第01讲平面向量的概念讲义（知识清单+3题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版必修二）数学高一重难点讲义与测试

本讲义聚焦平面向量的概念这一核心知识点，系统梳理向量与数量的区别、向量的几何表示（含起点、方向、长度三要素及模的概念）、零向量、单位向量、平行向量、相等向量等关键概念，形成从定义到表示再到特殊向量的递进式学习支架。 该资料以“举一反三”题型设计为亮点，通过物理情境（如加速度、力的方向与大小）培养数学眼光，结合概念辨析题（如单位向量、共线向量判断）发展数学思维，用有向线段表示速度、位移等提升数学语言表达能力。课中辅助教师高效授课，课后通过多样训练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第01讲平面向量的概念 知识清单 知识点01：向量与数量 知识点02：向量的几何表示 知识点03：向量的有关概念 题型讲解 （举三反三） 题型1：向量的有关概念 题型2：向量模的计算与几何表示 题型3：相等向量与共线向量 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1．向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 知识点2．向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量可以用有向线段来表示．向量的大小称为向量 的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，. 知识点3．向量的有关概念 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 向量a，b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 题型1：向量的有关概念 【例1-1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【例1-2】（23-24高一下·江西九江·月考）如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量．    【例1-3】用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）． 【变式1-1】（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【变式1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）针对以下命题： ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小 说法正确的是 （填序号）. 【变式1-3】用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 题型2：向量模的计算与几何表示 【例2-1】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2-2】（24-25高一下·山东烟台·月考）与向量方向相反的单位向量为 ． 【例2-3】（24-25高一下·全国）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【变式2-1】（24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【变式2-2】已知，若，则 . 【变式2-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 题型3：相等向量与共线向量 【例3-1】下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 【例3-2】已知，求与向量方向相同的单位向量为 . 【例3-3】（24-25高一下·全国）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【变式3-1】（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【变式3-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中． (1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ 一、单选题 1．（24-25高一下·河南·月考）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 2．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 3．（24-25高一下·河南开封·月考）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 5．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 6．在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·辽宁·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 11．（24-25高一下·福建福州·期中）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 三、填空题 12．（23-24高一下·广东阳江·月考）下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 14．（2024高一·江苏·专题练习）已知为非零向量，且与不共线，若，则与必定 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 16．（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 19．（2024高一下·全国·专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲平面向量的概念 知识清单 知识点01：向量与数量 知识点02：向量的几何表示 知识点03：向量的有关概念 题型讲解 （举三反三） 题型1：向量的有关概念 题型2：向量模的计算与几何表示 题型3：相等向量与共线向量 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1．向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 知识点2．向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量可以用有向线段来表示．向量的大小称为向量 的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，. 知识点3．向量的有关概念 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 向量a，b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 题型1：向量的有关概念 【例1-1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C 【分析】由向量的定义判断即可. 【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 故选：C. 【例1-2】（23-24高一下·江西九江·月考）如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量．    【答案】6 【分析】根据题意，直接写出满足题意的向量即可. 【详解】根据题意，可得所有共线非零向量有：，共有个. 故答案为：. 【例1-3】用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）． 【答案】答案见解析． 【分析】根据有向线段的定义作图． 【详解】如图，有向线段表示方向向上、大小为20N的力，有向线段表示方向向下、大小为30N的力， 【变式1-1】（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【分析】由向量的概念逐个判断即可； 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）针对以下命题： ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小 说法正确的是 （填序号）. 【答案】④ 【分析】由向量的概念判断即可. 【详解】解：向量是既有大小，又有方向的量，它不能比较大小，但向量的模是可以比较大小的. 则只有④正确， 故答案为：④ 【变式1-3】用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 【答案】(1)答案见解析． (2)答案见解析． 【分析】（1）以为起点，向右作长度是3cm的有向线段； （2）以为起点，向下作长度为的有向线段． 【详解】（1）， 以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，    （2），时，， 以为起点，向下作有向线段，长度为：    题型2：向量模的计算与几何表示 【例2-1】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 【例2-2】（24-25高一下·山东烟台·月考）与向量方向相反的单位向量为 ． 【答案】 【分析】由相反向量及单位向量的定义可得. 【详解】向量方向相反的单位向量. 故答案为：. 【例2-3】（24-25高一下·全国）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值. 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 【变式2-1】（24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义即可判断． 【详解】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． 【变式2-2】已知，若，则 . 【答案】 【分析】直接由勾股定理求值即可. 【详解】由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【答案】答案见解析 【分析】根据向量定义找出向量，再求模长即可. 【详解】所有的边可以构成以下向量：、、、、、、、. 它们的模分别为： ， . 题型3：相等向量与共线向量 【例3-1】下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 【答案】B 【分析】根据向量相关概念进行判断，得到答案 【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 【例3-2】已知，求与向量方向相同的单位向量为 . 【答案】 【分析】依题意求得，进而可得与向量方向相同的单位向量. 【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是. 故答案为： 【例3-3】（24-25高一下·全国）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 【变式3-1】（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【详解】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 【变式3-2】（24-25高一下·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【答案】120 【分析】根据且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案. 【详解】某人从点A出发，经过点，到达点，最后停在点，易知，，又在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 所以. 故答案为：120 【变式3-3】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中． (1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析 ． 【分析】（1）由相反向量的概念即可求解； （2）由共线向量的概念即可求解. 【详解】（1）与的长度相等、方向相反的向量有，，，． （2）与共线的向量有，，，，，，，，． 一、单选题 1．（24-25高一下·河南·月考）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【答案】D 【分析】由向量的概念，可得答案. 【详解】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量. 故选：D． 2．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·河南开封·月考）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A 【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出. 【详解】由零向量与任意向量平行，故满足条件； 若，由且，得，这与条件矛盾，故排除； 综上所述，. 故选：A. 5．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同. 故选：B.    6．在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，结合平面向量的概念即可求解. 【详解】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为． 故选：D 7．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共线向量的模的特点得到答案. 【详解】使得成立的充分条件是和反向且， 对于A，和是同向，所以A错误， 对于B，和可能同向，可能反向，所以B错误， 对于C，由，得，则和反向且，所以C正确， 对于D，由可得和的方向不能确定，所以D错误. 故选：C． 8．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的性质分别求出的最大值与最小值，最后计算它们的差值即可. 【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即. 当、、分这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时. 当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为. 的最大值为，最小值为，它们的差为. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·辽宁·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C． 【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 10．（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【分析】利用向量的平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量相关定义，逐项判断即可. 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 11．（24-25高一下·福建福州·期中）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】AD 【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则结论不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同的单位向量，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．（23-24高一下·广东阳江·月考）下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【答案】③ 【分析】根据共线向量、相等向量、模长等的定义，逐一判断即可得出结论. 【详解】对于①，若，则可知共线，不一定有，也可能，因此①错误； 对于②，若，但的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若，则与共线，显然③正确； 对于④，若，则可能，此时与共线，所以④错误. 故答案为：③ 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 【答案】①③④ 【分析】：与方向相同或相反；：与方向相同且模长相等；：与长度相等；：模长为0，与任意向量平行；单位向量：模长为1；若，则是的充分条件；若，则是的必要条件； 【详解】与平行则与方向相同或相反， 对于①：若，与方向相同，则；若，则与模长不一定相等，则与不一定相等，即①对； 对于②：若，与长度相等，与方向无关，则与不一定平行；若与平行，则与方向相同或相反，与模长无关，即②错； 对于③：若、的方向相反，则；若，则与方向相同或相反，即③对； 对于④：若或，则；若，则与方向相同或相反，即④对； 对于⑤：若与都是单位向量，则，方向不一定相同或相反；若，则模长不一定为1，即⑤错. 故答案为：①③④ 14．（2024高一·江苏·专题练习）已知为非零向量，且与不共线，若，则与必定 ． 【答案】不共线 【分析】 由平面向量平行的传递性判断. 【详解】因为为非零向量，与不共线，， 所以与不共线. 故答案为：不共线. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】，，，，，，， 【分析】根据图形，结合平行向量和向量模的定义直接得出结果. 【详解】如图所示，满足与平行且长度为的向量有，，，，，，，共8个． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由向量的相关定义作图即可； （2）由向量的相关定义作图即可； （3）由向量的相关定义作图即可. 【详解】（1） 由题意，故即为所求，其中； （2） 由题意，故即为所求，其中； （3） 由题意，故即为所求，其中. 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、、、、、. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用给定条件确定点的位置，再标注向量即可. （2）利用两点间距离公式结合向量模的定义求解模长即可. 【详解】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． 19．（2024高一下·全国·专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【分析】（1）根据相等向量的定义可得向量； （2）根据向量的模长公式的几何知识可得轨迹. 【详解】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示：    （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．    1 学科网（北京）股份有限公司 $