精品解析：吉林省长春市第十七中学2025-2026学年高二上学期第三学程（1月）数学试题

长春市第十七中学2025-2026学年度上学期第三学程考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的分位数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算． 【详解】这组数据共10个数，， 所以80%分位数为第8个、第9个数据的平均数，即． 故选：C． 2. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　） A. （2，﹣3） B. （2，3） C. （﹣3，2） D. （3，2） 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=， 所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 =（1，），或（3，2） 故选D． 3. 2名男生和3名女生站成一排照相，其中恰有2名女生相邻的不同站法共有（　　） A. 48种 B. 60种 C. 72种 D. 96种 【答案】C 【解析】 【分析】分为甲乙相邻、乙丙相邻或甲丙相邻，结合捆绑法、插空法求解. 【详解】设3名女生为甲乙丙， 当甲乙相邻时， 第一步：当女生甲乙相邻时，看作一个整体，2人之间的排序有， 第二步：再将2名男生排成一排有， 第三步：2名男生，三个空，安排甲乙整体和丙，有， 故当甲乙相邻时，共有， 同理：乙丙相邻和甲丙相邻时也有24种， 故恰有2名女生相邻的不同站法共有， 故选：C 4. 的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. －5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二项式定理求出的展开式中含的项和含的项即可. 【详解】由的展开式可得，含的项为， 含的项为， 则的展开式中，含的项为， 故的展开式中，项的系数为. 故选：B 5. 已知点在圆：内部，则直线与圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交且过圆心 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，再利用圆心到直线的距离与半径进行比较即可判断. 【详解】由点在圆内部，得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C项正确. 故选：C 6. “”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】易知时，，但时有， 此时方程表示圆，所以不满足充分性， 若方程 表示的曲线为椭圆，则， 显然成立，满足必要性， 故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 7. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为. 【详解】如下图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知， 故选：D. 【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 8. 设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有 所以，所以 又因为，所以，，所以 所以答案选C. 考点：椭圆的简单几何性质. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，答对部分给部分分，答错0分，共18分） 9. 已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为49 D. 点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断A；设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断B；表示圆上的点到的距离的平方，求得可求最大值判断C；求得点到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值判断D. 【详解】方程表示以为圆心，半径的圆， 对于A，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，表示圆上的点到的距离的平方， 设圆上的点到的距离， 又，所以，即， 所以的最大值为49，故C正确； 对于D，点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列命题中正确的是（　　） A. 已知随机变量，则 B. 若随机事件满足：，则事件与相互独立 C. 若事件与相互独立，且，则 D. 若残差平方和越大，则回归模型对一组数据的拟合效果越好 【答案】BC 【解析】 【分析】由二项分布的性质可得，从而可求出可判断A；由独立事件的定义和条件概率公式可判断B，C；利用残差的意义可判断D. 【详解】对于选项A：因为，则，故A错误； 对于选项B：， 解得：，所以事件与相互独立，故B正确； 对于选项C：若事件与相互独立，且， ，，所以C正确； 对于选项D：残差平方和越小，则回归模型对一组数据，，…，的拟合效果越好，故D错误. 故选：BC. 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，得到点为椭圆短轴的端点，且，在直角中，结合勾股定理，得到即，可得判定A正确；根据点为椭圆短轴的上端点或下端点，取得直线的斜率，可得判定B错误；不妨设为椭圆短轴的上端点是，得到直线的方程，联立方程组，求得，可判定C正确；结合，可判定D不正确. 【详解】对于A，因为，则点为椭圆短轴的端点， 又因为，可得，即， 在直角中，，可得， 即，可得，所以A正确； 对于B，当为椭圆短轴的上端点是，由，且， 可得，所以直线的斜率为； 当当为椭圆短轴的上端点是，由，且， 可得，所以直线的斜率为， 综上可得，直线的斜率为，所以B错误； 对于C，不妨设为椭圆短轴的上端点是，即， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 联立方程组，可得， 设，则，所以， 因为，可得，所以， 所以，所以，所以C正确； 对于D，由的面积为， 又由，所以D不正确. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线：与直线：平行，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由两直线平行得出他们的斜率相等，结合两直线不重合，计算即可. 【详解】由题意知， 由，得. 故答案为：2 13. 甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色相同的条件下，甲袋中取出黄球的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】记事件为取出的两球颜色相同，事件为从甲袋中取出黄球，求出和的值，再由条件概率的公式计算即可. 【详解】记事件为取出的两球颜色相同，事件为从甲袋中取出黄球， 则， ， 所以. 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的16倍，则椭圆的离心率___________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得的外接圆半径，结合椭圆的定义、面积公式及内切圆的性质可得的内切圆半径，再由，可得，最后根据离心率公式求解即可. 【详解】解：设的外接圆半径为，内切圆半径为，由题意可得， 在中，，， 由正弦定理可得，解得； 设 由椭圆的定义可得， 所以①， 在中，由余弦定理可得②， 由①-②,得， 所以， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 解得， 所以椭圆的离心率. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，总分77分） 15. 已知点，，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）求直线：被曲线截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求解即可. 【小问1详解】 由题意得，所以. 设，因为点，， 所以，化简得. 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 所以直线被曲线截得的弦长为. 所以直线被曲线截得的弦长为． 16. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： （1）求这100名学生的竞赛平均成绩 （2）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； （3）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】（1）64 （2）1587 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本平均数. （2）由（1）可得，利用正态分布的对称性求出，进而求出学生人数. （3）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. 【小问2详解】 由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. 【小问3详解】 由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 17. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的焦点为，点在椭圆上，且的面积为1，求点的坐标. 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题设条件列出关于基本量的方程组，解出即可．（2）中已知焦点三角形的面积，但其底边已知，故的纵坐标可求，再利用在椭圆上求出其横坐标即可． 解析： （1）的焦点为，设方程为，焦距为，则，把代入，则有，整理得，故或（舎）， ，故椭圆方程为． （2），设，则面积为，则，而 ，所以，，所以点有4个，它们的坐标分别为． 18. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， （2）列联表见解析，认为是否报废与保养有关 【解析】 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【小问1详解】 由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. 【小问2详解】 设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 19. 设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，． （1）若的周长为16，求的长． （2）若椭圆的焦距为为椭圆的上顶点，交椭圆于另一点，且，求椭圆的标准方程． （3）若，求椭圆的离心率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，，可以求得，而的周长为，再由椭圆定义可得，故； （2）由题知，，设，由，得，求出，代入椭圆方程计算可得答案； （3）设出，则且，根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出的关系，从而求得，证明为等腰直角三角形，结合离心率定义求结论. 【小问1详解】 由，， 得， 因为的周长为， 所以由椭圆定义可得， 故； 【小问2详解】 由题知，，设， 由，得， 所以，， 代入，得， 即，解得， 所以， 所以椭圆方程为； 【小问3详解】 设，则且， 由椭圆定义可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 化简可得，而，故， 于是有， 因此，可得， 故为等腰直角三角形， 从而， 所以椭圆的离心率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第十七中学2025-2026学年度上学期第三学程考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的分位数为（　　） A. B. C. D. 2. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　） A. （2，﹣3） B. （2，3） C. （﹣3，2） D. （3，2） 3. 2名男生和3名女生站成一排照相，其中恰有2名女生相邻的不同站法共有（　　） A. 48种 B. 60种 C. 72种 D. 96种 4. 的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. －5 C. 6 D. 5. 已知点在圆：内部，则直线与圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交且过圆心 6. “”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，答对部分给部分分，答错0分，共18分） 9. 已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为49 D. 点到直线的距离的最大值为 10. 下列命题中正确的是（　　） A. 已知随机变量，则 B. 若随机事件满足：，则事件与相互独立 C. 若事件与相互独立，且，则 D. 若残差平方和越大，则回归模型对一组数据的拟合效果越好 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. C. D. 的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线：与直线：平行，则______． 13. 甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色相同的条件下，甲袋中取出黄球的概率为___________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的16倍，则椭圆的离心率___________． 四、解答题（本题共5小题，总分77分） 15. 已知点，，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）求直线：被曲线截得的弦长． 16. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： （1）求这100名学生的竞赛平均成绩 （2）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； （3）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 17. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的焦点为，点在椭圆上，且的面积为1，求点的坐标. 18. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19. 设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，． （1）若的周长为16，求的长． （2）若椭圆的焦距为为椭圆的上顶点，交椭圆于另一点，且，求椭圆的标准方程． （3）若，求椭圆的离心率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $