高中数学回归教材训练小练习一 专项训练——2026届高三数学二轮复习

小练习一：回归教材训练 以教材母题变式回顾掌握每个知识点的典型类型的通性通法:（1）重点知识再现 （2）基本方法重温（3）基本技能过手 一.单选题 1. （必修二教材题）已知直线与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 2.（必修二教材题）若平面平面，且，则下列命题中正确的个数是（ ） （1）平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线；（2）平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线；（3）平面内的任一条直线必垂直于平面；（4）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二.多选题 3.（人教A版必修一P255复习参考题重组）下列结论不正确的是（ ） A.已知，则. B.钟的时针和分针一天内会重合24次。 C.已知，，则 D. 在中，，则 4. 若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有（   ） A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B．其中四个点可以构成正四面体的概率是 C．若正方体棱长为，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D．若这四点分别记为A，B，C，D，则直线与所成的角不可能为30° 三.填空题 5.（人教A版选择性必修第一册P127复习巩固T6改编）通过引入动态场景某化工企业周边的有害气体扩散边界可近似看作对称轴在坐标轴上的双曲线。已知该双曲线经过监测点，且渐近线互相垂直，则该有害气体扩散边界对应的双曲线的标准方程为 ； 渐近线互相垂直，则所求的双曲线为等轴双曲线，设所求的双曲线的方程为 ： 6.（人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6复习巩固T83（4）改编)从正方体的8个顶点中任取4个顶点，其中4个顶点可构成 个三棱锥，可构成 对异面直线 7.（人教A版选择性必修第三册P50例2）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率为 . 4. 解答题 8.(人教A版选择性必修第一册P125例5改编)动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， （1） 求动点M的轨迹． （2） 过点的直线与（1）中的轨迹交于，两点，与轴交于点，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 9.某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 学科网（北京）股份有限公司 $ 小练习一：回归教材训练 以教材母题变式回顾掌握每个知识点的典型类型的通性通法:（1）重点知识再现 （2）基本方法重温（3）基本技能过手 一.单选题 1. （必修二教材题）已知直线与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选项A中，,，得到和还有可能平行，所以错误； 选项B中，，，，不一定得到，所以错误； 选项C中，，和可能平行也可能相交，所以错误； 选项D中，由知内必有直线，因为，所以， 又因为，所以得到，所以正确． 故选：D 2.（必修二教材题）若平面平面，且，则下列命题中正确的个数是（ ） （1）平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线；（2）平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线；（3）平面内的任一条直线必垂直于平面；（4）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】（1）内存在不与垂直的直线，如内平行于交线的直线平行于，故（1）错误； （2）取平面内无数条与交线垂直的直线，平面内的已知直线与这无数条直线垂直，故（2）正确； （3）内取与平行的直线，不垂直于，故（3）错误； （4）若内的任意一点取在交线上，所作垂线可能不在平面内，所以不一定要直于，故（4）错误. 二.多选题 3.（多选题）（人教A版必修一P255复习参考题重组）下列结论不正确的是（ ） A.已知，则. B.钟的时针和分针一天内会重合24次。 C.已知，，则 D. 在中，，则 【解析】A：由，，或 .又由，得， 所以A不正确； B：分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了会和时针重合，并且是第此重合，则：；，；最后一次相遇经过了；此时，即时针和分针相遇22次；B不正确； C： ．故C正确； D：且A,B为的内角， . 当时， ， ，不合题意，舍去，， . 故D不正确.【答案】ABD 4.（多选题） 若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有（   ） A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B．其中四个点可以构成正四面体的概率是 C．若正方体棱长为，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D．若这四点分别记为A，B，C，D，则直线与所成的角不可能为30° 【解析】 如图： 对A：设，则，，所以A不正确； 对B：选项，从8个顶点中任选4个一共有种选取方式，其中能够组成正四面体有且仅有2个，，其概率，故B正确； 对C：正方体棱长为，从正方体的8个顶点中选3个，构成三角形，其中面积最大的就是象这样的等边三角形，其边长为，面积为，所以四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大的就是三棱锥这样的正四面体，其表面积为，故C正确； 对D：在正方体的8个顶点中选4个，连成两条直线，所成的角最小的就是形如直线与的所成的角，设为，则，所以，故D正确. 故选：BCD 【答案】BCD 三.填空题 5.（人教A版选择性必修第一册P127复习巩固T6改编）通过引入动态场景某化工企业周边的有害气体扩散边界可近似看作对称轴在坐标轴上的双曲线。已知该双曲线经过监测点，且渐近线互相垂直，则该有害气体扩散边界对应的双曲线的标准方程为 ； 渐近线互相垂直，则所求的双曲线为等轴双曲线，设所求的双曲线的方程为：， 将代入得：，即， 所 以等轴双曲线的标准方程：. 6.（人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6复习巩固T83（4）改编)从正方体的8个顶点中任取4个顶点，其中4个顶点可构成 个三棱锥，可构成 对异面直线 【解析】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是. 每个三棱锥有3对异面直线，共有对异面直线. 【答案】58，174. 7.（人教A版选择性必修第三册P50例2）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率为 . 【解析】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则.，且与互斥，根据题意得 ，，. 由全概率公式，得 . 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 4. 解答题 8.(人教A版选择性必修第一册P125例5改编)动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， （1） 求动点M的轨迹． （2） 过点的直线与（1）中的轨迹交于，两点，与轴交于点，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【解析】（1）设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合 由题意 . 平方得 . 展开整理得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）可知，设直线方程为， 联立消去化简整理得，， 因为直线与椭圆交于，两点，所以，即 .设交点，， 则，. 因为与轴交于点，所以不妨假设， 所以 （定值） 9.某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）零假设为：是否喜欢排球与性别无关联. 根据表中的数据，经计算得到 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联. （2）（i）由题意知， 设，所以，所以，解得， 所以， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即第次传球后球在乙手中的概率为. （ii）因为， 所以当时，的数学期望 ，即的数学期望为 学科网（北京）股份有限公司 $