专题2.4 一元一次不等式组（知识荟萃+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

专题2.4 一元一次不等式组 （知识荟萃+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：一元一次不等式组 2 知识点梳理02：一元一次不等式组的解集 2 知识点梳理03：解一元一次不等式组 3 知识点梳理04：一元一次不等式组的应用 3 题型讲练 3 题型1：一元一次不等式组的定义 3 题型2：求不等式组的解集 4 题型3：解特殊不等式组 5 题型4：求一元一次不等式组的整数解 6 题型5：由一元一次不等式组的解集求参数 7 题型6：由不等式组解集的情况求参数 8 题型7：不等式组和方程组结合的问题 10 题型8：列一元一次不等式组 11 题型9：不等式组的行程问题 12 题型10：不等式组的工程问题 14 题型11：不等式组的经济问题 16 题型12：不等式组的分配问题 18 题型13：不等式组的方案选择问题 20 题型14：一元一次不等式组的其他应用 22 中考真题 24 分层训练 27 基础夯实 27 培优拔高 31 知识点梳理01：一元一次不等式组 1.定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组必须同时满足两个条件 （1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； （2）整个不等式组中只含一个未知数. 3.表示方式：不等式组可以用“{”表示，也可以用形如的方式表示. 【易错点拨】 1.一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个； 2.未知数的个数必须唯一. 知识点梳理02：一元一次不等式组的解集 1. 定义：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 【易错点拨】 “公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的不分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. 不等式组的解集中的每一个解都满足不等式组中的每一个不等式. 知识点梳理03：解一元一次不等式组 1.定义 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组. 2.一元一次不等式组解集的一般步骤： （1）分别解每一个不等式； （2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； （3）写出不等式组的解集. 【易错点拨】 解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分. 知识点梳理04：一元一次不等式组的应用 基本步骤：审→设→列→解→验→答. （1）审：认真审题，分清题目中的已知量、未知量，并明确他们之间的不等关系； （2）设：恰当地设未知数； （3）列：依据题目中的不等关系列出不等式组； （4）解：解不等式组，求出解集； （5）验：检验所求得的解集是否符合题意和实际意义； （6）答：写出答案. 【易错点拨】 列一元一次不等式组的步骤和要求与列一元一次不等式一样.所不同的是题中所反映的数量关系不只一个，因此需要将所有反应数量关系的语句用不等式一一表示出来，形成一元一次不等式组. 题型1：一元一次不等式组的定义 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【规范解答】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【规范解答】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 题型2：求不等式组的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 (1)解不等式； (2)不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集． （1）移项、合并同类项，系数化为1，即可求得答案； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来即可． 【规范解答】（1）解： （2） 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 则该不等式组的解集为：, 这个不等式组的解集在数轴上表示如图： 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）解不等式组并求出它的所有整数解的和． 【答案】，14 【思路点拨】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，确定不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解，再求和即可． 【规范解答】解：解得：， 解得：， 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为：， 所以它的所有整数解的和为：． 题型3：解特殊不等式组 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题二次根式有意义的条件、二次根式非负性、解不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得到，再由二次根式非负性得到，从而得到的取值范围，熟记二次根式有意义的条件、二次根式非负性是解决问题的关键． 【规范解答】解：由二次根式有意义的条件可知，，即， ，且， ，解得， 的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【思路点拨】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【规范解答】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 题型4：求一元一次不等式组的整数解 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西安康·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示出来，根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【规范解答】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和是18， 不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、、， 或 ， 故选：C． 【变式训练】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【规范解答】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 题型5：由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 【答案】 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式，代数式求值；解不等式得，由不等式组的解集为可得，从而知的值，代入即可． 【规范解答】解：解不等式，得：， 不等式组的解集为， ， ， 则． 【变式训练】（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）不等式的整数解是1、2、3、4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先根据整数解均大于0可得，则可得不等式组的解集为，再根据整数解是1、2、3、4可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【规范解答】解：不等式可化为， ∵不等式的整数解是1、2、3、4，整数解均大于0， ∴， ∴， 又∵不等式的整数解是1、2、3、4， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， 故选：C． 题型6：由不等式组解集的情况求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 【答案】2或3 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解一元一次不等式，解分式方程等知识点，正确求出一元一次不等式组的解集和分式方程的解是解题的关键． 根据关于x的不等式组恰有两个整数解得到，求出的范围，再解分式方程得到，然后结合分式方程的增根问题，得到且，即可求解整数． 【规范解答】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． 【变式训练】（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）已知关于y的不等式组 有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数m的值分别为 ． 【答案】，，，1，2 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据这个不等式组有且仅有2个整数解可得，求出的取值范围，由此即可得． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵这个不等式组有且仅有2个整数解， ∴， 解得， ∴所有满足条件的整数的值分别为，，，1，2， 故答案为：，，，1，2． 题型7：不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西延安·开学考试）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【规范解答】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·月考）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，去绝对值等知识点，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质以及一元一次不等式组解集的求法． （1）解二元一次方程组求出x和y，根据x为非正数，y为负数，得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围； （2）根据m的取值范围去绝对值即可； （3）由可得，根据解为，利用不等式的基本性质可得，结合（1）中结论可得，进而可得． 【规范解答】（1）解：解关于的方程组， 得， ∵为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴ ； （3）∵不等式即的解集为， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴当时该不等式的解集为． 题型8：列一元一次不等式组 【典例精讲】（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围． 利用不等式的性质解答即可． 【规范解答】解：， ， 又 ， ， ． 又 ， ① 同理得：② 由①②得： 的取值范围是： 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据给出的用量、找出x的取值范围是解题的关键． 据说明书上的用法用量即可得出关于x的取值范围． 【规范解答】解：根据题意得：． 故选：A． 题型9：不等式组的行程问题 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【答案】(1) (2)小时 (3)时间范围是 【思路点拨】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可； （2）分别写出线段和对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程并求解即可； （3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与交点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：小李到达甲地后，小张再经过（小时）到达乙地， 小张骑自行车的速度是（千米/时）． 故答案为：1，15． （2）解：设线段的解析式为，则 ，解得：， 所以线段的解析式为， 设线段的解析式为，则，解得：， 所以线段的解析式为， 当小张与小李相遇时，得，解得． 答：小张出发小时与小李相遇． （3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为， 当时，解得， 若小李想在小张修休息期间与他相遇，则，解得：， 所以小李出发的时间范围是． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【规范解答】解：根据题意，得， 故答案为：． 题型10：不等式组的工程问题 【典例精讲】（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【规范解答】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 【变式训练】（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50 (2) (3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元 【思路点拨】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解； （2）根据题意得到，整理得：，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26天求出自变量取值范围即可解答． （3）由（2）可得，设施工总费用为元，得出与x的关系式，根据一次函数的性质，即可解答． 【规范解答】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意．得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）根据题意，得：， 整理得：， ∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天， ∴，即 解得 ∴y与x的函数解析式为： ． （3）设施工总费用为w万元，根据题意得： ∵， ∴w随x减小而减小， ∵ ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元． 题型11：不等式组的经济问题 【典例精讲】（23-24八年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【规范解答】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·重庆江津·期末）芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)制造A种型号芯片10万件时，会获得最大利润，最大利润是260万元 【思路点拨】本题主要考查的是一次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意列出函数关系式以及一元一次不等式组是解本题的关键． （1）由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，再根据总利润等于两种芯片的利润之和求解即可； （2）先根据B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，列不等式求解m的范围，再利用一次函数的性质求解最大利润即可． 【规范解答】（1）解：由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，根据题意得： ，即． （2）解：∵B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍， ∴，解得：， ∵、 ∴， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w取最大值，最大值为（万元），此时． 答：制造A型芯片10万件，B型芯片30万件，会获得最大利润，最大利润是260万元． 题型12：不等式组的分配问题 【典例精讲】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【规范解答】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． (1)设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） (2)的取值范围是______________； (3)设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 【答案】(1)；；； (2) (3)，从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 【思路点拨】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键． （1）根据题意列表，列代数式即可得出结果； （2）由运量不能为负数，建立不等式组，即可求解； （3）根据题意得总费用与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解； 【规范解答】（1）解：设从东区往南区运吨肥料，分析列表如下（单位：吨）： 东区 西区 合计 南区 北区 合计 ∴从东区往北区运吨肥料，从西区往南区运吨肥料，从西区往北区运吨肥料； 故答案为：；；； （2）解：根据题意得： ， 解得：； 故答案为：； （3）解：由题意可得： 整理得： ∵，随的增大而增大，， ∴当时，， ∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 题型13：不等式组的方案选择问题 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 【变式训练】（24-25八年级下·云南丽江·期末）“云南鲜花饼”是云南的著名特产．某商店销售A，B两种品牌的鲜花饼，若购买3箱A种鲜花饼和2箱B种鲜花饼共需120元；若购买2箱A种鲜花饼和3箱B种鲜花饼共需105元． (1)求A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是多少元？ (2)若某旅行团计划购买A，B两种鲜花饼共15箱，且A种鲜花饼的数量多于B种鲜花饼的数量，但又不超过B种鲜花饼的数量的2倍，请问有哪几种购买方案？并求出最省钱的购买方案的费用． 【答案】(1)A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元； (2)有三种购买方案：购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱； 购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱； 购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱； 当购买种鲜花饼箱，购买种鲜花饼箱最省钱，费用为元． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元，依题意列出方程组求解即可； （2）设购买种鲜花饼箱，则购买种鲜花饼箱，依题意列了不等式组，求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元，依题意得： ， 解得：， 答：A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是元和元； （2）解：设购买种鲜花饼箱，则购买种鲜花饼箱，依题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， 当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元， 当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元， 当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为：元， ∴最省钱的方案为：当购买种鲜花饼箱，则种鲜花饼箱，费用为元． 题型14：一元一次不等式组的其他应用 【典例精讲】（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【思路点拨】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 【变式训练】（24-25八年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元 (2)最多可以采购B种机器人20个 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据题意列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【规范解答】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 1．（2024·甘肃平凉·中考真题）关于的不等式组，整数解有5个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了由一元一次不等式组的解集情况求参数，熟练掌握由一元一次不等式组的解集情况求参数是解题的关键．先分别求两个不等式，再根据不等式组的整数解个数，即可确定答案． 【规范解答】解：， 解①得， 解②得， 若不等式组的整数解有5个， 则． 故选：B． 2．（2024·四川达州·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【规范解答】解：解不等式得：， 关于x的不等式组的解集为， ， 故选：D ． 3．（2024·河北衡水·中考真题）将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，根据“t型平移”的定义，得出关于t的不等式组，据此进行计算即可． 【规范解答】解：由题知，点A和点B进行“t型平移”后对应点的坐标分别为和， 因为线段进行“t型平移”后与y轴有公共点， 所以点A和点B“t型平移”后的对应点在y轴两侧（包括y轴上）， 所以或， 解得 故答案为： 4．（2024·山东临沂·中考真题）不等式组的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找． 分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【规范解答】解：， 解①，得， 解②，得， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 5．（2024·广西梧州·中考真题）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 基础夯实 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）若点在第二象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系象限坐标特征，解不等式组，根据第二象限点的坐标特征，横坐标小于，纵坐标大于，列出不等式组，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：． 2．（25-26八年级下·浙江·期中）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查一元一次不等式组解集的求法，熟记求不等式组解集的原则：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”是解决问题的关键． 两个不等式无解意味着它们的解集没有交集，分别检查每个选项与是否有公共部分即可得到答案． 【规范解答】解：A、由于与无公共部分，则组成的不等式组无解，符合题意； B、由于与的公共部分为，组成的不等式组有解，不符合题意； C、由于与的公共部分为，组成的不等式组有解，不符合题意； D、由于与的公共部分为，组成的不等式组有解，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·湖北·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可得到答案． 【规范解答】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为：， 故选：． 4．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围 ． 用法用量：口服 每次： 每天：次 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的应用．由实际问题中的不等关系列出不等式，理解题意是解题关键．根据题意列不等式求解即可． 【规范解答】解：根据题意知，，即， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）三角形的三边长分别为，和，则的范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【规范解答】解：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 得， 解得， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）不等式组的解集是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【规范解答】解： 解①得：， 解②得：， 则不等式组的解集为：， 故答案为： 7．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知x，y都是实数，且，则的平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、平方根的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的值，进而得出的值，再根据平方根的定义即可求解． 【规范解答】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴， ∵6的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）求不等式组的整数解． （2）求满足不等式组的最大整数和最小整数． 【答案】（1）；（2）最大整数为1，最小整数为 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤是解答的关键． （1）先解出不等式组的解集，再求出其整数解即可解答． （2）先解出不等式组的解集，再求出满足不等式组的最大整数和最小整数即可解答． 【规范解答】解：（1）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴该不等式组的整数解是； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴满足该不等式组的最大整数是1和最小整数是． 9．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【思路点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【规范解答】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 故此不等式组的解集在数轴上表示为： 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，整数解为 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组的整数解，熟知解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键. 先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定整数解即可． 【规范解答】解： 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为． 培优拔高 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行两次就停止，即可得出关于的一元一次不等式组，然后求出的取值范围即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【规范解答】解：依题意，得：， 解得：， 故选：． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）若关于x的不等式组有解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 先解不等式组，根据不等式组有解，求得的取值范围，即可判断一次函数的图象一定不经过的象限． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵不等式组有解， ∴， ∴， ∴， ∴经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 3．（24-25八年级下·山西朔州·月考）将不等式组的解集在数轴上表示，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了求不等式组的解集、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【规范解答】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，该不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为： ． 故选：D． 4．（25-26八年级下·重庆·月考）若实数使关于的不等式组有解且至多有个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 . 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，关键是准确熟练地解一元一次方程和一元一次不等式组．先根据不等式组求出的范围，然后再根据方程求出的范围，从而确定的可能值，最后求和. 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴， ∴ 解方程得 ， ∵方程的解为非负数， 所以， 解得： ∴， ∵是整数， ∴， ∴满足条件的所有整数m的和为. 故答案为：15. 5．（25-26八年级下·重庆江北·月考）若数k使关于x的不等式组无解，且使关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解不等式组求得其解集，根据不等式组无解得出k的取值范围，解方程得出，由方程的解为整数得出k的取值，综合两者所求最终确定k的范围,据此可得答案． 【规范解答】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得：， ∵不等式组无解， ， ， 解方程，得， ∵关于y的方程的解为整数，且， 或4或2或1或或或， 或7或5或4或2或1或， 则符合条件的所有整数k的和为， 故答案为： 6．（25-26八年级下·浙江金华·月考）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x的最大整数． 例如：，． 则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是； 其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【思路点拨】本题考查了高斯函数的概念及其性质，解题的关键在于准确理解高斯函数的定义．根据高斯函数的定义，逐一分析各结论的正确性即可． 【规范解答】解：①，正确； ②取反例验证： 当时，，，和为； 当时，，，和为； 当时，，，和为． 因此结论②不总成立，错误． ③若，则， 解得，即，正确． 综上所述，①③正确， 故答案为：①③． 7．（24-25八年级下·上海·自主招生）已知 有两个整数解，求实数 的取值范围 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据不等式组只有两个整数解，设不等式的两个整数解为和，得出，解不等式组可得，即可得出或，代入即可求出的取值范围． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得， 设不等式的两个整数解为和， ∴，即， ∵不等式有解， ∴， 解得， ∴或，即不等式的两个整数解为、或、， ∴或， 解得或 故答案为：或 8．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，作图见详解 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组及不等式解集在数轴上的表示，先分别解不等式组里的两个不等式，再取公共部分的解集，最后将所求解集表示在数轴上即可． 【规范解答】解：由不等式①，得， 由不等式②，得． ∴原不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下， 9．（2026八年级下·全国·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)不等式组无解 (4) 【思路点拨】考查知识点：一元一次不等式组的解法、不等式组解集的确定．解题关键：准确求解单个不等式，正确判断解集的公共部分．易错点：解不等式时符号错误，或判断解集公共部分时逻辑错误（如漏判“无解”）． 针对每一道题分别解不等式组中的每个不等式，得到各自的解集；根据“同大取大、同小取小”等规则，确定所有不等式解集的公共部分；若无公共部分，则不等式组无解． 【规范解答】（1）解：， 解：， 故不等式组的解集为：． （2）解： 解： 故不等式组的解集为：． （3）解： 解： 故不等式组无解． （4）解： 解： 故不等式组的解集为：． 10．（24-25八年级下·云南红河·期末）云南昆明斗南花市，是全亚洲最大的国际鲜花交易市场．2025年3月8日“妇女节”这一天，小宇在某花店购买1捆康乃馨和2捆玫瑰需120元，小艳购买2捆康乃馨和1捆玫瑰需90元． (1)求该花店康乃馨和玫瑰的销售单价； (2)该花店老板在这天购进康乃馨的数量不少于玫瑰的数量，又不多于玫瑰数量的2倍，且购进康乃馨和玫瑰共80捆，在当天下午就全部销售完，且获得了最大利润．已知1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是10元和30元，该花店老板购进的康乃馨的数量是多少捆？获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)康乃馨的销售单价为20元/捆，玫瑰的销售单价为50元/捆 (2)该花店老板购进的康乃馨的数量是40捆，获得的最大利润是1200元 【思路点拨】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式、一次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设花店康乃馨的单价为元/捆，玫瑰元/捆，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设该花店老板购进的康乃馨的数量是m捆，则购进的玫瑰的数量是捆，利润为w，根据题意列出不等式确定，然后列出一次函数解析式求解即可． 【规范解答】（1）解：设花店康乃馨的单价为元/捆，玫瑰元/捆， 由题意得， 解得， 答：康乃馨的销售单价为20元/捆，玫瑰的销售单价为50元/捆； （2）设该花店老板购进的康乃馨的数量是m捆，则购进的玫瑰的数量是捆，利润为w， 根据题意得：， ， ∵1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是10元和30元， ∴利润为：， ∴当时，利润取得最大值为：， ∴该花店老板购进的康乃馨的数量是40捆，获得的最大利润是1200元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 一元一次不等式组 （知识荟萃+14个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：一元一次不等式组 2 知识点梳理02：一元一次不等式组的解集 2 知识点梳理03：解一元一次不等式组 3 知识点梳理04：一元一次不等式组的应用 3 题型讲练 3 题型1：一元一次不等式组的定义 3 题型2：求不等式组的解集 4 题型3：解特殊不等式组 4 题型4：求一元一次不等式组的整数解 4 题型5：由一元一次不等式组的解集求参数 5 题型6：由不等式组解集的情况求参数 5 题型7：不等式组和方程组结合的问题 5 题型8：列一元一次不等式组 6 题型9：不等式组的行程问题 6 题型10：不等式组的工程问题 7 题型11：不等式组的经济问题 8 题型12：不等式组的分配问题 8 题型13：不等式组的方案选择问题 9 题型14：一元一次不等式组的其他应用 10 中考真题 11 分层训练 12 基础夯实 12 培优拔高 13 知识点梳理01：一元一次不等式组 1.定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组必须同时满足两个条件 （1）组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； （2）整个不等式组中只含一个未知数. 3.表示方式：不等式组可以用“{”表示，也可以用形如的方式表示. 【易错点拨】 1.一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个； 2.未知数的个数必须唯一. 知识点梳理02：一元一次不等式组的解集 1. 定义：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 【易错点拨】 “公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的不分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. 不等式组的解集中的每一个解都满足不等式组中的每一个不等式. 知识点梳理03：解一元一次不等式组 1.定义 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组. 2.一元一次不等式组解集的一般步骤： （1）分别解每一个不等式； （2）利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； （3）写出不等式组的解集. 【易错点拨】 解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分. 知识点梳理04：一元一次不等式组的应用 基本步骤：审→设→列→解→验→答. （1）审：认真审题，分清题目中的已知量、未知量，并明确他们之间的不等关系； （2）设：恰当地设未知数； （3）列：依据题目中的不等关系列出不等式组； （4）解：解不等式组，求出解集； （5）验：检验所求得的解集是否符合题意和实际意义； （6）答：写出答案. 【易错点拨】 列一元一次不等式组的步骤和要求与列一元一次不等式一样.所不同的是题中所反映的数量关系不只一个，因此需要将所有反应数量关系的语句用不等式一一表示出来，形成一元一次不等式组. 题型1：一元一次不等式组的定义 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2：求不等式组的解集 【典例精讲】（24-25八年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 (1)解不等式； (2)不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）解不等式组并求出它的所有整数解的和． 题型3：解特殊不等式组 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，则的取值范围是 ． 【变式训练】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 题型4：求一元一次不等式组的整数解 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西安康·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式训练】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 题型5：由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 【变式训练】（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）不等式的整数解是1、2、3、4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6：由不等式组解集的情况求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 【变式训练】（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）已知关于y的不等式组 有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数m的值分别为 ． 题型7：不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西延安·开学考试）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练】（24-25八年级下·全国·月考）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 题型8：列一元一次不等式组 【典例精讲】（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是 ． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型9：不等式组的行程问题 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【变式训练】（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 题型10：不等式组的工程问题 【典例精讲】（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【变式训练】（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 题型11：不等式组的经济问题 【典例精讲】（23-24八年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·重庆江津·期末）芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 题型12：不等式组的分配问题 【典例精讲】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． (1)设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） (2)的取值范围是______________； (3)设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 题型13：不等式组的方案选择问题 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【变式训练】（24-25八年级下·云南丽江·期末）“云南鲜花饼”是云南的著名特产．某商店销售A，B两种品牌的鲜花饼，若购买3箱A种鲜花饼和2箱B种鲜花饼共需120元；若购买2箱A种鲜花饼和3箱B种鲜花饼共需105元． (1)求A种鲜花饼和B种鲜花饼每箱的价格分别是多少元？ (2)若某旅行团计划购买A，B两种鲜花饼共15箱，且A种鲜花饼的数量多于B种鲜花饼的数量，但又不超过B种鲜花饼的数量的2倍，请问有哪几种购买方案？并求出最省钱的购买方案的费用． 题型14：一元一次不等式组的其他应用 【典例精讲】（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【变式训练】（24-25八年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 1．（2024·甘肃平凉·中考真题）关于的不等式组，整数解有5个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·四川达州·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m满足的条件是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·河北衡水·中考真题）将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为 ． 4．（2024·山东临沂·中考真题）不等式组的解集为 ． 5．（2024·广西梧州·中考真题）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 基础夯实 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）若点在第二象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的 2．（25-26八年级下·浙江·期中）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围 ． 用法用量：口服 每次： 每天：次 5．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）三角形的三边长分别为，和，则的范围为 ． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）不等式组的解集是 ． 7．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知x，y都是实数，且，则的平方根是 ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）求不等式组的整数解． （2）求满足不等式组的最大整数和最小整数． 9．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 培优拔高 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）若关于x的不等式组有解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25八年级下·山西朔州·月考）将不等式组的解集在数轴上表示，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆·月考）若实数使关于的不等式组有解且至多有个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 . 5．（25-26八年级下·重庆江北·月考）若数k使关于x的不等式组无解，且使关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 6．（25-26八年级下·浙江金华·月考）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x的最大整数． 例如：，． 则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是； 其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）． 7．（24-25八年级下·上海·自主招生）已知 有两个整数解，求实数 的取值范围 ． 8．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) (3) (4) 10．（24-25八年级下·云南红河·期末）云南昆明斗南花市，是全亚洲最大的国际鲜花交易市场．2025年3月8日“妇女节”这一天，小宇在某花店购买1捆康乃馨和2捆玫瑰需120元，小艳购买2捆康乃馨和1捆玫瑰需90元． (1)求该花店康乃馨和玫瑰的销售单价； (2)该花店老板在这天购进康乃馨的数量不少于玫瑰的数量，又不多于玫瑰数量的2倍，且购进康乃馨和玫瑰共80捆，在当天下午就全部销售完，且获得了最大利润．已知1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是10元和30元，该花店老板购进的康乃馨的数量是多少捆？获得的最大利润是多少元？ 第 1 页 共 12 页 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