1.1《三角形内角和定理》第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用 第1节 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理及AAS 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.能通过添加辅助线的方法证明三角形内角和定理，体会辅助线在几何证明中的“转化”作用. 2.能利用已有全等判定定理证明“AAS”全等判定定理，掌握全等三角形的对应关系. 3.会运用三角形内角和定理与全等三角形的性质，解决简单的几何角度计算或推理问题. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题：如何用已学的基本事实、定理，严谨证明三角形内角和与全等的相关结论，并解决实际的几何问题？ 现代建筑 传统民居 木结构建筑 当我们行走在城市的街巷、驻足于乡村的老屋,或是参观充满设计感的现代场馆时,三角形这个看似简单的几何图形,总会在不经意间闯入视线,为什么建筑、生活里处处可见三角形的“身影”？它究竟藏着怎样的“魔力”？ 问题构建 问题背景:装饰框缺的角能通过另外两个角算出,依据是“三角形内角和180°”,但这个结论能像平行线定理那样,用基本事实严谨证明吗？ 我们知道,三角形三个内角的和等于180°,你还记得这个结论的探索过程吗？ 如图,如果只把∠A移动到∠1的位置,那么你能说明这个结论的正确性吗？如果不移动∠A,那么你还有什么方法可以达到同样的效果？ 问题构建 问题1:只把∠A移动到∠1的位置,如何说明这个结论的正确性？ ∠A转∠1，构造了内错角，产生相等的内错角，从而出现平行线的关系，借助平行线的条件，产生相等的同位角，把三角形三个内角转化成一个平角证明结论. 思路分析： D 关键依据：平行线的性质（内错角、同位角相等） 和平角的定义 证明思路：构造平行，转化180° 问题构建 问题2:如果不移动∠A,那么你还有什么方法可以达到同样的效果？ 已知：如图,△ABC.求证: ∠A+∠B+∠C=180° 问题3：我们学过哪些和“180°”有关的结论？ 平角的定义、平行线间的同旁内角互补， 补交的定义 追问1：三角形的三个内角不在同一条线上，怎么把它们转化成平角或同旁内角？ 通过添加辅助线，将三角形的三个内角进行 “转移”，拼合为一个平角，或者转化为一组平行线的同旁内角. 问题构建 追问2:你了解什么是辅助线吗？作辅助线有怎样的要求？ 辅助线是几何解题中，为沟通已知条件与待证结论而额外添加的线段或直线（非原图形固有部分，通常用虚线标注） 作辅助线的核心要求： 1.目的明确：针对解题关键； 2.合规合理：符合几何公理； 3.标注清晰：用虚线与实线区分； 4.规范描述：用几何语言表达 问题构建 已知：如图,△ABC.求证: ∠A+∠B+∠C=180° 添加辅助线 证明：如图,延长BC至D,过点C作射线CE,使CE∥BA， 则∠1=∠A,∠2=∠B. ∵ 点B,C,D在同一条直线上， ∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°. ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°. 追问3:你能尝试说出每一步的证明依据吗？ 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°. 协作破冰 如图,在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个内角“凑”到点A处,过点A作直线PQ,使PQ∥BC,他的想法可行吗？如果可行,你能写出证明过程吗？ 证明:过点A作PQ∥BC ∵PQ∥BC（已知） ∴∠PAB=∠ABC（两直线平行，内错角相等） ∠QAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等） ∵点P、A、Q在同一直线PQ上， ∴∠PAB+∠BAC+∠QAC=180∘（平角的定义） ∴∠ABC+∠BAC+∠ACB=180∘（等量代换） 协作破冰 问题4:对于三角形内角和定理,你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流. 追问1:小明对三角形进行了三次折叠,三个顶点重合于一点,请你说一说折叠后三个内角的对应位置？ ∠A与∠1，∠B与∠2，∠C与∠3 追问2:三个顶点重合于一点,你能得到怎样的结论？ ∠1+∠2+∠3=180° 即∠A+∠B+∠C=180° 协作破冰 例1:如图,在△ABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数. 解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理） ∵ ∠B=38°，∠C=62° ∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80° ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40° 在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）。∵ ∠B=38°，∠BAD=40° ∴ ∠ADB=180°-38°-40°=102° 协作破冰 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论,你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） 步骤1:明确已知与求证,并画出图形. 已知：在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF. 教师示范 已学全等判定定理有 SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、ASA（两角及夹边对应相等） 问题5:我们已经学过哪些三角形全等的判定定理？ 问题6:已知△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,能推出第三个角的关系吗？依据是什么？ 能.依据三角形内角和定理（三角形内角和为180°），可得： 在△ABC中： ∠C=180−∠A−∠B 在△DEF中： ∠F=180−∠D−∠E 又∵∠A=∠D，∠B=∠E ∴∠C=∠F 教师示范 能.现在有∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，这符合 ASA（两角及夹边对应相等） 的全等判定条件. 问题7:结合已知的“BC=EF”,现在能匹配到已学的全等判定条件吗？ 在△ABC 和△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（ASA ） 请整理上述推理，写出完整的证明过程证明过程： 追问:这个证明过程说明AAS定理和已学判定有什么关系？ AAS定理是通过三角形内角和定理,将“两角及一对边”转化为ASA的判定条件,从而证明成立的,是已学知识的延伸. 巩固拓展 根据全等三角形的定义，我们可以得到: 全等三角形的对应边相等、对应角相等 完全重合的图形,对应线段的长度相等,对应角的度数相等（因为重合意味着“完全重叠”,没有长度、角度的差异） 问题8：全等三角形的定义是什么？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 问题9:“完全重合”的图形，其对应部分的长度、角度有什么特点？ 问题10:证明的一般步骤简单回顾一下？ 画出图形→书写已知求证→分析确定证明思路→书写证明步骤→回顾反思总结 巩固拓展 已知：△ABC≌△DEF 求证：AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F 证明∵ △ABC≌△DEF（已知） ∴ △ABC与△DEF能够完全重合（全等三角形的定义） ∵ 完全重合的图形,对应边长度相等、对应角度数相等（重合图形的基本性质） ∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF（对应边相等）；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等） 巩固拓展 问题11:通过本节课的学习，结合过去所学知识，对于本章一般的研究路径，你有怎样的认识？ 情境/操作入手 提出猜想依托旧知 严谨证明梳理逻辑 构建知识体系定理应用 解决实际问题反思提炼，总结通用思想 当堂检测 1.如图，在中， ， ， 则 的度数是( ) B B. C. D. 当堂检测 2.利用下图证明“三角形内角和定理”，写出求证，并 把证明过程补充完整. 已知：如图，及边上的一点 . 求证：_____________________. 证明：过点作，交于点，作 ， 交于点 当堂检测 解：补全证明过程如下： ， ， . ， ， . . ， . 当堂检测 3.如图，与相交于点， ，添加一个条件后能使用全等 三角形的判定定理判定 的是( ) C A. B. C. D. 反思总结 1.证明三角形内角和时，不同的辅助线（如延长边作平行线、过顶点作平行线），都是把 “三角形的三个内角”转化成了什么？这种“转化”是几何证明的常用思路吗？ 2.证明“AAS”全等定理时,是借助了哪个已学的全等判定？这体现了几何中“用已知证未知”的什么逻辑？ 3.结合本节课的证明过程,说说写几何证明时,“已知、求证、证明”三部分需要注意什么？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第4页 第1，2题 二、素养类作业 同学间交流证明三角形内角和180°的其他方法. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $