5.7三角函数的应用 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

讲课人: 日期: 5.7 三角函数的应用 学习目标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题. 2.实际问题抽象为三角函数模型. 如图5 . 31, 在直角坐标系内,设任意角 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角 与角 有什么关系? 角 , 的三角函 数值之间有什么关系? (2) 如果作P1 关于x 轴(或S轴) 的对称点 P3 (或 P4 ), 那么又可以得到什么结论? 新课引入 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象,如果某种变化着的现象具有周期性,那么就可以考虑借助三角函数来描述. 本节通过几个具体实例,说明三角函数模型的简单应用. 探索新知 问题1:某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:mm)之间的对应数据如下表所示。试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式。 t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 探索新知 振子的振动具有循环往复的特点,由振子振动的物理学原理可知,其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin( t+ )来刻画.根据已知数据作出散点图,如图所示. 由数据表和散点图可知,A=20, 即 . 所以振子位移关于时间的函数解析式为 . 探索新知 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动,如钟摆的摆动,水中浮标的上下浮动,琴弦的振动,等等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动.在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin( x+ ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0, >0.描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关: 探索新知 探索新知 下面我们继续探究物理学中另外一个比较理想化的模型:交变电流. 交变电流(AC)是通过电磁感应原理产生的周期性变化的电流.根据法拉第电磁感应定律,当闭合线圈在磁场中旋转时,穿过线圈的磁通量周期性变化,从而感应出交变电动势.若线圈与外电路构成闭合回路,则形成交变电流. 原理 探索新知 问题2:图(1)是某次实验测得的交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的图象(频率为50HZ)。将测得的图象放大,得到图(2). (1)求电流i随时间t变化的函数解析式; (2)当 时,求电流i.(课本243页) (1) (2) 探索新知 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆,光波,电流,机械波等其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 探索新知 探索新知 课堂小结 实际问题 三角函数模型 三角函数模型的解 实际问题的解 课堂检测 课堂检测 课堂检测 2、 一个半径为4 m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟逆时针转动4圈,且当水轮上的点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间. (1) 将点P距离水面的高度y(m)表示为时间x(s)的函数; (2) 点P第一次到达最高处大约需要多长时间? 课堂检测 课堂检测 (2) 当点P第一次到达最高处时, 作业 课后对应习题 希望同学们:好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人: 日期: A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; 这个简谐运动的周期是了 ,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; 这个简谐运动的频率由公式f= 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; x+ 称为相位;x=0时的相位 称为初相. 【练习1】函数 与函数 具有相同的( ) A.振幅 B.频率 C.相位 D.初相 【解析】 函数 的振幅为3;周期 ,则频率为 ;相位为 ;初相为 ; 函数 的振幅为2;周期 ,则频率为 ;相位为 ;初相为 ; 所以两个函数的频率相同. 故选:B. 【练习2】单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位: )和时间t(单位:s)的函数关系式为 ,单摆来回摆动一次需多长时间? 【解析】因为 , 所以单摆来回摆动一次所需的时间为 . 故答案为: . 1、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今仍在农业生产中发挥作用,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.一半径为2m的筒车水轮如图,水轮圆心O距离水面1m,已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈,如果当水轮上的点P从水中浮现时(图中点 )开始计时,则下列结论错误的是( ) A.点P再次进入水中用时20s B.当水轮转动25s时,点P处于最低点 C.当水轮转动28.75s时,点P距离水面 D.点P第三次到达距水面 时用时42.5s 【详解】由题意,角速度 弧度/秒,又由水轮的半径为2米,且圆心O距离水面1米,可知半径 与水面所成角为 ,点P再次进入水中用时为 秒,故A正确; 当水轮转动25秒时,半径 转动了 弧度,而 ,点P正好处于最低点,故B正确;当水轮转动28.75秒时,由于 ,又 ,所以距水面高度为 米,故C正确;逆时针转动一周时,两次到达离水面高度为 用时30秒, 所以第三次到达距水面高度为 时需要转动一周后再逆时针转动 弧度,此时用时为 秒,所以点P第三次到达距水面 米时用时37.5秒,故D错误. 故选:D. 设角 ∈是以Ox为始边,OP0为终边的角. 易知OP在x s内所转过的角为x=x, 故点P的纵坐标为4sin, 则y=4sin+2. 又当t=0时,y=0,可得sin =-, 所以 =-,所以y=4sin+2. 4sin+2=6,即sin=1. 取x-=,解得x=5, 故点P第一次到达最高处大约需要5 s. $