专题2.2 一元一次不等式（知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦一元一次不等式核心知识点，系统梳理概念（定义、与一元一次方程的联系区别）、解法（步骤及易错点）、列不等式解决实际问题（步骤与关键），构建从基础到应用的完整学习支架。 资料以9个题型讲练为核心，搭配中考真题与分层训练，通过典例与变式培养数学思维（运算能力、推理意识），几何问题应用体现数学眼光（几何直观），实际问题解决强化数学语言（模型意识），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题2.2 一元一次不等式 （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：一元一次不等式的概念 1 知识点梳理02：一元一次不等式的解法 2 知识点梳理03：列一元一次不等式解决实际问题 2 题型讲练 3 题型1：一元一次不等式的定义 3 题型2：求一元一次不等式的解集 4 题型3：在数轴上表示不等式的解集 5 题型4：求一元一次不等式的整数解 7 题型5：求一元一次不等式解的最值 8 题型6：解|xl≥a型的不等式 9 题型7：列一元一次不等式 12 题型8：用一元一次不等式解决实际问题 13 题型9：用一元一次不等式解决几何问题 16 中考真题 23 分层训练 25 基础夯实 25 培优拔高 29 知识点梳理01：一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 【易错点拨】 （1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1. （2） 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点梳理02：一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 【易错点拨】 （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 【易错点拨】 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点梳理03：列一元一次不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． 题型1：一元一次不等式的定义 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】该题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．选项A是方程，选项B是代数式，选项C中未知数的次数为2，只有选项D满足条件． 【规范解答】解：∵ 一元一次不等式需满足：含一个未知数、未知数次数为1、且为不等式． 选项A：，是方程，不是不等式； 选项B：，是代数式，没有不等号； 选项C：，未知数x的次数为2，不是一次； 选项D：，含一个未知数x，x的次数为1，且为不等式． 故选：D． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是() A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了不等式的定义；一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【规范解答】解：∵A项中含有两个未知数k和b，∴不是一元一次不等式． ∵B项中只含有一个未知数t，且t的次数为1，且为不等式，∴是一元一次不等式． ∵C项是方程，不是不等式，∴不符合． ∵D项中没有未知数，∴不是一元一次不等式． ∴属于一元一次不等式的是B项． 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【规范解答】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：1． 题型2：求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（23-24八年级下·广东清远·期中）当为何值时，代数式的值为非负数？ 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式，根据非负数为大于等于 0 的数列出一元一次不等式求解即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意可知， ∴， ∴， ∴， ∴， 则当时，代数式的值是非负数． 【变式训练1】（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤并能依据不等式的性质进行求解是解决此题的关键．移项，合并化同类项求出不等式的解集即可． 【规范解答】解：， 移项，合并同类项得：， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）若不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据不等式的性质，列出不等式求解． 【规范解答】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：A． 题型3：在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）不等式的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．先解不等式，再在数轴上表示不等式的解集即可． 【规范解答】解：， 解得：， 在数轴上表示为：． 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法是解题的关键．根据数轴写出不等式的解集． 【规范解答】解：数轴上表示的一元一次不等式的解集为： 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）解下列不等式，并把解集表示在数轴上： (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【思路点拨】本题考查解不等式，在数轴上表示出不等式的解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向在数轴上表示出不等式的解集即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 解得； 在数轴上表示解集如图： （2）， ， ， ， ， 解得； 在数轴上表示解集如图： 题型4：求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（24-25八年级下·山西临汾·期末）不等式的最大整数解为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题主要查解一元一次不等式．通过解不等式，找到x的取值范围，然后确定最大整数解． 【规范解答】解：解不等式： 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 所以最大整数解为2． 故答案为：2 【变式训练1】（24-25八年级下·全国·单元测试）不等式的解集中，最小的整数是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． 先移项，合并同类项，然后系数化1即可求出不等式的解集，在解集中找出最小整数解即可． 【规范解答】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得， ∴不等式的解集中最小的整数是2． 故答案为：2． 【变式训练2】（25-26八年级下·黑龙江鹤岗·开学考试）若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的解求参数的取值范围等知识；解不等式得，根据解集只有正整数解1与2，即可求得的取值范围． 【规范解答】解：解，得：， ∵关于x的不等式的正整数解只有1和2， ∴， 解得：， 故选：B． 题型5：求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（24-25八年级下·山西太原·期末）山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽 盒． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽，利用总利润每盒黄米粽的销售利润购进黄米粽的数量每盒江米粽的销售利润购进江米粽的数量，结合总利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【规范解答】解：设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为， ∴最多能购进黄米粽盒． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【规范解答】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【规范解答】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型6：解|xl≥a型的不等式 【典例精讲】（24-25八年级下·广东江门·月考）解不等式： 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【规范解答】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北保定·期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【思路点拨】本题主要考查了解含绝对值的不等式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出时的x的值，再仿照题意可得答案； （2）当时，则或，分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于；数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；数2右边的数与的差的绝对值大于3，据此可得答案； （3）把方程组中的两个方程相加可得，则，同（2）分析可得答案． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴根据题意可得的解集是或； （2）解：当时，则或， 解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为或； （3）解：， ∴方程组中的两个方程相加可得， ∵， ∴， 当时，则或，解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为． 【变式训练2】（24-25八年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路点拨】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 题型7：列一元一次不等式 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江金华·月考）“的3倍与4的差不大于”用不等式表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了列不等式， 根据“不大于”用“”连接得到不等式即可. 【规范解答】解：用不等式表示为. 故答案为：. 【变式训练1】（24-25八年级下·全国·单元测试）用不等式表示：a的3倍与4的差不小于7，可表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查列不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题目所述运算顺序列出代数式，再找到不等关系列出不等式即可． 【规范解答】解：a的3倍即， a的3倍与4的差为， 不小于 7 就是大于等于 7， ∴a的3倍与4的差不小于7表示为． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·全国·单元测试）一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，求车速满足的条件．若设车速为，根据题意，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了列一元一次不等式，根据一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，设车速为，得，即可作答． 【规范解答】解：∵一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，设车速为， ∴从到的时间为分钟，即小时， 故选：A. 题型8：用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】（23-24八年级下·广东清远·期中）我市移动通讯公司开设了两种通讯业务，A类是固定用户：先缴50元基础费，然后每通话1分钟再付话费元．B类是“神州行”用户：使用者不缴月租费，每通话1分钟会话费元（这里均指市内通话）．如果一个月内通话时间为分钟，分别设A类和B类两种通讯方式的费用为元和元， (1)写出、与之间的函数关系式． (2)一个月内通话多少分钟，用户选择A类合算？还是B类合算？ (3)若某人预计使用话费90元，他应选择哪种方式合算？ 【答案】(1) (2)见详解 (3)类 【思路点拨】本题主要考查一次函数的应用，此题首先要正确理解题意，然后利用已知条件求出通讯费用和通话时间之间的函数关系式． （1）根据：固定使用者先缴 50 元月基础费，然后每通话 1 分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话 1 分钟，付话费元，可将通讯费用和通话时间的函数关系式求出； （2）列出方程和不等式求解即可； （3）令，求出x，即可解答． 【规范解答】（1）解：、与之间的函数关系式分别为：． （2）解：令，解得：， 则当分钟，用户选择类和类费用相同； 令，解得：， 则当一个月内通话分钟，用户选择类更合算； 令，解得：， 当分钟，用户选择类更合算； （3）解：令，则， 解得：， 150 分钟 分钟，即在 90 元预算下，B 类可通话时间更长， 故他应选择类更合算． 【变式训练1】（24-25八年级下·甘肃·课后作业）为提升学生身体素质，某校开展了“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球，所得总分不少于56分，问该班级在这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【答案】(1)该班级胜负场数分别是13场和2场 (2)该班级在这场比赛中至少投中了4个3分球 【思路点拨】（1）设该班级胜了场，负了场，列方程组求解即可； （2）设该班级投中了个3分球，则投中了个分球，列不等式即可求解． 【规范解答】（1）解：设该班级胜了场，负了场，根据题意，得： 解这个方程组得： 答：该班级胜负场数分别是13场和2场． （2）解：设该班级投中了个3分球，则投中了个分球， 根据题意得：． 解这个不等式得：． 答：该班这场比赛中至少投中了个分球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式训练2】（25-26八年级下·重庆·月考）国庆期间，某商场用元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，已知卫衣每件元，衬衫每件元． (1)请问商场这次购进了卫衣和衬衫各多少件？ (2)若该商场将衬衫在成本的基础上提价10％进行销售，并全部销售完，将卫衣以元的价格销售，在销售了卫衣总进货量的之后，为了减少库存积压，商场准备将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售，在降价出售时，有件卫衣损坏，请问每件卫衣最多降价多少元，可以使商场在销售完这批衬衫和卫衣后，销售利润率不低于？ 【答案】(1)商场本次购进了卫衣件，衬衫件 (2)每件卫衣降价元． 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，理清数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）设商场本次购进了卫衣件， 衬衫件， 利用总价单价数量，结合商场用14500元共购进了某品牌卫衣和衬衫共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）每件卫衣降价元，根据预期利润卫衣利润卫衣损坏衬衫利润，即可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设商场本次购进了卫衣件，衬衫件， 依题意得：， 解得：． 答：商场本次购进了卫衣件，衬衫件； （2）解：以元的价格销售的卫衣：（件）， 降价销售的卫衣：（件）， 销售衬衫的利润：（元）， 设每件卫衣降价元，依题意得： 解得： 答：每件卫衣最多降价元，该商场销售完这批衬衫和卫衣后销售利润率不低于的预期目标． 题型9：用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）有一副三角尺，其中中，，；中，，．将这副直角三角尺按如图①放置．此时边与在同一直线上，且三角尺的顶点落在边的中点处．若将三角尺绕点按逆时针方向旋转，旋转角为． (1)当______时，；当______时，： (2)如图②，设边所在直线与边所在直线交于点，边所在直线与边所在直线交于点，记，．在整个旋转过程中，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查的是平行线的判定与性质及三角形内角和定理， （1）根据当时，，当时，，求出结论即可； （2）分两种情况：当时或当时，分别根据三角形内角和定理求出结论即可； （3）分两种情况：当时或当时，分别列不等式解决即可． 【规范解答】（1）解：中，，， 当时，， 中，，， ， ； 当时，， ； （2）解：当时，，理由如下： 中，，， ， ， ， ， 即； 当时，，理由如下： 中，，， ， ， ， ， 即； 综上所述，或； （3）解：当时，由题意得： ，， ，， ， ， ； 当时，由题意得： ，， ，， ， ， ； 综上所述，的取值范围是或． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． (1)当时，求的度数； (2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出的取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②，见解析 (3)且 【思路点拨】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用． （1）设，根据三角形内角和定理求出，再根据是的外角，由，即可求解； （2）①根据题意结合（1）中，分别求出当点落在上，即时，当点M落在上时，的临界值，再根据点在的内部（不包含的边），即可得出的取值范围为；②延长交于点N，由翻折可知：，利用三角形外角的性质进行推导即可； （3）设，当射线与射线交于点P时，利用三角形内角和定理结合，求出；当射线与射线交于点P时，同理求出，当直线与直线平行时，得到，再结合，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设， 在中： ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由（1）可得当点落在上，即时，， 如图，当点M落在上时， 则， ∵点在的内部（不包含的边）， ∴的取值范围为； ②，证明如下： 延长交于点N， 由翻折可知：， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，可设， 如图1，当射线与射线交于点P时， ∵， ， 且， ∴， ∴， ∴； 如图2，当射线与射线交于点P时， ， ∵ ， 且， ∴， ∴， ∴， 当直线与直线平行时，则， ∴， ∴， ∴， ∵所在直线相交于点P， ∴， 又∵点D从B运动到点C停止， ∴， ∴且． 【变式训练2】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，．射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，当点E先出发后，点F也从点B出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点F运动时间为t（s），其中． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，． 【答案】(1)或时，； (2)当时，． 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的面积，解一元一次方程以及解一元一次不等式． （1）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案； （2）根据平行线间的距离相等，可得三角形的高相等，根据等高的三角形的底边越长，三角形的面积越大，可得不等式，计算即可． 【规范解答】（1）解：分两种情况讨论： ①点F在点C左侧时，， 则， 解得； ②当点F在点C的右侧时，， 则， 解得； 综上所述，或时，； （2）解：∵平行线间的距离相等， ∴、、的高相等， 当时，， ， 解得， 当时，． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）若方程组的解满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的综合问题，解题的关键是掌握相关知识．方程组两方程相加，变形后表示出，代入已知不等式计算即可求出的范围． 【规范解答】解： 得： ， 方程组的解满足， ， 解得：， 故选：C． 2．（2024·甘肃张掖·中考真题）关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 【答案】D 【思路点拨】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，逐项判断，进行作答，即可求解； 【规范解答】解：A、是的解集，所以不是此不等式的解，选项A错误； B、是的解集，选项B错误； C、是的解集， 选项C错误； D、是的解集，选项D正确，符合题意； 故选：D. 3．（2024·江西赣州·中考真题）在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品” 件． 【答案】40 【思路点拨】此题主要考查了一元一次不等式的应用．根据题意设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件，利用获利不低于420元得出不等式，进而得出答案． 【规范解答】解：设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件， 根据题意可得：， 解得：， 故购进甲种“工艺品”至多40件． 故答案为：40． 4．（2024·四川南充·中考真题）要使有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式． 本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得，且， 解得，且， 故， 故答案为：． 5．（2024·湖北黄冈·中考真题）某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，已知1辆A型车和2辆B型车共销售70万元，3辆A型车和1辆B型车共销售80万元． (1)每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共7辆，购车费不少于154万元，求最多可购进A型车多少辆？ 【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元 (2)最多可购进A型车3辆 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用． （1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进型车辆，则购进型车辆，根据购车费不少于154万元列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元． 根据题意，可列方程组：， 解得． 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购进型车辆，则购进型车辆． 因为购车费不少于154万元， 所以可列不等式：， 解得：． 因为为车辆数，应为正整数，所以的最大值为3． 即最多可购进A型车3辆． 基础夯实 1．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 【规范解答】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）关于x的不等式的解集为，则b的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的解集．解题的关键在于正确的解不等式．解一元一次不等式得，由关于x的不等式的解集为，可得，计算求解即可． 【规范解答】解：∵不等式的解集为， ∴解不等式得，即， ∴， 解得． 故选：A． 3．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【规范解答】解：， ， ， ． 在数轴上表示如下： ． 故选C． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数的增减性得到关于的不等式． 根据一次函数的增减性得到关于的不等式，解不等式即可． 【规范解答】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 【答案】20 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【规范解答】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 6．（25-26八年级下·浙江金华·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．通过移项即可解出不等式． 【规范解答】解： ， 两边同时加上 3， 得 ． 故答案为： ． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）用不等式表示“的2倍与1的差大于5”： ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了列不等式，根据题意，将文字描述中的“x的2倍”、“与1的差”和“大于5”转化为数学符号，形成不等式． 【规范解答】根据题意得，用不等式表示“的2倍与1的差大于5”：． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只元，茶杯每只元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯； （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买只茶壶，只（不少于只）茶杯，要使方法（2）比方法（1）更省钱，则至少需要购买多少只茶杯？ 【答案】至少需要购买35只茶杯 【思路点拨】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意列不等式，求最小整数解即可． 【规范解答】解：根据题意得， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为35， ∴至少需要购买35只茶杯． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）解不等式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式，二次根式的除法，正确计算是解本题的关键． （1）左右两边先同时除以，然后再同时加，即可求出不等式的解集； （2）先移项、合并同类项，然后判断的正负，系数化为后，二次根式分母有理化即可求出不等式的解集． 【规范解答】（1）解：， ， ． （2）， ， ． ， ， ． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．根据不等式的性质：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再将不等式的解集表示在数轴上即可得． 【规范解答】解： ， 把它的解集在数轴上表示出来如下： ． 培优拔高 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以时，不等号的方向改变，可知，解不等式求出的取值范围即可． 【规范解答】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：． 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查用数轴表示不等式组的解集． 根据在数轴上表示不等式组解集的方法，选择符合题意的选项即可． 【规范解答】解：不等式组的解集在数轴上表示为 故选：B ． 3．（24-25八年级下·河南新乡·期末）若关于、的二元一次方程组的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键，利用整体的思想进行计算可得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：， 得：， 解得：， ， ， ， 解得：， 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】先比较点、的横坐标大小，再结合的条件，利用一次函数的增减性确定系数的符号，进而求出k的取值范围． 【规范解答】解：∵，， ∴． 已知、在直线上，且，说明当增大时，减小． ∴． 解得：． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）已知是关于x的一元一次不等式，那么 ，不等式的解集是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知，求得值，然后代入不等式求解即可． 【规范解答】解：由题意可知：， 解得， 将代入得：， 解得， 故答案为：，． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）当a 时，不等式的解集是． 【答案】 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 解需不等式两边同除以，由题目所给解集可知不等号方向改变，因此，计算可得答案． 【规范解答】解：解，需不等式两边同除以， ∵解集为，不等号方向改变， ∴， 解得． 故答案为：． 7．（2024·广东·模拟预测）某次知识竞赛共有30道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣4分，若小刚希望总得分不少于80分，则他至少需答对 道题． 【答案】15 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的实际应用． 根据题意列出不等式求解即可． 【规范解答】解：设要答对道，由题意可得， 解得， 根据必须为整数，故取最小整数15， 故答案为：15． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学购进甲、乙两类图书若干套．已知1套甲类图书比1套乙类图书的进价高30元，买3套甲类图书和2套乙类图书一共需要540元． (1)甲、乙两类图书每套的进价分别是多少元？ (2)根据实际需要，学校决定购买甲、乙两类图书共100套，其中甲类图书的数量不少于乙类图书的，且甲类图书购买的数量不超过45套．共有几种购买方案？ (3)若购买甲类图书套，学校购买这批图书的总费用为元，在（2）的条件下，哪种方案的最小？求出的最小值． 【答案】(1)甲、乙两类图书每套的进价分别是120元、90元． (2)共有6种购买方案 (3)购买甲类图书套，乙类图书套时，最小，最小值为元． 【思路点拨】（1）设甲类图书元每套，由“套甲类图书比套乙类图书的进价高元”可知乙类图书为元每套，再根据“买套甲类图书和套乙类图书一共需要元”列出方程，即可解答 （2）设甲类图书购买了套，则乙类图书购买了套，根据甲类图书购买的数量不少于乙类图书数量的，且甲类图书购买的数量不超过套，列出不等式，求出的取值范围，由为正整数，即可解答； （3）由（2）表示出总费用，利用一次函数的性质，即可确定的取值，即可确定最小值． 【规范解答】（1）解：设甲类图书每套进价为元，则乙类图书每套进价为元． 依题意，得， 解得， 则（元）． 故甲、乙两类图书每套的进价分别是120元、90元． （2）解：设甲类图书购买了套，则乙类图书购买了套． 由题意，得， 解得， ∵ ， 可取40，41，42，43，44，45， 共有6种购买方案． （3）解：由（2）可知， 化简，得． ， 随的增大而增大， 当时，取最小值，最小值为． 即购买甲类图书套，乙类图书套时，最小，最小值为元． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生爱护环境的责任感，学校举行环保知识竞赛（共有25道题），规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？ 【答案】小明至少答对了22道题 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出不等式是解题的关键． 设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有道题，再根据题意列一元一次不等式求解即可． 【规范解答】解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有道题． 根据题意得：．           解得． 答：小明至少答对了22道题． 10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．为提升模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的卡．已知购买6块甲型卡和8块乙型卡共需170万元，购买5块甲型卡和4块乙型卡共需115万元． (1)每块甲型卡和乙型卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的卡共40块，甲型卡的数量不少于乙型卡数量的4倍，如何分配两种卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)甲型卡每块15万元，乙型卡每块10万元 (2)采购甲型卡32块，乙型卡8块，总费用最少，为560万元 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设甲型卡每块x万元，乙型卡每块y万元，根据题意建立二元一次方程组求解即可； （2）设采购甲型卡a块，则乙型卡块，先得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围，再设总费用为，得到关于的一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲型卡每块x万元，乙型卡每块y万元， 根据题意，得， 解得， 答：每块甲型卡15万元，每块乙型卡10万元； （2）解：设采购甲型卡a块，则乙型卡块， 由题意得，， 解得， 设总费用为， 则， ∵， ∴C随a增大而增大， ∴当时，C最小， 此时， （万元）， ∴采购甲型卡32块，乙型卡8块，总费用最少，为560万元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元一次不等式 （知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：一元一次不等式的概念 1 知识点梳理02：一元一次不等式的解法 2 知识点梳理03：列一元一次不等式解决实际问题 2 题型讲练 3 题型1：一元一次不等式的定义 3 题型2：求一元一次不等式的解集 3 题型3：在数轴上表示不等式的解集 4 题型4：求一元一次不等式的整数解 4 题型5：求一元一次不等式解的最值 4 题型6：解|xl≥a型的不等式 5 题型7：列一元一次不等式 6 题型8：用一元一次不等式解决实际问题 6 题型9：用一元一次不等式解决几何问题 7 中考真题 9 分层训练 10 基础夯实 10 培优拔高 11 知识点梳理01：一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 【易错点拨】 （1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1. （2） 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点梳理02：一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 【易错点拨】 （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 【易错点拨】 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点梳理03：列一元一次不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． 题型1：一元一次不等式的定义 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是() A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 题型2：求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（23-24八年级下·广东清远·期中）当为何值时，代数式的值为非负数？ 【变式训练1】（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式的解集是 ． 【变式训练2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）若不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3：在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）不等式的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）解下列不等式，并把解集表示在数轴上： (1) (2) 题型4：求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（24-25八年级下·山西临汾·期末）不等式的最大整数解为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·全国·单元测试）不等式的解集中，最小的整数是 ． 【变式训练2】（25-26八年级下·黑龙江鹤岗·开学考试）若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型5：求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（24-25八年级下·山西太原·期末）山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽 盒． 【变式训练1】（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 题型6：解|xl≥a型的不等式 【典例精讲】（24-25八年级下·广东江门·月考）解不等式： 【变式训练1】（24-25八年级下·河北保定·期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 【变式训练2】（24-25八年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 题型7：列一元一次不等式 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江金华·月考）“的3倍与4的差不大于”用不等式表示为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·全国·单元测试）用不等式表示：a的3倍与4的差不小于7，可表示为 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·全国·单元测试）一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，求车速满足的条件．若设车速为，根据题意，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 题型8：用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】（23-24八年级下·广东清远·期中）我市移动通讯公司开设了两种通讯业务，A类是固定用户：先缴50元基础费，然后每通话1分钟再付话费元．B类是“神州行”用户：使用者不缴月租费，每通话1分钟会话费元（这里均指市内通话）．如果一个月内通话时间为分钟，分别设A类和B类两种通讯方式的费用为元和元， (1)写出、与之间的函数关系式． (2)一个月内通话多少分钟，用户选择A类合算？还是B类合算？ (3)若某人预计使用话费90元，他应选择哪种方式合算？ 【变式训练1】（24-25八年级下·甘肃·课后作业）为提升学生身体素质，某校开展了“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球，所得总分不少于56分，问该班级在这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【变式训练2】（25-26八年级下·重庆·月考）国庆期间，某商场用元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，已知卫衣每件元，衬衫每件元． (1)请问商场这次购进了卫衣和衬衫各多少件？ (2)若该商场将衬衫在成本的基础上提价10％进行销售，并全部销售完，将卫衣以元的价格销售，在销售了卫衣总进货量的之后，为了减少库存积压，商场准备将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售，在降价出售时，有件卫衣损坏，请问每件卫衣最多降价多少元，可以使商场在销售完这批衬衫和卫衣后，销售利润率不低于？ 题型9：用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）有一副三角尺，其中中，，；中，，．将这副直角三角尺按如图①放置．此时边与在同一直线上，且三角尺的顶点落在边的中点处．若将三角尺绕点按逆时针方向旋转，旋转角为． (1)当______时，；当______时，： (2)如图②，设边所在直线与边所在直线交于点，边所在直线与边所在直线交于点，记，．在整个旋转过程中，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，直接写出的取值范围． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． (1)当时，求的度数； (2)如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出的取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 【变式训练2】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，．射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，当点E先出发后，点F也从点B出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点F运动时间为t（s），其中． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）若方程组的解满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃张掖·中考真题）关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 3．（2024·江西赣州·中考真题）在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品” 件． 4．（2024·四川南充·中考真题）要使有意义，则的取值范围为 ． 5．（2024·湖北黄冈·中考真题）某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，已知1辆A型车和2辆B型车共销售70万元，3辆A型车和1辆B型车共销售80万元． (1)每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共7辆，购车费不少于154万元，求最多可购进A型车多少辆？ 基础夯实 1．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）关于x的不等式的解集为，则b的值是（    ） A． B． C．6 D．4 3．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是 ． 5．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 6．（25-26八年级下·浙江金华·期中）不等式的解集是 ． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）用不等式表示“的2倍与1的差大于5”： ． 8．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只元，茶杯每只元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯； （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买只茶壶，只（不少于只）茶杯，要使方法（2）比方法（1）更省钱，则至少需要购买多少只茶杯？ 9．（2026八年级下·全国·专题练习）解不等式： (1)． (2)． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． 培优拔高 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南新乡·期末）若关于、的二元一次方程组的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是 ． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）已知是关于x的一元一次不等式，那么 ，不等式的解集是 ． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）当a 时，不等式的解集是． 7．（2024·广东·模拟预测）某次知识竞赛共有30道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣4分，若小刚希望总得分不少于80分，则他至少需答对 道题． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学购进甲、乙两类图书若干套．已知1套甲类图书比1套乙类图书的进价高30元，买3套甲类图书和2套乙类图书一共需要540元． (1)甲、乙两类图书每套的进价分别是多少元？ (2)根据实际需要，学校决定购买甲、乙两类图书共100套，其中甲类图书的数量不少于乙类图书的，且甲类图书购买的数量不超过45套．共有几种购买方案？ (3)若购买甲类图书套，学校购买这批图书的总费用为元，在（2）的条件下，哪种方案的最小？求出的最小值． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生爱护环境的责任感，学校举行环保知识竞赛（共有25道题），规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？ 10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．为提升模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的卡．已知购买6块甲型卡和8块乙型卡共需170万元，购买5块甲型卡和4块乙型卡共需115万元． (1)每块甲型卡和乙型卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的卡共40块，甲型卡的数量不少于乙型卡数量的4倍，如何分配两种卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $