上海市2025-2026学年上学期八年级期末测试数学试卷（样卷）

2025学年第一学期上海八年级期末测试数学试卷（样卷） （试卷说明：本卷分两个部分，第一部分为必做题，满分100分；第二部分为选做题，满分20分。本卷总测试时间为100分钟） 第一部分：必做题 1、 选做题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列说法正确的是（   ） A．实数可分为有理数和无理数 B．的平方根是 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．无理数与无理数的和一定是无理数 【答案】A 【知识点】有理数的定义、求一个数的平方根、实数与数轴、实数的分类 【分析】本题考查实数的分类、平方根、数轴表示以及无理数的性质，掌握基本概念是解题关键． 根据实数的分类、平方根的定义、数轴的性质以及无理数的性质进行判断． 【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，这是实数的标准分类，故A正确，符合题意； B、，2的平方根是，不是，故B错误，不符合题意； C、数轴上的点与实数一一对应，而不是仅与有理数对应，故C错误，不符合题意； D、无理数与无理数的和不一定是无理数，例如为有理数，故D错误，不符合题意． 故选：A． 2.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，然后问题可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选B． 3．如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子称为二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， ∴． 故选：B． 4．已知是关于的一元二次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据是关于的一元二次方程，则，解得，即可作答． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 则， 故选：B． 5．关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根据判别式可判断①②；当时，方程变为，解方程即可判断③；把代入原方程，求出方程左边的值，看方程左右两边是否相等即可判断④． 【详解】解：①若，则该方程没有实数根，原说法正确； ②当时，则，若，则方程无实数根，原说法错误； ③当时，方程变为，即，解得或，原说法正确； ④当时，把代入原方程，方程左边，此时方程左右两边相等，故是原方程的解，原说法正确． 故选：C． 6．如图，在中，，是边上的动点（不与点，重合）．为的中点，过点作，垂足为，连接．若，则在点运动过程中，的度数（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，E是中点，得出，利用角度推导，即可求得． 【详解】解：∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 8.一个细胞约有克． 数字 用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法，掌握相关知识是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．当原数的绝对值大于0而小于1时，n是负整数，n的绝对值等于原数左边第一个非零数前面所有零的个数． 【详解】解：， 故选：B． 9.下列说法正确的是（   ） A．是分数 B．如果，那么 C．若，那么 D．两个无理数的和不一定是无理数 【答案】D 【知识点】不等式的性质、实数的分类、无理数、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查实数，逐一分析各选项的正误，结合数学定义及反例进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； B、如果，那么或或，原说法错误，本选项不符合题意； C、取反例，，满足，但，故原说法错误，本选项不符合题意； D、两个无理数的和不一定是无理数，说法正确，符合题意， 故选：D． 10.学习《理财小课堂》后，爸爸有2万元钱，有两种理财方式：一种是买3年期国债，年利率为；另一种是买银行1年期理财产品，年收益率是，每年到期后连本带息继续购买下一年的理财产品．3年后哪种理财方式收益更大？（    ） A．国债 B．理财产品 C．一样大 D．无法确定 【答案】B 【知识点】利率问题 【分析】本题主要考查了百分数的应用，掌握“利息=本金×利率×时间”成为解题的关键． 先根据“利息=本金×利率×时间”分别计算出收益，然后比较即可解答． 【详解】解：①三年期：（元） ②先买一年期，把本金和利息取出来合在一起，再存入一年， （元） （元） （元） （元） 答：买理财产品收益更大． 故选：B． 2、 填空题（本大题10题，每题2分，满分20分） 11．的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：因为表示的算术平方根， 所以 ， 所以的立方根是 ，即的立方根是， 故答案为：． 12．计算： . 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13． ． 【答案】/ 【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的性质．根据负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：， 故答案为：． 14.关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 15．若，则 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、零指数幂 【分析】本题考查了有理数的乘方及零次幂，熟练掌握有理数的乘方运算及零次幂是解题的关键．根据 进行求解即可． 【详解】解：， ，解得． 故答案为： ． 16．化各式为最简二次根式：① ；② ； 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 17．若直角三角形的两边长a，b是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的第三边长为 ． 【答案】5或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程求得直角三角形的两边长，分两种情况讨论求得即可． 【详解】解：∴， ， ∴或， 解得 当3 和4 为直角边长时，第三边长 ； 当4为斜边长时，第三边长 故这个直角三角形的第三边长为5 或 ． 故答案为：5或． 18．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 先比较两个负数的绝对值，绝对值较小的负数更大．通过平方运算比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴， 故答案为>． 19．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 连接，根据三线合一得出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，是的中点， ∴， 即是直角三角形， ∵是的中点， ∴， 故答案为：5． 20.如图，已知中，，若，，点D是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与交于点E，当为直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠和直角三角形中勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先在中，求得，得到，，然后再分当时和时的情况，然后根据折叠和勾股定理的知识即可求解； 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， ∵以为折痕将折叠得到， ∴，， 如图所示：当时，过点作的延长线于点F． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴； 如图所示：当时，点C与点E重合． ∵，， ∴，设，则， 在中，，即， 解得：， ∴，， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共6题，满分50分） 21．（本题满分5分） 计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 22.（本题7分）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 23.（本题10分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求n的取值范围； (2)当时，求n的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， 解得． （2）由题意得：，， ， ， ，解得：， ， ． 24.（本题6分）两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了角平分线的作法及角平分线的性质、线段垂直平分线的作法及线段垂直平分线的性质；作出的角平分线及线段的垂直平分线，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图： 故点C即为所求作的点． 25．（本题10分）已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程的两个实数根是，，且，求的值； (2)若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1) (2)7 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查根与系数的关系，方程根的判别式及等腰三角形的性质，掌握方程根的判别式与方程根的情况的关系是解题的关键，注意分类讨论． （1）由根与系数的关系得出，，再根据得，代入解方程即可； （2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出的周长． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根是，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 当时，，方程有两个实数根，符合题意； （2）解：分两种情况： ①若， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴此时方程为， 解得， ∴的周长为； ②若，则或，即方程有一根为2， ∵把代入方程，得， 解得， ∴此时方程为， 解得，， ∴方程另一根为4， ∵2、2、4不能构成三角形，此种情况舍去． 综上所述，的周长为7． 26．（本题12分）已知和均为等腰直角三角形，，点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合）． (1)如图，当点在线段上时，直接写出，，三者之间的数量关系：______； (2)如图，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过程．若不成立，请说明理由． (3)若，点是中点，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图，连接，证明得，，推出为直角三角形，利用勾股定理可得结论； （2）（1）中的结论仍然成立．证明得，，推出为直角三角形，利用勾股定理可得结论； （3）设，则，分三种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上，当点在线段的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴，即， ∴，，三者之间的数量关系：， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴， 即； （3）设，则， 当点在线段上时，如图， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵和均为等腰直角三角形，，点是中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上，如图， ∴， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴， ∵，，，点是中点， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上时，，不符合题意； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第二部分：选做题 一、解答题 1．某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究，并制表如下： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达·芬奇证明勾股定理的剪拼法． 步骤 ①在纸片上绘制两个边长分别为a、b的正方形 ②将左右两部分剪开 ③将右侧部分翻折，并平移 ④左右两部分拼接在一起 说明：①中大小正方形公共顶点的邻边分别在一条直线上；步骤①中多边形的面积为，步骤④中多边形的面积为． 问题解决 任务 （1）请用含a，b，c的代数式分别表示，； （2）请利用等积法证明勾股定理． 【答案】（1），；（2）证明见解析． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息． （1）根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题； （2）根据（1）的结果及可证明勾股定理． 【详解】解：（1）， ； （2）由得， ， 所以． 2．利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【知识点】勾股定理的证明方法、完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键． （1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）以直角斜边长c为中间留白部分正方形的边长构造即可； （3）根据图形结合完全平方公式证明即可； （4）利用勾股定理和完全平方公式说明即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）解：画图为 （3）证明：大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以整理得． （4）解：由（3）可知， 因为， 所以，， 利用完全平方公式，可得 所以直角三角形的面积为． 3．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期上海八年级期末测试数学试卷（样卷） （试卷说明：本卷分两个部分，第一部分为必做题，满分100分；第二部分为选做题，满分20分。本卷总测试时间为100分钟） 第一部分：必做题 1、 选做题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列说法正确的是（   ） A．实数可分为有理数和无理数 B．的平方根是 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．无理数与无理数的和一定是无理数 2.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 4．已知是关于的一元二次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 5．关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在中，，是边上的动点（不与点，重合）．为的中点，过点作，垂足为，连接．若，则在点运动过程中，的度数（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．无法确定 7．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 8.一个细胞约有克． 数字 用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 9.下列说法正确的是（   ） A．是分数 B．如果，那么 C．若，那么 D．两个无理数的和不一定是无理数 10.学习《理财小课堂》后，爸爸有2万元钱，有两种理财方式：一种是买3年期国债，年利率为；另一种是买银行1年期理财产品，年收益率是，每年到期后连本带息继续购买下一年的理财产品．3年后哪种理财方式收益更大？（    ） A．国债 B．理财产品 C．一样大 D．无法确定 2、 填空题（本大题10题，每题2分，满分20分） 11．的立方根是 ． 12．计算： . 13． ． 14.关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ． 15．若，则 ． 16．化各式为最简二次根式：① ；② ； 17．若直角三角形的两边长a，b是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的第三边长为 ． 18．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 19．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为 ． 20.如图，已知中，，若，，点D是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与交于点E，当为直角三角形时，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6题，满分50分） 21．（本题满分5分） 计算：． 22.（本题7分）阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1) 直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2) 按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 23.（本题10分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求n的取值范围； （2）当时，求n的值． 24.（本题6分）两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 25．（本题10分）已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程的两个实数根是，，且，求的值； (2)若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 26．（本题12分）已知和均为等腰直角三角形，，点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合）． (1)如图，当点在线段上时，直接写出，，三者之间的数量关系：______； (2)如图，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过程．若不成立，请说明理由． (3)若，点是中点，请直接写出的值． 第二部分：选做题 一、解答题 1．某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究，并制表如下： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达·芬奇证明勾股定理的剪拼法． 步骤 ①在纸片上绘制两个边长分别为a、b的正方形 ②将左右两部分剪开 ③将右侧部分翻折，并平移 ④左右两部分拼接在一起 说明：①中大小正方形公共顶点的邻边分别在一条直线上；步骤①中多边形的面积为，步骤④中多边形的面积为． 问题解决 任务 （1）请用含a，b，c的代数式分别表示，； （2）请利用等积法证明勾股定理． 2．利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 3．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 学科网（北京）股份有限公司 $