1.3 直角三角形 (第1课时 直角三角形的性质与判定)（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

3.直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 第一章 三角形的证明 学 习 目 标 1 2 会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。 能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。 3 通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明。 情景引入 我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？ 性质：直角三角形有一个角是直角，两个锐角互余. 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形. 新知探究 问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？ 根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”. 如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 新知探究 A B C 如图，在△ABC中，∠A+∠C=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°， 又∠A+∠C=90°， ∴∠B=90°。 于是△ABC是直角三角形。 定理1 直角三角形的两个锐角互余. 定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 新知探究 几何语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90° 定理 直角三角形的两个锐角互余。 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形的判定 新知探究 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. a c b 勾 弦 股 新知探究 毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2. 证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， 新知探究 c ∵ c 2 = 4× ab + ( b - a ) 2 c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ， c 2 = a 2 + b 2， ∴ a 2 + b 2 = c 2. 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为　　 　　 ． c 2 4× ab +( b-a ) 2 赵爽弦图 c a c a c b a a b b b 新知探究 尝试交流 在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论吗？与同伴进行交流. 已知：如图 ，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形 A B C 新知探究 证明：如图作 Rt△A'B'C'， A' B' C' 使∠A'=90°，A'B'=AB，A’C' =AC， 则 A'B'2+A'C'2=B'C'2（勾股定理） ∵AB2+AC2 =BC2， ∴BC2=B'C'2. ∴BC=B'C'. ∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）. ∴∠A=∠A'= 90°. 因此，△ABC 是直角三角形. A B C 新知探究 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3) 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4) 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件． 典例分析 方法技巧 运用直角三角形的性质与判定来解题，由折叠得出边之间的关系。 例1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6cm，BC＝8cm，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( ) A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm 解析：Rt△ABC 中，AB 2 =AC 2 +BC 2 =100， ∴ AB = 10 cm. BE = AB = 5 cm. B 新知探究 观察交流 （1）观察下面的第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴进行交流。 直角三角形的两个锐角互余。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 两个定理的条件和结论互换了位置 新知探究 再观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 观察上面三组命题，你发现了什么? 新知探究 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 新知探究 尝试思考 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？ 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等。 原命题是真命题，逆命题是假命题。 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 新知探究 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 直角三角形的两个锐角互余。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 互逆定理 互逆定理 你还能举出一些互逆定理的例子吗？ 新知探究 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 直角三角形的两个锐角互余。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 互逆定理 互逆定理 你还能举出一些互逆定理的例子吗？ 典例分析 例2.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假: （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果 ab = 0，那么 a = 0，b = 0. 解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0，b = 0，那么ab = 0.原命题是假，逆命题是真. 课堂小结 1.定理 直角三角形的两个锐角互余. 2.定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 4.定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 变式训练 1.下列说法正确的是(　 ) A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题 C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D．真命题的逆命题是真命题 B 变式训练 2.在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的长。 解：在△ABC中，∠A=∠B=45°，BC=3， ∴∠C=90°，AC=BC=3。 ∴△ABC是直角三角形， ∴AB2=AC2+BC2。 ∴AB= 。 感谢聆听! $