 二次函数图象的平移 33．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：由原抛物线向右平移个单位，得；再向下平移个单位，得， 故答案为：． 34．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，然后将所得抛物线绕坐标原点旋转，所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图像的平移，二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数图象的平移规则．先对原抛物线进行平移变换，得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式． 【详解】解：抛物线， 向左平移2个单位，向下平移3个单位后，解析式为，则顶点为， 将所得抛物线绕原点旋转后，顶点变为，开口方向由向上变为向下， 故解析式为． 故答案为：． 35．（25-26九年级上·河南周口·月考）已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)将该二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新的二次函数图象，求新图象的解析式． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及函数平移的性质，掌握好一般式化顶点式的步骤和顶点式的平移规律是解题关键． （1）将一般式化成顶点式，根据顶点式得出顶点坐标和对称轴； （2）根据函数平移的规律，得出新函数的解析式． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知，新函数的解析式为． 36．（25-26九年级上·浙江温州·期中）在直角坐标系中，已知抛物线 (1)当时． ①求抛物线的对称轴和顶点坐标； ②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线经过点和，求m的值． (2)已知点，都在抛物线上，且，求n的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的对称轴为直线，顶点为 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，掌握二次函数的性质是解题关键． ①把解析式化成顶点式即可求得抛物线的对称轴和顶点坐标； ②将抛物线向下平移m个单位，得到，代入点和，利用待定系数法即可求得m的值； 由题意抛物线开口向上，对称轴为直线，交y轴于点，根据，即可得到点在x轴的下方，即，解得． 【详解】（1）解：当时，则抛物线为， ①：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为； ②将抛物线向下平移个单位，得到， ∵平移后的抛物线经过点和， 解得； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，交轴于点， ， ∴点在轴的下方，如图， ∵点都在抛物线上， ， ． 题型十 图象法解一元二次不等式 37．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线与直线交于，两点，可得直线与抛物线交于点，两点，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴直线与抛物线交于点，两点， 图象如图所示， 当时，， ∴的解集是， 故选：D． 38．（25-26九年级上·广东广州·期中）抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，则可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下， 当时，自变量x的取值范围为或． 故答案为：或 39．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 40．（25-26九年级上·江西上饶·月考）已知二次函数． (1)二次函数图象与轴的交点坐标是______，与轴的交点的坐标是______，顶点坐标是______； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，当时，的取值范围是______． 【答案】(1)；，；； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，画出二次函数的图象是解答此题的关键． （1）令，可得二次函数图象与y轴的交点；令，可得二次函数图象与轴的交点；对进行配方，可得顶点式公式，得出顶点坐标； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时，对应的的取值范围． 【详解】（1）解：∵令，则， ∴二次函数图象与y轴的交点坐标是； ∵令，则，即，解得，， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是和； ∵， ∴二次函数的顶点坐标为； （2） 二次函数图象如图所示： （3）由（2）图象可得：当时，的取值范围为或． 题型十一 根据交点确定不等式的解集 41．（25-26九年级上·山东德州·月考）抛物线与直线相交于如图所示的A，B两点，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是将不等式转化为图象问题．根据图象中直线不在抛物线下方的的取值范围求解． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于A，B两点，的横坐标为0，的横坐标为3， ∴当时，抛物线在直线下方， ∵不等式的解集即为的解集，也是的解集， ∴不等式的解集为， 故选：D． 42．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在轴上方时对应的的取值范围即可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下，， ∴． 故选：C． 43．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与不等式（组，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．比较两图象的位置关系得出答案即可． 【详解】解：观察图象可知不等式的解集是或． 故答案为：或． 44．（25-26九年级上·北京·月考）已知二次函数． (1)此函数图象的对称轴______和顶点坐标______； (2)画出此函数的图象； (3)当时，的取值范围是______； (4)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)直线， (2)见解析 (3) (4)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． （1）将解析式化为顶点式即可； （2）列表，描点，连线即可； （3）由图可以得出的取值范围； （4）由题意可得，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线，顶点； （2）解：列表： x ⋯ 0 ⋯ ⋯ 3 0 0 3 ⋯ 函数图象如图： ； （3）解：由图可知：当时，的取值范围是； （4）解：∵点和都在此函数的图象上，且，对称轴为直线， ∴， ∴或． 题型十二 待定系数法求二次函数解析式 45．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意，设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 46．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求a，b满足的数量关系； (2)若点在该函数图象上，无论m为何值，始终有．求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质． （1）把点代入二次函数，即可得到a，b满足的数量关系； （2）由题意可得点是二次函数图象的顶点，则对称轴直线，再结合，即可求解a的值． 【详解】（1）解：把点代入二次函数， 得， ∴； （2）解：点在该函数图象上，无论m为何值，始终有，则点是二次函数图象的顶点，    ∵对称轴直线     ∴ ∵     ∴ ∴． 47．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，抛物线与轴相交于，两点，与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)求以点B、C、D为顶点的三角形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法将点B，C代入抛物线表达式中即可求解； （2）先求出抛物线的顶点，再得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是抛物线与x轴交点， ∴将点B，C代入得：，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由（1）知，将抛物线表达式化为顶点式得：， ∴， ． 48．（25-26九年级上·北京·月考）已知二次函数 (a，b，c是常数，)，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … m 1 … y … 0 0 … (1)则 ； (2)求该二次函数的表达式； (3)当时，则y的取值范围是 ． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）利用抛物线的对称性先确定抛物线的对称轴为直线，然后利用当和时函数值相等得到m的值； （2）设交点式为，然后把代入求出a即可； （3）先利用配方法得到，则当时，y有最小值，由于当时，；，，从而可确定当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和 ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，， 即； 故答案为：0； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，即； （3）解：∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∵当时，；，， ∴当时，则y的取值范围是． 故答案为：． 题型十三 二次函数与坐标轴的交点问题 49．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（   ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点知识点，解题的关键是理解和灵活运用知识解题．通过计算二次函数与坐标轴的交点情况判断选项．与y轴的交点由求得；与x轴的交点个数由判别式决定． 【详解】∵与y轴交点：当时，， ∴交点为，故B错误． ∵与x轴交点：令，得方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根，即与x轴有两个交点，故A错误． ∵与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且交点不重合（因为当时）， ∴与坐标轴共有三个交点，故C错误，D正确． 故选：D． 50．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）将二次函数化成一般式为 ，图像与轴交点坐标为 ，当时，函数的取值范围是 ，若，则自变量取值范围是 ． 【答案】 和 【分析】本题考查二次函数的表达形式变换、图像与坐标轴交点的求解、函数在指定区间内的取值范围，以及根据函数值范围反求自变量的取值范围． 将顶点式展开得一般式；令解方程求交点；根据抛物线开口向下及区间端点求出函数的取值范围；根据，函数取得最大值．确定时自变量取值范围． 【详解】解：二次函数； 当y=0时，解方程，得，，故交点坐标为和； 函数为开口向下的抛物线，顶点，在区间内， 当时，函数取得最大值． 当时：， 当时：， ∵当时，随增大而增大，此时， 当时，随增大而减小，此时， 综上所述：当时，函数的取值范围是， ∵，函数取得最大值． ∴，则自变量取值范围是． 故答案为： ；和；；． 51．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求该二次函数的顶点坐标及的面积． 【答案】顶点坐标为，面积为6 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，两点的距离，抛物线的顶点式，数形结合是解题的关键．先抛物线化为顶点式，求出顶点坐标，然后求出抛物线与x轴的交点坐标，求出，最后求的面积． 【详解】解：， 该二次函数的顶点坐标为． 当时，， 解得，， ， 当时，， ， 边上的高为3， ． 52．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知二次函数的图像顶点为，且经过点． (1)二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为_______． (2)已知点，在该抛物线图像上，则m______n（填“<”，“>”，“=”） (3)求这个二次函数的表达式； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质（对称性、增减性）及表达式求解，解题关键是利用二次函数顶点式结合已知点求解表达式，同时运用抛物线的对称性和单调性分析问题． （1）利用抛物线顶点（对称轴），结合已知交点的对称性，得另一交点． （2）由顶点知抛物线开口向下，根据点到对称轴的距离，判断函数值大小． （3）设顶点式，代入点求，化简得表达式． 【详解】（1）二次函数顶点为， 抛物线对称轴为， 已知抛物线与x轴交于， 设另一交点为， 根据对称轴公式， 解得， 另一交点坐标为． 故答案为． （2）由图像可知，抛物线开口向下，在对称轴两侧，点到对称轴的距离越远，函数值越小， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ． 故答案为． （3）设二次函数的解析式为， 图象顶点为， ， 经过点， ， 解得：， 解析式为． 题型十四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 53．（25-26九年级上·北京海淀·月考）二次函数的部分图象和对称轴如图所示． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键， （1）利用待定系数法解函数解析式即可； （2）根据函数图象即可得到当时， x的取值范围； （3）根据图象分两种情况讨论可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得：的图象过点，，对称轴是直线， ∴ 解得： ∴二次函数的表达式为：． （2）解：∵， 令，即， ∴， 解得：， ∴二次函数与轴的两个交点是，， ∵， ∴开口向下， 由函数图象可知：当时， ∴． （3）解：由（1）知，二次函数解析式为：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为：， 由图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，且两个交点的横坐标大于0，即此时有两个不同的正实数根． 当时，与的图象有一个交点，且交点的横坐标大于0，即此时有两个相同的正实数根． 综上可知，当时，总有两个正实数根． 54．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程式的两个根． (2)写出不等式的解集． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)对称轴是直线，则当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程以及不等式的关系，利用数形结合思想是关键． （1）方程的解就是二次函数与轴的交点的横坐标； （2）不等式的解就是使函数图象在轴下方部分自变量的范围； （3）根据函数图象首先求得对称轴，然后根据函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据函数图象可得：方程的两个根是，； （2）解：根据函数图象可得：不等式的解集为 （3）解：根据函数图象可得：对称轴是直线，则当时，随的增大而减小． 55．（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 a 0 … (1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标：________， _______ (3)当时，写出方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式的性质是关键． （1）根据描点、连线，画二次函数图象即可； （2）根据二次函数的顶点式进行解答即可； （3）根据图象和顶点坐标进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴顶点坐标为， ∵当和时，函数值相等， ∴， 故答案为：，； （3）解：根据图象的顶点坐标为，可知二次函数方程的解为． 56．（24-25九年级上·江苏南京·月考）对于抛物线． (1)它与轴交点的坐标为____，与轴交点的坐标为____，顶点坐标为____； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； … … … … (3)利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是____． 【答案】(1)，；； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，顶点坐标，画二次函数图象等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）分别求出当时，y的值，当时，x的值，以及把抛物线解析式化为顶点式求出对应的顶点坐标即可； （2）按照先列表，再描点，最后连线，画出对应的函数图象即可； （3）求出当时，y的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时， 解得或， ∴抛物线与x轴交点的坐标为，，与y轴交点的坐标为； ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， 故答案为：，；；； （2）列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 函数图象如下所示： （3）当时，， 当时，， ∵抛物线解析式为，， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 即当，y取得最小值为， ∴当时，， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴直线与抛物线在的范围内有交点， ∴． 题型十五 二次函数与方程、不等式综合 57．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点． 根据图象回答问题： (1)______； (2)当时，二次函数的取值范围为______； (3)若一次函数的图象经过点，当时，的取值范围为______． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）求得点A、B、C的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可解答； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，得到该抛物线的顶点坐标为，最大值为9，结合当和时的函数值，即可解答； （3）先利用待定系数法求得该一次函数的表达式，再联立两个解析式，求得该一次函数和二次函数的另一个交点的横坐标，然后结合图象找到二次函数的图象在一次函数的图象的上方时，x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：15； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，最大值为9， 由（1）可知，当时，，当时，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴一次函数的解析式为， ， 解得，， ∴一次函数与二次函数的另一个交点的横坐标为， 由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：． 58．（25-26九年级上·北京·期中）已知一次函数和二次函数．部分自变量和对应的函数值如表： 0 1 0 1 2 3 3 0 0 3 (1)函数的对称轴为：　　； (2)根据表中数据，在坐标系中画出两个函数的图象； (3)根据函数图象直接写出关于的不等式的解集是　　． 【答案】(1)直线 (2)图见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数（a、、是常数，）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． （1）由当和时值相等，利用二次函数的性质即可求出二次函数图象的对称轴； （2）描点、连线，画出函数图象即可； （3）观察图象得出不等式的解集． 【详解】（1）解：点和在二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线，即； 故答案为：直线； （2）解：画出函数图象如图： （3）解：不等式的解集是或， 故答案为：或． 59．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知二次函数（为常数，且）． (1)若函数图象过点，求的值； (2)若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标； (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入，解关于a的方程即可； （2）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则有且只有一个实数根，根据求解； （3）先求出对称轴为直线，顶点坐标为，再分与两种情况，根据增减性求出最大值、最小值，根据列式计算即可． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得； （2）解：若二次函数的图象与轴只有一个交点， 则有且只有一个实数根， ，且， 解得， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为； （3）解：， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上， 当时，时取最小值，最小值， 时取最大值，最大值， ， 解得，符合要求； 当时，抛物线开口向下， 当时，时取最大值，最大值， 时取最小值，最小值， ， 解得，符合要求； 综上可知，的值为． 60．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像．请根据函数图像，回答下列问题： (1)观察探究： ①方程的解为： ； ②若方程有四个实数根，则的取值范围是 ． (2)延伸思考： ①在同一个直角坐标系中画出函数的图像； ②观察图像，直线与两个函数图像最多有 个公共点； ③直接写出当时，自变量的取值范围 ． 【答案】(1)①或或；② (2)①见详解，②③或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据图象即可求得； ②根据图象即可求得； （2）①根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图象，即可作答． ②根据图象即可得到结论． ③根据图象即可得到结论． 【详解】（1）解：观察探究： ①由函数图象可知：方程的解为：或或； ②若方程有四个实数根，由函数图象可知：的取值范围是：． 故答案为：①或或；②； （2）解：①将函数的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数的图象， ②观察图像，直线与两个函数图像最多有个公共点； ③当时，自变量的取值范围是或． 1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，平行四边形的性质等知识，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识点． 根据二次函数的图象与性质和平行四边形的面积进行判断即可． 【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴， 故选项不符合题意； B、抛物线与轴交点在轴的下方， ∴， 故选项不符合题意； C、从图象可知当时，， ∴， 故选项不符合题意； D、∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③；根据题意可得函数的最小值为，据此可判断④． 【详解】解：函数图象开口方向向上， ， 对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ， ，故①错误； 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故③错误； 对称轴为直线，， ∴函数的最小值为， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故选：C． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过抛物线开口方向、对称轴位置及点A、B的横坐标范围，判断函数值大小及与2的关系，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴开口向上，对称轴， ∵， ∴对称轴满足， ∵点A横坐标满足，点B横坐标满足， ∴， ∴点A在对称轴右侧； 同理， ∴点B在对称轴右侧，函数递增， ∴由，得， 令，解方程，得， 解得：或， ∵， ∴， 当时，， ∵满足，且， ∴， ∵满足， ∴， 综上，， 故选：C． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（    ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是. 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数，当时，该函数图象与轴有且只有一个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象与坐标轴的交点个数，找到临界点和数形结合是解题的关键． 根据题意可知有两种情况，第一种当顶点在x轴上时，满足与轴只有一个交点；第二种，根据二次函数图象的平移规律，将图象向下平移，在时的临界点为，，代入求出c的值，再利用数形结合即可求解． 【详解】解：因为该二次函数，即该函数图像的对称轴为， 如图，当二次函数的顶点在x轴上时，图象与轴只有一个交点，即过， 则，解得； 当，时，，解得， 当，时，，解得， 结合图象和二次函数图形的平移规律可得，当时，二次函数的图象在时，与轴只有一个交点； 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．⑥，其中正确的有 ． 【答案】②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质求出，，进而可判断①；根据二次函数与坐标轴的交点可判断②；根据特殊点的函数值和二次函数的对称性可判断③；对称轴为直线可判断④；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤；根据特殊点的函数值和平方差公式可判断⑥． 【详解】解：①抛物线的开口向下：，对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴：； ∴，故①错误； ②∵抛物线与轴有两个交点：，故②正确； ③∵对称轴为直线， ∴与时y的值相等， ∵时，， ∴时，， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④对称轴为直线， ∴，故④错误； ⑤∵顶点坐标：， ∴当且仅当时，， ∴有两个相等的实数根．故⑤正确； ⑥由图可知：， ∴， ∴；故⑥正确； 综上：正确的是②⑤⑥． 故答案为：②⑤⑥． 7．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为，在对称轴上有一点P，使的值最小的P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式． 连接，交直线于P，根据二次函数的对称性可知此时最小，根据将代入得到，求出直线的解析式为：，进而可求出． 【详解】解：根据二次函数的对称性可知， 即， 如图，连接，交直线于P，可知此时最小， 当时，， 由题意得：， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得： ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为，，某二次函数图象在平移过程中，顶点始终在线段上，与x轴交于C，D两点，若线段的最小值为2，则最大值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据题意得出顶点为B点时，线段的最小值，顶点为A点时，线段有最大值，当顶点为B点时，设函数解析式为： ，得出，由于开口大小不变，确定顶点为A点时，则 ，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意，顶点为B点时，线段的最小值，顶点为A点时，线段有最大值， 当顶点为B点时，设函数解析式为： ， 令,则 ，即 ， 设点， 则此时 ， ∵线段的最小值为2， ， ， ， 解得， ， 顶点为A点时，则 ， 令，则 ，即 ， 则此时 ， ， ， （负值舍去）， ∴线段的最大值为 ， 故答案为： ． 9．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得直线的表达式为，过点作交轴于点，连接，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：点，点， ， ． ， ， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，连接， ， ， ， ∴， 同理可得的表达式为， 联立得：， 解得，， 或． 10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数中面积的最值问题，得到关于点D横坐标的二次函数解析式是解题的关键． （1）将代入，求出a的值即可； （2）连接，设点D的坐标为，根据得出关于m的二次函数解析式，化为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图，    在二次函数中，令，得， 解得，， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点D的坐标为， 则 ， 当时，的面积最大， 此时点D的坐标为． 11．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． (1)请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； (2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)，8 (2)线段的长度为， 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令，转化为方程求出即可； （2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论． 【详解】（1）解：原解析式变形为顶点式得， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为，此时取得最大值5． 把代入得 ，（舍去）． ； 故答案为：，8； （2）解：变形为顶点式得，，顶点坐标为， 根据平移规律可知，抛物线向左平移了3个单位，向下平移了5个单位． 点坐标为， 的坐标为，即， 线段的长度为， 线段的长度为． 12．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 m 0 3 … (1)________；将其配方成的形式为____________________． (2)在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象． (3)填空：①当时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是__________； ②将原抛物线沿着x轴翻折所得的抛物线对应的函数表达式为________________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①，② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键； （1）把代入抛物线的解析式即可求出m，然后将抛物线的一般式配方为顶点式即可得到答案； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）①先确定抛物线的对称轴，进而可得n的范围； ②确定原抛物线沿着x轴翻折后a的值与顶点坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ； 故答案为：，； （2）解：抛物线的图象如图所示： （3）解：①∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是； 故答案为：； ②将原抛物线沿着x轴翻折，则新抛物线的开口方向向下，则，新抛物线的顶点为， ∴所得的抛物线对应的函数表达式为； 故答案为：． 1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，抛物线过点、，已知，点在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为．则下列结论正确的是（    ） A． B．若，当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，则t的取值范围为 C．关于的方程有实数根 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，，由二次函数的顶点的坐标为得出，将代入二次函数的解析式可得，即可判断A错误；求出，结合点在点与点之间（包含端点），得出，即可判断D正确；由二次函数的顶点的坐标为，二次函数的图象开口向上，得出抛物线与直线没有交点，即可判断C错误；由题意可得，当时，函数取得最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，由此即可判断B错误；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵二次函数的顶点的坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴，即，故A错误； 在中，当时，，即， ∵点在点与点之间（包含端点）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； ∵二次函数的顶点的坐标为，二次函数的图象开口向上， ∴抛物线与直线没有交点，则关于的方程没有实数根，故C错误； 由题意可得，当时，函数取得最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵若，当时函数取得最大值，当时函数取得最小值， ∴，且， 解得：，故B错误； 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知函数，当时，函数值随增大而减小，且对于任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象，掌握相关知识点是解题的关键，由函数在时函数值随增大而减小，可知；给定范围内函数值的差不超过，可得最大值与最小值的差不超过，解不等式并结合可求出的取值范围． 【详解】解：函数开口向上，对称轴为直线，且时函数值随增大而减小， ， 任意的和，，相应的函数值，总满足， 时，最大值与最小值的差不超过， 时，取到最小值， ， ，对称轴为直线， 时，取到最大值，此时， ，即， 解得， 又， ． 故选：． 3．（25-26九年级上·北京·月考）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得离对称轴越远，函数值越大，根据题意可得点A一定在点B的左侧，那么点A和点B不能同时在对称轴右侧，据此可得，当时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足；当时，则的最小值一定要大于的最大值，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点A一定在点B的左侧， 又∵， ∴点A和点B不能同时在对称轴右侧（在对称轴右侧y随x增大而增大，此时必定不满足题意）， ∴， ∴； 当，即时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足； 当时，， ∵要恒成立， ∴的最小值一定要大于的最大值， ∴， 解得， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）二次函数图象的对称轴过点，该函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是 ． 【答案】4 【分析】由对称轴过点可得对称轴为，即，从而得到；点 在一次函数上，代入得，即在二次函数上，代入得 ；将代入后化简得；所求表达式可化为 ，故结果为4． 本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与一次函数的交点意义，求代数式的值，熟练掌握对称轴的应用，交点的意义是解题的关键． 【详解】解：二次函数 （）的对称轴方程为； ∵ 对称轴过点， ∴ ，即 ； 点 在一次函数上， ∴ ，即； ∵ 点在二次函数上， ∴ ， 即； 将代入上式，得， ， ， 将代入得，， ∴ ， 故答案为：4． 5．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为． (1)若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】(1)①；② (2)5 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可； ②先求出，再根据可得，由此求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式为，对对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，当时，函数在区间上单调递减，最大值为，最小值为，根据题意列方程求解，当时，再分和两种情况讨论最小值，由此求解即可． 【详解】（1）解：①若，则， 则二次函数的顶点坐标为； 故答案为：； ②， ， ，， ， ， 即； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 在中 ①当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， ，（舍去）， ②当时，即时， 时，最大值为， 时，最小值为， 此时，不符合题意； ③当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， （舍去），（舍去）， 综上所述，． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知二次函数，一次函数，其中a，c为常数且． (1)求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； (2)若，时，填空：①当时，则的取值范围是_____；②当时，的取值范围是_____ (3)点、分别在二次函数和一次函数图像上．若抛物线上存在两个不同的点，求的范围． 【答案】(1)见解析 (2)①②或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先求得二次函数的顶点为，然后结合当时，，可证得结论； （2）①此时，其对称轴为，图象开口向上，当时，有最小值，顶点坐标为，当和代入，即可求得 的取值范围；②先求得二次函数与一次函数的两个交点，画图其图象，即可得出结论； （3）由题意可得，，，联立整理后为，接着利用其判别式大于0即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴其顶点为， ∵当时，， ∴二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上； （2）解：①当，时，此时二次函数，一次函数， ∵， ∴其对称轴为，图象开口向上，当时，有最小值，顶点坐标为， 当时，；当时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； ②当时，， ∴与相交于点， 由（1）可知，二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上， 画图如下： 当时，或， 故答案为：或． （3）解：∵点、分别在二次函数和一次函数图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵抛物线上存在两个不同的点， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $