2025-2026学年高三上学期数学期末复习“四新”模拟练习卷（一）（适用于江西省）

2025-2026学年高三上学期数学期末复习自编“四新”模拟练习卷（一） 考试时长:120分钟 满分：120分 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：D. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件利用诱导公式求得，再根据诱导公式，二倍角余弦公式，商数关系化简，得解. 【详解】由，得，故. 所以 . 故选：A. 3．已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（   ） A． B．6 C．－6 D． 【答案】C 【分析】将复数化成复数的代数形式，根据纯虚数的定义即可求解. 【详解】依题意，复数，因为为纯虚数，所以且，解得. 故选：C. 4．赵爽是我国古代数学家，大约在222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】设，建立如图所示的直角坐标系，结合余弦定理和正弦定理解三角形，利用坐标法即可得出结果. 【详解】解法一： 所以，即即 所以，所以。 解法二：设，则，， 建立如图所示平面直角坐标系， 由题可知，由， 所以，则. 所以，，. 又， 所以. 所以.即. 所以，.. 又，所以，解得， 所以， 故选：B. 5．如图，为半圆上的一条弦，将沿着弦对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则 的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称的性质，结合圆的切线的性质，构造直角三角形，利用勾股定理列式求值即可. 【详解】如图：    设为点关于直线的对称点，连接交于. 不妨设，，则，， 因为，为中点，所以. 在直角中，. 又，关于对称，所以. 又与直线相切，所以. 在直角中，， 所以. 又，所以. 所以，. 所以. 故选：C 6．已知函数，的定义域均为R，且，，若的图像关于对称，，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D 【分析】根据的图象关于对称得到，，然后结合，得到的周期为4，再通过赋值得到，，，，最后根据周期求值即可. 【详解】因为的图象关于对称，所以，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以的周期为4， 当时，，所以，， 当时，，所以， 当时，，，所以， ， 所以. 故选：D. 7．已知，满足，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断. 【详解】设，则, ∴ 对A：，A正确； 对B：∵ ∴，B正确； 对C：由题意可得：，同理可得： ∵ ∴，则，C错误； 对D： ∴，D正确； 故选：C. 8．设是3，4，5，6，7的一个排列.若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”.则该起伏排列个数有（    ） A．32 B．24 C．20 D．36 【答案】A 【分析】根据，得到或，分别求出两种情况下的排列个数，相加即可. 【详解】对一切恒成立， 即， 或， 对于第一类：3必须居下面，7必须居上面， 分别取6，7时，分别取3，4，5，有种排列方法， 分别取5，7时，若，则，此时与3，4可全排列， 若，则，此时与3，4可全排列，共有种排列方法， 综上，第一类共有种排列方法， 同理第二类有16种排列方法，故共有32种起伏排列. 故选：A. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．下列有关说法正确的有（   ） A．数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 B．记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强 C．已知随机变量，则 D．设随机变量ξ服从正态分布，若，则 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的对称性、相关系数的性质，结合二项分布的数学期望公式、数学期望性质、下四分位数的定义逐一判断即可. 【详解】A：数据1，3，9，4，5，16，7，11从小到大排列为： 1，3，4，5，7，9，11 ，16， 因为 所以这组数据的下四分位数为，因此本选项说法正确. B：由样本相关系数的性质可知：越接近0，线性相关程度越弱，因此本选项说法不正确； C：因为，所以， 所以，因此本选项说法正确； D：因为随机变量ξ服从正态分布，且， 所以，因此本选项说法正确； 故选：ACD 10．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（    ） A． B．直线与所成角的最大值为 C．过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D．三棱锥外接球半径的取值范围为 【答案】ACD 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求出，求出利用向量法即可判断A；求出利用向量法即可判断B；找到截面，即等腰梯形，求其面积即可判断C；设球心，利用两点间距离公式求出，建立等式求出的范围进而求出半径的范围，即可判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，所以， 设，其中，即， 所以点， 又，，， 所以，， 所以， 所以，故A正确； ， 因为，所以， 所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 所以， 所以， 当时，直线与所成角最大， 因为，故直线与所成角的最大值不为，故B错误； 取中点，连接， 因为为的中点，所以， 截面即为四边形， 又，所以， 又因为，故四边形为等腰梯形， 如图，作，垂足为， 所以， 所以， 所以等腰梯形的面积， 即截面的面积为，故C正确； 取的中点，因为为直角三角形，所以为外接圆的圆心， 设外接球的球心为，根据外接球的性质，则平面， 设球心， 则， ， 因为，所以， 即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， 所以，所以， 即三棱锥外接球半径的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 13．已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，，，，则的最小值为 ．    【答案】4 【分析】设，，由抛物线焦半径公式得，再由，结合基本不等式即可求解； 【详解】根据题意，圆，可得， 所以该圆的圆心为，所以，， 所以， 设点，，易知斜率不为0，设方程为， 联立抛物线方程消去可得，所以， 又，两式相乘可得， 所以， 因，当且仅当时等号成立． 即时，取得最小值. 故答案为：4 14．有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则 ． 【答案】 【分析】设取出的5个数为，则可推得，，即可得出.进而只需要分析出事件以及表示的含义，并求出概率，即可得出答案. 【详解】设从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内. 设， 则， 所以，，， 所以，，，. 又表示，共有种可能； 表示中有4个选择1和1个选择2，共有种可能， 且所有的取法种数为， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数据的取法规则，得出概率具有对称性. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 【答案】(1) (2)①；②方案二 【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题； （2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论． 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结 果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ． 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）①因为是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为． ②由①得，所以方案一中取到红球的概率为： 方案二中取到红球的概率为： 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 16．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)如图，若，点，分别在边，上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化切为弦，利用两角和的正弦公式化简得，结合角的取值范围即可求解； （2）利用余弦定理、基本不等式以及三角形三边关系可得出的取值范围； （3）由余弦定理得出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）由，得， 所以，即， 所以，又，所以，所以． 又，所以． （2），， 由余弦定理可得 ，所以， 当且仅当时，等号成立， 又因为，则，所以的取值范围为； （3）由，知为等边三角形，由及，得， 设，则． 在中，由余弦定理可得， 即，解得． 同理，在中，由余弦定理可得． 又， 所以． 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程； （2）令函数，两次求导进行求解． 【详解】（1）当时，． ． 曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，所以当时，． 令函数，则． 令函数， 则 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ． 所以，即的取值范围为． 18．已知数列满足，且． (1)证明：； (2)证明：； (3)证明：．（附：当时，） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先构造函数，利用导数证明任意，；由再结合所证不等式与不等式性质证明； （2）先用数学归纳法证明，再利用不等式性质证明数列为递增数列，变形可得所求证不等式； （3）由题附结论转化放缩变形得，再利用裂项求和法证明，由此得证，变形可得. 【详解】（1）由题意可得. 构造函数， 则，在单调递增. 所以，即任意时，. ，，且， 且， 故. （2）下面用数学归纳法证明. ①当时，成立；当时，成立； ②假设当时，，， 则当时，， 且，所以， 综合①②可知，对任意，成立. ，， 由，则，即， ， 数列为递增数列， ，即. （3）要证，由，故即证. 当时，成立； 当时，由题附结论可知，当时，， 所以，即， 由，故在式两边同除以得， 所以，即， ，， 由，可得数列是正项递减数列，又数列为正项递增数列， 所以， 则 ， 又， ， ， 综上所述，对任意，都有， 故，得证. 【点睛】关键点点睛：解决此题关键有两点，一是递推关系的变形，转化为进而利用放缩法证明不等式；二是借助裂项、放缩变形数列求和证明不等式，如：；. 19．我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图所示的椭圆柱中底面长轴，其长轴所在轴截面是正方形，分别为下底面椭圆的左右焦点，在上且，点为上底面椭圆上的一个动点，为下底面过点的一条动弦（不与重合），平面. (1)求底面椭圆的半焦距长； (2)设与下底面所成的角分别为，求的取值范围； (3)当弦与底面长轴所成角为时，若三棱锥的体积为，求直线与所成的角的正弦值. 【答案】(1)1 (2) (3)1或 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，进而计算出半焦距长. （2）作出线面角，利用两角和的正切公式以及椭圆的性质求得的取值范围. （3）建立空间直角坐标系，利用弦与底面长轴所成角以及三棱锥的体积确定点的坐标，进而求得直线与所成的角的正弦值. 【详解】（1）连接， 平面平面，平面平面， 又是正方形，， 半焦距. （2）作底面于点，连接， 则， 易知，依题意设， 则, , 根据椭圆性质知，即， ， ， 故. （3）以点为原点，椭圆长轴，短轴，直线＇分别为，轴建立坐标系， 则椭圆的标准方程为， 由对称性不妨令直线， 联立，消去得到， 设，则， 过点作交于点，设， 则， ， ，即， 则，与椭圆联立解得或， 对于，注意到， ,， ,故， 平面平面，， 平面， 平面平面， 即此情况下直线与所成角为直线与所成角的正弦值为1， 对于，设， 直线与所成的角即为与所成的角， 由上知， 综上所述，直线与所成角的正弦值为1或. 试卷第20页，共22页 试卷第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西2025-2026学年高三数学“零班四新”检测卷（一） 考试时长:120分钟 满分：120分 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（   ） A． B．6 C．－6 D． 4．赵爽是我国古代数学家，大约在222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出（    ） A． B． C．0 D．2 5．如图，为半圆上的一条弦，将沿着弦对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则 的值是（    ）    A． B． C． D． 6．已知函数，的定义域均为R，且，，若的图像关于对称，，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 7．已知，满足，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．设是3，4，5，6，7的一个排列.若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”.则该起伏排列个数有（    ） A．32 B．24 C．20 D．36 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．下列有关说法正确的有（   ） A．数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 B．记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强 C．已知随机变量，则 D．设随机变量ξ服从正态分布，若，则 10．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（    ） A． B．直线与所成角的最大值为 C．过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D．三棱锥外接球半径的取值范围为 11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 13．已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，，，，则的最小值为 ．    14．有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则 ． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 16．在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)如图，若，点，分别在边，上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积. 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 18．已知数列满足，且． (1)证明：； (2)证明：； (3)证明：．（附：当时，） 19．我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图所示的椭圆柱中底面长轴，其长轴所在轴截面是正方形，分别为下底面椭圆的左右焦点，在上且，点为上底面椭圆上的一个动点，为下底面过点的一条动弦（不与重合），平面. (1)求底面椭圆的半焦距长； (2)设与下底面所成的角分别为，求的取值范围； (3)当弦与底面长轴所成角为时，若三棱锥的体积为，求直线与所成的角的正弦值. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $