精品解析：四川省成都市棕北中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

成都市棕北教育集团2025-2026年度上期12月教学质量监测 九年级数学试题 A卷（100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，只有一个正确答案） 1. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（　　） A. 6 B. 14 C. 5 D. 20 3. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与位似，点O为位似中心，若，则( ) A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个菱形都相似 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D. 甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点，②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则的值为_____． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m的值为________． 11. 如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为12，则k的值为_____． 12. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为____． 13. 如图，裁剪出一正方形纸片，若，且E为的中点，将沿着所在直线折叠，使点B落在正方形内点F处，连接交于H，则的长为_________． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. 解方程： （1） （2） 15. 雾霾不仅仅影响人们的出行，还影响着人们的健康．我校九年级一班综合实践小组的同学以“雾霾天气的主要成因”为主题，随机调查了成都市部分市民的观点，并对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计表及统计图，观察并回答下列问题： 类别 雾霾天气的主要成因 百分比 工业污染 汽车尾气排放 城中村燃煤问题 其他（绿化不足等） （1）的值为_______，并补全条形统计图； （2）到年底，我市大约有万人口，请你估计持有，两类看法市民共有多少人？ （3）小明同学在四个质地、大小、形状都完全相同的小球上标记，，，代表四个雾霾天气的主要成因中，放在一个不透明的盒子中，他先随机抽取一个小球，放回去，再随机抽取一个小球，请用画树状图或列表的方法，求出小颖同学刚好抽到和的概率．（用，，，表示各项目） 16. 某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏．并调整到合适的高度．如图，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为6厘米的发光物进行移动，使物距为24厘米，光线，通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为9.6厘米． （1）求像的长度． （2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过主光轴上的点，求的长． 17. 如图，在四边形中，，，平分，点P是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点E和点F． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 18. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，为第二象限内反比例函数图象上的点．为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接． （1）求反比例函数表达式及点的坐标； （2）如图，若线段恰好经过原点，连接，若，求点的坐标； （3）在点D运动过程中，若直线与轴相交于点，点是直线上异于、一动点，连接．当为直角三角形时，若，求线段的长度． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19 若，其中，则________． 20. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 21. 如图，是一个三角形纸板，在此三角形内部作一个正方形，使它的边在边上，顶点D、G分别在边上，作于H，交于P，已知，，若将一个飞镖随机投掷到这个纸板上，则飞镖落在正方形区域的概率为________． 22. 如图，在中，，，D是的中点，E是上的点，连接，的平分线交于点F，连接．若，，则的长为________． 23. 对于平面直角坐标系内的点和图形，给出如下定义：如果点绕原点顺时针旋转得到点，点落在图形上或图形围成的区域内，那么称点是图形关于原点的“伴随点”．已知点，，，如果是双曲线和线段围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，则的取值范围是_________． 二、解答题（共30分） 24. 如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为米，宽为米． （1）求通道的宽度； （2）某园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是元平方米，超过平方米后，每多出平方米，所有“四季青”的种植单价可降低元，但单价不低于元平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了平方米，支付该园艺公司种植“四季青”的费用为元，求种植“四季青”的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与反比例函数交于，两点（在的右侧）． （1）当时，求，两点的坐标； （2）若点是的中点，求的值； （3）在（1）条件下，若为第一象限的反比例函数图象上一点（不与，重合），作直线与轴交于点，作直线与轴交于．当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标． 26. 如图1，在矩形中，，M是射线上一点（不与点D重合），连接，过点B作于点P． （1）求证：； （2）连接，当时，若，求k的值； （3）取的中点Q，连接，如图2当时，若，求的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市棕北教育集团2025-2026年度上期12月教学质量监测 九年级数学试题 A卷（100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，只有一个正确答案） 1. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键． 从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图． 根据主视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱， ∴根据主视图的画法，从前往后看，看到的是一个长方形， 故选：C． 2. 一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（　　） A. 6 B. 14 C. 5 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据白球的概率可估计红球的概率，即可求解． 【详解】解：红球的个数为：（个）， 故选：B． 【点睛】本题考查用频率估计概率，当进行大量重复试验时，频率稳定在概率附近． 3. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：设这种药品平均每次降价百分率为x，第一次降价后的价格为；第二次降价后的价格为， 即， 故选：A． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 5. 如图，与位似，点O为位似中心，若，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到'，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个菱形都相似 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D. 甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的判定，矩形的性质，菱形的性质，平行投影．逐项判断：A菱形角不一定相等，故不都相似；B对角线相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是矩形；C菱形面积应为对角线乘积的一半，计算得而非；D太阳光下相似三角形原理成立，身高与影长比相等． 【详解】解：A：∵菱形的对应角不一定相等，∴任意两个菱形不一定相似，故A错误． B：∵等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，∴B错误． C：∵菱形的面积公式为，∴，故C错误． D：∵太阳光线平行，形成相似三角形，∴身高与影长之比相等，故D正确． 故选：D． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 故选：B． 8. 如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点，②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，含度角的直角三角形的性质，作角平分线勾股定理．根据四边形是矩形，和，可得是等边三角形，由作图过程可得，是的平分线，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而证明，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 由作图过程可知： 是的平分线， ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 由已知等式求出比例，再代入代数式计算，即可求解． 【详解】解：由，得， 则． 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．根据一元二次方程有两个相等实数根的条件，判别式等于零，且二次项系数不为零，列方程求解． 【详解】解：方程是一元二次方程，因此，判别式， 令，得， 解得，且，符合条件， 故答案为： 11. 如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为12，则k的值为_____． 【答案】﹣12 【解析】 【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|-k|． 【详解】解：作AE⊥BC于E，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥x轴， ∴四边形ADOE为矩形， ∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE， 而S矩形ADOE=|-k|， ∴|-k|=12， 而k＜0，即k＜0， ∴k=-12． 故答案为-12． 【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 12. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 13. 如图，裁剪出一正方形纸片，若，且E为的中点，将沿着所在直线折叠，使点B落在正方形内点F处，连接交于H，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形和勾股定理的性质，得；根据轴对称的性质，得，；根据等腰三角形、三角形外角及三角形内角和性质，计算得、，结合相似三角形性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵正方形中， ∴， ∵E为的中点 ∴ ∴ ∵沿折叠，使点B落在正方形内点F处 ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形、勾股定理、等腰三角形、三角形外角、三角形内角和、轴对称、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、等腰三角形、三角形内角和、轴对称、相似三角形的知识，从而完成求解． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），  （2），  【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）使用配方法求解； （2）先移项整理成一般形式，然后使用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：        ∴  或   ∴ ，  【小问2详解】 解：         ∴  或   ∴ ，  15. 雾霾不仅仅影响人们的出行，还影响着人们的健康．我校九年级一班综合实践小组的同学以“雾霾天气的主要成因”为主题，随机调查了成都市部分市民的观点，并对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计表及统计图，观察并回答下列问题： 类别 雾霾天气的主要成因 百分比 工业污染 汽车尾气排放 城中村燃煤问题 其他（绿化不足等） （1）的值为_______，并补全条形统计图； （2）到年底，我市大约有万人口，请你估计持有，两类看法的市民共有多少人？ （3）小明同学在四个质地、大小、形状都完全相同的小球上标记，，，代表四个雾霾天气的主要成因中，放在一个不透明的盒子中，他先随机抽取一个小球，放回去，再随机抽取一个小球，请用画树状图或列表的方法，求出小颖同学刚好抽到和的概率．（用，，，表示各项目） 【答案】（1），补全条形统计图见解析； （2）估计B，C两类市民共有720万人 （3）小明同学刚好抽到B和D的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，统计表，样本估计总体，树状图法求概率； （1）用类人数除以它所占的百分比可得到本次被调查居民的总人数，再分别计算的值，然后计算出类人数后补全条形统计图； （2）利用样本估计总体，用乘以、两类人数所占的百分比的和即可； （3）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出小明同学刚好抽到和的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：本次被调查居民的总人数为：（人）； ， C类人数为：（人）， 补全条形统计图为： 【小问2详解】 解：， 所以估计B，C两类市民共有720万人； 小问3详解】 解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中小明同学刚好抽到B和D的结果数为2， 所以小明同学刚好抽到B和D的概率． 16. 某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏．并调整到合适的高度．如图，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为6厘米的发光物进行移动，使物距为24厘米，光线，通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为9.6厘米． （1）求像的长度． （2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过主光轴上的点，求的长． 【答案】（1）2.4厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∴，即， 解得：， 答：像的长度为2.4厘米； 【小问2详解】 由题意得：，为矩形， ∴，厘米， ∴，即， 解得：， 答：的长为厘米． 17. 如图，在四边形中，，，平分，点P是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点E和点F． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）根据，得出四边形是平行四边形，进而根据角平分线的定义与平行线的性质得，即可得出，进而得证； （2）先证明则，进而根据平行线的性质得出，即可得到，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵平分， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵平分，点P是上一点， ∴ ∵四边形是菱形； ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） 18. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，为第二象限内反比例函数图象上的点．为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）如图，若线段恰好经过原点，连接，若，求点的坐标； （3）在点D运动过程中，若直线与轴相交于点，点是直线上异于、的一动点，连接．当为直角三角形时，若，求线段的长度． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入得出，代入得出，再联立直线与双曲线解析式，即可求解； （2）根据线段恰好经过原点，以及双曲线的对称性可得，则，过点作的平行线交反比例函数图象于点，联立直线的解析式与反比例函数解析式，即可得出的坐标，根据一次函数的平移求得下方另一个点的坐标，即可求解． （3）根据为直角三角形时，分和，两种情况讨论，分别求得点和，进而根据相似三角形的性质求得的长，即可求解． 小问1详解】 解：∵在的图象上 ∴ ∴反比例函数的表达式为， 将，代入， 解得： ∴一次函数解析式为 联立 解得：或 ∴ 【小问2详解】 解：由线段恰好经过原点，双曲线的对称性可得， ∵ ∴ 当在上方时， ∴ 如图，过点作， ∵直线的解析式为 ∴的解析式为 联立 解得：或 ∵在第二象限， ∴ 当在的下方时， ∵可以看作向下平移个单位得到的， ∴将向下平移个单位得到， 则与的距离等于与的距离，即另一个点也在上 联立 解得：或 ∵在第二象限， ∴ 综上所述，的坐标为或 【小问3详解】 解：设，且，分两种情况讨论， 当时， 如图，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴关于原点对称， ∴重合， 如图，当时， ∴ ∵，， ∴，， ∴ 解得： 当时， 如图，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点， ∵，， ∴ 同理可得 ∴ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为， 当时， ∴， 如图，当时， ∴ ∵，，， ∴，， ∴ 解得： 综上所述，或 B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．由比例关系设参数表示变量，代入已知等式求解． 【详解】解：由，设，，． 代入，得 整理得 即 两边同乘4，得 解得 故答案为：． 20. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 21. 如图，是一个三角形纸板，在此三角形内部作一个正方形，使它的边在边上，顶点D、G分别在边上，作于H，交于P，已知，，若将一个飞镖随机投掷到这个纸板上，则飞镖落在正方形区域的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，几何概率．根据得出，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，进而求得正方形的面积和三角形的面积，根据几何概率进行计算即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为x． 由正方形得，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 即， 由，，， 得， 解得． ∴正方形的边长是，则面积为 ∵，， ∴ 将一个飞镖随机投掷到这个纸板上，则飞镖落在正方形区域的概率为 故答案为：． 22. 如图，在中，，，D是的中点，E是上的点，连接，的平分线交于点F，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理．过D作，取的中点H，连接，由三角形中位线定理可得，，得到，求得，再根据勾股求出，线段和差得到，，延长交于点M，由平行线分线段成比例可得，求出，，过F作于点T，可求得，进而，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点M，取的中点H，连接， ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 过F作于点T， ∵平分， ∴， ∵ ∴，即， 解得， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：． 23. 对于平面直角坐标系内的点和图形，给出如下定义：如果点绕原点顺时针旋转得到点，点落在图形上或图形围成的区域内，那么称点是图形关于原点的“伴随点”．已知点，，，如果是双曲线和线段围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 将绕点逆时针旋转得到，根据是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，得到点在反比例函数时有最大值，当点在线段时有最小值，即可得解． 【详解】解：如图，过点A作轴，轴，垂足分别为M，N， 则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，绕点逆时针旋转得到，则，， 设直线的表达式为：，代入， 得：， 解得：， 直线为， 设经过点的双曲线为：， 代入得：， ∴经过点的双曲线为， 是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 的取值范围是． 故答案为：． 二、解答题（共30分） 24. 如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为米，宽为米． （1）求通道的宽度； （2）某园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是元平方米，超过平方米后，每多出平方米，所有“四季青”的种植单价可降低元，但单价不低于元平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了平方米，支付该园艺公司种植“四季青”的费用为元，求种植“四季青”的面积． 【答案】（1）通道的宽度为米 （2）种植“四季青”的面积为平方米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用； （1）设通道的宽度为米．由题意，解方程即可； （2）设种植“四季青”的面积为平方米． 【小问1详解】 解：设通道的宽度为米． 由题意， 解得或舍去， 答：通道的宽度为米． 【小问2详解】 解：设种植“四季青”的面积为平方米． 由题意：， 解得， 答：种植“四季青”的面积为平方米． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与反比例函数交于，两点（在的右侧）． （1）当时，求，两点的坐标； （2）若点是的中点，求的值； （3）在（1）的条件下，若为第一象限的反比例函数图象上一点（不与，重合），作直线与轴交于点，作直线与轴交于．当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，勾股定理； （1）将代入直线解析式，得出，进而将代入，求得，即可求得反比例函数解析式，进而联立直线解析与反比例函数解析式，即可求解； （2）先求得得出反比例函数为，联立直线解析式，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式，建立方程，解方程即可求解． （3）分别求得直线的解析式为，直线的解析式为，进而求得，，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 将代入 ∴ ∴ 联立 解得：或 故  ， 【小问2详解】 解：∵点，在上， ∴ ∴反比例函数为 联立，即 整理得 设是方程的两根， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴ 解得： 【小问3详解】 解：由（1）可得，，反比例函数为 设， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时，，则 同理可得直线的解析式为， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵是以为底边的等腰三角形 ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 26. 如图1，在矩形中，，M是射线上一点（不与点D重合），连接，过点B作于点P． （1）求证：； （2）连接，当时，若，求k的值； （3）取的中点Q，连接，如图2当时，若，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质． （1）由矩形，，得，，因此． （2）连，设，则，由垂直平分，得．再利用勾股定理计算即可． （3）①当在上时，如图：过作，设，证明，得．同理：．得由，得，得由．得，再计算即可．②当在延长线上时，运用①的方法计算可得DM的值． 【小问1详解】 证明：∵矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 【小问2详解】 解：如图，连接 ∵矩形，则，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵，设， ∴ ∵， ∴，则， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 【小问3详解】 解：①当在上时，如图：过作，交于，交于． 设， ∵ ∴ 即 同理可得． ∴ ∴ ∵ ∴， ． ∴， 解得：或（舍去） 即 ②当在延长线上时，如图：过作，交于，交于． 设，． 同①可得， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $