第一章空间向量与立体几何单元检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则（   ） A．2 B． C．3 D． 3. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5. 下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ） A． B． C． D． 6. 如图，在四棱柱中，侧面底面，四边形是正方形，四边形是菱形，且，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ）    A． B． C． D． 7. 已知正方形ABCD的边长为4，将沿对角线AC翻折，使二面角为，则平面BCD截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 8. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且，C，D在同一平面内，点为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列给出的命题中正确的有（） A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点P为平面ABC上的一点，点O是平面ABC外一点，且，则 C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．已知，则在上的投影向量为 10. 如图，三棱锥中，平面平面，过点且与平行的平面分别与棱、交于两点，若，则下列结论正确的是（    ） A．若为的中点，则为的中点 B．若，则四棱锥的体积为 C．平面平面 D．三棱锥的外接球的体积为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（　　） A．若为线段的中点，则直线平面 B．三棱锥的体积为 C．在线段上存在点，使得 D．若，则点的轨迹长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 13. 如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时， ． 14. 如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 16. 如图，在正方体中，，，为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点. (1)证明：； (2)若正方体的棱长为4，求三棱锥的体积； (3)当时，求二面角的余弦值的绝对值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若. ①求平面与平面夹角的正弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. (1)如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面. (2)如图2，若二面角为直二面角，分别是的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围. (3)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，分别在线段上（不包含端点），且为的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量与立体几何单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系的概念，可得答案. 【详解】易知点关于平面对称的点的坐标关系是横坐标和竖坐标不变，纵坐标互为相反数， 与点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 2. 已知，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】由空间向量的减法运算求出，再由空间向量模的计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B. 3. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用多边形法则即可求解. 【详解】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A 4. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据线面、面面位置关系的判定定理和性质逐一分析判断即可得解. 【详解】对A：若，，则或，故A错误； 对B：若，，，则或异面，故B错误； 对C：如图：    过直线作平面，交平面于直线，因为，所以； 过直线作平面，交平面于直线，因为，所以； 所以，且，，所以. ，，所以. 又，所以.故C正确； 对D：因为垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故D错误. 故选：C 5. 下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】将区域还原到圆柱中求得其面积，由区域和全等可求得总面积. 【详解】由题意知区域和全等，且都是底面半径为10 m，高为40 m的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中，可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D. 6. 如图，在四棱柱中，侧面底面，四边形是正方形，四边形是菱形，且，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】根据面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，利用空间向量的线性运算得，，设，利用空间向量数量积运算律求得，利用向量模的运算求得，，进而代入异面直线的向量公式求解即可. 【详解】因为侧面底面，侧面底面，四边形是正方形， 所以，底面，所以侧面，侧面， 所以，所以， 因为四边形是正方形，四边形是菱形，且， 所以设，，，， 因为，，分别是棱，，的中点， 所以，， . ， ， 设异面直线与所成角为，则. 故选：D. 7. 已知正方形ABCD的边长为4，将沿对角线AC翻折，使二面角为，则平面BCD截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、球的截面的性质及计算、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】取的中点为，连接，利用余弦定理求，再利用余弦定理求，进而得，由平面BCD截三棱锥的外接球所得截面为圆，即为的外接圆，设该圆的半径为，最后利用正弦定理求，进而求解. 【详解】取的中点为，连接，由题意有，所以， 所以为二面角的平面角，所以，， 由余弦定理有，所以， 又由余弦定理得， 所以， 由平面BCD截三棱锥的外接球所得截面为圆，即为的外接圆，设该圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以该圆的面积为， 故选：B. 8. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且，C，D在同一平面内，点为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】立体几何中的轨迹问题、多面体与球体内切外接问题 【分析】先根据八面体的性质求出其棱长，进而确定点的轨迹，最后根据圆的周长公式计算轨迹长度. 【详解】考虑点在侧面上运动时点的轨迹长度，如下图所示： 易知，且是边长为2的等边三角形， 则三棱锥是正三棱锥， 则点在底面内的射影点为的中心， 取为的中点，连接，则， 因为， 故，则， 所以，为等腰直角三角形，且，    ， 因为为等边的中心，则， 所以，， 因为平面平面， 所以， 则， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在内的圆弧， 如图，设圆与交于两点， 由于在中，    则，所以， 则， 所以圆在内的一段弧的长为， 则点Q的轨迹长度为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列给出的命题中正确的有（） A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点P为平面ABC上的一点，点O是平面ABC外一点，且，则 C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．已知，则在上的投影向量为 【答案】AB 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、空间位置关系的向量证明、求投影向量 【分析】利用空间向量基底的意义判断A；利用共面向量的推论计算判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，设， 展开：， 由于线性无关，得方程组：， 解得，因此它们线性无关，仍是基底，A正确； 对于B，由，点在平面ABC上， 得，解得，B正确； 对于C，由，得，则或，C错误； 对于D，，所以在上的投影向量为，D错误. 故选：AB 10. 如图，三棱锥中，平面平面，过点且与平行的平面分别与棱、交于两点，若，则下列结论正确的是（    ） A．若为的中点，则为的中点 B．若，则四棱锥的体积为 C．平面平面 D．三棱锥的外接球的体积为 【答案】AD 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直 【分析】对于A，由线面平行的性质可得，即可判断A；对于B，先根据得到四边形的面积，再由锥体体积公式求四棱锥的体积即可判断B；对于C，由题意可知，若平面平面，则平面，得到，即可推出与题意矛盾；对于D，根据题意可得的中点为外接球球心，半径，再由体积公式计算即可． 【详解】对于A，根据题意，平面，平面平面， 平面，， 若为的中点，则为的中点，故A正确； 对于B，因为，，所以，则， 又因为，，所以，则， 取的中点，连接，， 则，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 易知，， 因为，所以， 由，可得，且相似比为， ，， ，故B错误； 对于C，平面，平面是变动的， 若平面平面，则平面， 平面，， 又，所以不成立，故C错误； 对于D，，，为公共斜边， 则为三棱锥外接球的球心，外接球半径， 所以外接球体积，故D正确． 故选：AD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（　　） A．若为线段的中点，则直线平面 B．三棱锥的体积为 C．在线段上存在点，使得 D．若，则点的轨迹长为 【答案】ABD 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题目条件，以为原点，方向为轴建立空间坐标系，结合选项条件代入计算判断选项是否正确. 【详解】以为原点，方向为轴建立空间坐标系，棱长为， ,,,,,,,, ，分别是，的中点,,, 点在正方形上，设，其中， 对于A选项：为线段的中点，则,, 又是正方体，则是平面的法向量， ，即， 又平行平面，所以直线平行平面，A选项正确； 对于B，三棱锥体积与相同， 的顶点， ，， 点到的距离恒为， 于是，B选项正确 对于C，在线段上：，设 ， ， 垂直条件即， ， 但，所以不存在这样的点,C选项错误； 对于D，即， ， ，， ， 点限制在，且平面上， 因此在这个范围内对应一条线段： 当时，得；当时，得， 线段长度：， 所以轨迹长为，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为， 则，得，所以， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 13. 如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时， ． 【答案】 【知识点】线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接，连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的性质列式求解. 【详解】连接，连接，由，为线段上靠近的三等分点， 得，，由平面，平面平面， 平面，得，所以. 故答案为： 14. 如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】判断线面是否垂直、平面法向量的概念及辨析、线面角的向量求法 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示动点旋转的轨迹以及坐标，根据三角函数的恒等式，利用线面角的向量公式，可得答案. 【详解】由题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 点的旋转轨迹为在平面内，以为圆心以及长为半径的圆周， 点的旋转轨迹为在平面内，以为圆心以及长为半径的圆周， 设分别为旋转过程中的点，连接，， 过作，垂足为，过作，垂足为， 如下图： 则，，即， 设，，旋转角， 易知，即，则， 化简可得，即，同理可得， 可得，， 即， 在正方体中，易知平面， 则在旋转过程中，平面的一个法向量， 所以， 令，则， 可得，所以. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直得到线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的正弦值. 【详解】（1）因为底面，底面，所以. 又底面为矩形，所以， 又平面，且，所以平面. 又平面，所以. （2）以为原点，建立如下图空间直角坐标系. 由题意：，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则，可取. 取平面的法向量. 设二面角为， 则， 所以. 16. 如图，在正方体中，，，为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点. (1)证明：； (2)若正方体的棱长为4，求三棱锥的体积； (3)当时，求二面角的余弦值的绝对值. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为4，，求，，利用空间向量证明线线垂直； （2）求的面积，利用转换顶点法求三棱锥的体积； （3）可得，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为4，则， 设，，则，， 因为，所以. （2）若正方体的棱长为4， 则的面积， 所以三棱锥的体积. （3）当时，则， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得； 设平面的法向量，则， 令，则，可得； 因为， 所以二面角的余弦值的绝对值为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若. ①求平面与平面夹角的正弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①②存在， 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； ②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）    取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即，平面，平面， 平面； （2）①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 因为平面，且平面， 所以平面平面， 又因为平面平面，，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的正弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得， 解得或（舍去），即.    18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）由题意可得，结合已知可得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为，求得平面的法向量，利用向量法可得，求解即可. 【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以， 又，，，平面， 所以平面 （2）因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量，        则有， 令，得，，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为， 即使平面与平面夹角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 又平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 则有， 即，所以，解得或， 又因为，所以. 故存在，使平面与平面夹角的正弦值为. 19. 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. (1)如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面. (2)如图2，若二面角为直二面角，分别是的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围. (3)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，分别在线段上（不包含端点），且为的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由题可得，结合平面平面，即可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，根据求出的范围，将平面与平面所成锐二面角的余弦值表示为的函数，再求范围. （3）是四面体的表面积，可证， ，从而证得结论. 【详解】（1）由题意知， 而是的中点， 所以， 又平面平面， 平面平面平面， 所以平面， （2）在平面内作的垂线作为轴，所以轴， 如图以为坐标原点，分别以为轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为，设， 所以， 则， 所以， . 设平面的法向量， 得， 取， ， 解得. 设平面的法向量， 得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为，则 ， 由于在上单调递增，故， 故， 所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是； （3）S是四面体的表面积，，令与面所成角为， ， ， 因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是， （取不到等号）， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $