19.2 数据的离散程度-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

措南针·八年纸下册·数学(HS) 19.2 数据的离散程度 知 识 梳 理 规律与方法：(1)方差的计算可以概括为“先 平均，再求差，然后平方，最后再平均”.(2)方差 1.设有n个数据x1,x2,…,xn,若元是这n 是反映一组数据波动大小的指标，方差越小，波 个数据的平均数，s2=1[(m1-x)2+(x2-x2)2 动越小；方差越大，波动越大 n +…十（xm一x)2],则s2叫做这组数据的 【变式训练1】(1)在方差计算公式s2=1 10 [(x1-20)2+(x2-20)2+（x3-20)2+…+ 2.方差是反映数据的 (x10-20)2]中，数字10和20分别表示（) 典例精析 A.数据的个数和方差 B.平均数和数据的个数 考点①计算一组数据的方差 C.数据的个数和平均数 【例1】甲、乙两台包装机同时包装质量为 D.数据的方差和平均数 500克的白糖，从中各随机抽出10袋，测得实际 (2)甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平 质量如下（单位：g). 均成绩（环）及方差统计如下表，现要根据这些 甲：501,500,503,506,504,506,500,498， 数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练 497,495; 员，你的选择是 ( 乙：503,504,502,498,499,501,505,497， 队员 平均成绩 方差 502,499. 甲 9.7 2.12 乙 9.6 0.56 (1)分别计算两组数据的平均数； 丙 9.7 0.56 (2)分别计算两组数据的方差； 丁 9.6 1.34 (3)哪台包装机包装的质量较稳定？ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (3)某射击运动员在训练中射击了10次，成 绩如图所示： 环数 9 74 6 012345678910次数 下列结论不正确的是 () A.众数是8 B.中位数是8 C.平均数是8.2D.方差是1.2 (4)已知一组数据5,8,10，x,9的众数是8， 那么这组数据的方差是 ·154· 第19章数据的分析 考点②计算一组数据的标准差 规律与方法：在比较两组数据时，一般先看 【例2】一组数据2,4,5,6，x的平均数是 平均数，当平均数相同或相近的情况下，可比较 4,则这组数据的标准差是 C 两组数据的方差，方差越小数据越稳定.有时还 A.2 B.2C.10 D.10 可从中位数或众数等多方面、多角度地分析一组 【变式训练2】一组数据6,4，a,3,2的平 数据 均数是4，则这组数据的标准差是 ( 【变式训练3】(1)去年某果园随机从甲、 A.0 B.2 C.2 D.10 乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵， 考点3)利用方差进行最优化选择（或比较 每棵产量的平均数x(单位：千克)及方差s2(单 技术的稳定性) 位：千克)如下表所示： 【例3】初三(1)班分别从甲、乙两组选手 甲 乙 丙 入 中各选10名选手进行数学抢答赛，共有10道选 24 24 23 20 择题，答对8题以上（含8题）为优秀，各组选手 S 2.1 1.9 2 1.9 答对题数统计如下： 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳 答对题数（题） 甲组选手（人） 乙组选手（人） 定的葡萄树进行种植，应选的品种是( 1 0 A.甲 B.乙C.丙 D.丁 6 0 0 (2)甲、乙两名同学进行射击训练，在相同 1 条件下各射靶5次，成绩统计如下： 5 3 命中环数 7 8 9 10 9 2 2 甲命中相应环数的次数 2 2 0 1 10 1 个y 乙命中相应环数的次数 1 3 1 0 平均数(x) f 若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人 中位数 8 的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？ 众数 8 方差(s2) 1.6 优秀率 80% 请你完成上表，再根据所学的统计知识，从 不同方面评价甲、乙两组选手的成绩. ·155· 措南针·八年纸下册·数学(HS) A.中位数是3，众数是2，方差是2 演 练 B.众数是1，平均数是2，方差是1.5 C.中位数是2，众数是2，方差是1.2 【基础过关】 D.中位数是3，平均数是2.5，方差是2.5 1.(云南中考)甲、乙、丙、丁四名运动员参加射 5.甲，乙两人在相同条件下各射击10次.两人 击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数 的成绩（单位：环）如图所示.现有以下三个 x(单位：环)和方差s2如下表所示： 推断： 甲 乙 丙 丁 ①甲的成绩更稳定； x 9.9 9.5 8.2 8.5 ②乙的平均成绩更高； 0.09 0.65 0.16 2.85 ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高. 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥 其中正确的是 .(填序号) 稳定的运动员参加比赛，应该选择 ( 成绩/环 10 A.甲 B.乙C.丙 D.丁 7.5 2.(达州中考)小明在处理一组数据“12,12,28， 2.5 012345678910次数 35,■”时，不小心将其中一个数据污染了，只 6.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9 记得该数据在30~40之间，则“■”在范围内 次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位： 无论为何值都不影响这组数据的 ( m),此时这组成绩的平均数是20m,方差是 A.平均数 B.众数 sm.若第10次投掷标枪的落点恰好在20m C.中位数 D.方差 线上，且投掷结束后这组成绩的方差是sm, 3.(宜宾中考)某校为了解九年级学生在校的锻 则s (填“>”、“=”或“<”) 炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某 30m 天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65,67,75， 30m 20m 20m 65,75,80,75,88,78,80.对这组数据判断正 确的是 ( 7.某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一 A.方差为0 B.众数为75 人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试， C.中位数为77.5D.平均数为75 成绩（单位：环）统计如下： 4.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随 机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结 9 10 果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正 确的是 ( (1)根据表格中的数据填空： 人数（人） 甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩 61 是 环；甲成绩的中位数是 环， 乙成绩的众数是 环 4阅读量（本/周） (2)求甲、乙测试成绩的方差； ·156· 第19章数据的分析 (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说 得分 8 明理由。 6 小青 -小海 012345678910灰数 ②书写准确性： 小青：1122231321 小海：1223332121 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 项目 操作规范性 书写准确性 统计量 学生 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 S 1.8 小海 4 S b 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的a=,比较S和S的大小 (2)计算表格中b的值； (3)综合上表的统计量，请你对两名同学的 得分进行评价并说明理由； (4)为了取得更好的成绩，你认为在实验过 程中还应该注意哪些方面？ 【能力提升】 8.(遂宁中考)体育老师要在甲和乙两人中选择 1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练 成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 参加比赛 甲 8 8 7 9 8 乙 6 9 9 9 9.若一组数据4，x,5,y,7,9的平均数为6，众数 为5，则这组数据的方差为 核心 素 养 10.为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小 青和小海两名同学的10次实验得分，并对 他们的得分情况从以下两方面整理描述 如下： ①操作规范性： ·157·指南针·八年级 =/MND+/NMD=90° (2)口BDFE为菱形.证明略 .四边形MNPQ是正方形. 【例4】解：(1)图中四边形ADEG是平行四边形.理由略 【变式训练2】(1)证明略 (2)当四边形ADEG是矩形时，/DAG=90°. (2)解：AB=7,AE=3, 则∠BAC=360°一∠BAD一∠DAG一∠GAC .'.AN=BE=AB-AE=4, =360°-45°-90°-90°=135°， .EN=√AE+AN=5, 即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形 .正方形EFMN的周长=4X5=20 章末测试题 课后演练 1.B2.B3.B4.不对5.√26.20 一、选择题 7.略8.略9.①②③④10.15°或45 1.D2.D3.B4.D5.B6.C7.D 核心素养 、填空题 11.略 8 9.5cm10.30°或150° 专题训练六特殊四边形和反比例函数 11.112.(3)"-1 1.-12253y=是4-35号 6.1:5 三、解答题 7.(1)k=xy=4×8=32. 13.（1)略 (2)矩形OBEC的周长=6√3+6. (②)菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为9， 14.(1)略 (2)四边形CEPG的面积是婴。 15.(1)略 专题训练七 (2)AF=45 以特殊平行四边形为背景的计算和证明 16(1双画线为y=号 直线DE的解析式为y=3x一3 1.(1)EF=√2(2)略2.(1)DE=√40(2)略 3.略4.(1)FG=2.(2)略 (2)Sm=号 第18章专题复习 第19章 数据的分析 【例1】(1)证明：在矩形EFGH中， EH=FG,EH∥FG.∴.∠GFH=∠EHF, 19.1 数据的集中趋势 ∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF, ∴.∠BFG=∠DHE, 第1课时平均数 在菱形ABCD中，AD∥BC, 知识梳理 .∠GBF=∠EDH,.△BGF≌△DEH(AAS), 2a十十…十x）3+士… f1十f2+…+f .'.BG=DE: 典例精析 (2)解：如图，连接EG, 在菱形ABCD中，AD LBC, 【例1】解：x=号(14+26十53十37+30)=32. .E为AD中点，.AE=ED, 【变式训练1】D BG=DE,∴AE LBG, ∴.四边形ABGE为平行四边形， 【例2】 解：x=55+号[(51-55)+(53-55)十 ∴.AB=EG,在矩形EFGH中，EG (59-55)]=56. FH=2. 【变式训练2】85.4182 AB=2.菱形的周长为8. 【例3】解：1)由题意得=97+95+96=96（分， 【例2】解：过E作EF⊥DC于F, 3 ,四边形ABCD是正方形， c张=90+9+98≈95.7（分）， .AC⊥BD, 3 :CE平分∠ACD交BD于点E, 故王老师应被评为优秀 .EO=EF,.△COE≌△CFE, (2)x王=97×0.20+95×0.60+96×0.20 95.6(分)， .CO=CF,正方形ABCD的边长 为1， x张=90×0.20+99×0.60十98×0.20=97（分）， 故张老师应被评为优秀。 AC=E0=2AC-=号CF=C0=号 【变式训练3】(1)小明朗诵水平的成绩x是82分. (2)82.5>79,所以小文将被录用. ∴EF=DF=DC-CF-1-9, 【例4】解：由题意得： ∴.DE=√/EF+DF=√2一1. 十2十x3=3a,x4+…十0=7b, 【例3】证明：(1)，△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=a(a ∴z=ba十a十十a十…十0)=2t 10 <60),线段AD绕，点A顺时针旋转α到AE, 【变式训练4】(1)D(2)5 ∴.AB=AC,∴.∠BAE=∠CAD, 课后演练 在△ACD和△ABE中， 1.C2.B3.D4.B5.126.6.67.85.88.3.3 (AB=AC, ∠BAE=∠CAD, 9.解：（①由题意，得A地考生的数学平均分为00(90X3 AE-AD, +80×2000)=86(分). .△ACD≌△ABE(SAS),∴.BE=CD: (2)不能，说明略 册·数学参考答案(HS) 10.解：(1)该校的班级总数是12. 答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”(x≥ (2)植树11颗的班级数为12一1一2一3一4=2，补全统计 90)的总共有310人· 图如下： 10.(1)25一6一12一5=2（人），补图略. 植树班级数条形统计图 (2)a=87.6,b=90,c=100. 班级数 (3)①一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中 位数，故一班的成绩好于二班；②一班和二班平均数相等， 班的众数小于二班的众数，故二班的成绩好于一班；③B级 以上（包括B级）一班18人，二班12人，故一班的成绩好于 0 二班 8棵9棵11棵12棵15棵棵数 11.C12.C13.中位数 (3)该校各班在这一活动中植树的平均数是12棵 核心素养 1.解：0调整前的平均价格为10+10+5+20+25=16（元，14.8解：12-88+87+90+98+92-91（分）， 5 5 调整后的平均价格为5十5+15十25+30 中位数是90分 5 =16(元) (2)a=8, (2),调整前后的平均价格不变，平均日人数不变， 补全条形统计图如图所示： .平均日收人持平 民主测评统计图 ,原平均日总收入为10×1十10×1+15×2十20×3十 25×2=160(千元)， 50叶票 40 42 现平均日总收入为5×1十5×1+15×2十25X3十 30×2=175(千元) 30 吕名 平均日总收入增加了175160≈9.4%， 20 160 10 ∴，游客算法正确.(3)略 0 23 12.D13.3 较好 般选项 核心素养 (3)①应选拔甲同学去参加艺术节演出， 14.(1)该公司员工原平均月收入和提高后的平均月收人分别为 ②k≠0.5. 1230元和1630元. 19.2 数据的离散程度 (2)员工收入提高后，该公司每月需要多拿出32000元支付知识梳理 员工的月收入 1.方差2.波动大小 第2课时 中位数和众数 典例精析 知识梳理 【例1】解：(1)x甲=(501+500+503十506+504+506+ 1.中位数 2.出现次数最多 500+498+497+495)÷10=501(g), 典例精析 xz=(503+504+502+498+499+501+505+497+ 【例1】C【变式训练1】(1)C(2)26(3)B 502+499)÷10=501(g). 【例2】A 【变式训练2】 (1)B(2)B (2)编=0×[(501-501)2+(500-501)2+…+(495 课后演练 501)2]=12.6(g), 1.B2.B3.C4.C5.A6.66千米/时7.5 8.99.7 克=0×[(503-501)2+(504-501)2+…+(49 核心素养 501)2]=6.4(g). 10.(1)6.3;(2)6.3; (3)>忌，∴乙包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定. (3)乙块试验田里的大麦整体生长情况好一些 【变式训练1】(1)C(2)C(3)D(4)2.8 第3课时平均数、中位数、众数的选用 【例2】B 知识梳理 【变式训练2】C 1.大2.不易3.它也不易 【例3】解：乙组选手的平均数为 典例精析 【例】解：(1)6.6万元，4万元，5万元. z=0(7×4+8X3+9×2+10×1)=8(道)， (2)用中位数，因为平均数6.6万元受极端值20的影响较 中位数为8道，众数为7道， 大，若把它定为标准，大多数不能完成任务，会挫伤员工的积极 性，而众数4万元，绝大多数员工不必努力就能超额完成，不利 方差为元=0[(？-8P×4+(8-8》×3+(9-8)严× 于提高销售额.若将5万元作为标准，多数人能完成任务，并且2十(10一8)门=1. 经过努力能超额完成任务，有利于提高销售人员的积极性， 优秀率为60%. 【变式训练】 151515平均数155.5 6中位数 ①从甲、乙两组选手成绩的平均数来看是一样的；②从众数 课后演练 来看，甲组选手的成绩好些；③从方差来看，乙组选手成绩稳定 1.B2.A3.A4.C5.896.17.5 些；④从优秀率看，甲组选手成绩好一些. 8.(1)9070甲(2)80806254甲(3)4048乙 【变式训练3】(1)B(2)乙同学的射击成绩比较稳定， 9.(1)88,87,40; 课后演练 (2)八年级学生数学文化知识较好， 1.A2.C3.B4.C5.①②6.> 理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，7.(1)88810 所以八年级学生数学文化知识较好； (2)m2=6×[(7-8)2×2+(9-8)2×2+(10-8)2+ (3)500×3+40×40%=310(人)， (6-8)2]=2; 183 指南针·八年级下册 z2=号×[6-802+(8-82+(9-8+2×10-82 下四分位数为号×(10十10)=10， +(6-8门=号： 上四分位数为号×(10.8十10.8)=10.8 (3)推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 【变式训练1】33.54 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳 【例2】解：最小值是115，下四分位数是132，中位数是136，上 定，所以推荐甲参加全省比赛更合适· 四分位是144，最大值是162. 8甲9号 箱线图略. 【例3】解：中间水平：A队拦网高度的中位数高于B队，说明 核心素养 A队队员拦网高度的中间水平比B队高； 10.(1)2 离散程度：A队拦网高度的箱体长度小于B队，说明A队 (2)小海的平均数6=1+2+2+3+3+3+2+1+2士1=2： 队员拦网高度的中间50%的数据离散程度比B队小，即B队拦 10 网高度数据在中间部分的差异更大 (3)略(4)略 【变式训练3】D 19.3借助箱线图描述数据的分布 课后演练 1.B2.B3.3.193.924.444.甲 典例精析 5.1518 6.8 【例1】解：将这12个数据由小到大排序： 核心素养 9.8,9.9,10,10,10.2,10.3,10.5,10.6,10.8,10.8, 7.解：(1)将甲组数据从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92， 10.8,10.9. 96,98,10,所以下四分位数为70，中位数为89}91=90，上 2 则中位数为2×(10.3十10.5)=10.4， 指南针·八年级下册 《分式)单元测试卷 三、解答题 19.(1)一次函数的解析式为=2x十4，反比例函数的解析式 一、选择题 为为=一6 1.B2.B3.C4.C5.A6.C7.D8.A9.D10.B 二、填空题 (2)点P的坐标为(1,0)或(3,0) 20.(1)A(4,3)(2)S△ac=28 11.x12.士313.514.号 15.516.1 21.(1)k=240(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃ 17.-218.6000=1000 及15℃以上的时间有15小时 x十50 x 22.(1)300;2 三、解答题 (2)函数解析式为y=一90x+240(号<x≤子) 19.a2(278)-2z+24)- (3)轿车出发h或h与货车相距40km 20.(1)原方程无解(2)x一号 23.(1)1205 (2)S=一40t十520.t的取值范围为：10t≤13 21.(1)原式=x-1.当x=3+1时，原式=√3 8①原式=当当x=1十时原式=1+ (3加=或=号或=兴 ②原式的值不可能为一1 《平行四边形》单元测试卷 22.模型A每小时能处理20GB数据，模型B每小时能处理 一、选择题 30GB数据 1.D2.C3.C4.B5.A6.B7.B8.C9.B10.C 23.(1)B型玩具的单价A型玩具的数量 二、填空题 (2)最多可购进A型玩具116个 11.AF=CE12.26°13.814.65°15.2 24.(1)分式二1二6r+8被拆分成了一个整式2十7与一个 16.4317.(2,5)18.2或3.519.2cm220.40 -x2+1 三、解答题 分式干的和（2)略 21.证明略 22.(1)∠ABC=60°(2)证明略 23.(1)证明略(2)MC=13 25.在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款 24.(1)证明略(2)证明略(3)/EF℃=45 《函数及其图象》单元测试卷 25.(1)k的值是12，B点的坐标是(6,2) (2)符合条件的点D的坐标是：(3,2)或(3,6)或(9，一2) 一、选择题 26.(1)平行四边形ABCD的面积为5√3 1.D2.B3.B4.C5.D6.D7.D8.B9.C10.D 二、填空题 (2)证明略(3)AE=3十√22 2 1(-2)2=-8 13.714.四 《矩形、菱形与正方形》单元测试卷 15.②8g163917.218号 一、选择题 1C2.B3.B4B5.D6.B7.C8.C9.B10.C 数学参考答案(HS) 四分位数为96： （分)，xz=8.5(分)，x丙=8.43（分）.比较加权平均数，乙是优 (2)如图. 胜者. 成绩/分 (3)第(2)种算法比较合理，应选乙参加比赛 100 【例2】B 【例3】(1)x甲=85，正2=85.这两组数据的平均数都是85. 这两组数据的中位数分别为83,84第一组数据没有众数，第二 80 组数据的众数是80. 70 (2)派甲参赛比较合适.理由如下： 由(1)知元弹=x2,漏=35.5，=41， 8 ,∵元甲=之，希<，∴，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适. 甲组 乙组 (3)根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相 章末测试题 同，但甲组成绩明显比乙组的波动大 一、选择题 第19章专题复习 1.B2.A3.B4.B5.B6.B7.C8.D 二、填空题 【例1】(1)甲、乙、丙按三项得分的算术平均数分别是x甲≈9.2910.211.丙12.713.3 8.53(分)，xz≈8.47（分），丙≈8.57（分）.比较算术平均数，丙14.(1)1515(2)13(3)7800 是优胜者. 三、解答题 (2)甲、乙、丙按三项得分的加权平均数分别是元甲=8.4615.略16.略17.略 数学·试卷参考答案 二、填空题 24.(1)144°(2)图略 11.2512.5313.4214.①②③④15.7 (3)甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；由于两校平均分 16.9-5/317.3318.23 相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分 3 和中位数角度上判断，乙校的成绩较好. 19.(1)平行(2)1220.√15+3 (4)因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得10分的有 三、解答题 8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校. 21.证明略22.证明略 八年级下册期末测试卷 23.(1)证明略(2)四边形EFBG的周长=20cm (3)当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形 一、选择题 1.B2.A3.C4.A5.C6C7.C8.D9.B10.D 24.(1)证明略(2)①菱形BFEP的边长为号cm 二、填空题 ②点E在边AD上移动的最大距离为2cm 11.2.8×10-912.x13.y=2x-114.110 25.(1)证明略(2)CE十CG的值为定值，定值为8 15.216.217.518.2 三、解答题 《数据的分析》单元测试卷 19.(1)1 《2)原式二乙十号当x=4时，原式=6 一、选择题 1.D2.B3.D4.A5.A6.A7.C8.B9.A10.D 20.(1)证明略(2)S四边形v=12 二、填空题 21.(1)19493.5(2)八(3)160人 11.mx十ny 12.15.613.2.514.甲15.87 2.1)/k=-1 1b=4 (2)SA0B=4 m+n 16.0.241.0217.2.518.10 23.(1)升级完成后的函数关系式为y=80x一280(x≥5) 三、解答题 (2)该厂今年有2个月的利润低于200万元 19.(1)4030(2)平均数为15，众数为16，中位数为15 24.(1)∠BGF=90°(2)证明略 20.(1)8,20,2.0≤x<2.4(2)略(3)200人 25.(1)每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元 21.(1)a=2,b=90,c=90,d=90 (2)该特产店有以下三种进货方案： (2)七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平 当a=120时，200一a=80,即购进豆笋120件，购进豆干 均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更稳定，综 80件， 上，八年级的学生成绩好 当a=121时，200一a=79,即购进豆笋121件，购进豆干 (3)390人 79件， 22.(1)缺失数据为147，质量等级为优秀 当a=122时，200一a=78,即购进豆笋122件，购进豆干 (2)乙参赛小组能获得奖励，理由略 78件， 23.(1)甲、乙、丙：50分，80分，70分. (3)购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润 (2)甲72.7分，乙76.6分，丙76分，乙被录用. 最大，最大利润为3610元 (3)甲72.9分，乙77分，丙77.4分，丙被录用.