5.7三角函数的应用（二）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数模型在周期现象中的应用，通过复习简谐运动参数（振幅、周期等）搭建学习支架，结合气温变化、潮汐现象等生活实例导入新课，引导学生从物理应用过渡到生活中周期现象的数学刻画。 其亮点在于以生活实例为载体，通过画散点图、拟合函数模型（如气温曲线、潮汐数据），培养学生用数学眼光观察周期现象、用数学思维推理参数（A、ω、φ等）、用数学语言表达现实问题的核心素养。课堂小结明确建模步骤，助力学生掌握“收集数据—拟合模型—解决问题”的完整流程，既提升学生数据分析与建模能力，也为教师提供了贴合实际的教学范例。

讲课人： 日期： 5.7.1 三角函数的应用（二） 学习目标 1.理解三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型，能识别生活和学科中的周期现象。 2.能根据实际数据画散点图，选择合适的三角函数模型，并确定模型参数。 3.能利用三角函数模型解决实际问题（如计算时间、高度、范围等），掌握三角函数应用的基本步骤。 4.体验数学建模的全过程，感受数学与生活、其他学科的联系，提升数学建模和数据分析素养。 复习回顾 上节课我们了解了三角函数模型在物理方面的应用，学习函数 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 新课引入 海水潮汐现象 某地一日气温变化 生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替、四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象。 探索新知 例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数 （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式． (2)由图可以看出，从6～14时的图象是函数的半个周期的图象，所以A=. 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20. 探索新知 因为.将代入中，可得=. 所求解析式为． 一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围. 探索新知 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+b，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b. （1）A：图象上的最高点和最低点的距离的一半，即 （3）ω：因为 ，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. （2）b：图象上的最高点和最低点的中点的纵坐标，即 由图象确立三角函数的解析式的方法 （4）φ：从“五点法”中的最高点 作为突破口，即 ；或从“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 探索新知 例2：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报． 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0 3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5 6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0 (1) 选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）. 探索新知 分析： 探索新知 解:(1)以时间x(单位:h)为横坐标，水深y(单位:m)为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图5.7-4).根据图象，可以考虑用函数y=Asin(ω x+φ)+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:A=2.5，h=5，T=12.4， φ =0;由T=，得 所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y=2.5sinx+5 近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值(表5.7-3): 课堂小结 三角函数模型解决实际问题的步骤 收集数据 画散点图 观察散点图 拟合具体函数模型 利用数据信息 解决相应实际问题 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课堂检测 (1) 求该地区这一段时间内温度的最大温差； (2) 如果有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 课堂检测 【解析】 (1) 因为x∈[4,16]， 课堂检测 作业 对应课后习题 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是了 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式f= 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相. 【练习1】某地区2024年全年月平均温度 （单位：℃）与月份 之间近似满足 EMBED Equation.DSMT4 .已知该地区2月份的月平均温度为 ℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（    ） A． ℃ B． ℃ C． ℃ D． ℃ 【解析】由题意可知，直线 是曲线 的一条对称轴， 所以 ， ，即 ， .又 ， 即 ，所以 . 因为全年月平均温度的最大值为32℃，所以 ①. 又当 时， ，所以 ，所以 ②. 由①②解得 ， ， 所以 ，则当 时， ℃. 故选：A. 2（多选题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为 的筒车水轮圆心O距离水面 （如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点 ）开始计时，点P距水面的高度y（单位： ）可以用与时间x（单位：s）有关的函数 表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【解析】函数 中 ，所以 ， 时， ，解得 ，因为 ，所以 ， 所以 ，A错误； 令 得 ，则 ，解得 ， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时 （秒），C正确； 当 时， ，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 3、已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]． 所以x－∈.　 由函数图象易知，当x－＝，即x＝14时，函数取最大值即最高温度为30℃；当x－＝－，即x＝6时，函数取最小值即最低温度为10℃，所以最大温差为30－10＝20(℃)． (2) 令10sin＋20＝15，可得 sin＝－. 又x∈[4,16]，所以x＝. 令10sin＋20＝25， 可得sin＝. 又x∈[4,16]，所以x＝， 故该细菌的存活时间为－＝(h)． $