第02讲平面向量的线性运算讲义（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版必修二）数学高一重难点讲义与测试

本讲义聚焦平面向量的线性运算核心知识点，系统梳理向量加法（含三角形法则、平行四边形法则及运算律）、减法（涉及相反向量定义与作法）、数乘运算（定义、运算律）及共线向量定理，构建从基础运算到应用的递进式学习支架。 资料以“举三反三”题型设计为特色，例题与变式结合覆盖不同情境，助力学生通过推理理解运算本质（数学思维），结构化知识点呈现培养抽象能力（数学眼光），分层训练题助教师授课增效，学生可课后强化练习，提升规范表达与问题解决能力（数学语言）。

第02讲平面向量的线性运算 知识清单 知识点01：向量加法 知识点02：向量减法 知识点03：向量的数乘运算 题型讲解 （举三反三） 题型1：向量的加法 题型2：向量的减法 题型3：向量的数乘运算 题型4：平面向量共线定理 题型5：向量数量积的定义辨析及运算律 题型6：求投影向量 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、向量加法 1．向量加法的定义 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a. 2．向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋＝. 平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b. 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点二、向量减法 1．相反向量 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量． (2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0. 2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示． 知识点三、向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. (3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. (4) 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 题型1：向量的加法 【例1-1】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据相反向量的性质，然后利用向量加法的三角形法则即可得到答案. 【详解】. 故选:D. 【例1-2】 . 【答案】 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】， 故答案为： 【例1-3】（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】 （1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. 【变式1-1】（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，则的值不可能为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由单位向量相加的模的范围得到答案. 【详解】为非零向量，，，分别表示方向上的单位向量，三个单位向量相加的模长范围为， 故选：C． 【变式1-2】（24-25高一下·浙江·期中）正六边形的边长为1，顶点依次为，若存在点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意可得在为直径的圆上的点，记线段，，的中点为，由题意可得，进而可求模的最大值. 【详解】因为，所以在为直径的圆上的点， 记线段，，的中点为， 由题意，可得，，，    则， 当为的延长线与圆的交点时，可使的模最大， 同时共线同向，可使最大， 由平面几何知识可求得，所以， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量加法的运算律计算求解； （2）应用向量加法的运算律计算求解； 【详解】（1）． （2）． 题型2：向量的减法 【例2-1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 【例2-2】计算 ． 【答案】 【分析】根据向量加减法运算，即可化简． 【详解】， 故答案为：． 【例2-3】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.    【答案】2 【分析】利用相等向量转化，再求，再求模. 【详解】作，连结，则，    而， 所以，且， 所以. 【变式2-1】（24-25高一下·宁夏固原·期末）在中，，，用，表示向量，正确的一组是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】应用加法的平行四边形法则及减法的三角形法则计算判断各个选项即可. 【详解】在中，，， 应用加法的平行四边形法则得， 应用减法的三角形法则得， 故选：A. 【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）化简： ； ． 【答案】 【分析】先根据向量加法的三角形法则，即首尾相连特性和代数运算，合并或抵消中间项即可得到第一个空的答案；再根据向量减法法则，共起点，差向量指向被减向量，然后利用相反向量把转化为，最后化简即可得到第二个空答案. 【详解】  ，． 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据向量的加法与减法计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， ． （2） 题型3：向量的数乘运算 【例3-1】（24-25高一下·江西上饶·月考）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】或，从而得到答案. 【详解】因为或， ， 所以“”是“实数”的必要不充分条件. 故选：B 【例3-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示） 【答案】 【分析】根据向量线性运算法则计算即可求. 【详解】由题意，，， 所以. 故答案为： 【例3-3】（24-25高一下·河北石家庄·月考）化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】应用向量的减法法则和加法法则整理即可得解； 应用数乘法则和加法法则整理即可得解. 【详解】（1）. （2）原式. 【变式3-1】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法法则可判断A、B；由数量积的运算判断C、D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由数乘向量可得，故C正确； 对于D，由数乘向量运算律可得，故D正确. 故选：B. 【变式3-2】已知为线段上一点，且，若为直线外一点，用，表示，则 . 【答案】 【分析】根据向量加法减法的三角形法则计算即可. 【详解】如图，, 故答案为：. 【变式3-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知凸六边形的6个顶点是和的各边的交点，且.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】先假设，，，，根据数乘运算的几何意义和向量回路的应用求证即可. 【详解】设，，，， 因为， 又因为， 所以， 即， 所以，即. 题型4：平面向量共线定理 【例4-1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【详解】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 【例4-2】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量不共线，若与共线，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用平面向量共线定理以及基本定理可构造方程组求得结果. 【详解】由题意，设，， 则有，解得. 故答案为：. 【例4-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，任作一条直线，交于点．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据，再将其转化为的线性表示，根据系数和为1即可求证. 【详解】因为是边上的中线，则， 因，，， 所以，即， 又因为三点共线，所以， 则． 【变式4-1】（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以 又因为三点共线，且， 所以 可得， 即 解得 所以 故选： 【变式4-2】（24-25高一下·湖南永州·期末）已知中，，，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令则三点共线，进而可得当垂直时，最小，计算即可. 【详解】令， 所以为等边三角形， ， 记三点共线， 当垂直时，最小，则的最小值为. 故答案为： 【变式4-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据已知有，，结合，得，再由，即得，即得证. 【详解】由题设，且是的角平分线，则，， 由，所以， 由和分别是和的中点，则， ，所以， 所以，即． 题型5：向量数量积的定义辨析及运算律 【例5-1】（24-25高一下·北京·月考）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形. 故选：C. 【例5-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 【答案】6 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】向量，且与的夹角为， 则， . 故答案为：6 【例5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，点为边的中点，为边上一点，且，求． 【答案】 【分析】根据投影向量定义计算结合已知得出，再应用角互余得出点是靠近点的四等分点，进而得解. 【详解】正方形的边长为2，点为边的中点 在上的投影的数量为． 所以， 所以， 所以，所以， 所以， 所以 ． 【变式5-1】（24-25高一下·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③. 【详解】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确，④错误， 故选：D 【变式5-2】（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积求模即可. 【详解】． 故答案为: . 【变式5-3】（2025高一·全国·专题练习）在中，，，，求的值． 【答案】 【分析】以为基底表示，然后利用数量积的运算律及向量模的运算求解即可． 【详解】因为， 所以． 题型6：求投影向量 【例6-1】（24-25高一下·贵州·月考）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 【例6-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的求法，代入数据，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以向量在向量上投影向量为 . 故答案为：. 【例6-3】（24-25高一下·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 【变式6-1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，则在上的投影数量为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据在上的投影数量为，代入计算求解即可． 【详解】由在上的投影数量为． 故选：A． 【变式6-2】（24-25高一下·广西南宁·期末）已知向量 向量 则在上的投影向量坐标是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】由，得， ∴向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一下·四川自贡·期末）如图，在平面直角坐标系中中，向量，，． (1)求点B、C的坐标； (2)求三角形ABC的周长； (3)求向量在向量上的投影的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算求得即可得到B、C的坐标； （2）根据向量的加法得到，利用向量模长的坐标运算即可； （3）由向量在向量上的投影为即可计算. 【详解】（1），，又， 所以，， ， 所以，. （2），， 所以三角形ABC的周长为. （3）向量在向量上的投影为 所以向量在向量上的投影为. 一、单选题 1．（24-25高一下·北京朝阳·期末）在平面四边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用向量加法法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若与共线，则存在唯一实数，使得 B．若，则或 C．若，则 D．若、是非共线向量，则对平面内任一向量，存在唯一一对实数、，使得 【答案】D 【分析】对于ABC，举反例即可判断，对于D，由平面向量基本定理即可求解. 【详解】对于A，若，此时与共线，则不存在实数，使得，故A错误； 对于B，设与是两个互相垂直的非零向量，则，但与都是非零向量，故B错误； 对于C，设，与是两个互相垂直的非零向量，且，但此时，故C错误； 对于D，由平面向量基本定理可知，若、是非共线向量，则对平面内任一向量，存在唯一一对实数、，使得，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 4．（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C 5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得，结合向量的减法运算和模的定义求解. 【详解】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. 故选：A 6．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C 7．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 8．（24-25高一下·广东汕头·期末）如图，在中，已知，，，边上的两条中线，相交于点，则的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积求出，再利用向量夹角公式求解作答. 【详解】在中，令，，则，， 因为边上的两条中线，相交于点，，则，， 于是， ， ， 所以, 因为, 所以， 故 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一下·四川泸州·期中）下列关于向量的命题，错误的是（    ） A． B．在边长为1的等边中， C．若，则 D．若，则向量的夹角是钝角 【答案】ABD 【分析】A选项，根据向量加法运算的概念进行判断；B选项，根据向量数量积的概念进行运算并判断；C选项，反向共线；D选项，根据向量数量积的概念知向量的夹角是钝角或. 【详解】A选项，，A错误； B选项，在边长为1的等边中，，B错误； C选项，若，则，C正确； D选项，若，则向量的夹角是钝角或，D错误. 故选：ABD 10．（24-25高一下·江西上饶·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算依次判断即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 11．（24-25高一下·福建福州·期末）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【分析】利用向量模的知识即可求解A；利用投影即可求解B；利用数量积即可求解C；当时，与共线可求解D. 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则，则对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误； 故选：AB. 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，已知，是两条对角线的交点，是的一个三等分点（靠近点），若，则 ． 【答案】2 【分析】根据条件得到，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 故答案为：. 13．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知是两个单位向量，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得，再根据向量相关性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为是两个单位向量，且， 所以，则， 又，当且仅当方向相反时，等号成立， ，当且仅当方向相同时，等号成立， 所以. 故答案为： 14．（23-24高一下·福建厦门·月考）设为单位向量，且，则 ． 【答案】 【分析】由题知，进而得即可得答案. 【详解】因为为单位向量，且， 所以， 所以， 所以，即 故答案为： 四、解答题 15．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知向量，求作向量． 【答案】答案见解析 【分析】利用向量的加法、减法的三角形法则作图即可. 【详解】作图如下． 16．（2025高一·全国·专题练习）如图，在任意四边形中，和分别是和的中点．    (1)求证：； (2)若三点重合，你能得到什么结论？ (3)若两点重合，你能得到什么结论？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用同一向量的不同回路中的相反向量关系计算得证. （2）作出图形，可得中线向量公式. （3）利用向量共线，即可得中位线向量公式. 【详解】（1）由，得， 由和分别是和的中点，得， 所以. （2）当三点重合，记为点，如图，    在中，是的中点，得，这是中线向量公式. （3）当两点重合，记为点， 在中，分别是和的中点，得，这是中位线性质. 17．（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则得到，从而利用向量数量积的坐标表示即可得解； （2）由题意到得，且与不平行，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）由，则， 即， 即，得. （2）若为钝角，即且不共线， 即，得，且， 得且，综上解得且. 18．（2025高一·全国·专题练习）在五边形中，点分别是的中点，点和分别是和的中点，求证：且． 【答案】证明见解析 【分析】法一：由向量的加法和数乘运算得到，证明结论； 法二：设为平面上任意一点，由向量的减法和数乘运算得到，证明结论； 法三：连结，取的中点，连结，由向量的加法和数乘运算得到，证明结论. 【详解】法一：因为， 所以，即， 所以且． 法二：设为平面上任意一点， ， 所以且． 法三：如图，连结，取的中点，连结． ， 则且． 19．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上． (1)若是线段的中点，且，求； (2)若是线段的中点，且，求梯形的面积； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量加减法的法则分别表示出，及，再结合图形，求出，进而求出，即可求出； （2）由（1）可知，再结合图形得到，进而求出及高，即可求出梯形的面积； （3）由题目条件先求出，设，根据向量加减法的法则分别表示出，及，由即可求出值. 【详解】（1）若是线段的中点，由题意可知， ， ， 所以. 如下图所示：过作于，过作于， 因为是等腰梯形，，可知， 在直角中，因为，所以，， 所以， 所以， 所以. （2）若是线段的中点，由（1）可知，， 在直角中，因为，即， 所以， 因为，所以， 即， 解得，. 在直角中，由勾股定理可得， 所以梯形的面积. （3）由（1）可知，在直角中， 因为，，所以， 所以， 设， 所以， 又由（1）知， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲平面向量的线性运算 知识清单 知识点01：向量加法 知识点02：向量减法 知识点03：向量的数乘运算 题型讲解 （举三反三） 题型1：向量的加法 题型2：向量的减法 题型3：向量的数乘运算 题型4：平面向量共线定理 题型5：向量数量积的定义辨析及运算律 题型6：求投影向量 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、向量加法 1．向量加法的定义 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a. 2．向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋＝. 平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b. 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点二、向量减法 1．相反向量 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量． (2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0. 2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示． 知识点三、向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. (3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. (4) 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 题型1：向量的加法 【例1-1】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【例1-2】 . 【例1-3】（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【变式1-1】（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，则的值不可能为（    ）． A． B． C． D．1 【变式1-2】（24-25高一下·浙江·期中）正六边形的边长为1，顶点依次为，若存在点满足，则的最大值为 . 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）化简或计算： (1)； (2)． 题型2：向量的减法 【例2-1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A．B． C． D． 【例2-2】计算 ． 【例2-3】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.    【变式2-1】（24-25高一下·宁夏固原·期末）在中，，，用，表示向量，正确的一组是（   ） A．， B．， C．， D． 【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）化简： ； ． 【变式2-3】（24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 题型3：向量的数乘运算 【例3-1】（24-25高一下·江西上饶·月考）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示） 【例3-3】（24-25高一下·河北石家庄·月考）化简：（1）； （2）. 【变式3-1】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知为线段上一点，且，若为直线外一点，用，表示，则 . 【变式3-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知凸六边形的6个顶点是和的各边的交点，且.求证：.    题型4：平面向量共线定理 【例4-1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【例4-2】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量不共线，若与共线，则实数的值为 . 【例4-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，任作一条直线，交于点．求证：．    【变式4-1】（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【变式4-2】（24-25高一下·湖南永州·期末）已知中，，，，，则的最小值为 . 【变式4-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    题型5：向量数量积的定义辨析及运算律 【例5-1】（24-25高一下·北京·月考）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【例5-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 【例5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，点为边的中点，为边上一点，且，求． 【变式5-1】（24-25高一下·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则 ． 【变式5-3】（2025高一·全国·专题练习）在中，，，，求的值． 题型6：求投影向量 【例6-1】（24-25高一下·贵州·月考）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【例6-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为 . 【例6-3】（24-25高一下·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式6-1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，则在上的投影数量为（   ） A． B． C．2 D． 【变式6-2】（24-25高一下·广西南宁·期末）已知向量 向量 则在上的投影向量坐标是 . 【变式6-3】（24-25高一下·四川自贡·期末）如图，在平面直角坐标系中中，向量，，． (1)求点B、C的坐标； (2)求三角形ABC的周长； (3)求向量在向量上的投影的坐标． 一、单选题 1．（24-25高一下·北京朝阳·期末）在平面四边形中，（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若与共线，则存在唯一实数，使得 B．若，则或 C．若，则 D．若、是非共线向量，则对平面内任一向量，存在唯一一对实数、，使得 3．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 6．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东汕头·期末）如图，在中，已知，，，边上的两条中线，相交于点，则的正切值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·四川泸州·期中）下列关于向量的命题，错误的是（    ） A． B．在边长为1的等边中， C．若，则 D．若，则向量的夹角是钝角 10．（24-25高一下·江西上饶·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·福建福州·期末）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，已知，是两条对角线的交点，是的一个三等分点（靠近点），若，则 ． 13．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知是两个单位向量，且，则的取值范围是 . 14．（23-24高一下·福建厦门·月考）设为单位向量，且，则 ． 四、解答题 15．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知向量，求作向量． 16．（2025高一·全国·专题练习）如图，在任意四边形中，和分别是和的中点．    (1)求证：； (2)若三点重合，你能得到什么结论？ (3)若两点重合，你能得到什么结论？ 17．（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围. 18．（2025高一·全国·专题练习）在五边形中，点分别是的中点，点和分别是和的中点，求证：且． 19．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上． (1)若是线段的中点，且，求； (2)若是线段的中点，且，求梯形的面积； (3)若，且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $