三角函数中二倍角公式的应用专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题训练 三角函数中二倍角公式的应用（详解版） 必备知识： 【1】（1）公式2sinαcosα． （2）公式＝＝． （3）公式． 注意：二倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如 是 的2倍， 是 的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，用于描述两个数量之间的关系. 【2】.二倍角公式的变形 （1）逆用： ， ， . （2）变形：①，； ② ， . 【3】注意几种公式的灵活应用，如： ①； ②. 专题训练： 一、单选题 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、二倍角的正弦公式 【分析】根据正弦函数二倍角公式，结合特殊角的正余弦函数值进行求解即可. 【详解】由， 因为，所以， 所以由， 因为，所以. 故选：A 2．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可求解. 【详解】由题意有： ， 故选：B. 3．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】对于A，将两边平方，利用平方关系求解后即可判断；对于B，结合A可得，从而得，，进一步求得，开方后得，即可判断；对于C，结合A，B可得，代入求解后即可判断；对于D，结合B即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，即， 解得，故A正确； 对于B，由A可知， 又因为， 所以，， 所以， 又因为， 解得，故B正确； 对于C，因为，， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，由B的分析可知，故D错误. 故选：D. 4．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】求出，进而得到，，求出，得到. 【详解】 ， 故，解得或. 因为是直角三角形中较大的锐角，所以，故，， 故，又，解得，， 又直角三角形的直角边分别为，则， 所以. 故选：C 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】根据三角函数正弦的两角差，辅助角公式及余弦的二倍角公式进行计算. 【详解】依题意，， 所以． 故选：B． 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】结合已知条件，利用二倍角公式可求得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由题意，因为，所以， 所以. 故选：A. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】先应用两角和差余弦公式计算化简得出，最后应用二倍角正切公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 则. 故选：D. 8.已知，，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】根据余弦和差公式化简得到，由正切二倍角公式和得到，从而得到方程，求出实数m的值. 【详解】， 即， ，故， 则， 由于，故， 解得或， 因为，所以，故， 即，解得. 故选：C 二、多选题 9．下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】A由余弦二倍角公式求解；B由余弦的两角和公式求解；C利用化简求解；D切化弦，结合两角和的余弦公式和二倍角公式求解. 【详解】A:，A正确； B： ，B错误； C：===，C正确； D： ，D正确； 故选：ACD 10．已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】将平方，根据题意结合同角的三角函数关系以及正弦二倍角公式可求，判断AB；求出的值后，结合余弦的二倍角公式可求，判断CD. 【详解】由题意知，且，则 即，故， 所以，故A错误，B正确； 又，结合，所以，， 所以， 所以，故C正确，D错误． 故选：BC． 11．已知，，则（    ） A． B． C．是锐角 D． 【答案】AB 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】运用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，和角的正弦公式等，逐一判断即可. 【详解】对于A：因为，，所以，故A正确； 对于B：，故B正确． 对于C：，所以为钝角，故C错误． 对于D：因为， 所以，故D错误． 故选：AB. 三、填空题 12．已知角的终边经过点，则 . 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式 【分析】根据三角函数的定义可求出的值，再利用二倍角公式即可求得答案. 【详解】由于角的终边经过点，故， 则， 故答案为： 13．若，则 . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】利用正余弦的倍角公式将条件化简可求得的值，再根据正切的倍角公式即可求得. 【详解】因为， 所以，解得； 所以. 故答案为：. 14．已知函数，若，则 ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由题设，再由及二倍角余弦公式求值即可. 【详解】因为，故. 故答案为： 四、解答题 15．化简求值： (1) (2)化简 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用和将整理得到，利用二倍角的正弦公式和辅助角公式得解. （2）利用和将整理即可得解. 【详解】（1） ； （2） 16．已知. (1)求与的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、万能公式、二倍角的正弦公式 【分析】（1）利用及求出和的值，进而求解； （2）根据（1）中的结果，利用商数关系及计算求解. 【详解】（1）若，则，， 因为，代入可得， 所以或（不符合题意舍去） 代入计算可得， 所以， （2）由（1）可得， 因为， 所以. 17．证明：． 证明见解析 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用三角函数诱导公式以及同角三角函数关系以及倍角公式，化简，即可证明结论. 【详解】证明：左端＝ ＝右端． 所以 18．化简与求值 (1)化简，其中； (2)求值：． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式，结合角的范围化简即可； （2）根据平方关系及诱导公式化简即可. 【详解】（1）由， 可得，， 所以， 由，可知， 得原式； （2） ． 19．已知函数． (1)求的单调递增区间和对称中心； (2)若，求的值． 【答案】(1)单调递增区间，对称中心为，． (2) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式得，再根据正弦函数的性质即可得到答案； （2）代入计算有，再利用二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】（1）， 当，即时函数单调递增， 所以函数单调递增区间． 令， 则函数的对称中心为，． （2）由题意可知， 则， 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题训练三角函数中二倍角公式的应用（学生版） 必备知识： 【1】(1)公式S2a:sin2a= (2)公式9.c0s2a= (3)公式 T2 tan2a 注意：二倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立， 如6&是3a的2倍，3Q是3的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，月于描迷两个 2 数量之间的关系 【2】二倍角公式的变形 (1)逆用：2 sina cosa=sin2a,2cos2a-1=cos2a，1-2sina=cos2a· (2)变形：①cos'a=-1+os2a,sin7a=1-c0s2a 2 2 ②1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sina· 【3】注意几种公式的灵活应用，如： @sin2x=cs4受-2x)=cos2(年-x]=2os2经-x)-1=1-2sin(4-x: ②cos2x=sn号-2x)=snl2(年-x小=2sin(年-Xcos年-x) 专题训练： 一、单选题 22 sin 2x=cosx 1.已知 ,则x=() A. 6 B.8 c D.骨 sin25sin65 2. 2cos220°-1的值为() 1 A.2 B.Z C.-1 D.1 3.己知0∈(0，，sin0+cos0= 5,则下列结论错误的是() A.sin0-cos0--12 7 25 B.sin0-cos0= 5 试卷第1页，共3页 tan012 0∈0， C.tan20+125 D 2 4.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为 sina(1-sin2a)3 b a,大正方形的边长为a,小正方形的边长为b.若sina-cosa13,则a() 司 2√13 3 3√13 B.13 C.13 D.13 5.已知m +cosa=3,则 cos 20u 3 7 7 B.9 C.-25 D.25 6) () A 7 B.-9 c. 8 8 D. 则tan20=() c.5 D.4 试卷第2页，共3页 ),则实数m的值为() A.-3 B.-2 C.3 D.2 二、多选题 5 9.下列各式中，值为2的是() sn A.c0s2刀 12 B.sin51°sin9°-sinl41°cos9° 2cosl0°-sin20° C. 2cos20° sin501+V3tanl0° D.2 10.已知0∈0，且sin0-cos0= ,则下列说法正确的是() A.sin20=12 25 B.sin20=24 7 5 C.cos20=- 25 D.cos20=7 25 1.已知a∈(0，simg=5 “45,则() 25 a 3 A. cos- 45 B. cos2-5 C.a是锐角 D simg+）=2 (24-10 三、填空题 12.已知角9的终边经过点P-2),则an20= sin 13.若1-cos =2,则an0=一 试卷第3页，共3页 14.已知函数f(x)=sin2x, 老，则任小一 四、解答题 15.化简求值： sin122cos212°-1 (1)√5-tanl2 (2)化简V2+cos20°-sin210 1 16.己知-π<r<0,sinx+cosx= 5 (I)求sin2x与sinx-cosx的值： (2)求tanr+tan2的值。 200s1x-2c0s2x+2 1 17.证明： cos2x 4xsin2+】 2tan 2 4 18.化简与求值 1+cos0 1-cos0 十 (1)化简V2 V2,其中3π<0<4π； V1-2sin10°cos10° (2)求值：sin170°-√1-sin2170°. 19.已知照数f到=26sn芳+2snc0s 2· ()求)的单调递增区间和对称中心： f+引.fa引 试卷第4页，共3页