小题精练09 万有引力定律问题 -2026届高考物理三轮题型突破限时精练

小题精练09 万有引力与航天问题 一、开普勒三定律 （1）由开普勒第二定律可得，，解得，可知近日点速度最大，远日点速度最小。 （2）开普勒第三定律中，值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体值不同，且该定律只能用在中心天体相同的星体之间。 （3）运行过程中行星的机械能守恒，即。 二、卫星的发射、运行 在地面附 近静止 忽略自转：G＝mg，故GM＝gR2(黄金代换式) 考虑自转 两极：G＝mg 赤道：G＝mg0＋mω2R 卫星的发射 第一宇宙速度：v＝＝＝7.9 km/s (天体)卫星在 圆轨道上运行 G＝Fn＝ 越高越慢，只有T与r变化一致 人造卫星运动问题的分析要点 三、处理变轨问题的两类观点 1.卫星的发射及变轨 卫星的发射 第一宇宙速度：，是最小发射速度和最大环绕速度，等于近地卫星的运行速度；不同的星球、不同，第一宇宙速度不同 卫星的变轨 （1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度变小、动能变小、机械能变大；由高轨变低轨，反之。 （2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 （3）根据开普勒第三定律可知，半径（或半长轴）越大，周期越长 2.两种特殊卫星 卫星 特点 地球同步卫星 （1）周期与地球自转周期相等，。 （2）高度固定不变，。 （3）运行速率约为 近地卫星 （1）轨道半径（地球半径）； （2）运行速度等于第一宇宙速度（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）； （3）（人造地球卫星的最小周期） 四、双星问题 (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 【例题1】（2026·湖南·一模）国际空间站将在2030年左右退役，届时中国天宫空间站将成为世界上唯一的空间站，继续承载着人类的太空梦想。天宫空间站在距地面约400km高的近圆轨道上运行，大约每90min绕地球运动一周。下列关于天宫空间站说法正确的是（　　） A．空间站运行的角速度小于地球自转的角速度 B．空间站的运行速度小于同步卫星的运行速度 C．在空间站内进行科学实验时托盘天平可正常使用 D．空间站内的航天员在24小时内大约可以观测到16次日出和日落 【答案】D 【详解】A．地球自转周期为24 h（86400 s），角速度 空间站运行周期为5400 s，角速度 比较得 ，故空间站角速度大于地球自转角速度，A错误。 B．同步卫星轨道高度约36000 km，周期24 h。由万有引力提供向心力，可得，因，故，即空间站速度大于同步卫星速度，B错误。 C．空间站处于失重状态（重力提供向心力，内部为微重力环境），托盘天平依赖重力平衡测量质量，在失重条件下无法正常工作，故C错误。 D．空间站运行周期为90 min，24h（1440 min）内绕地球圈数。每绕地球一圈，航天员经历一次日出和一次日落（因轨道运动穿越昼夜区域），故24 h内可观测到约16次日出和16次日落，D正确。 故选D。 【例题2】9．（2025·浙江嘉兴·一模）在某次深空探测活动中，科学家发现两颗恒星A、B相对静止绕着共同的圆心O在同一平面内做匀速圆周运动，A、B连线经过O点，P是A、B连线与A运动轨道的交点，某时刻空间位置如图所示。小禹同学猜想，这个系统中如果还存在一个天体C，应该也可以实现三个天体都绕着O匀速转动。若这是一个A、B、C组成的“三星系统”，则（　　） A．A的质量小于B的质量 B．C可能位于A、B连线的中垂线上 C．若C与A质量相等，C可能位于P点 D．若C的质量远小于A、B的质量，C一定在B的外侧 【答案】B 【详解】A．设A、B间的距离为，的长度为，的长度为，A、B系统做圆周运动的角速度为，则根据万有引力提供向心力有， 解得 由于 所以A的质量大于B的质量，故A错误； B．当C位于A、B连线的中垂线上某点时，若此时天体A、B对C的万有引力的合力恰好指向圆心O，提供C做圆周运动的向心力，则C可以绕着O匀速转动。但必须满足C的质量远小于A、B的质量，以至于C的引力对A、B运动的影响可忽略，否则A、B不能绕着O匀速转动，故B正确； C．若C与A的质量相等，且C位于P点，因C与A角速度相等，则A和C受到的合力应相等，而A和C受到的合力大小分别为， 显然 所以，若C与A质量相等，C不可能位于P点，故C错误； D．若C的质量远小于A、B的质量，C的引力对A、B运动的影响可忽略，但C的向心力需由A、B引力的合力提供。C的位置不一定在B的外侧，也可能在A、B之间（需满足合力指向O），故D错误。 故选B。 难度：★★★☆ 建议时间：40分钟 正确率： /20 1. （2025·浙江·一模）电影《流浪地球2》中展现了太空电梯的宏大场景。如图所示，太空电梯由位于赤道的地面基座、运载舱、地球同步轨道空间站、平衡锤及缆绳组成。已知整个太空电梯除运载舱外与地面保持相对静止，不计大气环流的影响，则（　　） A．当运载舱相对地面匀速上升时，其对缆绳的力有阻碍地球自转的效果 B．当平衡锤与地球同步轨道空间站的缆绳断裂时，平衡锤将做近心运动 C．当运载舱相对地面匀速上升时，舱底支持力对宇航员做的功小于宇航员机械能的增加量 D．若要提高运载舱的载荷，应将平衡锤放置更低的轨道上 【答案】AC 【详解】A．运载舱伴随地球同步旋转，当其相对地表匀速上升时，轨道半径r增大。为维持与地球自转角速度ω同步，其切向速度v=ωr需相应增大。依据牛顿第二定律，缆绳需对运载舱施加一个沿旋转方向的侧向力；根据牛顿第三定律，运载舱对缆绳产生反向作用力。该力的方向与地球自转方向相反，起到阻碍地球自转的作用，故A正确。 B．平衡锤位于同步轨道空间站上方，其轨道半径大于同步轨道半径。在该位置，平衡锤随地球自转的线速度大于该高度处卫星做匀速圆周运动所需线速度，导致其所受万有引力F引小于维持圆周运动所需的向心力F向。若平衡锤与空间站间的缆绳断裂，因万有引力不足以提供向心力，平衡锤将做离心运动，而非近心运动，故B错误。 C．当运载舱相对地面匀速上升时，其竖直速度分量恒定，但切向速度v=ωr随半径r增大而增大，因此宇航员的总速度增加，动能Ek增大。同时，宇航员高度上升，重力势能Ep也增大，故其机械能E机增加。宇航员机械能的增量由舱底支持力N与侧壁提供的侧向力共同做功实现。侧向力对切向动能的增加做功，而舱底支持力N主要克服重力做功，因此舱底支持力对宇航员所做的功小于宇航员机械能的增加量，故C正确。 D．平衡锤的作用是利用其离心倾向产生的拉力张紧缆绳。若要提升运载舱的载荷（即缆绳需承受更大的向下拉力），则需平衡锤提供更大的向上拉力。根据向心力与万有引力的差值关系，平衡锤放置的轨道越高，其所需向心力与万有引力的差值越大，所产生的补偿张力也越大。因此，应将平衡锤安置在更高的轨道上，故D错误。 故选AC。 2. （2026·重庆·一模）哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为，若地球的公转轨道可视为半径为的圆轨道，哈雷彗星的公转周期为，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．彗星的质量 B．在近日点与远日点的速度大小之比为 C．在两轨道交点处，地球和彗星的向心加速度不同 D．彗星在近日点的速度大于地球的公转速度 【答案】CD 【详解】A．根据开普勒第三定律及万有引力充当向心力的公式，可知 其中为椭圆轨道半长轴，有 M为中心天体的质量，公式中无法求解绕行天体的质量，即哈雷彗星的质量不可求，故A错误； B．由开普勒第二定律，彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。在近日点和远日点，速度方向与矢径垂直，短时间内扫过的面积为 所以 解得速度大小之比，故B错误； C．地球做匀速圆周运动，合加速度等于向心加速度，有大小为 解得 彗星做椭圆运动，为交点到太阳的距离，在交点处的合加速度 但合加速度可分解为法向加速度和切向加速度，向心加速度仅为合加速度的法向分量，与地球的向心加速度不同，故C正确； D．对地球而言，万有引力充当向心力，即 地球公转速度 彗星在近日点做椭圆运动，因需做离心运动远离太阳，其速度大于以为半径的圆轨道速度，根据万有引力公式可求出圆轨道速度为 由题图可知，， 所以 故彗星近日点速度，故D正确。 故选CD。 3. （2026·重庆沙坪坝·一模）2025年11月，火星环绕探测器“天问一号”成功观测到来自太阳系以外的彗星——阿特拉斯。观测发现该彗星有一颗小卫星绕其做匀速圆周运动，测得卫星的轨道半径为，运行周期为。若彗星可视为半径为的均匀球体，万有引力常量为，忽略彗星以外其他星球对小卫星的影响，则下列说法正确的是（    ） A．彗星的质量 B．彗星的质量 C．若卫星轨道半径增大，则周期变小 D．若卫星轨道半径增大，则卫星的绕行速度增大 【答案】A 【详解】AB．由万有引力定律和圆周运动向心力公式可知， 简化得，故A正确，B错误； C．根据万有引力充当向心力，可解得 即 当轨道半径增大时，周期增大，故C错误； D．根据公式 解得 即 当轨道半径增大时，绕行速度减小，故D错误。 故选A。 4. （2025·广东珠海·模拟预测）如图，从空间站伸出的机械臂外端安置一微型卫星，微型卫星、空间站、地球在同一直线上，微型卫星与空间站同步做匀速圆周运动。已知地球半径为，空间站的轨道半径为，机械臂长为，忽略空间站对卫星的引力以及空间站的尺寸，下列说法正确的是（　　） A．微型卫星的线速度与空间站的线速度大小之比为 B．空间站的加速度与地球表面重力加速度之比为 C．微型卫星的加速度比空间站的加速度小 D．若机械臂操作不当，微型卫星脱落后会做近心运动 【答案】B 【详解】A．微型卫星和空间站能与地心保持在同一直线上绕地球做匀速圆周运动，所以微型卫星的角速度与空间站的角速度相等，根据 可知微型卫星的线速度与空间站的线速度大小之比为，故A错误； B．根据牛顿第二定律可得 解得空间站的加速度为 在地球表面则有 解得 所以，故B正确； C．根据向心加速度 可知 由于微型卫星的角速度与空间站的角速度相等，轨道半径大于空间站的轨道半径，因此微型卫星的加速度比空间站的加速度大，故C错误； D．根据牛顿第二定律可得 解得 可知仅受万有引力提供向心力时，微型卫星比空间站的轨道半径大，角速度小，由于微型卫星跟随空间站以共同的角速度运动，由可知，所需向心力增大，所以机械臂对微型卫星有拉力作用，若机械臂操作不当，微型卫星脱落后会飞离空间站，故D错误。 故选B。 5. （2025·河北保定·一模）“天问一号”是我国首个自主研发的火星探测器，于2020年7月23日发射，成功实现对火星的环绕、着陆和巡视探测。如图，“天问一号”火星探测器被火星捕获后，进入椭圆停泊轨道Ⅰ，为着陆火星做准备，在P点（椭圆轨道的近火点）再次制动后进入椭圆轨道Ⅱ运动（忽略其他天体的影响）。下列说法正确的是（　　） A．探测器在轨道I或轨道II上绕火星稳定运行时机械能守恒 B．探测器在轨道Ⅰ上P点的运行速度大于其在轨道Ⅱ上P点的运行速度 C．探测器在轨道Ⅰ上P点的加速度大于其在轨道Ⅱ上P点的加速度 D．探测器在轨道Ⅰ上运行的周期小于其在轨道Ⅱ上运行的周期 【答案】AB 【详解】A．探测器在轨道I或轨道II上绕火星稳定运行时，只有万有引力作用做功，机械能守恒，故A正确； B．探测器从轨道I进入轨道II时，需在P点点火减速，所以探测器在轨道Ⅰ上P点的运行速度大于其在轨道Ⅱ上P点的运行速度，故B正确； C．由，可知探测器在轨道Ⅰ上P点的加速度等于其在轨道Ⅱ上P点的加速度，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，探测器在轨道Ⅰ上运行的周期大于其在轨道Ⅱ上运行的周期，故D错误。 故选AB。 6. （2025·河北·一模）2025年 9 月 3 日，在北京天安门大阅兵上，我国展示了“东风—5C”液体洲际战略核导弹，其最具革命性的升级在于分导式多弹头（MIRV）能力。如图所示，若从地面上A 点发射一枚导弹，导弹沿ACDB 椭圆轨道飞行，最终击中地面目标B。已知CD 段为导弹在大气层外关闭发动机后自由飞行的一段轨迹，D点距地面的高度为地球半径的 ，地球表面的重力加速度为 g。下列说法正确的是（　　） A．导弹沿 CD 段飞行时处于失重状态，不受地球引力作用 B．导弹在C点的加速度大于其在D 点的加速度 C．导弹在 A 点的发射速度大于第二宇宙速度 D．导弹在 D 点的加速度大小为 【答案】B 【详解】A．导弹沿 CD 段飞行时，减速上升，加速度向下，处于失重状态，仍受地球引力作用，故A错误； B．导弹在C点既有切向的加速度，又有向心加速度，且由 知C点的向心加速度大于其在D 点的向心加速度（D点是最高点，切向的加速度为零） 故导弹在C点的合加速度大于其在D点的加速度，故B正确； C．该枚导弹还有一颗地球卫星，发射速度小于第二宇宙速度，故C错误； D．导弹在 D 点的加速度大小为 又 解得，故D错误。 故选B。 7. （2025·山西·模拟预测）在天文学研究中，科学家通过引力波探测器观测到一个双星系统，该系统由两颗恒星组成，质量分别为和，它们围绕共同的中心做匀速圆周运动。已知两颗恒星之间的距离为，引力常量为。根据最新的观测数据，科学家发现该双星系统的运动周期与两颗恒星的质量和距离之间存在某种关系。此外，该双星系统的轨道偏心率很小，可以近似为圆轨道。关于该双星系统，下列说法正确的是（　　） A．两颗恒星所受的向心力大小不相等 B．该双星系统的质量比越大，两颗恒星的轨道半径比也越大 C．两颗恒星的运动周期与成反比，与成正比 D．研究发现该双星系统会通过引力波辐射损失能量，则该双星系统的距离会逐渐减小，运动周期也会逐渐减小 【答案】D 【详解】A．两颗恒星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律，作用力与反作用力大小相等，因此两颗恒星所受的向心力大小相等，故A错误； B．两颗恒星之间的万有引力提供向心力，则有 解得 若质量比增大，则 减小，故B错误； C．两颗恒星之间的万有引力提供向心力，则有 又根据， 联立解得双星系统的运动周期公式为 可知 与成正比， 与成反比，故C错误； D．双星系统通过引力波辐射损失能量，导致轨道收缩，距离减小，根据周期公式 可知减小时也减小，故D正确。 故选D。 8. （2025·云南昆明·模拟预测）中国计划在2030年前实现载人登月科学探索。为了确保任务的成功，需要先发射两颗探月卫星进行科学探测。这两颗卫星在同一平面内绕月球做匀速圆周运动，且绕行方向相同。如图甲所示，测得两卫星之间的距离随时间变化的关系如图乙所示，忽略两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（    ） A．、两卫星的线速度大小之比 B．、两卫星的加速度大小之比 C．卫星的运转周期为 D．卫星的运转周期为 【答案】C 【详解】A．分析题图可知，a、b两卫星的轨道半径分别为2r和4r。卫星绕月球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 可得卫星运动的线速度为 则a、b两卫星的线速度大小之比 故A错误； B．根据牛顿第二定律 可得卫星运动的加速度为 则a、b两卫星的加速度大小之比 故B错误； CD．根据牛顿第二定律 可得卫星运动的周期为 则a、b两卫星的周期之比 分析题意可知 化简可得, 故C正确，D错误。 故选C。 9. （2025·江苏·模拟预测）如图甲，“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点，图乙是航天控制中心大屏幕上显示某气象卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹。地球可视为球体，地球匀速自转，则（　　） A．该气象卫星绕地球运动的轨道是椭圆 B．地球自转周期是该气象卫星绕地球运动周期的3倍 C．该气象卫星线速度介于第一、第二宇宙速度之间 D．该气象卫星受地球的引力一定大于地球同步卫星受地球的引力 【答案】B 【详解】A．由图乙可知，该气象卫星相邻两次经过赤道正上方所用的时间相等，所以，该气象卫星的轨道是圆，故A错误； B．由图乙可知，在地球自转一周的时间内，该气象卫星转了3周，即，故B正确； C．因轨道半径越大线速度越小，第一宇宙速度是最大环绕速度，所以，该气象卫星线速度应小于第一宇宙速度，故C错误； D．因该卫星与地球静止卫星的质量关系未知，所以无法比较该气象卫星受地球的引力与静止卫星受地球的引力的大小关系，故D错误。 故选B。 10. （2025·云南大理·一模）如图（a）所示，太阳系外行星、均绕恒星做同向匀速圆周运动。由于的遮挡，行星被照亮的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，其中为绕运动的公转周期。则两行星、的轨道半径之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据遮挡时间可知，解得，设行星M、N绕Q运动的半径分别为、 根据开普勒第三定律可得 解得，D正确。 故选D。 11. （2025·河南南阳·模拟预测）中国设想登月前向月球发射一颗人造月球卫星，如图所示，卫星先在月球同步卫星轨道（轨道I）上做匀速圆周运动，接着在轨道II（椭圆轨道）上运行，然后在圆轨道III（贴着月面）做匀速圆周运动，A是I与II的切点，B是II与III的切点，已知月球的自转周期为T1，卫星在轨道III上的周期为T3，下列说法正确的是（    ） A．卫星在轨道II上的周期大于T1 B．卫星在轨道I与轨道III上的动能之比为 C．A、B两点间距与月球的半径之比为 D．卫星在轨道II上A点的加速度小于在轨道I上的加速度 【答案】B 【详解】A．轨道II的半长轴小于轨道I的半径R1，根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道II的周期小于在轨道I上的周期，而轨道I上的周期等于月球自转的周期T1，可知卫星在轨道II上的周期小于T1，A项错误； B．设月球的半径即轨道III的半径为R3，由开普勒第三定律可得 则有 由 可得 则卫星在轨道I上的动能之比为，B项正确； C．由几何关系可得A、B两点间距离 进一步可得，C项错误； D．卫星在轨道I上A点所受的万有引力大小等于在轨道II上（包括A点）所受的万有引力大小，根据牛顿第二定律可知，卫星在轨道II上A点的加速度大小等于在轨道I上（包括A点）的加速度大小，D项错误。 故选B。 12. （2025·湖南·模拟预测）物体在引力场中具有的势能叫作引力势能。规定质量为m的人造卫星和质量为M的地球相距无穷远时引力势能为零，则两者相距r时，系统的引力势能（式中G为引力常量，r大于地球半径）。一颗质量为m的人造卫星在半径为r的圆轨道上绕质量为M的地球做匀速圆周运动，后来卫星变轨到半径为3r的圆轨道上做匀速圆周运动，则下列选项正确的是（    ） A．卫星的动能减少了 B．系统的引力势能增加了 C．系统的机械能增加了 D．系统的机械能减少了 【答案】BC 【详解】A．根据万有引力定律，在半径为r的圆轨道上有 则卫星动能为 变轨到半径为3r的圆轨道上做匀速圆周运动时，有 则卫星动能为 卫星的动能减少量 解得，故A错误； B．两者相距r时，系统的引力势能 变轨到半径为3r的圆轨道上做匀速圆周运动时，系统引力势能为 则系统的引力势能增加了 解得，故B正确； CD．两者相距r时，系统机械能 变轨到半径为3r的圆轨道上做匀速圆周运动时，系统机械能 则系统的机械能增加 解得，故C正确，D错误。 故选BC。 13. （2025·广东·模拟预测）如图所示，地球绕太阳的公转轨道可视为正圆，公转速度为v。哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，彗星在远日点与太阳中心的距离为，速度大小为，在近日点与太阳中心的距离为，速度大小为。已知太阳的质量为M，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．利用题目所给数据可以求出哈雷彗星的质量 【答案】A 【详解】A．以太阳中心为圆心、以为半径作圆，得到轨道3，根据万有引力提供向心力可得 可得，轨道3的半径小于地球的轨道半径，可得，故A正确； B．以太阳中心为圆心、以为半径作圆，得到轨道4，根据万有引力提供向心力可得 可得，根据变轨原理加速才能向外走（离太阳更远的轨道）可知，故B错误； C．根据开普勒第二定律有 可得，故，故C错误； D．哈雷彗星是环绕星体，利用题目所给数据无法求得哈雷彗星的质量，故D错误。 故选A。 14. （2023高三·全国·专题练习）近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球密度为 ，“蛟龙号”下潜深度为 ，位于地球内部，根据质量分布均匀的球壳对壳内质点万有引力为零的性质，其所在处的重力加速度仅由半径为 的球体产生。 该球体质量为 重力加速度为 卫星轨道距离地面高度为 ，故距离地心为 ，卫星所在处的重力加速度由整个地球（质量为 ）产生 卫星所在处重力加速度与“蛟龙号”所在处重力加速度的大小之比为 故选 C。 15. （25-26高三上·河北·期中）如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为，半径为，自转周期为，地球同步轨道距地面高度为。某时刻电梯舱停留在距地面高度为的点处。此时，电梯舱内一质量为的乘客站在体重计上，体重计示数为。引力常量为。下列说法正确的是（　　） A．乘客在点受到的万有引力大小为 B．乘客在点的向心加速度小于 C．乘客在点的线速度大小为 D．体重计的示数 【答案】BD 【详解】由题意可知，“太空电梯”上各点的运动周期及同步卫星的运动周期都与地球的自转周期相同，由可知，它们的角速度也相同。 A．乘客在点受到的万有引力大小为，故A错； B．地球同步轨道上空间站的向心加速度 因为乘客与空间站具有相同的角速度，但乘客在点的运动半径小于地球同步轨道半径，由 可知乘客在点的向心加速度小于，故B正确； C．乘客所受万有引力提供向心力时， 可解出 但乘客还受到体重计的支持力，所以乘客在点的线速度不等于，故C错误； D．根据牛顿第三定律，体重计示数与体重计对乘客的支持力等大反向，分析乘客的受力得 可解得，故D正确。 故选BD。 16. （25-26高三上·重庆九龙坡·月考）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度可以小于 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 D．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 【答案】D 【详解】A．“天问一号”从地球发射后绕太阳运动，发射速度应大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A错误； B．地火转移轨道的半长轴大于地球轨道的半径，根据开普勒第三定律可知，“天问一号”沿地火转移轨道运动的周期大于沿地球轨道运动的周期（1年），“天问一号” 从P点转移到Q点的时间为半个周期，大于6个月，故B错误； C．卫星从Q点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由 得 可知火星轨道速度小于地球轨道速度，故卫星在Q点的速度小于地球轨道速度，故C错误； D．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知，在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故D正确。 故选D。 17. （2025·云南昭通·模拟预测）2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。天舟九号货运飞船A与空间站B交会对接的示意图如图所示，飞船顺利进入预定圆轨道1，并以周期T1稳定运行，之后飞船从轨道1经转移轨道2逐步接近在圆轨道3上运行的空间站，约3小时后，飞船与空间站组合体完成交会对接，并在轨道3上以周期T2稳定运行。已知万有引力常量为G，地球半径为R，圆轨道1距地面高度h1，圆轨道3距地面高度h2，则（　　） A．货运飞船从轨道1进入转移轨道2需要点火减速 B．空间站与天舟九号完成对接之后，空间站运动速度变慢 C．货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为 D．根据题目条件可以得出地球密度的表达式为 【答案】C 【详解】A．货运飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火加速做离心运动，故A错误； B．设地球质量为M，空间站质量为m，在3轨道，由万有引力提供向心力有 可得 可知在3轨道上物体的运行速度与物体质量无关，即空间站与天舟九号完成对接之后，运动速度不变，故B错误； C．由B选项分析可知，在轨道1上的飞船线速度 故货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为，故C正确； D．结合题意和以上分析，在1轨道有 地球质量 联立以上解得地球密度，故D错误。 故选C。 18. （2025·四川绵阳·一模）发射地球同步卫星常采用变轨发射，即先把卫星发射到靠近地球表面的圆形轨道上，再通过点火加速、调整方向等，将卫星送入距地面高为的同步轨道，如图所示。若卫星在近地轨道、同步轨道都做匀速圆周运动，已知地球半径为，卫星在近地轨道运动的速度大小为，则卫星在同步轨道运动的速度大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对近地卫星有 可得 对同步轨道卫星有 可得 所以 故选A。 19. （25-26高三上·山东济南·期中）中国航天的下一个重大任务——火星探测器天问二号，也即将踏上征程。“天问二号”发射后将沿霍曼转移轨道运动，该轨道与地球轨道相切于A点，与火星轨道相切于C点，可认为地球和火星在同一平面沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知火星公转半径是地球公转半径的1.5倍，则下列说法正确的是（　　） A．地球绕太阳公转速度小于火星绕太阳公转速度 B．“天问二号”沿霍曼轨道经过A点的速度小于火星绕太阳公转速度 C．“天问二号”沿霍曼轨道经过A点的速度是经过C点速度的倍 D．“天问二号”沿霍曼轨道经过A点的速度是经过C点速度的1.5倍 【答案】D 【详解】A．根据牛顿第二定律 解得 因为地球绕太阳的公转半径小于火星绕太阳的公转半径，故地球绕太阳运动的公转速度大于火星绕太阳运动的公转速度，故A错误； B．“天问二号”在A点需加速才能转移到霍曼轨道，故“天问二号”沿霍曼轨道经过A点的速度大于地球绕太阳运动的公转速度，由A项分析可知地球绕太阳运动的公转速度大于火星绕太阳运动的公转速度，故“天问二号”沿霍曼轨道经过A点的速度大于火星绕太阳公转速度，故B错误； CD．由开普勒第二定律，“天问二号”在霍曼轨道与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则 又 得，故C错误，D正确。 故选D。 20. （2025·湖北·模拟预测）2025年4月1日，长征二号丁运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将试验卫星准确送入预定轨道。如图所示，某试验卫星绕地球圆周运动的轨道半径为，另一人造卫星01星绕地球圆周运动的轨道半径为，且，此时两卫星与地心恰好在一条直线上。已知地球质量为，引力常量为，地球表面重力加速度为，忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．地球的半径 B．试验卫星线速度小于01星的线速度 C．试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为 D．若两颗卫星绕行方向一致，至少经过时间，两卫星与地心再次共线 【答案】C 【详解】A．对地球表面的物体由 可得地球的半径，A错误； B．根据 可得 因，可知试验卫星线速度大于01星的线速度，B错误； C．根据 可知试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为，C正确； D．根据 可得 可知两卫星的周期分别， 若两颗卫星绕行方向一致，则两卫星与地心再次共线时，则　 可知至少经过时间， D错误。 故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $ 小题精练09 万有引力与航天问题 一、开普勒三定律 （1）由开普勒第二定律可得，，解得，可知近日点速度最大，远日点速度最小。 （2）开普勒第三定律中，值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体值不同，且该定律只能用在中心天体相同的星体之间。 （3）运行过程中行星的机械能守恒，即。 二、卫星的发射、运行 在地面附 近静止 忽略自转：G＝mg，故GM＝gR2(黄金代换式) 考虑自转 两极：G＝mg 赤道：G＝mg0＋mω2R 卫星的发射 第一宇宙速度：v＝＝＝7.9 km/s (天体)卫星在 圆轨道上运行 G＝Fn＝ 越高越慢，只有T与r变化一致 人造卫星运动问题的分析要点 三、处理变轨问题的两类观点 1.卫星的发射及变轨 卫星的发射 第一宇宙速度：，是最小发射速度和最大环绕速度，等于近地卫星的运行速度；不同的星球、不同，第一宇宙速度不同 卫星的变轨 （1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度变小、动能变小、机械能变大；由高轨变低轨，反之。 （2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 （3）根据开普勒第三定律可知，半径（或半长轴）越大，周期越长 2.两种特殊卫星 卫星 特点 地球同步卫星 （1）周期与地球自转周期相等，。 （2）高度固定不变，。 （3）运行速率约为 近地卫星 （1）轨道半径（地球半径）； （2）运行速度等于第一宇宙速度（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）； （3）（人造地球卫星的最小周期） 四、双星问题 (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 【例题1】（2026·湖南·一模）国际空间站将在2030年左右退役，届时中国天宫空间站将成为世界上唯一的空间站，继续承载着人类的太空梦想。天宫空间站在距地面约400km高的近圆轨道上运行，大约每90min绕地球运动一周。下列关于天宫空间站说法正确的是（　　） A．空间站运行的角速度小于地球自转的角速度 B．空间站的运行速度小于同步卫星的运行速度 C．在空间站内进行科学实验时托盘天平可正常使用 D．空间站内的航天员在24小时内大约可以观测到16次日出和日落 【例题2】9．（2025·浙江嘉兴·一模）在某次深空探测活动中，科学家发现两颗恒星A、B相对静止绕着共同的圆心O在同一平面内做匀速圆周运动，A、B连线经过O点，P是A、B连线与A运动轨道的交点，某时刻空间位置如图所示。小禹同学猜想，这个系统中如果还存在一个天体C，应该也可以实现三个天体都绕着O匀速转动。若这是一个A、B、C组成的“三星系统”，则（　　） A．A的质量小于B的质量 B．C可能位于A、B连线的中垂线上 C．若C与A质量相等，C可能位于P点 D．若C的质量远小于A、B的质量，C一定在B的外侧 1. （2025·浙江·一模）电影《流浪地球2》中展现了太空电梯的宏大场景。如图所示，太空电梯由位于赤道的地面基座、运载舱、地球同步轨道空间站、平衡锤及缆绳组成。已知整个太空电梯除运载舱外与地面保持相对静止，不计大气环流的影响，则（　　） A．当运载舱相对地面匀速上升时，其对缆绳的力有阻碍地球自转的效果 B．当平衡锤与地球同步轨道空间站的缆绳断裂时，平衡锤将做近心运动 C．当运载舱相对地面匀速上升时，舱底支持力对宇航员做的功小于宇航员机械能的增加量 D．若要提高运载舱的载荷，应将平衡锤放置更低的轨道上 2. （2026·重庆·一模）哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为，若地球的公转轨道可视为半径为的圆轨道，哈雷彗星的公转周期为，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．彗星的质量 B．在近日点与远日点的速度大小之比为 C．在两轨道交点处，地球和彗星的向心加速度不同 D．彗星在近日点的速度大于地球的公转速度 3. （2026·重庆沙坪坝·一模）2025年11月，火星环绕探测器“天问一号”成功观测到来自太阳系以外的彗星——阿特拉斯。观测发现该彗星有一颗小卫星绕其做匀速圆周运动，测得卫星的轨道半径为，运行周期为。若彗星可视为半径为的均匀球体，万有引力常量为，忽略彗星以外其他星球对小卫星的影响，则下列说法正确的是（    ） A．彗星的质量 B．彗星的质量 C．若卫星轨道半径增大，则周期变小 D．若卫星轨道半径增大，则卫星的绕行速度增大 4. （2025·广东珠海·模拟预测）如图，从空间站伸出的机械臂外端安置一微型卫星，微型卫星、空间站、地球在同一直线上，微型卫星与空间站同步做匀速圆周运动。已知地球半径为，空间站的轨道半径为，机械臂长为，忽略空间站对卫星的引力以及空间站的尺寸，下列说法正确的是（　　） A．微型卫星的线速度与空间站的线速度大小之比为 B．空间站的加速度与地球表面重力加速度之比为 C．微型卫星的加速度比空间站的加速度小 D．若机械臂操作不当，微型卫星脱落后会做近心运动 5. （2025·河北保定·一模）“天问一号”是我国首个自主研发的火星探测器，于2020年7月23日发射，成功实现对火星的环绕、着陆和巡视探测。如图，“天问一号”火星探测器被火星捕获后，进入椭圆停泊轨道Ⅰ，为着陆火星做准备，在P点（椭圆轨道的近火点）再次制动后进入椭圆轨道Ⅱ运动（忽略其他天体的影响）。下列说法正确的是（　　） A．探测器在轨道I或轨道II上绕火星稳定运行时机械能守恒 B．探测器在轨道Ⅰ上P点的运行速度大于其在轨道Ⅱ上P点的运行速度 C．探测器在轨道Ⅰ上P点的加速度大于其在轨道Ⅱ上P点的加速度 D．探测器在轨道Ⅰ上运行的周期小于其在轨道Ⅱ上运行的周期 6. （2025·河北·一模）2025年 9 月 3 日，在北京天安门大阅兵上，我国展示了“东风—5C”液体洲际战略核导弹，其最具革命性的升级在于分导式多弹头（MIRV）能力。如图所示，若从地面上A 点发射一枚导弹，导弹沿ACDB 椭圆轨道飞行，最终击中地面目标B。已知CD 段为导弹在大气层外关闭发动机后自由飞行的一段轨迹，D点距地面的高度为地球半径的 ，地球表面的重力加速度为 g。下列说法正确的是（　　） A．导弹沿 CD 段飞行时处于失重状态，不受地球引力作用 B．导弹在C点的加速度大于其在D 点的加速度 C．导弹在 A 点的发射速度大于第二宇宙速度 D．导弹在 D 点的加速度大小为 7. （2025·山西·模拟预测）在天文学研究中，科学家通过引力波探测器观测到一个双星系统，该系统由两颗恒星组成，质量分别为和，它们围绕共同的中心做匀速圆周运动。已知两颗恒星之间的距离为，引力常量为。根据最新的观测数据，科学家发现该双星系统的运动周期与两颗恒星的质量和距离之间存在某种关系。此外，该双星系统的轨道偏心率很小，可以近似为圆轨道。关于该双星系统，下列说法正确的是（　　） A．两颗恒星所受的向心力大小不相等 B．该双星系统的质量比越大，两颗恒星的轨道半径比也越大 C．两颗恒星的运动周期与成反比，与成正比 D．研究发现该双星系统会通过引力波辐射损失能量，则该双星系统的距离会逐渐减小，运动周期也会逐渐减小 8. （2025·云南昆明·模拟预测）中国计划在2030年前实现载人登月科学探索。为了确保任务的成功，需要先发射两颗探月卫星进行科学探测。这两颗卫星在同一平面内绕月球做匀速圆周运动，且绕行方向相同。如图甲所示，测得两卫星之间的距离随时间变化的关系如图乙所示，忽略两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（    ） A．、两卫星的线速度大小之比 B．、两卫星的加速度大小之比 C．卫星的运转周期为 D．卫星的运转周期为 9. （2025·江苏·模拟预测）如图甲，“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点，图乙是航天控制中心大屏幕上显示某气象卫星的“星下点”在一段时间内的轨迹。地球可视为球体，地球匀速自转，则（　　） A．该气象卫星绕地球运动的轨道是椭圆 B．地球自转周期是该气象卫星绕地球运动周期的3倍 C．该气象卫星线速度介于第一、第二宇宙速度之间 D．该气象卫星受地球的引力一定大于地球同步卫星受地球的引力 10. （2025·云南大理·一模）如图（a）所示，太阳系外行星、均绕恒星做同向匀速圆周运动。由于的遮挡，行星被照亮的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，其中为绕运动的公转周期。则两行星、的轨道半径之比为（　　） A． B． C． D． 11. （2025·河南南阳·模拟预测）中国设想登月前向月球发射一颗人造月球卫星，如图所示，卫星先在月球同步卫星轨道（轨道I）上做匀速圆周运动，接着在轨道II（椭圆轨道）上运行，然后在圆轨道III（贴着月面）做匀速圆周运动，A是I与II的切点，B是II与III的切点，已知月球的自转周期为T1，卫星在轨道III上的周期为T3，下列说法正确的是（    ） A．卫星在轨道II上的周期大于T1 B．卫星在轨道I与轨道III上的动能之比为 C．A、B两点间距与月球的半径之比为 D．卫星在轨道II上A点的加速度小于在轨道I上的加速度 12. （2025·湖南·模拟预测）物体在引力场中具有的势能叫作引力势能。规定质量为m的人造卫星和质量为M的地球相距无穷远时引力势能为零，则两者相距r时，系统的引力势能（式中G为引力常量，r大于地球半径）。一颗质量为m的人造卫星在半径为r的圆轨道上绕质量为M的地球做匀速圆周运动，后来卫星变轨到半径为3r的圆轨道上做匀速圆周运动，则下列选项正确的是（    ） A．卫星的动能减少了 B．系统的引力势能增加了 C．系统的机械能增加了 D．系统的机械能减少了 13. （2025·广东·模拟预测）如图所示，地球绕太阳的公转轨道可视为正圆，公转速度为v。哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，彗星在远日点与太阳中心的距离为，速度大小为，在近日点与太阳中心的距离为，速度大小为。已知太阳的质量为M，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．利用题目所给数据可以求出哈雷彗星的质量 14. （2023高三·全国·专题练习）近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（　　） A． B． C． D． 15. （25-26高三上·河北·期中）如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为，半径为，自转周期为，地球同步轨道距地面高度为。某时刻电梯舱停留在距地面高度为的点处。此时，电梯舱内一质量为的乘客站在体重计上，体重计示数为。引力常量为。下列说法正确的是（　　） A．乘客在点受到的万有引力大小为 B．乘客在点的向心加速度小于 C．乘客在点的线速度大小为 D．体重计的示数 16. （25-26高三上·重庆九龙坡·月考）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度可以小于 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 D．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 17. （2025·云南昭通·模拟预测）2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。天舟九号货运飞船A与空间站B交会对接的示意图如图所示，飞船顺利进入预定圆轨道1，并以周期T1稳定运行，之后飞船从轨道1经转移轨道2逐步接近在圆轨道3上运行的空间站，约3小时后，飞船与空间站组合体完成交会对接，并在轨道3上以周期T2稳定运行。已知万有引力常量为G，地球半径为R，圆轨道1距地面高度h1，圆轨道3距地面高度h2，则（　　） A．货运飞船从轨道1进入转移轨道2需要点火减速 B．空间站与天舟九号完成对接之后，空间站运动速度变慢 C．货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为 D．根据题目条件可以得出地球密度的表达式为 18. （2025·四川绵阳·一模）发射地球同步卫星常采用变轨发射，即先把卫星发射到靠近地球表面的圆形轨道上，再通过点火加速、调整方向等，将卫星送入距地面高为的同步轨道，如图所示。若卫星在近地轨道、同步轨道都做匀速圆周运动，已知地球半径为，卫星在近地轨道运动的速度大小为，则卫星在同步轨道运动的速度大小是（　　） A． B． C． D． 19. （25-26高三上·山东济南·期中）中国航天的下一个重大任务——火星探测器天问二号，也即将踏上征程。“天问二号”发射后将沿霍曼转移轨道运动，该轨道与地球轨道相切于A点，与火星轨道相切于C点，可认为地球和火星在同一平面沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知火星公转半径是地球公转半径的1.5倍，则下列说法正确的是（　　） A．地球绕太阳公转速度小于火星绕太阳公转速度 B．“天问二号”沿霍曼轨道经过A点的速度小于火星绕太阳公转速度 C．“天问二号”沿霍曼轨道经过A点的速度是经过C点速度的倍 D．“天问二号”沿霍曼轨道经过A点的速度是经过C点速度的1.5倍 20. （2025·湖北·模拟预测）2025年4月1日，长征二号丁运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将试验卫星准确送入预定轨道。如图所示，某试验卫星绕地球圆周运动的轨道半径为，另一人造卫星01星绕地球圆周运动的轨道半径为，且，此时两卫星与地心恰好在一条直线上。已知地球质量为，引力常量为，地球表面重力加速度为，忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．地球的半径 B．试验卫星线速度小于01星的线速度 C．试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为 D．若两颗卫星绕行方向一致，至少经过时间，两卫星与地心再次共线 学科网（北京）股份有限公司 $