15.2 第3课时 分式的混合运算&专题训练一 分式的化简求值-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

第3课时分式的混合运算 知识梳理 分式的混合运算 先算 ,再算 ,最后算 一·若有括号，先算 的。 典例精析 考点①)分式的混合运算 【例1】计算： 6ab*62。: ②nm+2m+÷1-） 第15章分式 【变式训练1】 (1)化简1+。2)÷。22 ÷a 的结果是 () A.a+2 a B.a C.a-2 a D.222 (2)(济宁中考)计算。4=(a+1-0二4到的 a a 结果是 A.a+2 a-2 B.a-2 a+2 C.(a-2)(a+2) D.Q+2 a 考点2 分式的化简求值 【例2】先化简，再求值： 0m子+名英中m=2 m2-1 ②-)纤2其巾满 足x2-x-1=0. ·13· 指南针·八年纸下册·数学(HS》 （3e-2异2)号其中x=-43. 3.（武汉中考)已知x2-x-1=0,计算 (异）2平2z7的值是 （) A.1 B.-1 C.2 D.-2 4已知2+石。6则哈+后的是【） A.5 B.7 C.3 D a2-4 5.化简：(a-2)·a二4a+4 6(聊诚中考)计算1+”。)。 规律与方法：先把分式化为最简形式，再代 值计算.注意：所代入的值必须使原式有意义. 7.(1)当a=3650时，代数式(a41ai） 【变式训练2】（广安中考）先化简 (a+的值是 a-1 （。千-a+1广21再从不等式-2<a (2)(成都中考)若3ab-3b2-2=0,则代数式 <3中选择一个适当的整数，代入求值. （1-2a#）÷房的值为 x+3y=0, 8.如果实数x,y满足方程组 那么 2x+3y=3, 代数式（华，+2）十，的值为 9计第：02y(++ 课后演练 【基础过关】 1(眉山中考)化简1+。)产。二的结果是 ②会6若-a A.a1Ba1C.。D.a a a 2.化简（合+号》）÷（侵）小·a6,其结果是 () A.a D.aa ·14· 10.(委底中考)先化简，再求值：（千2）÷ 2其中x满足x2-3x-4=0. 【能力提升】 11.已知x2-3x+1=0,则2x+1= 12.已知2x2=x+3,y=8x3+2x2-15.x,计算 -8y4y+4)÷与的值是 (y+2 y-1 核心素养 13设A=1中a。(aa》 a-2 (1)化简A; (2)当a=3时，记此时A的值为f(3);当 a=4时，记此时A的值为f(4)；… 解关于x的不等式：-7≤f(3)+ ·15· 第15章分式 f(4)+…+f(11),并将解集在数轴上表示 出来 54-320123456 指南针·八年级下磨·数学(HS) 专题训练一 类型①分式的运算 1,(衡阳中考)计算：2工-x=· 2.计算1+)2+2红中的结果是 3.化简：1-8÷22-1 a+2a2+4a+4 4.(大连中考)计算：十4+4÷+2-一1， x+2 x-2 5(碳西中考)化简：。。品）÷。 类型②分式的化简求值 6惊州中考)先化简，再求值(m+2+2, 清其加为调足-1了m<4的整数 分式的化简求值 7.矿元中考)先化简，再求值：(y+,2) 2其中x=8+18。 2 &(锦阳中考)先化简，再求值：（义-》宁 +y,其中x=1,y=10. x一y 16·指南针· 指南针·八年级 第15章分式 :2.公因式公因式最简分式 3.相等同分母的分式最高次幂的积 典例精析 15.1分式及其基本性质 【例1】(1)2x十6；(2)y;(3)(x-y)2;(4)b. 第1课时分式 【变式训练1】D 知识梳理 【9】 (2)-4x3y. 1.整式含有字母≠02.有理式单项式多项式 (3)2+3 3 3.(1)≠0(2)=0 x一3 （4)5a6-6 4.(1)分式的分子、分母同号(2)分式的分子、分母异号 典例精析 【变式训练2】1原式=一(2)原式=十 x 【例】整式有：是日2时-3分式有之中， -3x2z 【例3】1)24乏(2)2z十1 2(x-1)2 x十y,a十b 【变式训练3】(1)10ac(2)(x-2)(x一1) xy 'a-b' 【变式训练1】B 【例2】(1)由x十2=0，得x=-2, 【例4)(1)-96y ax e2器 (3)9+6 2a++b “当x≠一2时，分式二名 x+2有意义. 【变式训练4】D 课后演练 (2)由x一2=0，得x=士2， 1.D2.A3.D4.D “当≠士2时，分式园子有意义 5a%(2号 (3)x-y+1 (3)由x2=0,得x=0, 6.x+30ab+87.108.x-19.m+4 3 3 ∴当x≠0时，分式有意义 10.(1).最简公分母为12x3, (4):无论x取任何值时，x2十4的值都是一个正数. 无论x取任何值，分式十都有意义。 器2=竖 2-1=3x2-3 【变式训练2】C 4x3 12x3 【例3】(1)当x+2=0,且3x十3≠0时， (2)最简公分母为(x十3)2(x一3)， 即x一2时，分式+考的值为零。 x-3 小2+6z+9=(x+3)2(x-3) (2)当|x一3=0，且(x一1)(x十3)≠0时， x十3(x十3)3 即：3时，分式。的值为零。 x-3(x+3)2(x-3)' x2+3x 【变式训练3】C xg=x+3-3) 11. 12.413 课后演练 核心素养 1.B2.A3.B42y5.1)±2 (2)a≠1 V1+V2 14员 6.180'(m-2)360 n n 15.2分式的运算 1(1+0)8+器。×160% 第1课时分式的乘除 8.(1)a=0,(2)a=7,(3)a<2且a≠0，（④）a>2,(5)3 知识梳理 :1.分子的积分母的积 9.(1)要使分式无意义，则x十3=0，得x=一3. 2.分子、分母颠倒位置被除式3.乘方 (2)要使分式有意义，则x十3≠0，得x≠一3. 典例精析 (3)要使分式值为零，则父一9=0， 【例】()原式=品 x+3≠0. 解得红一士3所以工=3. (2)原式=品·（一器）=品 x≠一3. 10.(1<3(2)<311.6212.a>1 (3)原式=-《x十少2 x(x-y) 核心素养 (4)原式=一y. 【变式训练1】(1)C(2)A 13.1 第2课时分式的基本性质 【例2】(1)原式=a2b(2)原式= a bc6 知识梳理 1.不等于零的整式不变 【变式训结2】(2一等)一号 、年级下册·数学参考答案(HS) 下册·数学·同步参考答案 【例3】原式= m2-1 1 .m2+2m =4 m2+4m+4m+1 m-1 y =m十1D(m-12.1,mm+2) =1. (m+2)2 m+1 m-1 1 13.-2 .m 12.一2 m+2 14.原式=十y一二y十=0. 当m=6时，原式=子. x一y+z 核心素养 【变式训练3】 原式= o÷(8号+。) 1 m=- 3 15.(1) 4x-3 2 a n一3 (22=3x-2-2z+1+ x-2 a2a品 a-1).a1 a 第3课时 分式的混合运算 a 知识梳理 1 乘方乘除加减括号内 典例精析 1 【例1】(1)原式=一 1 Q5+1时，原式+1， atb (2)原式=m m+1 课后演练 【变式训练1】(1)A(2)A 1.A2.B3.B4.B m2-m十4 5.(号(2器3)-元 6.(1)(2) 【例2】(1)原式=(m十1)(m-' 7号891)6 y2 当m=2时，原式=4一？+4=2 3 (2)x+1 na y 10路1.C2.帚 (2)原式=工十1 （-1)"+1。n x2 2n+1 当x2-x-1=0时，x2=x十1，原式=1. 核心素养 (3)原式=一x一4， 1 当x=一4十3时， 原式=-（一4十3）一4=一√3. 【变式训练2】 a a2-1 (a--a+1）÷a+2a+1 第2课时 分式的加减 g2-a2+1.(a+1)2 知识梳理 a+1 (a+1)(a-1) 14 :1.分母分子2.通分同分母的分式加减 1 典例精析 a-1" 【例】1原式-子；(2)原式=一m-2. -2<a<3且a≠±1， ∴.a=0符合题意 【变式训练1】(1)A(2)2 1 【例2】(1)原式=a十a 2 (2)原式=0. 当a=0时，原式=0白=-1. 【变式训练2】B 课后演练 1.B2.B3.A4.C5.a+26.-a 课后演练 1.B2.D3.B4.D5.D 7.(1)3651 (2)号81 6.(1)x+5(2)1(3)3 1 9.(1)原式=y(2)原式=110.原式=2 7.①m二2（②）m 1819.二 x-2 10a2e:-2w②2a3ea+2 1合12 24a2b c 核心素养 a 11.x=义=2， 13.(1)A=a2+a (2)原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示： x=3y, （x-yx+y)·(x-y)7 内43210123456 2x 专题训练一分式的化简求值 =(x+y(x- .(x-y)2 x 类型1 =2(x二y) x+y 112+13+ 177 指南针·八年级下册 4.原式= 5原式=十 x x-1+名=a-1+ 类型2 6.略7.略8.略 由上述结论可得：a=a,=8十 a-l 15.3可化为一元一次方程的分式方程 第2课时分式方程的应用 知识梳理 第1课时分式方程 (⑤)是不是分式方程的解是否符合题意(6)单位 知识梳理 典例精析 1.未知数 【例1】自行车的速度是14km/h,汽车的速度是42km/h. 2.(1)分解因式(2)最简公分母整式方程(3)解 【变式训练1】D (4)0增根不为0原分式方程的根分母为0 【例2】乙单独整理100分钟完工.【变式训练2】100 典例精析 【例3】(1)甲、乙两种玩具的进价分别为15元/件、25元/件. 【例1】(1)原方程化为 (2)商场共有4种进货方案. 3 6 【变式训练3】(1)每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B x(x+D+x(x-D-(x+D(x-D' 型机器每天搬运货物100吨(2)购买A型机器12台，B型机 方程两边同乘x(x+1)(x一1)得 器18台时，购买总金额最低是54万元 7(x-1)+3(x+1)=6.x. 课后演练 化简，得4x=4,解得x=1. 1.D2.A3.C4.36-36+9=205.500 1.5.x 经检验，当x=1时，x(x十1)(x一1)=0， 6.(1)实际施工时，每天改造管网的长度是72米 ∴x=1不是原方程的解，原分式方程无解。 (2)以后每天改造管网至少还要增加36米 (2)原方程化为=十2-D 7.352 核心素养 化简，得x十2=3， 8.(1)9万元(2)共有5种进货方案(3)a=0.5 解得x=1,经检验，x=1不是原方程的解，原方程无解. 【变式训练】（①x=号(2）x=号 15.4零指数幂与负整数指数幂 【例2】先去分母，化为整式方程，再令x2一1=0，求出x的 第1课时零指数幂与负整数指数幂 值，代入整式方程，可求出m. 知识梳理 2 5 1. 1.不等于零的数的1 x+1x-1=(x+10(x-D' 典例精析 2(x-1)-5(x+1)=m.① 【例】()原式=-1号 (2)原式=1990 令(x十1)(x-1)=0,得x=士1， 把x=1代入①，得m=一10. 【变式训练】(1)原式=2(2)原式=c 4 把x=一1代入①，得m=一4 【例2】a原式=(2)原式= (3)原式=648x5y8 .m=-10或一4. 【变式训练2】B 【例3】原方程化为整式方程， 【变式训练2】（①）-品（②）子c mn 得2-x一m=2(x一2)，解得x=2-号， 课后演练 1.A2.B3.D4.B5.x≠-4 因为关于x的方程2，十十m=2的解为正数， x-2十2-x 6.(1①)号(2)2 可得2-罗>0，解得m<6, 7.-1或28.a>b>c9.(1)6(2)W3+2 因为x=2时原方程无解， 10.C11.一y(x-y 12.-1或3或113.8 所以可得2-号≠2，解得m≠0， 核心素养 14.81 所以m<6且m≠0. 第2课时 科学记数法 【变式训练3】m≥一5且m≠一3 知识梳理 课后演练 a×10-" 1≤|a|<10 1.B2.D3.B 典例精析 4言576-17k<4且及≠0 【例1】(1)0.0000506=5.06×10-5. (2)-0.001=-1×10-3. 81Dz=4(2)x=4(③x=-号 (3)0.00031=3.1×10-4 9.(1)±1(2)x=110.4 (4)一0.000245=-2.45×10-4 11.m>1且m≠9 【变式训练1】(1)9.94×10-4(2)9.9×10-4 核心素养 (3)1×10-3 【例2】1平方厘米是这种光纤横截面积的8.0×10倍 13.1)=c,=,将石=c,=, 【变式训练2】(1)6.4×10-2m3(2)6.4×10(个) 分别代入原方程，均符合，因此猜想正确. 课后演练 (2)x+,2 =a+。可化为： 1.A2.B3.D4.3.14×1053.14×10-3 5.2.5×10-96.6×10-9 19 ·数学参考答案(HS) 7.(1)0.000042(2)0.00306 【例6】(1)A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进 8.(1)2.3×10-4(2)-7.89×10-6 价为600元； (3)3.2×103(4)2.0100076×10 (2)该商场共有3种购买方案， 9.C10.C 方案1：购进A种家电65件，B种家电35件； 核心素养 方案2：购进A种家电66件，B种家电34件； 11.(1)70(个)(2)1.6×10-3个(3)121（年） 方案3：购进A种家电67件，B种家电33件； (3)这10件家电中包含4件B种家电. 第15章专题复习 章未测试题 【例1】(1)原式=a-1. 由a2=4,得a=士2，依题意a≠-2， 一、选择题 所以把a=2,代人原式=1. 1.D2.B3.C4.D5.A6.B7.D8.D (2)原式=x 二、填空题 -1’ 9710.3L62m>0且m≠113.36.5 由题意x≠0,1，一1， 三、解答题 22 “当x=2时，原式=2二1=4. 14.(1)原式=一 m十3(2)原式=a 2 a-4 【例2】“x2-x+=7心x0, (3)原式=x一x2. +中-分即x+是=号 15.(1)x=2(2)原方程无解16.略 17.(1)A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2 :心+出=2+2+1 万元 x (2)方案三所需总费用最少，最少费用=16×0.9十1.2×9= =(x+2)》°-1 25.2(万元) 第16章 函数及其图象 49 小x++16 16.1 变量与函数 【例3】由x2-5x十1=0，知x≠0， 知识梳理 由此得x十1=5. 1.不同数值保持不变 2.两个唯一自变量因变量函数 “x+是=(+是)°-2 3.解析法列表法图象法 典例精析 -[(x+)-2]-2 【例1】D 【例2】(1)S与x之间的关系式为S=x(30一x),常量为30，变量 =(52-2)2-2 为S与x =527. (2)y与n之间的关系式为y=0.4,常量为0.4，变量为y与n 【例4)设十c=十e=a十b=kk≠0)， a b c 【变式训练1)V,R4 RRR V .b+c=ak,c十a=bk,a十b=ck. 【例3】(1)x为一切实数.(2)x≠一3. .b+c+caHa+b=ak+bk+ck, (3)-1≤x≤3. ∴.2(a+b+c)=k(a+b+c), 【变式训练2】(1)A(2)D (a十b+c)(2-k)=0, 课后演练 即k=2或a十b十c=0, 1.C2.C3.C4.(1)x≥-2且x≠1(2)x>1且x≠2 代人到的十c=c十0=a十也=k中， 5.S=8x(x>0)6.y=180-2x a b c 7.(1)y是x的函数(2)“加速期”结束时，小斌的速度为 ∴原式=abc 1 10.4m/s(3)答案不唯一.例如：根据图象信息，小斌在80 abck 米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩. 即原式=名或原式一1 8.D9.D 核心素养 1 9’a 10.(1y=1.5x+1≥2)（②号≤<5 (日++2)×2=+号+品， 11 16.2函数的图象 +6+=瑞 c-180 第1课时平面直角坐标系 abc abc÷abc ab bc ac(ab -be ac)abe 知识梳理 3.(1)|y(2)|x|(3)√2+y 2+。+6 4.(x,y±b)(x±a,y) 典例精析 1180 31-31 【例1】(1)2，(2)号，(3)三.【变式训练1】D 180 【例2】P、P2关于x轴对称，