专题3.4 利用导数研究恒(能)成立问题讲义+巩固训练-2026年新高考数学大一轮复习

null 专题3.4利用导数研究恒(能)成立问题 一、单选题 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·模拟预测）对，不等式恒成立，则最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 5．（2025·全国·模拟预测）若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·重庆·模拟预测）如果函数在区间D上有定义，且对，，均有，则称D为的“平稳区间”.已知函数有“平稳区间”，则a的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，不等式的解集是且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数有1个极值点 B．函数的对称中心是 C．当时恒成立，则的最小值是 D．当恒成立，则 10．（2024·江西·一模）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 13．（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ． 14．（2025·四川成都·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 15．（2025·全国·模拟预测）设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 16．（2025·全国·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为 . 17．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为 ． 四、解答题 18．（24-25高三上·云南临沧·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数在上的最小值和最大值； (2)是否存在实数，对任意的，且，都有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 19．（2025·湖南·三模）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 20．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 21．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 22．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 23．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 24．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值； (3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 25．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 利用导数研究恒（能）成立问题 题型1 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题 3 题型2 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题 10 题型3 最值法解决不等式恒（能）成立问题 16 题型4 同构法解决不等式恒（能）成立问题 20 题型5 端点效应解决恒成立问题 27 题型6 双变量的恒（能）成立问题 31 一．分离参数法 分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法. 类型一 （1）满足，恒成立，则在区间上 （2）满足，恒成立，则在区间上 类型二 （3）满足，能成立，则等价于在区间上 （4）满足，能成立，则等价于在区间上 类型三 （5），满足，恒成立，则在区间上 （6），满足，能成立，则在区间上 类型四 不同变量的恒成立问题 （7）满足，，恒成立，则在区间上 （8），满足，，恒成立，则在各自区间上. 二．分类讨论法 对于分类讨论法,常见有两种情况: (1)先利用综合法,结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件,确定分类讨论的标准,分类后,判断不同区间函数的单调性,得到最值,构造不等式求解; (2)直接通过导函数的式子,看出导函数值正负的分类标准,通常导函数为二次函数或者一次函数. 三．双变量的恒(能)成立问题,常转化为求两个函数的最值之间的比较. 一般地,已知函数,,,. (1)若,,总有成立，故 (2)若,,有成立，故 (3)若,,有成立，故 (4)若,,有成立，则的值域是值域的子集. 四．端点效应 端点效应法是一种必要性探路法，是指对某些与函数有关的恒成立问题，通过选取函数定义域内的某些特殊值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内进行讨论，或去验证其充分性，进而得到参数的准确范围的方法. 1.如图(1)，如果连续函数在区间上单调，恒成立，则且. 2.一阶端点效应：如图(2)，如果连续函数在某一点处的函数值恰好为零，则当时，成立的一个必要条件为端点处的导数值.因为如果，那么函数会在右侧的一个小区间内先单调递减，此时函数在时不恒为非负值，不满足要求，如图(3). 这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应. 类似地，如果连续函数在某一点处的函数值恰好为零，当时，成立的一个必要条件为处的导数值. 3.二阶端点效应：如图(4)，如果连续函数在区间上，恒成立，且，，则. 端点效应的核心思想是必要性探路，充分性护航.我们在解决一类恒成立问题时，可以利用端点处需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而往往得到的范围即为所求，再去做充分性论证即可. 五．同构法解决不等式恒(能)成立问题 在不等式恒(能)成立求参数的取值范围问题中，如果不等式中同时含有和 两种形式的函数，可以考虑将不等式进行合理的转化、变形、拼凑，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒(能)成立问题，从而解决问题，这种解题方法通常称之为“同构”. 指对同构的常用形式 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. (2)商型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. (3)和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 题型1 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与y轴垂直，求函数的单调区间； (2)若对成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】（1）先根据题意得到的定义域及，再根据即可得到的值，进而根据的正负可得到函数的单调区间； （2）先根据题意分离参数，再构造函数，进而通过求导分析其单调性即可得到的取值范围． 【详解】（1）依题意得的定义域为，， 由曲线在点处的切线与轴垂直， 则，得， 所以， 当时，，，则； 当时，，，则， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由得， 令， 则， 令，得， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 所以，即． 故的取值范围是． 2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出导数，解不等式得到的增区间，解不等式得到的减区间； （2）分离参数后构造函数，利用导数研究其最值即可求解恒成立问题. 【详解】（1）依题意，，， 由得． 当时，． 令，得，， 故当时，， 故当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增；在单调递减；在单调递增． （2）令，因为，所以，故， 令，则， 令，则， 易知为减函数，则在[2，4]上，， 故在[2，4]上单调递减， 则， 故，在[2，4]上单调递减， 故， 故实数λ的取值范围为． 3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数为自然常数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值； (3)在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论、并根据导数符号确定区间单调性，结合已知区间及函数的最值求对应参数，即可得. （3）问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则，故，， 所以函数在处的切线方程为， 整理得； （2）由题设且， 当时，，即在上单调递减， 此时，在区间上有最小值，可得； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，不符合； 综上，； （3）由题设且， 对于，有，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立，则在上恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 故，易知在上单调递增，且， 所以时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 综上，. 4．（2025·江西新余·模拟预测）设函数. (1)若，求的单调区间； (2)若，当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论，当时，解不得等式即可求得单调区间； （2）将题意转化为不等式在上恒成立，当时，不等式显然成立；当时，参变分离得在上恒成立，令，多次求导判断单调性，进而求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意得. ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式显然成立，此时； 当时，即在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，注意到， 所以当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在时取到最小值为， 所以，所以， 综上，的取值范围为. 5．已知函数. （1）若，求函数的单调区间及极值； （2）当时，函数（其中）恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，减区间为，（2） 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】(1)求出时及,由导数大于0,可得增区间,由导数小于0,可得减区间; (2)令,恒成立可变形为,对恒成立.方法一:令,取必要条件,解得,只要证明当时,对恒成立即可;方法二:上式继续变形为:对恒成立,设,因此,故而求出即可得出结论. 【详解】解:(1)当时,,此时, 当,;,, 所以函数的单调增区间为,减区间为, 所以有极大值,无极小值; (2)方法一:即恒成立, 令,即,上式可变为, 即对恒成立, 令, 取必要条件,解得, 下证当时,对恒成立, , 因为,所以在单调递增, 由于,, 所以在存在唯一零点, 所以在存在唯一极小值点, 此时,即, , 由于,可得,, 所以恒成立,即对恒成立, 综上可得的取值范围为. 方法二:即恒成立, 令,即,上式可变为, 即对恒成立, 即对恒成立, 设,则, 可知在单调递增,在单调递减, 因此, 所以,解得, 即的取值范围为. 【点睛】本题考查了导数的综合应用,解题需要一定的计算和推理能力.在解决恒成立问题时,一般会对式子进行变形,利用转化思想变成相关的最值问题. 题型2 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题 6．定义在上的关于的函数． （1）若，讨论的单调性； （2）在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）在上，单调递减；在上，单调递增；（2）． 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）直接解和即可得到的单调性； （2）分类讨论：先判断，不合题意﹔当时，利用导数讨论单调性，求出的取值范围；当，利用导数讨论单调性，求出的取值范围； 【详解】（1）， 时，， 在上，，单调递减﹔ 在上，，单调递增． （2）由（1）， 若，在上，，单调递增，，不合题意﹔ 若， 在上，，； 在上，，， 由题意，， 若， 在上，，单调递减， 则在上，符合题意， 综上所述，． 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数． (1)当时，写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由． (2)设，当时，，求的取值范围． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求曲线在点处的切线方程，进而求得另一条切线方程； （2）令，即当时，即可，利用导数研究单调性，验证即可求解. 【详解】（1）两条切线方程可以是，（答案不唯一）． 理由如下：当时，函数的定义域为，， 令，，，曲线在点处的切线方程为； 由题意，另一切线与直线垂直，则其斜率为-1， 令，解得，， 曲线在点处的切线方程为，整理得． （2）令，由题意，当时，． ，由，得或， 若，则，当时，，单调递增， ，不合题意； 若，则，单调递减，，不合题意； 若，则，当时，，单调递减，此时只需，解得，满足题意． 综上，的取值范围为． 8．（2025·新疆喀什·二模）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分，，三种情况分析求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值. （2）由，， 则， 当时，，此时，函数在上单调递增， 则，即； 当时，， 则时，；时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，与矛盾，不符合题意； 当时，，此时，函数在上单调递减， 则，即恒成立，符合题意. 综上所述，的取值范围为． 9．（2025·河北保定·一模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题得2a）， 当时，，不符合题意； 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 由 得，解得； 当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由， 得，解得. 综上，的取值范围为. 10．（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)和； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，令，即可求出的单调递增区间； （2）分，，三种情况讨论在上的单调性，借助导数及单调性分别求出在上的最小值，令，即可求出实数a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为． 当时，， ， 令，解得或， 所以的单调递增区间为和； （2），， 令，解得或， 当时， 当时，，在单调递增； 因为对恒成立，所以， 即，移项可得， 因为，所以满足条件； 当时， 当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以当时，取到最小值，即， 因为对恒成立，所以， 即， 令，所以， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 又因为，且，所以． 综上，实数a的取值范围为． 题型3 最值法解决不等式恒（能）成立问题 11．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可. 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 12．（2025�河北邯郸�一模）设函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）当时，求得，进而得到函数的单调区间； （2）先求得，利用导数求得函数单调性，得到函数的极小值（最小值），也是最小值，结合恒成立，得出不等式，，即可求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，函数，其定义域为， 则， 令，解得， 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）解：由函数，可得的定义域为， 则， 因为， 则当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，也是最小值， 要使得恒成立，则，解得， 所以的取值范围为. 13．（23-24高三上�江苏常州�开学考试）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)设，若不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性； （2）结合（1）可得，令，利用导数解不等式即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，的单调减区间为，无单调增区间； 当时，的单调减区间为，单调增区间为． （2）当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为． 因为不等式对恒成立，所以． 设， 则的定义域为，且恒成立， 可知：在上单调递增． 因为，所以， 即，可得，即． 综上所述：的取值范围是． 14．（2025·湖北·模拟预测）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式即可得解； （2）设，利用二次求导，可求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 由， 所以切线斜率， 故切线方程为. （2）设，的定义域为， ， 设， 则， 故在单调递减，即在单调递减， 又， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 因此， 所以的取值范围是. 题型4 同构法解决不等式恒（能）成立问题 15．已知函数. (1)试求函数的极值； (2)若存在实数使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案详见解析 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的极值. （2）化简题目所给不等式，结合（1）的结论，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1）. ①时，函数在上单调递增，不存在极值. ②时，由得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ∴，无极大值. （2）由题意可知：， ∵，∴. 由（1）可知时，函数在上单调递增，则存在，，即. 令，则，有，时，，单调递减， 时，，单调递增，∴，∴. 【点睛】利用导数研究函数的极值，首先要利用导数研究函数的单调区间，在求得函数的定义域和导函数后，如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准制定可根据导函数的结构来决定. 16．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、函数极值点的辨析 【分析】（1）先根据函数的极小值为，求得a，再利用导数的几何意义求解； （2）由（1）知：得到在上递增，再将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，令，求得其最大值即可. 【详解】（1）因为函数， 所以，显然， 因为函数的极小值为， 所以，解得， 此时当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故极小值为，满足要求， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由（1）知：当时，， 所以在上递增， 因为存在，使得成立，即， 所以存在，使得成立， 所以存在，使得成立，即成立， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，则实数b的取值范围是. 17．（2025·河北·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，则实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程； （2）利用同构得，构造函数，利用导数讨论其单调性后可得即，再结合导数可求最小值. 【详解】（1）时，，， 得，所以， 得在点处的切线方程为. （2）由题意对恒成立.得， 所以，即， 构造函数，，在上恒成立， ， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，则，而与1的大小不定， 但本题求实数最小值，只需考虑为负数的情况存在与否， 故此时.又因为在区间单调递减， 故在上恒成立，两边取对数得：，， 即在上恒成立， ，则， 令得，令得：， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，即，故的最小值是. 18．已知函数，． (1)若曲线在处的切线斜率为1，求的值； (2) 若时，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可； （2）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据最小时为负确定单调性区间，最后求出的最小值. 【详解】（1）， 依题意，，解得． （2） ， 构造函数，则． 而， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 而当时，，与1的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时． 因为当时，单调递减，故， 两边取对数得，，所以， 令，则， 令得，，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 故a的最小值是． 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）对函数求导后分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出其单调区间， （2）由，得，令，则有对恒成立，判断出在单调递增，则转化为对恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，从而可求出实数a的取值范围. 【详解】（1）依题意，得. 当时，，所以在单调递增. 当时，令，可得； 令，可得， 所以在单调递增，在单调递减. 综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）因为当时，，所以， 即， 即， 即. 令，则有对恒成立. 因为，所以在单调递增，           故只需， 即对恒成立. 令，则，令，得. 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 因此，所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，构造函数，则对恒成立，再利用函数的单调性进一步转化为对恒成立，再次构造函数，利用导数可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题. 题型5 端点效应解决恒成立问题 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，解不等式，即可； （2）令，根据即可得出，再检验的合理性即可. 【详解】（1）当时，，则且， 由，得或；，得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题知，令，则， 因当时，恒成立，且， 则必有，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，a的取值范围为. 21．（2025·全国·模拟预测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，令，根据导数求得最小值后可得，即可求得的单调区间； （2）求导，要使当时，成立，则，再分，，三种情况，结合导数证明即可. 【详解】（1）当时，的定义域为， ，显然， 令，， 则，令，则， 当时，，所以在区间上单调递减； 当时，，所以在区间上单调递增， 所以，即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由，， 则，因为， 所以要使当时，，则必须满足，即． 下面证明：． 当时，， 令，， 由（1）知，在上单调递增， 所以，即当时，； 而当时，令，， 则，故在上单调递增， （ⅰ）当时，，， 所以存在，使得， 又在上单调递增， 所以当时， 即在上单调递减，所以； （ⅱ）当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 22．（2025�北京海淀�三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的减区间为,增区间为 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数即可判断单调区间； （3）构造函数对任意恒成立，据此根据导数求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，又， 所以曲线在点处的切线为； （2）当时，， 所以， 令，则， 所以在单调递增，且， 所以当时，，则，函数单调递减， 当时，，则，函数单调递增， 所以函数的减区间为，增区间为； （3）设， 则， 因为时，所以为增函数， 又在上都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 当即时，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以时，符合题意； ②当即时，，又， 当即时，恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 此时不符合题意； 当即时， 存在，使得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 题型6 双变量的恒（能）成立问题 23．（24-25高二下�江苏南京�期末）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的最小值； (2)若函数，对，，使成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2). 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据在区间上单调递增得出恒成立，再结合二次函数单调性计算求参； （2）把不等式关系转化为，求出导函数得出，再分类讨论得出，最后列式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为函数在区间上单调递增，所以， 所以恒成立， 单调递增，所以，所以； （2）函数，对，，使成立， 所以， 函数， 当单调递减，所以， 因为，所以， 因为单调递增，所以， 当时，所以，所以单调递减，所以，所以，，所以； 当时，， ，所以单调递减，，所以单调递增， ，所以最大值是中较大的，所以且， 所以， 当时，所以，所以单调递增，所以，所以，，所以无解； 综上得：. 24．（2025·江苏盐城·三模）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）先求的导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性； （3）利用导数法分别求解在给定区间的最小值，然后根据“恒成立”和“能成立”得到关于的不等式，再次利用导函数求单调性结合特殊点函数值解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以所求切线的斜率为，又， 所以切线方程为，即； （2），则函数定义域为， 所以，所以当时，有恒成立，在单调递减， 当时，由解得：，在上单调递减； 由解得：，在上单调递增； 综上，时，在单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，则 所以在上单调递减，所以， 则有，即， 设，，则， 所以在定义域内为减函数，又， 所以，所以，即的取值范围是. 25．（2025·江苏南京·二模）已知函数,. (1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； (2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1个 (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求切线方程，再联立方程，化为单变量方程，分析单调性和极值点，判断交点个数； （2）利用函数在区间内的最大值与最小值之差，考虑极值点和端点，列不等式，解出的取值范围. 【详解】（1）当时，，其定义域为. 因为，所以. 所以曲线在处的切线方程为，即. 联立方程可得，. 设，，求导得. 所以在上单调递增. 又，所以有且仅有一个零点，所以直线与曲线的公共点个数为1. （2）对函数求导得，令，可得. 分情况讨论，①当时，即，此时在区间上单调递增， 则，解得. 又，所以. ②当时，即，在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，，， 当最大时，即，解得. 此时，，而恒成立. 所以，满足题意. 当最大时，即，解得. 此时，即. 设，，， 所以在上递减，故，所以，满足题意. 综上，. ③当时，即，在区间上单调递减， 此时. 若其成立，则，与条件相矛盾，所以该情况下不等式不能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. 26．（2025·湖南长沙·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； (2)当，在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若，对任意且，不等式成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)12 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由函数的单调区间求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义，得到，即可求解； （2）首先求函数的导数，求出函数的单调区间，再列出不等式即可求得结果； （3）因为，求出函数的导函数，设，即可将问题转化为恒成立，设函数，求导找出单调性即可求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为曲线在处的切线的与直线，则，解得； （2）因为，所以，定义域为， 求导可得， 令，得到：或（舍去），得在上单调递增， 令，得到：，故在上单调递减， 要使得在区间上不单调，则， （3）因为，所以，所以函数在上单调递增， 因为，不妨设，则 因为，所以， 即恒成立， 设， 若，则是上的常函数，显然不成立， 若，则是上的减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 又函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）. 综上，，即的最小值为12 一、解答题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】判断或证明函数的对称性、简单复合函数的导数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解； （2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解； 法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析. (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 6．（2020·山东·高考真题）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 7．（2020·全国I卷·高考真题）已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：特值探路 当时，恒成立． 只需证当时，恒成立． 当时，． 只需证明⑤式成立． ⑤式， 令， 则， 所以当时，单调递减； 当单调递增； 当单调递减． 从而，即，⑤式成立． 所以当时，恒成立． 综上． [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立， 所以时，满足题意. 综上，. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究； 方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性； 方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！ 8．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）；（II）证明见解析；（III） 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、函数极值点的辨析 【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4利用导数研究恒(能)成立问题 一、单选题 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导数，问题转化为，或求解. 【详解】函数，求导得， 由函数在区间上单调，得，或， ①，，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 于是，因此； ②，，由①得， 所以的取值范围为. 故选：B 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、利用导数研究能成立问题、由函数奇偶性解不等式 【分析】分析可知函数为奇函数，且在内单调递减，根据题意可得原题意等价于不等式在上有解，构建，利用导数求其最大值即可得结果. 【详解】因为，可知的定义域为， 且， 可知函数为奇函数， 又因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 可得在内单调递减，可知在内单调递减， 若， 即，可得，且，即， 原题意等价于不等式在上有解， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．（2025·广东广州·模拟预测）对，不等式恒成立，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数，利用导数求出，再构造函数，利用导数求出的最大值可得答案. 【详解】令，则， 当时，， 当时，，在上单调递增， 无最值，当时，,此时不恒成立. 当时，令，得， 时，，在上在单调递增， 当时，，在上单调递减， 可得， 所以，， 令，则， 由得，单调递增， 由得，单调递减， 可得，所以最大值为. 综上所述，所以最大值为. 故选：C. 4．（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【详解】因为，即， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. 故选：C. 5．（2025·全国·模拟预测）若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先证明时，对任意，满足恒成立，当时，将不等式变形为，设，，利用导数判断函数的单调性，由条件结合单调性可得恒成立，设，利用导数求函数的最小值，由此可得结论. 【详解】若，则对任意，，，， 所以对任意，不等式恒成立， 若，则， 不等式可化为， 故，即， 由已知在恒成立， 令，，则，恒成立， 因为时，， 所以函数在上单调递增，又，， 所以恒成立，其中，， 即恒成立． 令，， 所以在上单调递增，则， 所以． 综上可得， 故选：B． 6．（2025·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】当时，，所以不符合题意； 当由，即， 令，， 所以在上单调递增， ，即， 在上恒成立， ，令， ， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 即， , 故选：B. 7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】利用导数求得在区间上的值域，求得在区间上的值域，由此求得的取值范围. 【详解】对于，， 所以在区间上单调递增，， 所以当时，的值域为. 对于，， 若，则，不符合题意. 若，则，所以在上单调递增， 所以当时，的值域为，符合题意，D选项正确. 当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ，而当时 所以当时，的值域为，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数可求解函数在区间上的值域，求解恒成立问题或存在性问题，可将问题转化为求解函数值域问题来进行研究.如果导函数含有参数，在研究函数的过程中，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 8．（2025·重庆·模拟预测）如果函数在区间D上有定义，且对，，均有，则称D为的“平稳区间”.已知函数有“平稳区间”，则a的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】先根据题意将题设问题等价转化成存在“平稳区间”D，对任意有，再利用导数工具分和两种情况结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】由题可得函数有“平稳区间”，设为D， 则对，，均有，即对任意，均有， 所以函数存在“平稳区间”D，对任意有， 又，所以对任意，， 当时有，故函数有“平稳区间”，符合； 当时，函数有最值， 要使函数存在“平稳区间”，则或， 解得或. 综上，满足题意的a的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，不等式的解集是且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数有1个极值点 B．函数的对称中心是 C．当时恒成立，则的最小值是 D．当恒成立，则 【答案】BD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数图象及性质、求已知函数的极值 【分析】根据不等式的解集与方程的解之间的联系求得，结合导数和极值点的概念即可判断A；根据函数的对称性验证即可判断B；根据函数的单调性可知时，与矛盾判断C；将恒成立问题转化为恒成立，当时，；当时，转化为恒成立，构造，利用导数法研究其最小值即可判断D. 【详解】对于A：因为不等式的解集为且， 即不等式的解集为且， 所以方程的根为和（二重根）， 得，即， 所以，则，得， 令，或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，是的极小值点，即函数有2个极值点，错误； 对于B：由选项A知， 则， 所以，即函数的对称中心是，正确； C：由选项A知在上单调递增， 且，若的最小值是， 则时，而，所以不满足恒成立，错误； D：由选项A知， 当恒成立，即恒成立， 当时，原不等式显然成立，此时； 当时，转化为，则， 记，得， 记， 则，所以在上单调递增， 又，所以当时，， 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，所以，综上，正确. 故选：BD 10．（2024·江西·一模）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BCD 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案. 【详解】因为， 所以， 即函数的图象关于直线对称. 当时，为增函数； 令，则， 时，，，所以，所以为增函数， 所以当时，为增函数. 由对称性可知，当时，为减函数. 因为恒成立，所以恒成立， 即，解得. 故选：BCD. 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】ACD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题知不等式恒成立，过点作曲线的切线，求出两条切线斜率即可得解. 【详解】 由题知，不等式恒成立，设，， 即直线恒在函数图象的上方，直线恒过点，，当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当时，，，当时，， 在同一坐标系中作出函数与直线的图象， 设直线与函数的图象相切时切点为，，解得或； ∴当直线与函数的图象相切时切线斜率为2或，由图知，， 故选：ACD． 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据题意得，令，求导求最值即可. 【详解】由已知在上恒成立， 所以在上恒成立， 故，其中， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故.所以的取值范围是. 故答案为：. 13．（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】将问题转化为不等式在上能成立，利用导数研究函数的单调性求出即可. 【详解】由，得， 即不等式在上能成立. 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 14．（2025·四川成都·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将不等式同构为，根据函数的单调性可得，分离参数得到，利用导数可求得函数的单调性，进而求得的取值范围. 【详解】由不等式得：， 即， 令，则， 函数在上单调递增，，， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递增， ，即恒成立； 当时，若，则；若，则； 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，； 综上所述：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用同构法求解恒成立问题，解题关键是能够将已知不等式同构为同一函数的两个函数值的形式，进而利用函数单调性得到自变量的大小关系. 15．（2025·全国·模拟预测）设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题可得，构造函数，由其单调性可得，然后由单调性可得答案. 【详解】由题意当时，因为实数，所以成立， 当时，, ， 令0， 所以在上为增函数， 则. 即对，不等式恒成立， 则． 令， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 综上可得，的取值范围为． 故答案为： 16．（2025·全国·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，结合题设可得函数在上单调递增，再利用单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】由，， 则， 由，且，满足，则函数在上单调递增， 又，则恒成立， 令函数，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 17．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为 ． 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题 【分析】利用同构法先把不等式化为，构造函数，利用函数单调性，转化为，再分离参数得，再求函数的最大值即可. 【详解】由， 又，所以. 设，则， 所以在上单调递增. 所以（）. 设（），则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为存在正实数x，使得不等式成立，所以. 即的最大值为：. 故答案为： 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题 18．（24-25高三上·云南临沧·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数在上的最小值和最大值； (2)是否存在实数，对任意的，且，都有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)最小值为，最大值. (2)存在，. 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）将代入函数解析式，利用导函数分析函数的单调性，可得出最小值，再通过作差法比较端点值的大小确定最大值； （2）假设存在实数，由可得函数在上单调递增，利用导函数表示函数的单调性，结合分离参数法可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，. 则. ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增. ∴当时，取得最小值，其最小值为. 又， ∴，∴. （2）假设存在实数满足条件，不妨设， 由，知成立， 令， 则函数在上单调递增， 则，即在上恒成立， 则即， 故存在这样的实数满足题意，其取值范围是. 19．（2025·湖南·三模）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）求导得函数的单调递增区间，由此即可列出不等式求解； （2）求导得函数单调性，进一步得极值点，由此即可列方程求解； （3）首先求得，从而问题可以转换为存在，使得，故只需，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 20．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究能成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间； （2）转化为，，进而可得a的取值范围. 【详解】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 21．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）对函数求导，由求参数，进而研究函数的单调区间； （2）问题化为在上能成立，利用导数求的最大值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，且，即， 所以，当时，当时， 所以的递减区间为，递增区间为，即处取得极小值，满足， 综上，，的递减区间为，递增区间为； （2）由题设，即在上能成立， 令，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则. 22．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论导数正负即可得解； （2）分离参数得对恒成立，再设，求导后对分子因式分解，再设新函数求导，最后得到右边最值即可得到答案. 【详解】（1）定义域为，， ①当时，恒成立，故在上单调递增； ②当时，令有，解得，又， 令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题， 所以恒成立等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 即在上单调递增，故， 令有， 当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增， 则为唯一的极小值点，也是最小值点， 故，从而， 因此实数的取值范围为. 23．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案． 【详解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 24．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值； (3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用函数求导，根据参数分类讨论即得函数的单调性； （2）设切点为，根据导数的几何意义，推得，设，通过求导判断其单调性，结合求得，回代即可求出的值； （3）法一：利用变量分离将不等式化成，设，利用求导判断其单调性，推出当时，，即得参数的范围；法二：运用必要性探路、证明其充分性，利用函数的单调性进行验证即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 因，令， 当时，在上单调递增， 则，故，此时函数在上单调递增： 当时，由，可得， 由，可得， 故当时，则函数在上单调递增； 当时，则函数在上单调递减. 故当时，在上单调递增，无减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为是的切线，设切点为， 则，即 ①， 又，即 ②， 由②①并整理得：， 令，则，由可解得， 则当时，，则在上单调递减， 当时，则在上单调递增， 当，且， 则方程有唯一解为，将代入①式，可得. （3）法一：由，可得，化简得， 设，可得， 设则因在上递增， 当时， 则在上递减，即有， 即，故在上递增； 当时，，由，可设， 若，可得在上递减， 可得，则， 故在上递减，即； 当，且时， 所以当时，，即，即的取值范围是. 法二：必要性探路、证明充分性 由，化简得：， 即恒成立， 恒成立，则， 则， 令，则， 设，则在恒成立， 则在上单调递增，又， 则由，由， 在上单调递减，在上单调递增， ，即恒成立， 实数的取值范围. 25．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）对函数求导，根据参数的取值，分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性； （2）求导得，设，得函数在上单调递增，利用零点存在定理，得到存在，满足，推得的单调性，即得 ，从而证得结论； （3）由转化为，设，求得，再设，判断其单调性得到，即得参数的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 当时，，即函数在上为增函数； 当时，由，解得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上为增函数； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）因函数的定义域为，， 令，则， 即函数在上单调递增，当时，，且， 故存在，使，则得. 当时，，即，故函数在上单调递减； 当时，，即，故函数在上单调递增. 故， 因，故得，即，故. （3）由可得，即， 设，则，故函数在上单调递增，则. 再设，则， 当时，，故函数在上单调递减； 当时，，故函数在上单调递增， 故，故得，即的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $