期末冲刺大题分类训练：培优之动角问题压轴题2025-2026学年北师大版七年级数学上册

期末冲刺大题分类训练：培优之动角问题压轴题 1．已知：O为直线AB上的一点，射线OA表示正北方向，射线OC在北偏东m°的方向，射线OE在南偏东n°的方向，射线OF平分∠AOE，且2m+2n＝180． （1）如图，∠COE＝　 　 °，∠COF和∠BOE之间的数量关系为　 　 ． （2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，射线OF仍然平分∠AOE时，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明，若发生变化，请你说明理由； （3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE时，则2∠COF+∠BOE＝　 　 °． 2．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放一起． （1）如图1，若CE恰好是∠ACB的角平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的角平分线？并简述理由． （2）如图2，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由． （3）如图2，若CB始终在∠DCE的内部，设∠BCE＝β，试用含β的代数式表示∠ACD的度数，并说明当β的值增大时，∠ACD的大小会发生怎样的变化？ 3．如图，O为直线AD上的一点，射线OA表示O点的正北方向，射线OC表示O点的北偏东m°方向，射线OE表示O点的南偏东n°的方向，射线OF平分∠AOE，且2m+2n＝180． （1）如图1，∠COE＝　 　 °，∠COF和∠DOE之间的数量关系为　 　 ． （2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，请写出∠COF和∠DOE之间有何数量关系并说明理由； （3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE时，请写出∠COF和∠DOE之间有何数量关系并说明理由． 4．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∠AOC的平分线为OE． （1）请用尺规作图方法作出∠BOC的平分线OF，不写作法，保留作图痕迹； （2）在（1）的基础上，求出∠EOF的度数； （3）若将条件∠AOB＝90°，∠BOC＝60°改为：“∠AOB＝x°，∠EOF＝y°，其中OE、OF仍为∠AOC、∠BOC的平分线． ①请用x的代数式来表示y；②如果∠AOB+∠EOF＝126°，则∠EOF是多少度？ 5．综合与探究 特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点． ①若AC＝4cm，则线段DE的长为 　 　 cm． ②设AC＝acm，则线段DE的长为 　 　 cm． 知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数． 拓展探究：（3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，∠AOB＝α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示） 6．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠COD绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝ 　 　 °； （2）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜60），求∠MOC、∠NOD的度数．（用含n的代数式表示） （3）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数． 7．如图，已知∠AOB＝60°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝2∠BOC． （1）∠BOC的度数为 　 　 ； （2）射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠COD． ①若射线OD在∠AOC的内部，且∠EOC+∠BOD＝65°，求∠COE的度数； ②若∠AOD＝α°（0＜α＜40），直接写出∠BOE的度数（用含α的式子表示）． 8．已知∠AOB＝130°，作射线OC，∠BOC＝α，射线OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线． （1）当射线OC在∠AOB的内部时，如图，若α＝30°，求∠DOE的度数； 下面是小东的解答过程，请你补充完整． 解：（1）因为OD是∠AOB的平分线，且∠AOB＝130°， 所以∠BOD（ 　 　 ）（填写推理依据）． 因为OE是∠BOC的平分线，且∠BOC＝α＝30°， 所以∠BOE∠BOC＝ 　 　 °， 所以∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝ 　 　 ． （2）当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE的度数为 　 　 （用含α的式子表示）． 9．已知：射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝8∠BOC，∠COD＝2∠BOC，OE平分∠AOD． （1）如图1，若∠AOB＝180°，OD是∠AOC内部的一条射线，求∠COE的度数； （2）若0°＜∠AOB＜180°，∠BOC＝α，请在备用图中补全图形并直接写出∠COE的度数（用含α的代数式表示）． 10．（1）利用一副三角板可以画出一些特殊角，在①135°，②120°，③75°，④150°，⑤35°，⑥15°，四个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是 　 　 ；（填序号） （2）在图①中，求∠BOD的度数； （3）如图①，先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上（图①），固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度a（如图②），当OB平分∠EOD时，求旋转角a的度数． 11．（1）如图1，将两块同样的直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，边CE在∠ACD内部． ①若∠DCE＝40°，则∠ACB＝　 　 °，若∠ACB＝120°，则∠DCE＝　 　 °； ②猜想∠ACB与∠DCE的度数有何特殊关系，并说明理由． （2）如图2、图3，将两块同样的直角三角尺的60°角顶点和30°角顶点A重合．在图2和图3中，分别写出∠DAB与∠CAE的度数关系． （3）如图4，已知∠AOB＝α，∠COD＝β，（α，β都是锐角且α＞β），OC在∠AOB的内部．请你先把图形补充完整，再用α、β表示出∠AOD与∠BOC的度数关系．（提示：有几种情况，就画几个图．） 12．已知：∠AOB和∠COD是直角． （1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 　 　 ； （2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数． 13．在数学活动课上，张老师将两个直角三角尺按如图所示方式摆放，探究∠AOD与∠BOC的数量关系． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，已知∠AOB＝∠COD＝90°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝　 　 ．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝　 　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝∠COD＝45°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝　 　 ．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝　 　 ． 【特例启发，解答题目】 （3）如图③，若∠AOB＝∠COD＝α，∠AOD＝β，则∠BOC＝　 　 （用含α和β的式子表示）． （4）如图④，已知∠AOB＝50°，∠COD＝100°，则∠AOD+∠BOC＝　 　 ． 14．（1）如图所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数． （2）如果（1）中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数． （3）如果（1）中∠BOC＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数． （4）从（1）（2）（3）的结果你能看出什么规律？ （5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）～（4），设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律来？ 15．（1）如图1，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE＝　 　 ． （2）如图2，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线，若∠AOC＝30°，，，求∠DOE的度数． （3）如图2，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线，若，∠COE，其余条件不变，直接写出∠DOE的度数． （4）如图3，点O为直线AB上任意一点，OD是∠AOC的平分线，OE在∠BOC内，∠COE，∠DOE＝72°，求∠BOE的度数． 16．（1）如图1，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起． ①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝　 　 ；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝　 　 ． ②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由． （2）如图2，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由． 17．如图，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，，．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图（1）中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图（2），此时∠MON＝　 　 °； （2）∠COD从图（2）中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图（2）中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值． 18．如图1，把一副三角板拼在一起，边OA、OC与直线EF重合，其中∠AOB＝45°，∠COD＝60°． （1）求图1中∠BOD的度数； （2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板AOB一直在∠EOD的内部，设∠EOA＝α． ①若OB平分∠EOD，求α； ②若∠AOC＝4∠BOD，求α． 19．（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起． ①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝　 　 ；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝　 　 ． ②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由． （2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由． （3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图3所示，∠AOD与∠BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由． 20．已知O是直线AB上点，∠COD＝90°，OE是∠AOD的平分线． （1）如图1，若射线OC，OD，OE在直线AB的同侧． ①若∠COE＝25°，求∠BOD的大小； ②猜想∠COE与∠BOD的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若射线OC与射线OD，OE分别在直线AB的两侧，且∠COE＜90°，其它条件不变（1）中第②小题的结论是否仍然成立？请说明理由． 参考答案 1．解：（1）∵2m+2n＝180 ∴m+n＝90 ∠COE＝180﹣m﹣n＝90°，∠BOE＝2∠COF；（4分） （2）不发生变化．证明如下： ∵∠COE＝90° ∴∠COF＝90°﹣∠EOF（5分） ＝90°∠AOE（6分） ＝90°（180°﹣∠BOE） ＝90°﹣90°∠BOE ∠BOE（7分） ∴∠BOE＝2∠COF（8分） （3）360°．（10分） 故答案为：（1）90°，∠BOE＝2∠COF （3）360° 2．解：（1）CB是∠ECD的角平分线， ∵∠ACB＝90°，CE恰好是∠ACB的角平分线， ∴∠ECB＝45°， ∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ECB＝∠DCB， ∴CB是∠ECD的角平分线； （2）∠ACE＝∠DCB， ∵∠ACE+∠ECB＝90°，∠DCB+∠ECB＝90°， ∴∠ACE＝∠DCB； （3）∠ACD＝90°+90°﹣∠BCE＝180°﹣β， 当β的值增大时，∠ACD的度数逐渐减小． 3．解：（1）∵2m+2n＝180 ∴m+n＝90 ∠COE＝180﹣m﹣n＝90°，∠DOE＝2∠COF； （2）不发生变化．证明如下： ∵∠COE＝90° ∴∠COF＝90°﹣∠EOF ＝90°∠AOE ＝90°（180°﹣∠DOE） ＝90°﹣90°∠DOE ∠DOE． ∴∠DOE＝2∠COF （3）∵∠COF＝∠COE+∠EOF＝90°+∠EOF， ∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+∠EOF， ∴∠DOE+∠COF＝180°+2∠EOF， 又∵∠AOE＝2∠EOF， ∴∠DOE+∠COF＝180°+∠AOE， ∴∠DOE+2∠COF＝360°． 4．解：（1）作图 （2）∵OE为∠AOC的平分线． ∴∠COE（90°+60°）＝75°． ∵OF为∠BOC的平分线． ∴∠COF60°＝30°， ∴∠EOF＝75°﹣30°＝45°； （3）①设∠BOC的度数为z度，则由题意得 y（x+z）zx， ②∵∠AOB+∠EOF＝126°， 又yx， ∴∠EOF∠AOB， 即∠AOB＝2∠EOF， ∴3∠EOF＝126°， 即∠EOF＝42°． 5．解：（1）①∵AC＝4cm，AB＝16cm， ∴BC＝AB﹣AC＝16﹣4＝12（cm）， 又∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴CD＝2cm，CE＝6cm， ∴DE＝CD+CE＝2+6＝8（cm）； 故答案为：8cm； ②∵AC＝acm，AB＝16cm， ∴BC＝AB﹣AC＝（16﹣a）cm， 又∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴CDacm，CE（16﹣a）cm， ∴DE＝CD+CEa（16﹣a）＝8（cm）； 故答案为：8cm； （2）∵由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC，∠CON∠COB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠MON＝∠MOC+∠CON（∠AOC+∠COB）∠AOB＝60°， 即∠MON的度数为60°； （3）∵∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON， ∴∠MOD∠AOD，∠CON∠BOC， ∵∠AOB＝α，∠COD＝30°， ∴∠MON＝∠MOD+∠CON+∠COD ∠AOD∠BOC∠COD∠COD （∠AOD+∠BOC+∠COD）∠COD ∠AOB∠COD α+10°， 即∠MON的度数为α+10°． 6．解（1）∵，， ∴∠DON＝60°﹣20°＝40°， ∴∠MON＝∠AOB+∠BOD﹣∠AOM﹣∠DON ＝120°+60°﹣40°﹣40° ＝100°； 故答案为：100； （2）如图， ∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°， ∵，， ∴，； （3）①当0＜n＜60时，如图， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°， ∵，， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON ＝100°； ②当60＜n＜120时，如图， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC﹣∠BON ＝100°． 综上所述：∠MON的度数为100°． 7．解：（1）∵∠AOB＝60°，射线OC在∠AOB的内部， ∴∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°， 又∵∠AOC＝2∠BOC， ∴2∠BOC+∠BOC＝60°， ∴∠BOC＝20°， 故答案为：20°； （2）①如图1所示： ∵射线OD在∠AOC的内部，OE平分∠COD， ∴∠DOC＝2∠EOC， 由（1）可知：∠BOC＝20°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝20°+2∠EOC， ∵∠EOC+∠BOD＝65°， ∴∠EOC+20°+2∠EOC＝65°， ∴∠EOC＝15°， 即∠COE的度数为15°； ②由（1）可知：∠BOC＝20°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°， ∵OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，∠AOD＝α°（0＜α＜40）， ∴有以下两种情况： （ⅰ）当OD在OA的右侧时，如图2所示： ∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝40°﹣α°， ∵OE平分∠COD， ∴∠COE∠COD（40°﹣α°）＝20°α°， ∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝20°+20°α°＝40°α°； （ⅱ）当OD在OA的左侧时，如图3所示： ∵∠DOC＝∠AOC+∠AOD＝40°+α°， ∵OE平分∠COD， ∴∠COE∠COD（40°+α°）＝20°α°， ∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝20°+20°α°＝40°α°． 综上所述：∠BOE的度数为40°α°或40°α°． 8．解：（1）因为OD是∠AOB的平分线，且∠AOB＝130°， 所以∠BOD∠AOB＝65°（角平分线的定义）， 因为OE是∠BOC的平分线，且∠BOC＝α＝30°， 所以∠BOE∠BOC＝15°， 所以∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝50°， 故答案为：角平分线的定义，15，50°； （2）射线OC在∠AOB的外部， ①如图2， ∵OD是∠AOB的平分线，且∠AOB＝130°， ∴∠BOD∠AOB＝65°， ∵OE是∠BOC的平分线，且∠BOC＝α， ∴∠BOE∠BOCα， ∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝65°α， ②如图3， 由①同理可知：∠BOEα，∠BOD＝65°， ∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD 65°， 故答案为：65°α或65°． 9．解：（1）∵∠AOB＝180°，∠AOC＝8∠BOC， ∴∠AOC∠AOB180°＝160°，∠BOC180°＝20°， 又∵∠COD＝2∠BOC， ∴∠COD＝2×20°＝40°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOC﹣∠COD＝180°﹣20°﹣40°＝120°， 又∵OE平分∠AOD． ∴∠DOE∠AOD120°＝60°， ∴∠COE＝∠EOD+∠COD＝60°+40°＝100°； （2）如图2，当OD在∠AOC内部时， ∵∠BOC＝α， ∴∠COD＝2α，∠AOC＝8α，∠AOB＝9α， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝9α﹣α﹣2α＝6α， 又∵OE平分∠AOD， ∴∠DOE∠AOD6α＝3α， ∴∠COE＝∠EOD+∠COD＝3α+2α＝5α； 如图3，当OD是∠AOC外部时， ∵∠BOC＝α，则∠COD＝2α，∠AOC＝8α，∠AOB＝9α， ∴∠AOD＝10α， 又∵OE平分∠AOD． ∴∠DOE∠AOD10α＝5α， ∴∠COE＝∠EOD﹣∠COD＝5α﹣2α＝3α， 综上所述，∠COE的度数为5α或3α． 10．（1）利用一副三角板可画出的角，应是15°角的整数倍，因此①②③④⑥都可以画出来，但⑤画不出来； 故答案为：⑤； （2）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°； （3）∵∠COD＝60°， ∴∠EOD＝180°﹣∠COD＝120°； ∵因为OB平分∠EOD， ∴∠BOE＝∠BOD＝60°， ∵∠AOB＝45°， ∴旋转角a＝∠BOE﹣∠AOB＝15°． 11．解：（1）①若∠DCE＝40°，则∠ACE＝90°﹣∠ECD＝50°，∠BCD＝90°﹣∠DCE＝50°， ∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝140°， 若∠ACB＝120°，则∠DCE＝∠ACD+∠ECB﹣∠ACB＝60°， 故答案为：140，60， ②∵∠DCE＝∠ACD+∠ECB﹣∠ACB， ∴∠ACB+∠DCE＝180°； （2）如图2：∠DAC+∠EAB＝∠CAE+∠DAB，即∠CAE＝∠DAC+∠EAB﹣∠DAB， ∵∠DAC＝60°，∠EAB＝30°， ∴∠CAE+∠DAB＝90°， 如图3：∠DAB＝∠DAC+∠CAE+∠EAB， ∵∠DAC＝60°，∠EAB＝30°， ∴∠DAB＝90°+∠CAE； （3）①OD在∠BOC内部时， ， ∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD， ∴∠AOD+∠BOC＝α+β， ②OD在OB上方时， ， ∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOC＝∠COD﹣∠BOD， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β ③OD在∠AOC内部时， ， ∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∠AOD+∠COD+∠BOC＝∠AOB， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB﹣∠COD＝α﹣β， ④OD在OA下方时， ， ∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∠AOD+∠AOC＝∠COD，∠AOC+∠BOC＝∠AOB， ∴∠BOC﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝α﹣β． 12．解：（1）∵射线OB在∠COD内部， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°， 故答案为：∠AOD+∠BOC＝180°； （2）∵射线OA，射线OB都在∠COD外部， ∴∠AOD+∠BOC＝180°， ∵，，即∠AOF∠AOD， ∴4∠BOE+4∠AOF＝180°，即∠BOE+∠AOF＝45°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE＝135°； （3）设∠GOF＝4x，则∠GOE＝5x， ①当射线OG在∠EOF内部时， 4x+5x＝135°， 解得：x＝15°， 此时∠GOE＝75°， ②当射线OG在∠EOF外部时， 4x+5x＝360°﹣135°， 解得：x＝25°， 此时∠GOE＝125°， ∴∠GOE＝75°或∠GOE＝125°． 13．解：（1）∵∠AOB＝90°，且∠AOD＝25°， ∴∠AOC＝90°﹣25°＝65°， ∴∠BOC＝AOC+∠AOB＝65°+90°＝155°． ∴∠AOD+∠BOC＝25°+155°＝180°． 故答案为155°，180°． （2）∵∠AOB＝45°，且∠AOD＝25°， ∴∠BOD＝45°﹣25°＝20°， ∴∠BOC＝∠DOC+∠BOD＝45°+20°＝65°． ∴∠AOD+∠BOC＝25°+65°＝90°． 故答案为65°，90°． （3）∵∠AOB＝α，∠AOD＝β， ∴∠BOD＝α﹣β， ∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝α﹣β+α＝2α﹣β． 故答案为：2α﹣β． （4）设∠AOD＝γ， ∴∠BOD＝50°﹣γ， ∴∠AOD+∠BOC ＝∠AOD+∠BOD+∠COD ＝γ+50°﹣γ+100° ＝150°， 故答案为：150°． 14．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝90°+30°＝120°， 又OM平分∠AOC， ∴∠MOC∠AOC＝60°， 又∵ON平分∠BOC， ∴∠NOC∠BOC＝15° ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°； （2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝α+30°， 又OM平分∠AOC， ∴∠MOC∠AOC15°， 又∵ON平分∠BOC， ∴∠NOC∠BOC＝15° ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC； （3）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝90°+β， 又OM平分∠AOC， ∴∠MOC∠AOC45°， 又∵ON平分∠BOC， ∴∠NOC∠BOC ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°； （4）从（1）（2）（3）的结果可知∠MON∠AOB； （5） ①已知线段AB的长为20，线段BC的长为10，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，求线段MN的长； ②若把线段AB的长改为a，其余条件不变，求线段MN的长； ③若把线段BC的长改为b，其余条件不变，求线段MN的长； ④从①②③你能发现什么规律． 规律为：MNAB． 15．解：（1）∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠COD∠AOC，∠COE∠BOC， ∴∠COD+∠COE（∠AOC+∠BOC）， ∴∠DOE（∠AOC+∠BOC）， ∵点O为直线AB上任意一点， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠DOE（∠AOC+∠BOC）＝90°， 故答案为：90°； （2）∵点O为直线AB上任意一点， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∵∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°， ∴∠COD∠AOC＝10°，∠COE∠BOC＝50°， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝60°； （3）∴设∠COD＝α，∠COE＝β， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝α+β， ∵∠COD∠AOC，∠COE∠BOC， ∴∠AOC＝nα，∠BOC＝nβ， ∵点O为直线AB上任意一点， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∴nα+nβ＝180°， ∴α+β， ∴∠DOE； （4）∵OD是∠AOC的平分线， ∴设∠AOD＝∠COD＝θ，则∠AOC＝2θ， ∵点O为直线AB上任意一点， ∴∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2θ， ∵∠DOE＝72°， ∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝72°﹣θ，∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝θ+72°， 又∵∠COE∠BOC， ∴， 解得：θ＝36°， ∴∠AOE＝θ+72°＝108°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝72°． 16．解：（1）①依题意得：∠ACD＝∠ECB＝90°， ∵∠DCE＝25°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣25°＝65°， ∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝65°+90°＝155°． ∵∠ACB＝130°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝130°﹣90°＝40°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：65°，50°． ②∠ACB与∠DCE的数量关系是：∠ACB＝180°﹣∠DCE，理由如下： 由（1）可知：∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣∠DCE， ∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE． （2）∠DAB与∠CAE的数量关系：∠DAB＝120°﹣∠CAE，理由如下： 依题意得：∠DAC＝∠EAB＝60°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝60°﹣∠CAE， ∴∠DAB＝∠DAE+∠EAB＝60°﹣∠CAE+60°＝120°﹣∠CAE． 17．解：（1）∵OC与OB重合， ∴∠BOD＝∠COD＝60°， ∠AOC＝∠AOB＝120°， ∴∠AOM∠AOC＝40°， ∠BON∠BOD＝20°， ∴∠MOB＝80°， ∴∠MON＝∠MOB+∠BON＝100°， 故答案为：100； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60）， ①当0＜n＜60时，如（图1）， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON （120°﹣n°）+n°（60°﹣n°） ＝100°； ②当60＜n＜120时，如（图2）， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON （120°﹣n°）+60°（n°﹣60°） ＝100°； （3）∵0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数， ∴分三种情况： ①0＜n＜60时，如图3， 由题意得：∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°， ∠BOD＝n°+60°， ∴∠AOM∠AOC＝40°n°， ∠BON＝∠BOD＝20°n°， ∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝80°n°， ∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝100°， ∵∠MON＝2∠BOC， ∴2n°＝100°， ∴n＝50； ②60＜n＜120时，如图4， 由题意得：∠BOC＝n°，∠MON＝2∠BOC＝2n°， ∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC＝360°﹣120°﹣n°＝240°﹣n°， ∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝n°+60°， ∴∠AOM∠AOC＝80°n°， ∠BON∠BODn°+20°， ∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝200°n°， ∴∠MON＝360°﹣∠BOM﹣∠BON＝140°， ∴2n＝140， ∴n＝70； ③120＜n＜180时，如图5， 同理可得：∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝180﹣n°， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝240°﹣n°， ∠BOD＝∠AOB+∠AOD＝300°﹣n°， ∴∠AOM∠AOC＝80°n°， ∠BON∠BOD＝100°n°， ∴∠MON＝∠AOM+∠AOB﹣∠BON＝100°， ∴2n°＝100°， ∴n＝50不符合120＜n＜180，舍去， 综上所述，n的值为50或70． 18．解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°， 答：∠BOD＝75°； （2）①∵∠COD＝60°， ∴∠EOD＝180°﹣60°＝120°， 当OB平分∠EOD时，∠EOBEOD＝60°， ∵∠AOB＝45°， ∴∠EOA＝60°﹣45°＝15°， ∴α＝15°； ②当射线OB在∠EOD内部时， ∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠EOA＝α， ∴∠BOD＝180°﹣45°﹣60°﹣α＝75°﹣α， ∵∠AOC＝180°﹣α， ∴180°﹣α＝4（75°﹣α）， 解得α＝40°． 综上所述，满足条件的α的值为40°． 19．解：（1）①∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°， ∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝65°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+65°＝155°； ∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝130°﹣90°＝40°， ∵∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：155°，50°； ②∠ACB+∠DCE＝180°， 理由如下：∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCB， ∴∠ACB+∠DCE ＝∠ACE+∠DCE+∠DCB+∠DCE ＝∠ACD+∠BCE ＝180°； （2）∠DAB与∠CAE的数量关系是：∠DAB+∠CAE＝120°． 理由： ∵∠DAB+∠CAE＝（∠DAC+∠BAC）+∠CAE ＝∠DAC+∠BAC+∠CAE ＝∠DAC+（∠BAC+∠CAE） ＝∠DAC+∠BAE 又∠DAC＝∠BAE＝60°， ∴∠DAB+∠CAE＝60°+60°＝120°； （3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下： ∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD， ∴∠AOD+∠BOC ＝∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC ＝∠AOB+∠COD ＝α+β． 20．解：（1）①∵∠COD＝90°，∠COE＝25°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝65°． ∵OE是∠A0D的平分线， ∴∠AOD＝2∠DOE＝130°． ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝50°． ②∠BOD＝2∠COE，理由如下： ∵OE是∠A0D的平分线， ∴∠AOD＝2∠DOE． ∴180°﹣∠BOD＝2∠DOE． ∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE． ∴180°﹣∠BOD＝2（90°﹣∠COE）． ∴∠BOD＝2∠COE． （2）第②小题的结论仍然成立，即∠BOD＝2∠COE，理由如下： ∵OE是∠A0D的平分线， ∴∠AOD＝2∠DOE． ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2∠DOE． ∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE， ∴∠BOD＝180°﹣2（90°﹣∠COE）． ∴∠BOD＝2∠COE． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/15 13:47:33；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $