专题3.4 导数之极值点偏移讲义-2026届高考数学一轮复习

专题3.4 导数之极值点偏移 3.4.1 极值点偏移-对称化构造 知识点梳理 1.极值点偏移：是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性. 若函数是连续函数，在区间内有且只有 一个极值点，且，若极值点左右的“增减速度” 相同，常常有极值点，称这种状态为极值点不偏移 （二次函数，如图1所示）；若极值点左右的“增减速度”不 图1 同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点的情况，这种状态称为“极值点偏移”. 图2 图3 图4 图5 2.（1）极值点偏右（如图2、图3所示）：，处切线与x轴不平行；若上凸（递减），则，若下凸（递增），则. （2）极值点偏左（如图4、图5所示）：，处切线与x轴不平行；若上凸（递减），则，若下凸（递增），则. 3.常见题型解决方法 （1）若需要判断与的大小关系，则就需要判断与的大小关系，也就需要判断与的大小关系．而，因此就需要判断与0的大小关系，于是就构建函数，再分析函数的单调性即可． （2）若需要判断与的大小关系，则就需要判断与的大小关系，也就需要判断与的大小关系．而，因此就需要判断与0的大小关系，于则需要构建函数，再分析函数的单调性即可． 典型例题 例1.已知函数．若（为的导函数），方程有两个不等实根，求证：． 证明: 因为,,所以. 因为在上为增函数,所以在上单调递减, 上单调递增. 由方程有两个不等实根,则可设. 欲证,即证. 即证.而 , 即证:. 即:. 设, 其中, 则: 设 , 则. 所以函数在上单调递增. 所以, 所以在上单调递减. 所以, 即, 故. 得证. 例2.已知函数，. （1）研究函数的单调性. （2）设函数有两个不同的零点，且. （i）求的取值范围；（ii）求证：. 解: （1） 的定义域 , . ① 若, 则 恒成立, 在单调递增函数. ② 若, 令解得:,则在单调递减, 在单调递增. （2）证明: 因为有两个不同的零点, 由(1) 知:. 且, 要证, 即证 由于, 则 , 即证 设, , 只需证即可. , . 可知在 是单调递减函数, 故, 得证 . 随堂演练 1.已知函数有两个不同的零点. （1）求的取值范围. （2）求证：． 解: （1）函数的导数为. 若,则,在上单调递增,至多有一个零点, 舍去. 则必有,得在上递减,在上递增,要使有两个不同的零点,则须有的最小值,即,解得. (严格来讲, 还需补充两处变化趋势的说明: 当时, ;当时, ). （2）证明:函数有两个不同的零点. 即有两个不等实根,可得有两个不等实根,设, 构造函数, 则. 当时,,但因式 的符号不容易看出, 引出辅助函数, 则, 得在上递减,当时, , 即,则 ,即：. 得在上递减,有, 即 ().将 代入不等式得, 又在上递增,故，所以． 2.已知函数. （1）求的单调区间； （2）证明：当时，． 解：（1）. 因为对于函数 , 有 , 所以当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减. 所以 的单调递增区间为 , 单调递减区间为 . （2）证明:由（1）知,只需要证明当 时 即可, 令 , 则 . 令 , 则 , 所以 在 上单调递减, 所以 , 所以 在 上单调递减, 所以 , 所以 在 上单调递减, 但 当 时, , 故 , 即 . 所以当 且 时, . 3.已知函数. （1）若, 求的取值范围; （2）证明: 若有两个零点, 则. 解：(1)由题意知函数 的定义域为 . 由 可得函数在上单调递减,在上单调递增. 所以. 又,所以,解得：, 所以的取值范围为. （2）证明:方法一:不妨设,则由(1)知, . 令, . 则. 令. 则. 所以当时, , 单调递增. 所以当时, . 所以当时, . 所以在上单调递增. 所以.即在上. 又所以即 由(1)可知, 函数 在 上单调递增, 所以 , 即 4.已知函数有两个零点. （1）求的取值范围; （2）设是的两个零点,证明:. 解：（1）解: 显然不是函数的零点, 当时,方程等价于, 设,求导, 故函数在上单调递减,在上单调递增, 函数在上的值域为,在上的值域为, 当时, 函数有两个零点, 故所求取值范围为. （2）证明: 根据(1)的结果,不妨设,则只需证, 考虑函数在上单调递增, 于是只需证明, 即, 接下来证, 即, 令, 当时有 , 所以 , 所以在上, 单调递增, 所以, 因此原命题得证. 5.已知函数有两个不同的零点. （1）求实数的取值范围; （2）求证:. 解：（1）的定义域为. 因为， 所以当时，，当 时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值. 又当趋近于或时， 趋于. 所以，要使有两个不同的零点，只需满足，即. 所以实数的取值范围为. （2）证明：不妨设，由(1)可知，，，则. 要证，只需证. 又在上单调递增， 所以只需证，即证. 记，. 则. 当时，， 单调递增. 又. 所以，即. 所以. 6.已知函数. （1）讨论的单调性; （2）设为两个不相等的正数,且,证明: . （1）解: 由函数的解析式可得 , 单调递增, 单调递减, 则 在 单调递增, 在 单调递减. （2）证明: 由 , 得 , 即 , 由 (1) 在 单调递增, 在 单调递减, 所以 , 且 , 令 , 则 为 的两根, 其中 . 不妨令 , 则 , 先证 , 即证 , 即证 , 令 , 则 在 单调递减, 所以 , 故函数 在 单调递增, , 得证. 同理, 要证 , 即证 , 根据 (1) 中 单调性, 即证 , 令 , 则 , 单调递增, 单调递减, 又 时, , 且 , 故 ,, ∴ 恒成立, 得证. 3.4.2 极值点偏移-比值或差值换元 知识点梳理 比值或差值换元的一般步骤： （1）根据写出等式（等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有 指数式，可考虑两边取对数）. （2）根据函数形式预选比值或差值(或均值、差值组合). （3）利用原等式解出关于的表达式(可能显式或隐式含参). （4）将待证不等式用表示. （5）构造关于的单变量函数利用导数证明. （6）注意定义域的范围(由及大小关系得或等). 典型例题 例1.已知函数.若，且，证明：. 证明：（差值换元） 由题意,, 即,化简得：, 不妨设, 由知. 令,则,所以,反解出, 则,故要证,只需证, 又因为, 等价于证, 构造函数, 则, 故 在上单调递增,, 从而也在 上单调递增,, 故原式得证. 例2.已知函数,为常数.若函数有两个零点,试证明. 解：（比值换元）不妨设：. 则,可得: , 故 设, 所以在上单调递增, 所以,所以原式得证. 例3.已知函数. （1）讨论的单调性; （2）设为两个不相等的正数,且,证明: . （1）解: 由函数的解析式可得, 单调递增, 单调递减, 则在单调递增,在单调递减. （2）证明: 由 , 得 , 即, 由(1)在单调递增,在单调递减, 所以 , 且 , 令, 则为的两根,其中 . 不妨令, 则, 先 , 即证 , 即证, 令, 则在单调递减, 所以, 故函数在单调递增, ,得证. 以下证明.（比值换元法） 不妨设,则. 由得,反解出. 要证,只需证,两边取对数得. . . , , . . 随堂演练 1.已知函数. （1）讨论的单调性和最值. （2）若关于的方程有两个不等的实数根求证:. 解: (1) 函数 (), 若 , 则 在 上恒成立, 故 在 上为减函数,故 无最值. 若 , 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减, ∴ （2）方程 (), 即为 因为∴ ∴ ， ∴ 不妨设 ∴， ， ，， ， ∴∴∴ ∴∴，. 2.已知函数 (). （1）讨论的单调性. （2）若函数有两个零点,且,证明: . 解：（1）解: 函数的定义域为, . ① 当时,令,得,则在上单调递减; 令,得,则在上单调递增. ② 当时,令, 得,则在 上单调递减; 令,得,则在上单调递增. 综上所述,当时,在上单调递减, 在上单调递增; 当时,在上单调递减,在上单调递增. （2）证明：证明: 因为为的两个零点,所以, . 两式相减,可得,即, . 因此,令,则： 令,则 所以函数在上单调递增, 所以,即. 因为,所以故得证. 3.已知函数,其中为自然对数的底数. （1）当时, 求的单调区间; （2）若函数有两个零点(),证明:. 解:（1）已知,函数定义域为, 当时,,可得, 当时,单调递增; 当 时,单调递减, 所以的单调递增区间为, 单调递减区间为; （2）证明:若函数有两个零点, 满足,即, 整理得, 要证,即证, 满足, 需证, 不妨令, 即证, 不妨设, 函数定义域为, 可得, 所以在定义域上单调递增, 所以, 满足, 故不等式成立. 4.已知函数有两个不同的零点. （1）求的最值. （2）证明:. 解:（1）, 有两个不同的零点, 在内必不单调,故. 此时,在上单增, 上单减. 无最小值. （2）由题知. 两式相减得,即. 故要证,即证,即证, 不妨设,令,则只需证. 设,则. 设, 则, 在上单减, . 在上单增, . 即, 在时恒成立,原不等式得证. 5.已知函数. （1）求的单调区间; （2）若有两个零点,且,求证:. （1）解：因为函数的定义域是, . 当时, , 所以在上单调递减; 当时, 令, 解得. 当时, , 单调递增; 当时, ,单调递减. 综上所述,当 时,的减区间为, 无增区间; 当时,的增区间为, 减区间为. （2）证明:因为 是函数的两个零点，由(1)知， 因为， 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， . 又因为，且， 所以. 首先证明：. 由题意，得. 设，则.两式相除，得. 要证，只要证，即证. 只要证，即证. 设. 因为， 所以 在 上单调递增. 所以即证得. ① 其次证明: . 设. 因为，所以在上单调递减. 所以， 即 所以.② 由①②可证得. 6.已知函数, . （1）当时,恒成立,求的取值范围. （2）若的两个相异零点为, 求证:. 解: (1) 当 时, 恒成立, 即当 时, 恒成立.设 ,所以 , 即 . .设 , 则. 所以, 当 时, , 即 在 上单调递增. 所以 . 所以, 当 时, , 即 在 上单调递增. 所以 . 若 恒成立, 则 . 所以 时, 恒成立, 的取值范围为 . 证明: (2) 不妨设 , 由， 则： 令 , 即：, 要证 , 只需证 , 只要证 , 即证 (). 即证 , 令 ,. 所以 在 上单调递增. 当 时, , 所以 成立.故 . 3.4.3 极值点偏移-对数平均不等式 知识点梳理 基本均值不等式: 若, 那么：. 当且仅当时取等, 即: 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数. 对数平均不等式: 当 时, 定义为的对数平均数, 且若, 那么：.即除去外, 调和平均数几何平均数对数平均数算术平均数平方平均数. 其中几何平均数对数平均数算术平均数这部分比较常用, 即：. 常见等价变形: ①; ②； ③令 , 可得：，此式也被称为指数平均不等式.指数平均不等式与对数平均不等式本质上是同一个不等式. 利用对数平均不等式求证极值点偏移问题的步骤: （1）建立等量关系; （2）等量关系中如果含有参数, 可考虑消参; 如果含有指数式, 可考虑两边取对数; （3）通过恒等变形转化出对数平均数(的值或仍用表示), 证明对数平均不等式, 然后代入对数平均不等式求解. 注意：对数平均不等式还能用来解决部分不等式证明题、比大小题等. 典型例题 例1.已知函数. （1）若,求的取值范围: （2）证明:若有两个零点,则. 解: （1）的定义域为, 令,解得：,故函数在单调递减, 单调递增, 故 , 要使得恒成立,仅需, 故, 故的取值范围是; （2）证明: 由已知函数要有两个零点,故,即, 不妨设,要证明,即证明, , 即证明: ,又因为在单调递增, 即证明:， 构造函数, ， 构造函数 ， 故在恒成立,故在单调递增, 故， 又因为,故 在恒成立,故在单调递增, 又因为, 故, 故 例2.已知函数,为常数.若函数有两个零点,试证明. 解：（对数平均不等式）由题可知满足：，所以. 根据比例的性质可得：. 不妨设,由对数平均不等式(需证明),. 两边取倒数得:，所以. 从而,即得证. 随堂演练 1.已知函数. （1）讨论函数的单调性. （2）若是方程的两不等实根,求证:. 解: (1) 由题意得, 函数 的定义域为 . 由 得: , 当 时, 在 上单调递增; 当 时, 由 得 , 由 得 , 所以 在 上单调递增, 在 上单调递减. （2）证明: 因为是方程的两不等实根, , 即是方程的两不等实根, 令, 则, 即是方程 的两不等实根. 令, 则, 所以在上递增, 在上递减,, 当时, ; 当 时, 且 . 所以, 即. 令 , 要证, 只需证, 先证：令 , 只需证： 只需证： 令 所以在 上单调递减,所以. 因为所以 所以, 即,所以. 2.已知. （1）当时,讨论函数的极值点个数. （2）若存在,使,求证:. 解: (1) 当时, , 则, 当时, , 故在上单调递增, 不存在极值点; 当时, , 故函数在上单调递增, , 根据零点存在定理可知, 在上存在唯一零点, 故在上存在唯一极值点, 即当时, 函数的极值点有且仅有一个; （2）证明: 根据知, , 即 , 令 , 则 , 故在上单调递增, 当 时, 有, 即, 那么, 因此, 转化为, 接下来证明,即证明, 不妨令, 令, 则在上单调递减,, 故, 由不等式的传递性知, 即. 3.已知函数 （1）已知在点处的切线方程为,求实数的值; （2）已知在定义域上是增函数, 求实数的取值范围. （3）已知有两个零点,求实数的取值范围并证明. 解: (1) 已知, 函数定义域为,可得, 所以,又在点处的切线方程为, 所以, 解得; (2 ) 因为在定义域上为增函数, 所以在上恒成立,即恒成立, 整理得,即, 不妨设, 函数定义域为,可得, 所以极大值,故; （3）证明：易知，函数定义域为可得， 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，令，解得， 当时，，单调递减；当 时，，单调递增， 所以的最小值为， 要使函数存在两个零点的必要条件是，即， 又，所以在上存在一个零点且， 当 时，， 所以在上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数的取值范围为: 不妨设两个零点，因为， 所以 ，， 所以， 整理得，要证 ，即证， 只需证， 因为， 此时要证，只需证，即证 令此时要证 不妨设 函数定义域为可得 所以 在上单调递增,此时即 故成立. 4.已知函数. （1）当时, ,求实数的取值范围, （2）若,使得,求证:. 解: (1) 由得, 即, 其中. 令, 得, 设, 则, 所以在上单调递增, 所以, 所以, 所以在上单调递增, 所以在上有最大值, , 所以的取值范围为. 证明: (2),即, 整理为, 令, 则,所以在上单调递增, 不妨设,所以, 从而, 所以,所以, 下面证明, 即证明. 令,即证明,其中,只要证明, 设,则, 所以在上单调递增, 所以, 所以, 所以, 所以. 5.已知函数. （1）讨论函数的单调性. （2）若是方程的两不等实根，求证:. 解: (1) 由题意得, 函数的定义域为. 由得: , 当时, , 在上单调递增; 当时, 由 得, 由 得, 所以在上单调递增, 在上单调递减. （2）证明: 因为是方程的两不等实根, ， 即是方程的两不等实根, 令,则 即是方程的两不等实根. 令,则 所以在上递增,在上递减, 当时, ; 当 时, 且 所以, 即 令 要证, 只需证 先证, 令, 只需证, 只需证, 令, 所以在上单调递减 所以. 因为,所以, 所以,即,所以. 3.4.4 拐点偏移 知识点梳理 1.拐点指函数图像凹凸性改变的点，若函数的二阶导数在某一点左右异号，那么该点即为函数图像的拐点，即若函数在定义域内连续且二阶可导，且，则是函数的一个拐点. 2.（1）若函数图像在拐点两侧的变化速度相同，那么函数图像关于拐点中心对称，这种称为拐点不偏移.即若，有，则拐点不偏移. （2）若变化速度不同，则图像会出现偏移，我们把这种称为拐点偏移. ①若，有，则拐点左偏. ②若，有，则称拐点右偏. 3.解此类问题和极值点偏移相似，相当于前面所讲对称化构造，而且一阶导极值点右偏（左偏）对应拐点右偏（左偏），偏移方向是相同的，所以一般的解题步骤如下： （1）讨论函数单调性，也就是讨论. （2）求解函数拐点，即令求出拐点. （3）构造函数，证明恒成立. （4）得出结论. 典型例题 例1.已知函数. （1）求的最小值. （2）若是两个不相等的正数，且，证明：. 解：(1)对已知函数求导,得: (2)证法一:由(1)知, 则单调递增, 且.不妨设， 要证明, 只需要考虑时情况, 即证明： 因为,因此证明： 构造函数：， 其中 , 令. 由不等式 知 . 命题得证. 随堂演练 1.已知函数,若正实数满足.证明：. 解：设 若， 即证:. 设 , 则== ∵. 2.已知函数，其定义域为. （1）求函数的单调递增区间. （2）若函数为定义域的增函数，且，证明：. 解：（1）， ① 若, 由,得, ∴函数的单调递增区间是; ② 若, 由,得或，∴函数的单调递增区间是和; ③ 若, ，∴函数的单调递增区间是; ④ 若,由, 得或,∴函数的单调递增区间是和. 综上, 若,函数的单调递增区间是; 若,函数的单调递增区间是和; 若,函数的单调递增区间是; 若,函数的单调递增区间是和. （2）函数为定义域上的增函数,由(1)可知,,∴. ∴ ∴. 不妨设,欲证,只需证, 即证, 又只需证, 即证. 令,只需证, ∴, ∴. ∴. ∴. ∴. ∴单调递增,即,从而得证. 3. （1）若为上的增函数,求的取值范围; （2）若,且,证明:. 解：（1），若在上为增函数，则恒成立， 即恒成立.设，则. 当时，；当时，. 在 上单调递减，在上单调递增. ，故.实数的取值范围为. （2）证明：若，由(1)知在上单调递增. 由于，已知，，不妨设. 设函数，.. 则. 则. 设，则. 由于，故在上为增函数. . 在上为减函数. . . 而在上为增函数. ，故，从而，即. 4. 已知函数. （1）求的单调区间; （2）若存在,使得,求证:. 解：（1） 令, 则,解得. ∴ ∴ ∴时,函数取得极小值即最小值, ∴ ∴函数在上单调递增. （2）， ， ， ， ， ， ， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题3.4导数之极值点偏移 3.4.1极值点偏移-对称化构造 知迟点梳理 1.极值点偏移：是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函 数图像没有对称性. 若函数y=f(x)是连续函数，在区间X1,X2内有且只有 一个极值点xo,且f(x1)=f(x2),若极值点左右的“增减速度” 相同。常常有极位点×之，琳这种状态为极植点不偏移 (二次函数，如图1所示)：若极值点左右的“增减速度”不 图1 同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点X, X+X2的情况，这种状态称为“极值点 偏移” 图2 图3 图 2.(1)极值点偏右（如图2、图3所示）：X1+X2<2xo,X= +X处切线与x轴不 2 平行：若f(x)上凸fx递减》，则f)>f'x=0.若(x)凸f"道 塔，则rfx=0 (2)极值点偏左（如图4、图5所示）：X,+X>2X,X=Xx处切线与r轴不平 2 行：花f(x)上f'x遂减)：则r产<'x=0,zf(x)下nf速 m),则fr3>f=0 3.常见题型解决方法 (1)若需要判断x1+X2与2x的大小关系，则就需要判断X2与2x,-X的大小关系， 也就需要判断f(x2)与f(2x-x1)的大小关系.而f(x1)=f(x2),因此就需要判断 1 f(x1)-f(2x。-x1)与0的大小关系，于是就构建函数gx=f(x)-f(2x。-x),再分析 函数gx的单调性即可. 心)者需发新X飞y与X的大小关系则我青要判断，与的大小关系。也就需 断(x)与f()的大小关系。而(x)f(x).因此就需要判断f(x)-f 0的大小关系，于则需要构建函数gx=f(x)- 再分析函数的gX单调性即可. X 典型例题 列1.已知函数f(x)Fnx+xx.若f(x)(f(x)为f(x)的导函数)，方穆 f(x)=m有两个不等实根X1、X2,求证：X1+x2>2xa: 2 例2.已知函数f(x)=x-alnx,a∈R. (1)研究函数f(x)的单调性 (2)设函数f(x)有两个不同的零点X1、X2,且X1<x2. (i)求a的取值范围；(i)求证：x1X2>e2 随堂演练 1.已知函数f(x)=e-ax有两个不同的零点x1、X2. (1)求a的取值范围. (2)求证：X1+X2>2. 3 2.已知函数f(x)=1-e 1+x2 (1)求f(x)的单调区间： (2)证明：当f(x1)=f(x2)（x1≠x2）时，x1+X2<0 3.已知函数f(x)=￡-1nX+x-a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围： (2)证明：若f(x)有两个零点X1,X2,则x1X2<1. 4 4.已知函数f(x)=(x-2)e+ai有两个零点. (1)求a的取值范围； (2)设x1,X2是f(X)的两个零点，证明：X1+x2<2. 5.已知函数f(x)=x-lnx-a有两个不同的雾点x1,X2. (1)求实数a的取值范围； (2)求证：x1+X2>2. 6.已知函数f(x)=x(1-lnx). (1)讨论f(x)的单调性： (2)设a,b为两个不相等的正数且blna-alnb=a-b,证明：2<士+<e, a b 6 3.4.2极值点偏移-比值或差值换元 知迟点梳理 比值或差值换元的一般步骤： (1)根据f(X1)=「(x2)写出等式（等量关系中如果含有参数，可考虑消参：如果含有 指数式，可考虑两边取对数). (2)根据函数形式预选比值t=X或差值(=X,一X,(或均值、差值组合). X (3)利用原等式解出X1,X2关于t的表达式（可能显式或隐式含参） (4)将待证环等式用表示. (5)构造关于t的单变量函数利用导数证明. (6)注意定义域的范围（由X,≠X2及大小关系得t>1或0<t<1等）. 典型例题 例1.已知函数f(x)=xex(x∈R)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明：x1+x2>2, 例2.已知函数f(N=lnX-aXa为常数若函数f(x有两个零点x,x,试证明x X2>e2 7 例3.已知函数f(x)=x(1-lnx) (1)讨论f(x)的单调性： (2)设a,b为两个不相等的正数.且b1na-alnb=a-b,证明：2<士+<e. a b 随堂演练 1.已知函数f(x)=aln(x+2)-x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性和最值， 2)若关于x的方程e-1nX+2m>0)有两个不等的实数根x1,水求证： e*+e2 m 8 2已知强数f=as1nx+品aa≠0。 (1)讨论f(x)的单调性， (2)若函数f(x)有两个零点x,x且x<x,证明：X十X,> 10 3.已知函数fW)=。六+lnx-a此，其中e为自然对数的底数 (1)当a=1时，求f(x)的单调区间： 2)若雨数gx=fW)-。有两个5点X,名x不，证明：Xx刘>e 9 4.已知函数f(x)=lnx-ax+b(a,b∈R)有两个不同的零点x1,x2: (1)求f(x)的最值. (2)证明xX,京 5.已知函数f(x)=1-lnx-a(a∈R). (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有两个零点x1,X2,且x1<x2,求证：x1x2<e-a. 10