精品解析：吉林省长春市第六中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025-2026学年度高一上学期期末考试 数学学科试题 时间：120分钟 分数：150分 出题人：权丽 审题人1：田萃娥 审题人2：刘妍彤 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A 7 B. 9 C. 8 D. 10 6. 若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立.若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则函数的值域为 B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 11. 已知取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.已知函数，则（ ） A. B. 若，则 C. ， D. 函数的最小值为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知，且，则______. 13. 若函数为上的奇函数，则实数__________. 14. 已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）设，，求的值； （2）已知，求； 16. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求的解析式； （2）若，求的取值集合. 17. 已知函数，. （1）求不等式的解集； （2）若，，求实数m的取值范围. 18. 已知函数. （1）求最小正周期和对称轴； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象. （i）求不等式解集； （ii）当时，若函数有零点，求实数m的取值范围. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一上学期期末考试 数学学科试题 时间：120分钟 分数：150分 出题人：权丽 审题人1：田萃娥 审题人2：刘妍彤 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解两个集合中的不等式后得到对应的集合，然后进行并集的运算即可. 【详解】由，解得，所以，由，解得，所以， 因此. 故选：B. 2. 下列函数在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性对各个选项进行检验，把满足在上为增函数的找出来. 【详解】函数在上是减函数；在上是减函数；，当时，在上是增函数；在上是减函数. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题据指数函数、对数函数和幂函数的单调性进行判断即可，注意选项C中，在上转化为再进行判断即可. 3. 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据条件求出，然后根据函数的解析式，列出不等式求得定义域. 【详解】设，∵函数的图象过点， ∴，则，∴， ∴， ∴且，即， 则函数的定义域为. 故选：D 4. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数的性质可得，求出，再利用齐次式弦化切求解即可. 【详解】对于函数（且），当时，，即， 因为点在角的终边上，所以， 于是. 故选：D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 6. 若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数，，的图象，数形结合，得到，，再结合对数的运算法则，求的取值范围. 【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象， 如图所示： 可以发现，，. 又，， 则，所以. 故选：A 7. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和与差的三角函数，结合同角三角函数的关系求解． 【详解】由，得， ，整理得， 即，由，得， 所以 故选：D 8. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立.若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得的图象关于直线对称且在上为增函数，根据对称性与单调性比较大小即可. 【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，所以， 因为，所以， 又由对任意，且，都有， 所以函数在上为增函数， 又，，， 所以，故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义判定即可. 【详解】由得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，选项A、B、C中数值符合. 故选：ABC. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则函数的值域为 B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由函数的图象，可得，且， 所以，又，所以，所以， 又由， 则，可得， 因为，可得，所以. 对于A：由，则，所以， 即函数的值域为，故A正确； 对于B：因为， 所以点是函数的图象的对称中心，故B正确； 对于C：当，则，因为在上不单调， 所以在区间上不单调，故C错误； 对于D：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到为偶函数，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.已知函数，则（ ） A. B. 若，则 C. ， D. 函数的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，计算可判断A、B；利用基本不等式可以判断C、D. 【详解】因为，所以，故A正确； 若，则，得，故B正确， 因为，当且仅当时，等号成立； 所以，对于成立，故C错误； ，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】借助两角差的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】因为， 且，所以. 故答案为：. 13. 若函数为上的奇函数，则实数__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由函数奇偶性，利用，求出，再验证，即可求出结果. 【详解】因为为上的奇函数， 所以，此时， 所以，即函数是奇函数， 所以满足题意. 故答案为：. 14. 已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分和两个范围分别证明a≤0时符合题意. 【详解】由题易知，即， 所以， 又， 所以. 下证时，在上最大值为3. 当时，，; 当，若，即， 则，满足; 若，即， 此时， 而，满足; 因此，符合题意. 【点睛】本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a≤0，然后分类讨论证明a≤0时符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）设，，求的值； （2）已知，求； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦二倍角公式结合正余弦平方和公式，即可求得，再通过可确定符号，从而可求得； （2）利用诱导公式和弦化切思想，即可求值. 【详解】（1）由，则， 因为，所以，即， 故； （2）由， 因为，所以， 故. 16. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求的解析式； （2）若，求的取值集合. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性直接求函数解析式； （2）分别判断函数在各区间内的函数值范围，分别解不等式即可. 【小问1详解】 由已知当时，， 当时，，则， 又函数为奇函数， 则当时，， 且当时，， 综上所述； 【小问2详解】 由（1）可得当时，，此时， 当时，，此时， 又不等式，即或， 所以或， 解得或， 即不等式的解集为或. 17. 已知函数，. （1）求不等式的解集； （2）若，，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）易得，即，再利用在上单调递增求解； （2）令，将问题转化为，使不等式恒成立求解， 【小问1详解】 解：因， 所以，即， 因在上单调递增， 所以，解得， 即不等式的解集为. 【小问2详解】 令，因为，所以， 若，使不等式恒成立， 即，使不等式恒成立，即恒成立， 所以， 因为在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增， 所以当时，取最小值2， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象. （i）求不等式的解集； （ii）当时，若函数有零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1），， （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可利用周期公式以及整体法求解对称轴， （2）根据函数图象的平移和伸缩变换可得，即可利用整体法以及正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 函数的最小正周期. 令，，即对称轴为，. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到； 再将横坐标变为原来的4倍，得； （ⅰ）由题意得， 所以，，解得，， 所以不等式的解集为，. （ⅱ）若函数有零点，则的图象与直线有交点. 因为， 则，可得， 所以，即实数的取值范围为. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】（1）“伪奇函数”，理由见解析 （2） （3）答案和理由见解析 【解析】 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可； （2）由题意可得在有解，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可知在上有解，令，，可得在有解，进而分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 ∵，∴，则是“伪奇函数”． 【小问2详解】 令， 则， 即在有解， 而，则，∴， 则， 又∵在时恒成立， ∴，则，即， ∴实数m的取值范围为. 【小问3详解】 当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 而， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， ①当，即时， 在一定有解，满足题意； ②当，即或时， 在有解等价于， 解得. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $