19.1 第1课时 二次根式的概念-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(人教版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义条件及双重非负性，通过长方形围栏、大正方形边长、自由落体时间等实际问题导入，引导学生观察根号式子共同特征，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合生活实例培养数学眼光，通过例题变式训练推理能力，结构化小结帮助用数学语言梳理知识。学生能深化概念理解，教师可提升教学效率，落实核心素养培养。

第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式. 2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字母的取值范围. 1.理解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意义的条件 会利用二次根式的非负性解决相关问题. 3 情景导入 思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特点？ (2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形 的面积之和，则大正方形的边长为_____ _． (1)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_____． 4 （1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示65，, 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ，, ． （2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 5 知识讲解 知识点1 二次根式的概念 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式. 注意：a可以是数，也可以是式. 中一般把根的指数2省略，写成 解读 被开方数可以是非负数或单项式、多项式、分式等 两个要素 ①形式上含有“ ” ②被开方数a ≥ 0 6 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 分析 例1 7 总结 二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数． 注意 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如是二次根式.像+1（a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式. 8 练习 1．下列式子一定是二次根式的是( ) A. B. 　 C. 　 D. 2．下列式子不一定是二次根式的是(　　) A. B. C. D. C A 3. 下列式子： 中，一定是二次根 式的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 C 9 4. 要画一个面积为 18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3 : 2，它的长、宽各应取多少？ 解：设长方形的长、宽分别为3x cm，2x cm， 由题意得2x×3x＝18， 解得x ＝ (负值舍去)． 答：长方形的长、宽应分别取3 cm和2 cm. 10 知识点2 二次根式有意义的条件 1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立， 即： 有意义⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立， 即： 无意义⇔a＜0. 解读 式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 为二次根式的前提条件. 11 例2 当x满足什么条件时, 在实数范围内有意义? 解：由 x-2 ≥ 0，得 x ≥ 2. 当x ≥ 2时， 在实数范围内有意义. 12 变式1 当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：（1）由题意得x－1＞0， ∴ x＞1. （2）∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥－3. ∵分母不能等于零，∴x－1≠0，∴x≠1. ∴x≥－3 且x≠1. 归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 13 练习 1.x取何值时,下列二次根式有意义? 14 2.已知a，b为实数，且满足 你能求出a及 a+b 的值吗？ 解:依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= ,把b= 代 代入原式，得a=1,所以a+b=1+ = 15 知识点3 二次根式的双重非负性 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a ≥ 0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥ 0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 16 例3 若 ，则x-y 的值为 ( ) A．1 B．－1 C．7 D．－7 C 分析 根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．因为 + (y+3)2=0都是非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=0， ，所以y+3=0，x+y-1=0，解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C． 17 1．若 ，则xy＝________. 2．实数a，b满足 ＋4a2＋4ab＋b2＝0，则ba的值为(　　) A．2 B. C．－2 D．－ 练习 B 9 18 随堂演练 1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是 . 2.使 有意义的x的取值范围是 . 3.当a=3时， 的值是 . x≥－3 4.下列各式中一定是二次根式的是（ ） B 1 19 5．已知实数x，y满足|x－4|＋ ＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 (　　) A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 B 4.要使式子 有意义，a的取值范围是（ ） A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0 C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0 C 20 6.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； （2） ; （3） . (2)∵≥0，∴a≤5. (3)∵≥0，∴a为任意实数. 21 二次根式 在有意义条件下求字母的取值范围 课堂小结 定义 带有二次根号 被开方数必须为非负数 被开方数为非负数（a≥0) 二次根式的双重非负性 二次根式 中,a≥0且 ≥0 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $