寒假作业08 反比例函数及其应用14大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 反比例函数及其应用 知识点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 知识点三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 知识点四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 知识点五、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 反比例函数概念 1．（25-26九年级上·山东日照·月考）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·全国·期末）下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 4．（25-26九年级上·四川达州·期中）函数 是反比例函数，则m的值是 ． 5．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 题型二 反比例函数的自变量与值 6．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 8．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 9．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 10．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 题型三 反比例函数解析式 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为 ． 12．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）点和点是反比例函数图象的上两点，则的值为 ． 13．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且m为整数，则过点A的反比例函数的解析式为 ． 14．（2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由． 15．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）已知：如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 题型四 画反比例函数图象 16．（25-26九年级上·河北·阶段练习）（）画出函数的图象． ①列表： ②描点并连线． （）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 17．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 18．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 19．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 20．（2024·宁夏中卫·一模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：    x … 0 1 2 … y … 3 2 m … (1)绘制函数图象． ①列表：上表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (2)探究函数性质． 判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）． ①函数图象关于原点对称；（    ） 函数图象与直线没有交点；（      ） ②请写出该函数图象的变化趋势 ． 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 21．（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ． 25．（24-25八年级下·上海嘉定·开学考试）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．    题型六 已知双曲线分布的象限求参数范围 26．（25-26九年级上·福建福州·月考）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则k的值可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 27．（25-26九年级上·湖南·月考）若反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·全国·期末）已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是 ． 29．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 30．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知反比例函数，其中是常数． (1)若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当取什么值时，在每个象限内随的增大而减小？ 题型七 反比例函数的增减性 31．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知反比例函数，y随x增大而增大，则a的取值范围（） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）已知反比例函数的图象在每个象限内，随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 34．（24-25九年级上·广西北海·月考）函数是反比例函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ． 35．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 题型八 比较反比例函数或自变量的大小 36．（25-26九年级上·内蒙古·期末）已知点都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 37．（25-26九年级上·重庆江北·月考）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·江西九江·月考）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）． 39．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）已知点、、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则与的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 40．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）已知反比例函数 (1)若，写出反比例函数的图像所在的象限； (2)当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若点与点均在双曲线上，请比较m与n的大小． 题型九 反比例函数的k值意义 41．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 42．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（   ） A．20 B．40 C． D． 43．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为 ． 44．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 45．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，反比例函数图象的一支位于第一象限． (1)该函数图象的另一支在第______象限，k的取值范围是_____； (2)点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，若的面积为6，求k的值． 题型十 一次函数与反比例函数的交点问题 46．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，若正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴，垂足为C，且，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 47．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，一次函数的图象过点，且与反比例函数的图象相交于B、C两点．若，则的值为 ． 48．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若函数与的图象交于点，则的值为 ． 49．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为 ． 50．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象直接写出当x取何范围时，有？ (3)若点P在y轴上，且的面积为6，求出点P的坐标； 题型十一 一次函数与反比例函数图象的综合判断 51．（25-26九年级上·广东深圳·月考）函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 52．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 53．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是 ． 54．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是 ． 55．（2025九年级·江西·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求，，的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 题型十二 一次函数与反比例函数的实际应用 56．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 57．（25-26九年级上·云南昆明·月考）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，与之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长． 58．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 59．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 60．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 题型十三 实际问题与反比例函数 61．（甘肃省白银市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点的注意力指标数是________． (2)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 62．（25-26九年级上·河南信阳·月考）（1）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． （2）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． ①求密度关于体积的函数解析式； ②若，则二氧化碳密度的变化范围为______． 63．（25-26九年级上·山东聊城·月考）一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)求出注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式； (2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟? 64．（25-26九年级上·山西太原·月考）通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． (1)求出度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式． (2)为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生的建议． 65．（25-26八年级上·全国·假期作业）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 题型十四 反比例函数与几何综合 66．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 67．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点为线段上一点，若，求点的坐标． 68．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)在反比例函数图象上，是否存在一点使得为直角三角形，且，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 69．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)直接写出的面积． 70．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为 ． (1)求的值和直线的解析式； (2)求的面积 1．（25-26九年级上·山东日照·月考）关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．若轴，轴，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·天津南开·月考）如图，在平面直角坐标系中，在函数的图象上有一点，过作轴于点为点关于轴的对称点，若的面积为7，则 ． 6．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点作交轴于点，点在上，连接，．则的面积为 ． 7．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，边在轴上，边，与反比例函数的图象分别相交于点，，连接，若，且的面积为，则的值为 ． 8．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．若，则 ． 9．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出满足的x的取值范围； (3)连接，求的面积． 10．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数的解析式： (2)连接，，求面积． 11．（25-26九年级上·宁夏银川·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 12．（25-26九年级上·山东日照·月考）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是直线的一部分；当时，图象是反比例函数图象的一部分． (1)第分钟的注意力指标值为___________； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，点P为直线上一动点，连接PA、PB，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，，，…，都是一边在轴上的等边三角形，顶点，，…，都在反比例函数的图象上，则（为正整数）的坐标是 ． 4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)填空：_________，_________，点的坐标是_________，点的坐标是_________； (2)点是轴上的动点，连接，，则的最小值是_________； (3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，对任意点的阶映射变换（为常数）定义如下：若点的横坐标满足，则变换后对应点为；若，则变换后对应点为．如：点的1阶映射变换对应点为；点的4阶映射变换对应点为．请根据变换规则解答下列问题： (1)点的5阶映射变换对应点落在反比例函数的图象上，求的值； (2)点的0阶映射变换对应点落在直线的图象上，求的值； (3)点在直线的图象上，且点是点的1阶映射变换对应点． ①设点，求关于的函数关系式； ②若点在①的关于的函数图象上，点在的图象上，且，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 反比例函数及其应用 知识点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 知识点三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 知识点四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 知识点五、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 反比例函数概念 1．（25-26九年级上·山东日照·月考）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，为常数且）是解题的关键． 根据反比例函数的定义（形式为或，其中为常数且，自变量单独在分母），逐一判断每个函数是否符合． 【详解】解：①符合形式，，是反比例函数； ②是正比例函数形式，不是反比例函数； ③符合形式，，是反比例函数； ④，即，符合形式，，是反比例函数 ⑤，分母是，不是单独的，不是反比例函数； ⑥，含有常数项，不符合形式，不是反比例函数； 故是反比例函数的有①、③、④，共3个， 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·期末）下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，）是解题的关键．根据反比例函数的定义（形式为或，），逐一判断各关系式是否符合该定义． 【详解】解：∵ 反比例函数需满足或（）， ∴ ①是正比例函数，不符合； ②即，是正比例函数，不符合； ③符合形式，是反比例函数； ④是一次函数，不符合； ⑤是二次函数，不符合； ⑥中的指数为，不符合反比例函数定义； ⑦即，符合形式，是反比例函数； ∴ 是反比例函数的有③⑦，共2个． 故选：C． 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·四川达州·期中）函数 是反比例函数，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，函数需满足指数为且系数不为零． 【详解】解：由反比例函数的定义，得 且 ． 解方程 ， 解得 或 ． 又因为 ，所以 ．因此 ， 故答案为4． 5．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 题型二 反比例函数的自变量与值 6．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，点是反比例函数图象上一点，则，故有反比例函数解析式为，然后逐项代入即可求解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：． 7．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象特征逐一判断即可． 【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意； 当时，， 函数在第一象限， ∴ ∴，B选项正确，不符合题意； ∵无解， ∴反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点中心对称， ∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上， ∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 8．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 9．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意，和都满足解析式，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， 解得： 故答案为：． 10．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 题型三 反比例函数解析式 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，再由所在的象限判断k的符号，求出满足条件的k的值，即可解答． 【详解】解：∵的面积为3， ∴， 解得 ∵， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）点和点是反比例函数图象的上两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程、反比例函数图象上点的坐标特征，明确同一反比例函数图象上的点的横纵坐标的积相等，都等于反比例函数的比例系数是解题的关键．根据同一反比例函数图象上横纵坐标的积为定值解答即可． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴ 解得：或 又∵，且 ∴，即，故不合题意，舍去， ∴ ∴ 故答案为：． 13．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且m为整数，则过点A的反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据第二象限点的坐标特征，列出不等式组求解m的取值范围，结合m为整数确定m的值，得到点A的坐标，再代入反比例函数的一般形式求解析式． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，解得， 又∵m为整数， ∴， ∴点A的坐标为， 设反比例函数的解析式为，将点A代入得，解得， ∴反比例函数的解析式为． 故答案为：． 14．（2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握相关方法和性质． （1）将已知点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，进而得到函数表达式； （2）根据反比例函数性质判断函数在不同象限的增减性，再比较各点纵坐标大小． 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得． 所以反比例函数表达式为． （2）解：对于反比例函数， ∵， 所以在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点在第三象限， 所以； 点，在第一象限，，所以． 所以． 15．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）已知：如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题． （1）先把点代入求出n，然后再代入求出k即可； （2）过点作直线轴于，分别求出，的长，再利用即可求解． 【详解】（1）解：将点代入 解得：， 则点的坐标为， 将点代入， 得， 反比例函数的解析式为； （2）解：过点作直线轴于， ∵点的坐标为， ∴， 由一次函数可得， 当时，， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 题型四 画反比例函数图象 16．（25-26九年级上·河北·阶段练习）（）画出函数的图象． ①列表： ②描点并连线． （）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（）①见解析，②见解析；（）上升，变大． 【详解】（）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （）根据反比例函数的图象即可求解； 本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质，正确画出反比例函数的图象是解题的关键． 解：（）①列表： ②描点并连线： （）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当由小变大时随之变大． 故答案为：上升，变大． 17．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 【答案】(1) 4， (2)． 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：. （2）描点连线绘制函数图像如下： 【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. 18．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 【答案】双曲线； 0 ； 无 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法和性质，准确画出函数的图象是解题的关键． 利用描点法，作出反比例函数的图象，结合图象填空． 【详解】对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 如下图所示： 由图知，反比例函数的图象叫做双曲线．因为自变量x与函数y的值都不能取0，所以反比例函数的图象与x轴、y轴无交点． 19．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 【答案】(1)①，③见详解 (2)①减小，② (3)①向右平移1个单位；②向左平移个单位 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①直接把和分别代入，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答． （2）运用数形结合思想即可作答①②． （3）运用类比法得出平移规律，即可作答． 【详解】（1）解：①把代入， 得 把代入， 得； 故答案为：， ②描点：如图所示； ③如图所示： （2）解：①当时，随的增大而减小； ②函数的图象的对称中心是， 故答案为：减小，； （3）解：①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的； ②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的， ∵与的分母差值为， ∴函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象 20．（2024·宁夏中卫·一模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：    x … 0 1 2 … y … 3 2 m … (1)绘制函数图象． ①列表：上表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (2)探究函数性质． 判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）． ①函数图象关于原点对称；（    ） 函数图象与直线没有交点；（      ） ②请写出该函数图象的变化趋势 ． 【答案】(1)①1，②③见详解 (2)①；，②每一个分支上，函数值y随x的增大而减小 【分析】本题考查函数的图形及性质． （1）①将代入即得m的值；②描出即可；③把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可； （2）①②根据图象，数形结合即可判断． 【详解】（1）解：①时，， 故答案为：1； ②如图：     ， ∴A即为的点； ③补充图象如图：    （2）解：根据函数图象可得： ①图象关于对称，故“函数图象关于原点对称”的说法错误，应为：， 时，无意义，函数图象与直线没有交点，应为． 故答案为： ；． ②该函数图象的变化趋势：每一个分支上，函数值y随x的增大而减小． 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 21．（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可． 【详解】解：依题意，点与点关于原点成中心对称图形， ∴点的坐标是 故选：A． 22．（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 23．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 24．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为，则，代入解析式解出a值即可． 【详解】解：设点A坐标为，则， 将点B坐标代入得：， 解得 故答案为： 25．（24-25八年级下·上海嘉定·开学考试）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．    【答案】 【分析】把代入反比例函数解析式可得点A坐标，然后根据点和点关于原点对称可得点的坐标． 【详解】解：把点代入得：， ∴， ∵正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点， ∴点和点关于原点对称， ∴． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握正比例函数与反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 题型六 已知双曲线分布的象限求参数范围 26．（25-26九年级上·福建福州·月考）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则k的值可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 根据反比例函数的图象经过第一、三象限可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 27．（25-26九年级上·湖南·月考）若反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象位于一、三象限时，比例系数大于零计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， ∴， 故选：A． 28．（25-26九年级上·全国·期末）已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，指数部分应为，且图象在第二、四象限时比例系数小于0． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得，或， 又∵图象在第二、四象限， ∴比例系数，即， ∴不符合，符合， 故答案为． 29．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，中的符号对图象位置和增减性的影响． （1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时，列不等式求解； （2）根据时随增大而减小，可知，列不等式求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数， 解不等式得， 即； （2）解：当时，随值的增大而减小， 则比例系数， 解不等式得， 即． 30．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知反比例函数，其中是常数． (1)若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当取什么值时，在每个象限内随的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：； （2）解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴． 题型七 反比例函数的增减性 31．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知反比例函数，y随x增大而增大，则a的取值范围（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在的范围内，随的增大而增大．由此建立不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数（）中，随增大而增大， ∴， ∴． 因此，的取值范围是， 故选：C． 32．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，双曲线在第一和第三象限，且y随x的增大而减小求解即可 【详解】解：在每一象限内，y随x的增大而减小， 比例系数， ， 故选：A 33．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）已知反比例函数的图象在每个象限内，随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，要知道：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内的值随的值增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内的值随的值增大而增大．由于反比例函数的图象在每个象限内的值随的值增大而减小，可知比例系数为正数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象在每个象限内函数值随自变量的增大而减小， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·广西北海·月考）函数是反比例函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义及性质，由反比例函数的定义计算可得或，再结合反比例函数的性质得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得：或， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质． （1）根据题意可判断反比例函数在第二、四象限，此时，进而求得k的取值范围； （2）将点代入反比例函数解析式即可求得k的值． 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数在二、四象限， ∴， 解得， 即k的取值范围是． （2）解：∵点在该函数图象上， ∴代入反比例函数得：， 解得， 即k的值为． 题型八 比较反比例函数或自变量的大小 36．（25-26九年级上·内蒙古·期末）已知点都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可得反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，根据时，时点A和点B都在第三象限可判断B、C、D；根据时，点A在第三象限，点B在第一象限可判断A． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， 当时，若，即，那么此时点A和点B都在第三象限，则此时有，故D说法正确，B、C说法不正确； 当时，，那么此时点A在第三象限，点B在第一象限，则此时，故A说法错误； 故选；D． 37．（25-26九年级上·重庆江北·月考）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 由反比例函数解析式得比例系数 ，故函数图象在第二、四象限． 点 和 的横坐标为负，纵坐标为正；点 的横坐标为正，纵坐标为负． 因此 ，且由反比例函数性质，在第二象限内 随 增大而增大，得到，比较得 ． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ． ∴ 反比例函数 中 ． 对于点 ∶ ， ∵ ， ∴ ，即 ． 对于点 ∶ ， ∵ ， ∴ ，即 ． 对于点 ∶ ， ∵ ， ∴ ． 比较 和 ∶ ∵ ，，且 ， ∴ ，即 ． 综上，． 故选：C． 38．（25-26九年级上·江西九江·月考）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数中，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得解． 【详解】解：对于反比例函数， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ，， 点位于第二象限，点位于第四象限， ，， ． 故答案为：． 39．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）已知点、、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则与的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象分布与k值符号的关系是解题的关键． 先利用已知点求出反比例函数的k值，判断函数图象所在象限，再根据点的横坐标符号确定点所在象限，进而比较函数值的大小． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ， ∴ 点在第三象限， ∴ ， ∵ ， ∴ 点在第一象限， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 40．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）已知反比例函数 (1)若，写出反比例函数的图像所在的象限； (2)当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若点与点均在双曲线上，请比较m与n的大小． 【答案】(1)第二、第四象限 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握函数图像性质与的关系是解题的关键． （1）将的值代入，由系数的正负判断函数图像的位置； （2）要使y随x的增大而增大，即，解得的取值范围； （3）根据与的大小关系进行分类讨论． 【详解】（1）解：当时，反比例函数， ∵系数为， ∴其图象位于第二、第四象限． （2）解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴，解得． （3）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 题型九 反比例函数的k值意义 41．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为8，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点的横坐标为6，点的纵坐标为3， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为8， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 42．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（   ） A．20 B．40 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．设点B坐标为，得到，即可得到点E坐标为，点F坐标为，．根据的面积为5，得到，求出，然后根据点E在图象上，从而求出k． 【详解】解：设点B坐标为， ∵四边形为矩形，并且在第一象限， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴点E坐标为，点F坐标为，． ∵的面积为5， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴． 故选：A． 43．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 44．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 45．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，反比例函数图象的一支位于第一象限． (1)该函数图象的另一支在第______象限，k的取值范围是_____； (2)点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，若的面积为6，求k的值． 【答案】(1)三， (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象和性质得出即可； （2）求出B、C的坐标，求出和的长，根据三角形的面积求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象的一支位于第一象限， ∴该函数图象的另一支在第三象限，且， ∴k的取值范围是； 故答案为：三，； （2）解：设点A的坐标为， ∵点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称， ∴，，点B的坐标是，点C的坐标是， ∴，． ∵的面积为6， ∴． ∴． ∴． ∵点A在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴． 解得． 题型十 一次函数与反比例函数的交点问题 46．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，若正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴，垂足为C，且，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、根据函数图象确定不等式的解集等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据结合坐标与图形求得，即；再根据函数图象确定不等式的解集即可． 【详解】解：∵，，轴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 由函数图象可知：不等式的解集为或． 故选D． 47．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，一次函数的图象过点，且与反比例函数的图象相交于B、C两点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是运用好这一条件，此题有一定的难度，需要同学们细心领会．由可知，根据相交得出，得到，，再由，点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不妨设，即可得到，据此可以求出的值． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴ 令， 整理得， ∴，， ∵， ∴点的横坐标是点横坐标的2倍，不妨设， ∴，， ∴， 整理得，． 故答案为：． 48．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若函数与的图象交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求代数式的值，由交点坐标满足两个函数解析式，可得和，进而代入表达式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 49．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 50．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象直接写出当x取何范围时，有？ (3)若点P在y轴上，且的面积为6，求出点P的坐标； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，几何图形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键． （1）将代入，求得，再将代入求出k即可； （2）观察图象即可的答案； （3）求出点 B、C的坐标，设点P的坐标为，得到，根据的面积为6，得到，求出a值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵反比例函数的图象过点A， ∴，即 ∴反比例函数的表达式为； （2）解：观察图象可知时，x取何范围是或； （3）解：∵反比例函数的图象过点B，点B的横坐标为4， ∴，即 设点P的坐标为， ∵一次函数的图象与y轴交于点C． ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得或 ∴点P的坐标为或． 题型十一 一次函数与反比例函数图象的综合判断 51．（25-26九年级上·广东深圳·月考）函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象性质，分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限，再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当时，，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三象限； ②当时，，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第二、四象限， 综合以上情况，符合题意的有C选项． 故选：C． 52．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质．根据k的符号，统一反比例函数与一次函数的图象特征是解题关键． 根据题意可知直线过，然后对和的情况分类讨论即可． 【详解】解：根据题目可知直线过，排除B选项， 当，反比例函数的图像在第一、三象限，直线过第一、三、四象限， 当，反比例函数的图像在第二、四象限，直线过第二、三、四象限， 可知只有D符合要求． 故选：D． 53．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 延长交轴于点，过点作轴于点，可得， 均为等腰直角三角形，设点的坐标为，可得点的坐标为，可得直线函数解析式，设点的横坐标为，则可得点的坐标，计算出，由即可求解出的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， ∵为直线上一点， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为，则， ∴点的坐标为， 设直线函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 设点的横坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：8． 54．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，关于原点对称的坐标特点，以及利用函数图象解不等式，根据一次函数图象和反比例反比例函数图象都是关于原点对称的，得出A和B关于原点对称，从而求出B点坐标，观察图象找出直线在双曲线的下方时x的范围即可解答． 【详解】解∶∵一次函数图象和反比例函数图象都是关于原点对称的， ∴A和B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为， 由图象可得，当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是或， ∴不等式的解集是或， 故答案为∶ 或． 55．（2025九年级·江西·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求，，的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求函数解析式及根据函数图象确定不等式的解集，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）先将，代入，求得，进而求得点的坐标，进而利用待定系数法求一次函数解析式即可求得，的值； （2）根据，的坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ∴， ∴点的坐标为， 将，代入， 得， 解得， ∴，，． （2）解：∵，， ∴结合图象得：不等式的解集为或． 题型十二 一次函数与反比例函数的实际应用 56．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 57．（25-26九年级上·云南昆明·月考）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，与之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 58．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：（），利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：，解得：， ∴（）， 当时，设y与x的函数关系式为：（）， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得：，解得：， 代入得，解得：． （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 59．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 60．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 题型十三 实际问题与反比例函数 61．（甘肃省白银市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点的注意力指标数是________． (2)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设的解析式为，将代入可得双曲线的解析式，把代入解析式中即可得解； （2）当时，设的解析式为，代入，两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断． 【详解】（1）解：设的解析式为：， 将点代入得， ， 当时，， ， 由图可知：点的注意力指标数是． 故答案为：． （2）解：由（1）可知， 当时，设的解析式为， 将点、代入得： ，解得． ． （3）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，， 解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． 当时，注意力指标数都不低于． 而， 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 62．（25-26九年级上·河南信阳·月考）（1）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． （2）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． ①求密度关于体积的函数解析式； ②若，则二氧化碳密度的变化范围为______． 【答案】（1）　（2）①　② 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，反比例函数的解析式求解，反比例函数的性质，通过掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）先通过树状图列出“第一次抽张、第二次抽剩余张”的所有等可能结果，再从结果中数出包含“生”的结果数，最后用“含‘生’的结果数总结果数”算出概率； （2）①根据“与是反比例函数关系”，设解析式为，代入已知点求出，进而得到解析式​； ②根据“时，在每个象限内，随增大而减小”，分别代入和算出对应的值，进而得到变化范围． 【详解】（1）解：作树状图如下． 由图可知共有种等可能的结果，其中两张卡片里含有“生”的结果有种， 则抽取两张卡片里含有“生”的概率为． （2）解：①设函数解析式为，代入点， ，即， 故密度关于体积的函数解析式为． ②，， 当，随的增大而减小， 当，；当，， 的变化范围为． 故答案为：． 63．（25-26九年级上·山东聊城·月考）一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)求出注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式； (2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟? 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的就是函数图像的基本应用问题，属于基础题型．求函数解析式的时候我们用的就是待定系数法，在设函数关系式的时候一定要正确． （1）利用待定系数法分别求出函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式分别求出x的值，然后进行作差得出答案． 【详解】（1）解：设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，，解得， ∴解析式为：， 设所在双曲线的解析式为， 把代入得，，解得， ∴曲线的解析式为：， ； （2）解：将代入，得，解得：， 将代入，得，解得．， ， ∴完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟． 64．（25-26九年级上·山西太原·月考）通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． (1)求出度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式． (2)为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生的建议． 【答案】(1) (2)近视眼镜度数小于400度时符合医生的建议 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，其中，将代入即可求解； （2）求出时对应的D的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：设，其中， 将代入，得：， 解得， 故度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式为． （2）解：当时，， 由图可知，D随f的增大而减小， 故近视眼镜度数小于400度时符合医生的建议． 65．（25-26八年级上·全国·假期作业）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：，利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，设y与x的函数关系式为：， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：将代入得：，解得：， 代入得，解得：． 综上，或； （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 题型十四 反比例函数与几何综合 66．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． 【详解】（1）解：作，垂足为E， ∵， ∴． 在中，，， ∴, ∵， ∴C点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 故答案为：12． （2）解：设A点的坐标为， ∵，， ∴， ∴D，C两点的坐标分别为：，． ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴C点的坐标为：， ∴． 故答案为：． 67．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点为线段上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，勾股定理等知识解题的关键是掌握以上知识点．， （1）根据矩形的性质以及，可得点M的坐标为，然后代入即可求解； （2）先求出点N的坐标为，可得，设点P的坐标为，则，，根据勾股定理以及，可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点N的坐标为， ∴， 设点P的坐标为，则，， ∵，， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 68．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)在反比例函数图象上，是否存在一点使得为直角三角形，且，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的解析式求解，函数值大小的数形结合分析，直角三角形存在性的几何模型应用，利用“一线三垂直”模型构造相似三角形是解题关键． （1）直接代入点坐标求反比例函数的，再代入点求出其坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）根据函数图像的交点，划分区间，观察“一次函数图像在反比例函数图像上方”的区域，需要注意反比例函数的定义域限制； （3）用“一线三垂直”模型将转化为相似三角形的条件，通过相似比设未知数表示点坐标，再结合反比例函数的解析式列方程求解． 【详解】（1）解：把代入中，可得， 故反比例函数为， 将代入中，得， 则点坐标为， 把和代入中， 可得：， 解得：， 故一次函数的表达式为． 答：，． （2）解：由图像以及，可得：或． （3）解：过作轴的垂线，过和分别作直线的垂线，垂足分别为和． ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则， 则， 把代入中， 可得，解得：（不合题意，舍去），， 故的坐标为． 答：存在，． 69．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)直接写出的面积． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据，可得的值，进而得到的值，再根据待定系数法，即可得出一次函数解析式； （2）根据图象中的交点即可求解； （3）求得直线与轴的交点，然后根据求得即可． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数上， ∴， ∴的坐标， ∵把，代入，得： ， 由①②得：，即， 将代入①中得：，即， 综上， ∴一次函数的解析式为； （2）由图象上交点，知：当或时，反比例函数的值小于一次函数的值； （3）∵把代入得， ∴直线和y轴交点为． ∵，，， ∴，，， ∴， ， ， ， ． 70．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为 ． (1)求的值和直线的解析式； (2)求的面积 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数、一次函数与几何的综合、待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式． (1)把点的坐标代入即可求出的值；用待定系数法求出直线的解析式； (2)利用反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，延长交轴于点，连接，根据直线的解析式求出点的坐标，即可得到的长度，根据即可求出结果，其中的高是点的纵坐标，的高是点的纵坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过线段的端点， ， 解得：， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是； （2）解：如下图所示，延长交轴于点，连接， 由(1)可知反比例函数的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 点的坐标是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ． 1．（25-26九年级上·山东日照·月考）关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数，可得，图象在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大，逐项分析判断． 【详解】解：当时， ，即点 在反比例函数图象上，A正确； ，故反比例函数图象在第二、四象限，B正确； 当时， 随的增大而增大，C正确； 当时， ，即 ，D不正确； 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式．根据反比例函数的图象性质和路程与速度、时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， 最高车速为， 在最高车速下的行驶时间（分钟）， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为（分钟）， 通过段限速区间的行驶时间应该在分钟之间． 选项符合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．若轴，轴，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，勾股定理，设点，则点，，根据求出点，然后求出， 然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设点，则点，． ， ，解得（负值舍去）， 点， 点，， ， ∵轴，轴， ， ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴，垂足为，过点B作轴，垂足为，可证明得到，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为，过点B作轴，垂足为， ∴， ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵第二象限内的点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26九年级上·天津南开·月考）如图，在平面直角坐标系中，在函数的图象上有一点，过作轴于点为点关于轴的对称点，若的面积为7，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查反比例函数中比例系数k的几何意义，轴对称的性质．设点，则， 连接，由点B与点A关于y轴对称得到，从而，因此，再根据点在函数的图象上可得． 【详解】解：设点， ∴， 连接， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：7． 6．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点作交轴于点，点在上，连接，．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，关键是根据同底等高把面积进行转化． 设，则，求出，得到，，然后由得到的面积等于的面积，然后列式求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点在反比例函数的图象上， 又∵， 设，则， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵，依据同底等高的原理， ∴的面积等于的面积． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，边在轴上，边，与反比例函数的图象分别相交于点，，连接，若，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数的图像性质，三角形面积的和差运算，掌握反比例函数的几何意义是解题关键． 先由垂直关系判定，利用相似比得面积比，再借助反比例函数的几何意义，表示出、的面积，接着通过表示的面积​列方程求出，最后结合确定． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，等腰三角形性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．过点作于点，利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，进而得出点的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ， 点的横坐标为， 点的坐标为， 把点代入中得：， 解得． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出满足的x的取值范围； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）将代入求得点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）求出的长，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：点A的横坐标为，点B的横坐标为4， 由函数图象可知，时，或； （3）解：当时，， ∴， ∵点B的横坐标为4， ∴． 10．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数的解析式： (2)连接，，求面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数解析式、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先把代入可得，即，再把代入求得，即；然后运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由一次函数可得，即，再运用坐标与图形、三角形面积公式以及割补法求面积即可． 【详解】（1）解：把代入可得，解得：， ∴， 把代入可得，解得：，， ∵一次函数， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图：连接， ∵一次函数解析式为， ∴，即， ∴面积为∶． 11．（25-26九年级上·宁夏银川·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）将反比例函数图象上的点的坐标代入其解析式即可； （2）先求出一次函数的解析式，再进而得到与轴的交点坐标，最后通过三角形的面积公式即可求出答案； （3）先设，再根据等腰三角形的判定与性质，分情况讨论即可求值． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点， 将代入得，， 解得，， 反比例函数的解析式为． （2）解：根据题意将代入得，， ． 将和分别代入得， ， 解得，， 一次函数的解析式为， 当时，即， 解得，， ， ， ． （3）解：存在． 设， ， ，，， 当时，， ， 解得，或， ，； 当时，， ， 解得，或（不符合题意，舍去）， ； 当时， ， 解得，， ． 综上，在轴上存在一点P，使得是等腰三角形；点P的坐标为，，，． 12．（25-26九年级上·山东日照·月考）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是直线的一部分；当时，图象是反比例函数图象的一部分． (1)第分钟的注意力指标值为___________； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的应用和待定系数法求函数解析式，正确理解函数图象是解题的关键． （1）根据图象，当时间为分钟时，指标为； （2）用待定系数法分别求出当，和的函数表达式； （3）当时，求出对应的值，再计算注意力指标不低于36的时间与17分钟比较即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可得，当时，， 故答案为； （2）根据图象可得，，， 当时，设反比例函数解析式为， 过， ，解得， 反比例函数解析式为， 当时，， ，则， 当时，段函数解析式为， 当，设段函数解析式为， 过，， ，解得， 段函数解析式为， 综上：y与x之间的函数关系式为； （3）能安排，理由如下： 当时，，解得， ，解得， 即当时，学生的注意力指标都不低于36， （分钟） ， 张老师能确保学生在听这道题的讲解时注意力指标都不低于36． 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，点P为直线上一动点，连接PA、PB，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变换等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于直线的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：A． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及等腰三角形的判定与性质，过点A作于点E，设点，则点，再分别表示出点C、点D的坐标，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ， ∴， ∵轴， ∴点， ∵轴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：B． 3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，，，…，都是一边在轴上的等边三角形，顶点，，…，都在反比例函数的图象上，则（为正整数）的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，反比例函数，二次根式，以及探索，归纳，总结，应用的能力，拥有良好的探索能力是解决本题的关键． 图中出现的都是等边三角形，通过计算找到边长与高之间，坐标与边长之间的规律，根据此规律推理即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 为等边三角形， ，， ， 设的长度为，则的坐标为， 把代入得，解得或（舍去）， ，   ， 设的长度为，同理得到，则的坐标表示为， 把代入得 ， 解得或（舍去）， ，，， ， 设的长度为，同理，为，的坐标表示为， 把，代入得 ， 解得或（舍去） ，，， ， 综上可得：， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，，则，，证明，则，，又，则有，然后通过等腰三角形的性质可得，则有，从而可得点三点共线，过点作于点，则有，证明，然后通过性质可得，所以，，得，设，则，在中根据勾股定理得，，得，再代入即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，得，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是反比例函数上的点， ∴，，， ∴， 设，则， 在中根据勾股定理得，， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，掌握知识点的应用是解题的关键． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)填空：_________，_________，点的坐标是_________，点的坐标是_________； (2)点是轴上的动点，连接，，则的最小值是_________； (3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，；； (2)； (3)存在，或． 【分析】（1）将代入直线求出，由反比例函数的对称性得、关于原点对称求出，过点作轴于，过点作轴于，可判定，由相似三角形的性质得，即可求解； （2）作点关于轴对称点，连接交轴于，，此时取得最小值，由勾股定理即可求解； （3）当点在轴上时，过点作轴交于，由三角函数得， ，即可求解；当点作轴上，过点在轴交于，同理可求． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得， ， ， 解得， ， 由反比例函数的对称性得、关于原点对称， ， ， 过点作轴于，过点作轴于， ，，， ， ， ∵， ， ， 解得， ， ， 解得， ； 故答案为：，，；； （2）解：如图，作点关于轴对称点，连接交轴于， ，此时取得最小值， ， 故答案为； （3）解：存在； 当点在轴上时，过点作轴交于， ， ∵， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ∴， ， ， 解得， ， ； 当点在轴上，过点作轴交于， ， ， ∵， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ∴， ， ， 解得， ， ； 故的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的几何综合，待定系数法，矩形的性质，两点之间线段最短，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等；能熟练利用相似三角形的判定及性质，解直角三角形进行求解是解题的关键． 6．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，对任意点的阶映射变换（为常数）定义如下：若点的横坐标满足，则变换后对应点为；若，则变换后对应点为．如：点的1阶映射变换对应点为；点的4阶映射变换对应点为．请根据变换规则解答下列问题： (1)点的5阶映射变换对应点落在反比例函数的图象上，求的值； (2)点的0阶映射变换对应点落在直线的图象上，求的值； (3)点在直线的图象上，且点是点的1阶映射变换对应点． ①设点，求关于的函数关系式； ②若点在①的关于的函数图象上，点在的图象上，且，求的值． 【答案】(1) (2)a的值为5或3 (3)①；②m的值为或或4 【分析】（1）根据定义可知点的5阶映射变换对应点是，再代入函数关系式可得答案； （2）分两种情况讨论：当，即时，确定变换后对应点，代入关系式求出答案；当即时，确定变换后对应点，代入关系式，求出答案； （3）①分两种情况：当和时，计算可得答案； ②分两种情况：当、、和时，根据，列方程求解即可求得的值． 【详解】（1）解：根据题意点的5阶映射变换对应点为，即， 将代入得，， 解得； （2）解：当，即时， 点的0阶映射变换对应点，即， 将，代入得，，解得； 当，即时， 点的0阶映射变换对应点，即， 将，代入得，，解得； 综上所述，a的值为5或3； （3）解：①点C是点D的1阶映射变换对应点，点， 当时，， 将代入，得， ； 当时，， 将代入，得， ； 综上所述，． ②当时，，， ， ，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，， ，不合题意，舍去； 当时，，， ， ， ， 解得，（舍去）； 综上所述，m的值为或或4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $