精品解析：吉林省白山市多校2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 命题人：刘佳慧 审题人：刘春丽 张海燕 霍小莉 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，求（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. （2，3） D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 8. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 若幂函数过点，则 B. 函数是幂函数 C. 若幂函数在上单调递减，则 D. 幂函数的图象都经过点和 11. 已知函数 的图象是由函数 的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为__________. 14. 已知函数，其中.若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知集合，或. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围. 17. 某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 18. 函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，求在区间上的最大值； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 命题人：刘佳慧 审题人：刘春丽 张海燕 霍小莉 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题“，”的否定为：，. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将和分别带入对应函数解析式中求出函数值，即可求出结果. 【详解】因为 所以，，所以， 故选：D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法可得答案. 【详解】要使函数有意义，必须， 解得， 则函数的定义域为. 故选：A. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得， 又由对数函数的性质，可得， 所以，即． 故选：D． 5. 已知，，求（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切的二倍角公式可得，结合角的范围，即可求得答案. 【详解】由题意得，即得，解得， 又，所以. 故选：A. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. （2，3） D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式解法计算即可求解. 【详解】原不等式等价于，即， 因为，所以， 即，解得或， 所以不等式解集为. 故选：D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由常数的代换，和基本不等式即可求解. 【详解】因为， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为3， 故选：A 8. 已知函数是上的增函数（其中且），则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数以及一次函数的单调性可得，结合衔接处的函数值关系可得，构造函数，根据的单调性即可求解. 【详解】由题意必有可得， 又，整理为． 令，有，由函数为增函数，可得函数为增函数，又由， 可得不等式中a的取值范围为， 由上知，实数a的取值范围为． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 【答案】AD 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，再利用集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间的关系及集合中元素的个数，逐一分析判断各选项． 【详解】， 选项A：，，故A正确； 选项B：，，故B错误； 选项C：，集合中有4个元素，故C错误； 选项D：中有4个元素，有个子集，故D正确． 故选：． 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 若幂函数过点，则 B. 函数是幂函数 C. 若幂函数在上单调递减，则 D. 幂函数的图象都经过点和 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，设，将点代入，则，，则，故A正确； 对于B，因为，所以不是幂函数，故B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递减， 所以解得，故C错误； 对于D，幂函数的图象不经过也不经过，故D错误. 11. 已知函数 的图象是由函数 的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】首先求出函数解析式，然后结合正弦函数的性质逐个分析判断. 【详解】因为，向右平移个单位得， 对于A：最小正周期为，故A正确； 对于B：由，得，得， 因为在上递减，在上递增， 所以在区间上不单调递增，所以B错误； 对于C：因为， 所以的图象不关于直线对称，所以C错误； 对于D：因为，所以 的图象关于点对称，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的含义进行计算，即可得答案. 【详解】， 故答案为： 13. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题结合扇形的面积公式即可得出. 【详解】由题意可知圆心角为，即，所以扇形的面积为. 14. 已知函数，其中.若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和绝对值函数的性质，结合题意，分析计算，可得m的范围，根据二次函数的性质，可求得答案 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 因为，所以图象为“V”形， 因为存在互不相等的三个实数，使得， 所以，即， 解得或（舍）， 因为为开口向上，对称轴为x=2的抛物线， 所以在上单调递增， 所以，即的值域为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得，再运用正弦、余弦的二倍角公式可得答案； （2）根据（1）的结论和正弦的和角公式可求得答案. 【详解】解：（1）因为，所以， 所以， ． （2）． 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦、余弦函数的二倍角公式，正弦的和角公式，属于基础题. 16. 已知集合，或. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集运算、交集运算和补集运算求解即可； （2）按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 当时，， 又因为或，则或； 又因为，所以； 【小问2详解】 因为. 当时，，解得； 当时，或，解得； 综上，实数的取值范围为. 17. 某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）． 【答案】（1） （2）10万元 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. 【小问2详解】 由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 则，因为（当且仅当时取等号）， 所以有万元， 故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元. 18. 函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式. （2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案. 【小问1详解】 由题意可知：的面积，可得， 所以周期，则， 由，得，又，于是， 所以； 【小问2详解】 由，则，得， 即．由，得， 即在上恒成立， 亦即， 因为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解. 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，求在区间上的最大值； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）20 （3） 【解析】 【分析】（1）由代入可得； （2）设，换元后利用二次函数的性质可得； （3）先将条件转化为，因，故对任意的恒成立，即在上恒成立，进而可得. 【小问1详解】 由，得，解得. 【小问2详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最大值，所以在区间上的最大值为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又， 所以， 所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，. 令，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $