辽宁省名校联盟2025-2026学年高三上学期1月期末质量检测数学试题

高三年级上学期期末质量检测 ·数学· 春考答亲及解折 一、选择题 二、选择题 1A【解折】号-=昌=-5元放选A项 9,AC【解析】由三角形的面积公式得S= 2absin C= 2.D【解析】因为M={xx>-4},N={xx2十4x=0} 名×2X2×号=1，A项正确：由余弦定理得2=a十 ={一4,0}，所以MUN={x|x≥一4}.故选D项. 2 3.B【解析】由a⊥b,得a·b=0,又b=(0,-1),则|b b2-2 abcos C=2+4十4=10，所以c=√10，B项错误； =1,所以|a-b|=√a2-2a·b+bz=√2.故选 由正弦定理得sinA=asin C-1=Vo ,C项正确； c B项， /1010 4A【解】标将函数g()=sin=名si血2z的图象 设△ABC的外接圆的半径为R,所以2R=C=四 sin C2 2 向右平移晋个单位长度得到函数f(x)=2sin2(x =2√5，则R=√5，D项错误.故选AC项. 吾）=sim(2x-君)的图象.故选A项。 10.BCD【解析】如图，因为C的准线1：x=一1，所以 5.B【解析】由f(-2)+f(4)=4,得f(-2+3)+f(4 一号=-1，解得p=2,A项错误；因为PQL,所以根 3)=4,即2f(1)=4,所以f1)=2,则f(-1)=-f(1) 据抛物线的定义可知|PQI=IPF|,又|PF|=|FQ|, =一2.故选B项， 所以|PQ|=|PF|=|FQ|,所以△PQF为等边三角 6.D【解析】设直线y=一3x十m与曲线y=2-1nx相 形，B项正确；因为AQ∥OB,且O为AF的中点，所以 OB为△AQF的中位线，则B为QF的中点，又△PQF 切于点>0，又y=(层-h=一 、 为等边三角形，所以BP平分∠QPF,又∠QPF= 子，所以-号-士=-3，整理得36-，-2=0，解得 ∠PFQ,所以∠PFQ=2∠BPQ,C项正确；由A项知 F(1,0),不妨设点P在第一象限，则直线PF的方程为 =1或=-号（舍去），所以为=-3十m=2-1h1, y=√3(x-1),代人y2=4x得3x2-10x+3=0,解得 解得m=5.故选D项. 西=3,4=3，结合图形可知P(3,23),所以PQ= 7.C【解折】由题意可知n是-50，解得。，所 Po 4,又1AF=2,所以四边形AFPQ的面积为2×(2+ 2 4)×2W3=6√3，D项正确.故选BCD项. 以d=2h会将P-,代人d=2n台得d :X=- _50ln16=200km.故选C项。 In 2 8,C【解折】因为ab为正实数，所以a≤a,所以 品<，当且仅当a=方时等号成立.设：=a+十b 0,令f0-花则f0=2,当0<<2时， 11.ABD【解析】延长AB,DC交于一点P,因为平面 f(t)>0,当t>2时，f(t)<0,所以f(t)在(0,2)上单 BCO∥平面ADO,且平面PAD∩平面BCO1=BC,平 调递增，在(2，十∞)上单调递减，当t=2,即a=b=1 面PAD∩平面ADO=AD,所以BC∥AD,A项正确. 时，)取得最大值为f(2)=是，则品的最大值为 易求得圆台00的高为√（√10）2-(2-1)2=3，所 是故选C项。 以圆台00，的体积V=}×(12+22+1×2)元×3= 3 1 ·数学· 参考答案及解析 7π，B项正确.作CH垂直BO1,交BO的延长线于点 定理得1MFe=+2-2×(-名)=2，则1Mm H,连接QH,因为∠BO1C=120°，所以∠COH=60°， 又0，C-1,所以CH=号0H=分易知CH1平面 8 c,如图，设C的右焦点为F',连接MF', AB00,所以点C到平面AB0,0的距离为CH=号， y 且∠CQH为CQ与平面ABO1O所成角，连接QB,在 R△BQH中，QH=VB@+B肝-√+(2- 35,则wCQH- 3 2 V1 ,故sin∠CQH= 3w5 15 4 则os∠M0F=名，1OM1=1Or1=6,所以在 C项错误.三棱锥AOOD的外接球，即为三棱锥 △MOF中，由余弦定理得1MF'12-c2+2-2c× 25 O-AOD的外接球，设其半径为R,设△AOD的外接 -第2，则1MP'1=号，由椭图的定义可知MP十 圆半径为r,在△AOD中，由余弦定理得AD2=AO十 OD2-2A0·ODcos120°=12，即AD=23,由正弦定 1M1=2a,即gc+号c=2a,解得e=日=号，故C a 0=2r=4,解得=2，放=(9）'+ 理得.AD 的离心率为 =是+4=空，则该球的表面积S=R=25,D项 四、解答题 正确.故选ABD项. 15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d, (a1+4d-(a1+d)=3, 由已知得 (2分) a1+9d=2(a1+2d)+a1+3d, 解得a1=1,d=1, (4分) 故an=a1+(n-1)d=n. (6分) 三、填空题 (2②)由1)可知6，=-（分）广， (7分) 12.8【解折】票-aa=a,ac=a=8 所以s=(1+2+…+)-[合+（合）+…十 13,沿【解折】设A=“选取率果”，B=“选取香蕉”，C -()门 n(n十1)+ “选取猕猴桃”，D=“选取的一个水果新鲜”，则P(A) 1一2 2 =,P(D)=号，P(O=0,P(DA)=95%,P(DB (3）”-1. (13分) =90%,P(D1C)=90%,根据全概率公式可知P(D)= 16.解：(1)零假设为H。:满意度与用户性别无关， P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)= 2 X=2000XC400X400,400X800)2-500≈5.556 95%+号×90%+0×90%-昭。 800×1200×1200×800 9 >10.828=x0.001, (4分) 14.号【解折】由直线MF的斜率为-是，得an∠MF0 根据小概率值α=0.O01的独立性检验，我们推断H =是，所以sin∠MF0=号，因为△OMF为等腰三角 不成立，所以满意度与用户性别有关 (6分) (2)由题意知X的可能取值为0,1,2， (7分) 形，点M在第四象限，所以|OF|=|OM|=c,又 cos∠FOM=cos(π-2∠MFO)=-cos2∠MFO 则PX=0)-S-号，P(X=1)-号-号P(X C C 2sin∠MF0-1=2×(号)'-1=-务，所以由余弦 -2)=c3C3-1 C7 (10分) ·2· 高三年级上学期期末质量检测 ·数学· 所以X的分布列为 18.(1)解：由题意得C的渐近线方程为y=± a x, 0 由C的渐近线方程为y=士2x,得点=2,1分) 又2b=2√6，所以b=√6， (2分) (12分) b 则E(X0=0×号+1×号+2X号=月 所以a= (3分) (15分) =√3， √2 17.(1)证明：因为AE∥BC,AE=BC, 故双面线C的方程为号-苦-1. (4分) 所以四边形ABCE为平行四边形， (1分) (2)(i)解：由(1)可知F(3,0), 又AB⊥BC,所以四边形ABCE为矩形， 由题意得S△AOr=2S△OF,直线L的斜率存在且不为0， 则CE⊥AE,CE⊥ED,即CE⊥AE,CE⊥PE, (5分) 又AE∩PE=E,AE,PEC平面PAE, 设直线l的方程为x=ty十3，A(x1y1),B(x2,y), 所以CE⊥平面PAE, 因为PAC平面PAE,所以CE⊥PA, (3分) x=y+3, 联立 整理得(22-1)y2+12ty+12=0, 因为AB∥CE,所以AB⊥PA, (4分) 由AB=2,PB=√5，得PA=√PB2-AB=1, (7分) 又AE=1,PE=√2，所以PA2+AE=PE, 所以PA⊥AE, (6分) 则2-1≠0，即r≠分，4=144-42r-1D×12 又AE∩CE=E,AE,CEC平面ABCE, 48(t+1)>0, 所以PA⊥平面ABCE. (7分) 12t 12 y+y2= 2e-1h%=200 (8分) (2)解：以A为坐标原点，以AB,AE,AP所在直线分 由S△A0F=2SA0r,得1=-2，② 别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由①©得P=若， (10分) 故|AB|=√I+2|M-y|=√1+平· √(y+y2)2-4y3y2=√1+产· √48(+1) 22-1 4V3(+1)_9W3 12-12· (12分) 则P(0,0,1),B(2,0,0),C(2,1,0),E(0,1,0),PE= (i)证明：当直线1的斜率为0时，A,B为C的两顶点， (0,1,-1),BE=(-2,1,0),EC=(2,0,0). (8分) 此时∠AOB≠90°， (13分) 设平面PBE的法向量为m=(x1,y,1), 当直线1的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+ P应.m=一名=0， 3,A(x,y1),B(x2y2), 则 取x=1,则m=(1,2,2) B配.m=-2x1+h=0, 由(i)知y+y2=一 12t 12 22-y%=2二1) (10分) 则x1x2=(ty1+3)(ty2+3)=ty2+3t(y1+2)+9 设平面PCE的法向量为n=(x2,y2,2), -6t-9 P它.n=y2-x2=0, 22-1 (14分) 则 取y2=1,则n=(0,1,1). Ed.n=2x2=0, 因为0成·0亦-+-2+品1 (13分) 一3≠0， (15分) 所以cos(m,m)1=4。=2V2 3X√2 3 (14分) 所以OA与OB不垂直，即无论t取何值，都有∠AOB ≠90°成立. (16分) 1 故平面PBE与平面PCE夹角的正弦值为3·(15分) 综上，不存在直线l,使得∠AOB=90. (17分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 19.(1)解：当a=-√2时，f(x)=x-√2sinx, 则h'(x)=二ccos-x+2sinx 2 (12分) 令f(x)=1-√2cosx>0,解得2kx+牙<<2π十 (x)=-xcos x-z+2sin z, 经，kez (2分) 则p'(x)=cosx十xsin c-l, 令m(x)=cosx十xsin x-1,则m'(x)=xcos x, 令f(x)=1-√2cosx<0,解得2km-开<x<2x+ 当x∈(0，受)时，m'(x)>0,m(x)单调递增，当x∈ 平∈Z, (4分) (空，元]时，m'(x)<0,m()单调递减。 (13分) 所以代)的单调递增区间为(2x+子，2x+） 因为m(o)=g(0)=0,m(受）=9（受)=受-1， ∈Z),单调递减区间为(2km一不，2元+平)(k∈Z). m(x)=9'(π)=-2<0， (5分) 所以存在x∈（受，]，使得）=0， (2)(D证明：设g(x)=sinx+anx-2x,x∈(-，0， 当x∈(0，xo)时，P(x)>0,p(x)单调递增，当x∈(x, 则g(x) π]时，9'(x)<0,p(x)单调递减， (14分) =cosx十 1 又p(0)=0,9(x)=0,所以当x∈(0，π]时，p(x)≥0，所 以h(x)单调递增， =(cos z-1)(cosz-cos x-1) cos2x (6分) 所以当xE(0,]时，h()<(W-则≥号 因为0<cosx<1,所以cosx-1<0,cosx(cosx-1) <0,所以cosx(cosx-1)-1<0, (15分) (7分) 所以g'(x)>0, (8分) 当xe(r,十o∞)时，设u(x）=】x2-x十sinx, 所以g()在(-受，0)内单调递增， 则4(x)=2x-1十cosx>2Xr-1十cosr=0, π 元 则g(x)<g(0)=0, (9分) 所以u(x)在（π，十o∞）上单调递增， 故yx∈(-受，0f)<3x-anx (10分) 此时u(x)>u(π)=0， ()解：当x=0时，符合题意； (11分) 故当x(,+eo)时，<，则≥ 当x∈(0，]时，≥受，n三， x2 (16分) 令h(x)=x-sint, 棕上，实数：的取值范围为[宁十） (17分) ·4 高三年级上学期期末质量检测 数学多维度细目表 学科素养 能力要求 预估难度 数 学 接受、 分析 问题 逻 数 数 直 运 吸收、 探 题号 题型 分值 考查的内容及知识点 整合 和解 与数 决数 档 推 建 数学 学问 能 数 理 象 模 象 信息的 力 分 能力 题的 能力 香 1 选择题 6 复数的运算 低0.90 2 选择题 5 集合的并集 低 0.90 3 选择题 5 向量的运算 低 0.85 4 选择题 5 正弦型函数的平移，二倍角正弦公式 低 0.80 5 选择题 6 函数的基本性质 / 中 0.70 6 选择题 5 导数的儿何意义 中 0.65 7选择题 对数函数的实际应用 中 0.60 8选择题 5 基本不等式，导数的综合 高 0.45 9 选择题 6 正、余弦定理解三角形 低 0.80 10 选择题 抛物线的定义与性质，直线与抛物线的 6 0.60 位置关系 中 11 选择题 6 空间几何体的特征，空间位置关系 高 0.40 12 填空题 5 等比数列的性质 低 0.85 13 填空题 全概率公式 中 0.65 14 填空题 5 椭圆的几何性质，二倍角余弦公式，余 0.40 弦定理 高 15 解答题 13 等差数列的通项公式，前n项和 中 0.70 16 解答题 15 独立性检验，分布列与数学期望 中 0.60 17 解答题 公 空间位置关系的证明，二面角的计算 中 0.55 18 解答题 17 双曲线的综合问题 中 0.50 解答题 三角函数与导数的综合问题 高 0.20 1.突出重点知识的考查：在命题过程中，突出在函数与导数、圆锥曲线、统计与概率、数列、立体几何等重点知 识命制试题，如8,11,15,16,17,18,19题等，引导学生掌握必备知识，培养学生的关键能力. 2.注重情境创设：充分挖掘生活中的数学素材，将实际问题抽象为数学模型，如7,16题，引导学生运用所学 数学知识进行分析、求解，培养学生的数学建模能力和应用意识. 命 3.强化思维能力考查：设置了一些需要学生进行逻辑推理、反证论证的试题，如18题通过反证思想推导证得 题 直线不存在等，考查学生的逻辑思维能力和演绎推理能力. 报 4.体现知识的网络化：部分试题强调不同知识模块之间的联系，如8题，将基本不等式与导数知识相结合，14 告 题，将椭圆与三角恒等变换，余弦定理知识相结合，19题导数与三角函数的结合等.通过这些综合性试题，考 查学生对知识的整体把握和综合运用能力，引导学生构建完整的知识网络，提高学生的数学素养。 5,重视数学思想方法的渗透：在命题过程中，注重对数学思想方法的考查，如函数与方程思想、数形结合思 想、分类讨论思想、转化与化归思想等.通过具体的试题，让学生在解题过程中体会和运用这些思想方法，提 高学生分析问题和解决问题的能力.绝密★启用前 高三年级上学期期末质量检测 数学科目 命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心 营口开发区第一高级中学宋丹 中 鞍山市第一中学冯静雨 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 茶 要求的。 1.已知i为虚数单位，则- A.-5i B.-5 C.5i D.5 2.已知集合M={x|x>-4},N={x|x2+4x=0},则MUN= A.{-4,0} B.{0》 C.{x|-4≤x≤0} D.{xlx≥-4} 3.已知向量a,b满足|a|=1,b=(0,一1)，4⊥b,则|a一b|= A.1 B.√2 C.√3 D.2 4.将函数f(x)的图象向左平移石个单位长度得到函数g(x)=sin:cos的图象，则f(x)= T A.合sin(2x-号) B.合sin(2x+5) c,合sin(2x-） D.sin(2x+否) 叔 5.已知奇函数f(x)的定义域为R,且3为f(x)的一个周期，f(-2)十f(4)=4,则f(-1)= A.-4 B.-2 C.2 D.4 6.若直线y=一3z十m与曲线y=名-lnx相切，则m的值为 A.-5 B.-3 C.3 D.5 7.5G信号随传输距离的增加而变弱，传输距离d(单位：km)与5G信号P(单位：W)的关系为d= hn层，其中P,为发射器发出的5G初始信号，8为衰弱系数（常数）.已知某5G信号的传输距离 Q 为50km时该信号减弱为5G初始信号的一半，若在某处测得的信号为5C初始信号的品，则传输 距离为 A.100 km B.150 km C.200 km D.250 km 8.已知a,b为正实数，e为自然对数的底数，则的的最大值为 A君 B号 c D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,已知a=√E,b=2,C=135°，则 A.S=1 B.c=3 C.sin A=10 D.△ABC的外接圆的半径为2 10 10.已知F是抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，点P在C上，过点P且以F为圆心的圆与C的准线l: x=一1相交，Q为其中一个交点且PQL1.设l与x轴的交点为A,线段QF与y轴的交点为B,则 A.p=1 B.△PQF为等边三角形 C.∠PFQ=2∠BPQ D.四边形AFPQ的面积为6V5 11.如图，在圆台OO,中，上、下底面的半径分别为1和2，AB,CD是圆台OO1的两条母线，且AB= √10，∠BO,C=120°，Q为OA的中点，则下列说法正确的是 A.BC∥AD B.圆台OO,的体积为7π C.直线CQ与平面AB0,0所成角的正弦值为号 D D.三棱锥A-O1OD外接球的表面积为25π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12,设工，为等比数列(a}的前n项积，若a4=2,则÷三 13.已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为5：4：1，经检查发现购进的苹 果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为95%，90%，90%，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的 概率为 14.已知F为椭圆C:手+芳=1(。>6>0)的左焦点，过F且斜率为-号的直线与C在第四象限相交 于点M,设O为坐标原点，若△OMF为等腰三角形，则C的离心率为 数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知等差数列{an}满足a5一a2=3,a1o=2ag十a4. (1)求{an}的通项公式； (2)设6.=a,-(合)》”，求数列(6，}的前n项和S 16.(15分) 近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调 查，统计如下表： 满意 不满意 合计 男性用户 400 400 800 女性用户 800 400 1200 合计 1200 800 2000 (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？ (2)已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机 抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为X,求X的分布列和数学期望. n(ad-bc)2 附：=a+bc+aarc6+d,n=a+b+c+d, 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17.(15分) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AB=2,点E在AD上，BC=AE=1,AD=1十√E,将 △CDE沿CE翻折，使点D至点P的位置，连接PB,PA,BE,其中PB=√5. (1)证明：PA⊥平面ABCE; (2)求平面PBE与平面PCE夹角的正弦值， 数学第3页（共4页） 18.(17分) 已知双曲线C等一芳=1(e>0,6>0)的虚轴长为26，且渐近线方程为y=士厄x, (1)求双曲线C的方程； (2)设O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线l与C交于A,B两点. (i)若点A,B均在C的右支上，且△AOF的面积是△BOF面积的2倍，求|AB|； (i)证明：不存在直线l,使得∠AOB=90°， 19.(17分) 已知函数f(x)=x十asin x. (1)当a=一√2时，求f(x)的单调区间； (2)当a=1时. (i)证明：Vz∈（-，0)，f(x)<3x-tanz; ()当x≥0时，f(x)≥2x(1-),求实数t的取值范围. 数学第4页（共4页）