培优03 与正方形有关的综合问题（7大题型）数学鲁教版五四制八年级下册

培优03 与正方形有关的综合问题（7大题型） 题型1 正方形的判定问题 抓核心条件——先证平行四边形（一组对边平行且相等），再补 "邻边相等+一个直角" 或 "对角线相等且垂直"．若直接四边等且四角90°，则无需平行四边形过渡。注意隐含条件（如等腰Rt△提供直角和邻边等）． 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 4．（2025·山西长治·二模）如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（   ）    A．一定会出现平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当，且时四边形为正方形 D．当，且时，四边形为菱形 5．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，且，那么四边形是正方形．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 7．（24-25八年级下·河北保定·期末）数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　） A．小明和小红正确，小刚错误 B．小红和小刚正确，小明错误 C．小明和小刚错误，小红正确 D．小明和小红错误，小刚正确 8．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，点D为边的中点，在平面内取一点E，连接、使，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由． 9．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 10．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，菱形的对角线相交于点O，，，过点C作，且，连接． (1)在图1中，的度数为______；的长为______； (2)请判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，将沿射线方向移动得到，直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，设． ①当以，，C，O为顶点的四边形是正方形时，求x的值； ②当以，E，C，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出符合条件的x值． 题型2 正方形性质与判定的综合 已知正方形时活用对角线垂直平分、四边等长、四角90°性质；需证正方形时，先证菱形补直角或先证矩形补邻边等。综合题常结合全等△和勾股定理求边长/角度． 11．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 12．（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A．    B．    C．    D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 13．（22-23八年级下·浙江·周测）在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．    (1)四边形如图1所示，四边形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）； (2)四边形如图2所示，且，四边形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． (3)四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 14．（20-21八年级下·广东广州·期末）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上． (1)如图1，若，，则的度数为________； (2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长； (3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度． 15．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)如图，若，连接、和，判断的形状？并说明理由； (3)如图，若，，，是的中点，是的中点，直接写出的长． 16．（24-25八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 如图是华师版八年级下册数学教材18.1.1平行四边形的性质章节中的部分内容． 探究如图，在中，连接，，并设它们相交于点O，与，与有什么关系？ （1）如图①，在中，与数量关系为______，与数量关系为______； 【性质应用】 （2）如图②，的对角线，相交于点O，过点O且与，分别相交于点E、F，连接． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，，周长是18，，则的长是______． 17．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 题型3 正方形的折叠问题  折痕即对称轴：抓折叠前后对应边相等、对应角相等，构造等腰Rt△或全等△．关键利用 "45°角"（由90°角折叠产生）和勾股定理列方程求长度，折痕过中心时必平分对角． 18．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③⑤ D．①②④ 20．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交于点，连接，则①垂直平分；②；③；④，下列结论正确的是 填编号 21．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 22．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在数学课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 动手操作： 第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②； 第二步：沿直线折叠，使点D落在处，设交于点G．如图③； 第三步：延长交于点H，连接交于点M，如图④． 解决问题： (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． （I）求的长； （Ⅱ）求的值． 23．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 24．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到 点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点 点 B的对应点为点 将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9， ①如图3，若线段 恰好经过点D，求的长， ② 如图4， 连接， 直接写出 的最小值． 题型4 正方形与一次函数的综合应用  坐标化解题：设顶点坐标，利用待定系数法求函数解析，根据一次函数的图象和性质，解决问题，注意k为变量时，一次函数图象存在旋转特性，当b为变量时，图象存在平移特性，注意以此为基础，讨论图象与特殊点的位置关系． 25．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，是轴上一个动点，将线段绕点顺时针旋转到线段（即，）． (1)如图1，当点在线段上（点不与、B重合），求点的纵坐标； (2)如图2，当取最小值时，请画出图形，并求出点的坐标； (3)如图3，点在线段上（点不与、B重合），射线交轴于点，交射线于点，且，求． 26．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点B和点A，且．    (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，把沿翻折得到（点O和点C是对应点），点D在的延长线上，连接，过点O作，垂足为点E，交于点F，连接，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作的平行线，分别交和y轴于点T和点G，连接，的面积是，且，求点E的坐标． 27．（21-22八年级下·湖南长沙·期末）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MNOA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝t． (1)求点M的坐标（用含t的代数式表示）； (2)求直线OB的解析式； (3)求线段MN的长度． 28．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 29．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果） (3)如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点． ①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标； ②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值． 30．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，以点为端点分别作射线，将射线所组成的图形记为图象V． (1)射线的解析式为________，自变量的取值范围是_______． (2)射线的解析式为________，自变量的取值范围是________． (3)点为轴上一动点，其纵坐标为．连接，以为边向右作正方形． ①当点在上时，________． ②当点在图象V上时，求的值． ③当图象V与正方形有两个公共点时，直接写出的取值范围． 31．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)若点M是直线上位于第一象限内的一点，且满足，请求出点M的坐标； (3)如图2，设点F为线段中点，点G为y轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点G的运动过程中，当顶点Q落在直线上时，求点G的坐标． 题型5 中点四边形问题  抓中位线性质：原四边形对角线决定中点四边形形状——对角线相等时为菱形，垂直时为矩形，既等又垂则为正方形．解题时直接连接原对角线，无需计算中点坐标． 32．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（    ） A．相等且平分 B．垂直且平分 C．相等且垂直 D．相等、平分且垂直 33．（24-25八年级下·广东汕头·期末）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是矩形，则四边形的两条对角线一定是（　　） A．互相平分 B．相等 C．互相平分且相等 D．互相垂直 34．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（   ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 35．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形； ④若，，则四边形是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 36．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，已知不共线三点A，B，C，点D是平面内的动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q．下列关于四边形的说法正确的是：（   ） ①存在无数个平行四边形；    ②存在无数个菱形； ③存在无数个矩形；    ④存在两个正方形． A．① B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 37．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．36 38．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 39．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 40．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 41．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）【主题学习】定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．为了探索中点四边形，某校八年级数学兴趣小组开展一次主题学习活动． 【成果展示】经过合作探究，相互交流，各小组将他们的成果进行汇报，部分信息汇总如下： 原四边形 任意四边形 矩形 菱形 图形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 发现 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 对角线 ① 的四边形，它的中点四边形是菱形． 对角线 ② 的四边形，它的中点四边形是矩形． （1）填写上表中的空格①______；②______； 【逆向探究】在探究过程中，有小组提出“正方形的中点四边形是正方形”． （2）判断命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请画图说明． 【拓展延伸】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，……，如此进行下去，得到四边形． （3）设，，则：四边形的面积等于______，四边形的周长等于______． 题型6 （特殊）平行四边形背景下的动点问题  分段建模：根据动点速度分时段（如t秒），用 "起点+方向×时间" 表坐标（如P(2t,4−t)）结合几何约束（如点在线段上满足0≤x≤60≤x≤6）列方程，关键时段画图定临界位置，再根据图象解题． 42．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 43．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 44．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 45．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 46．（2025·贵州遵义·三模）如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 47．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 48．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，设运动时间为． (1)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积与运动时间的函数关系； (3)四边形可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由． 49．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图1是一个轨道的示意图，其中四边形为菱形，边长，对角线与交于点O，在此菱形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点B处安装了一台观测仪．小宇操作机器人以的速度沿轨道匀速运动，机器人从点B出发，依照设定的顺序分别经过O，C，D三点各一次并最终到达点A．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用时间忽略不计． 在机器人运动结束后，小宇发现观测仪出现故障，只得到了部分观测结果．经整理后，观测仪中所记录的y与x的函数关系的部分对应值如表1所示，其部分函数图象如图2所示． 0 1 2 4 5 6 a 0 1 2 2 1 b 2 表1 根据上述信息回答： (1)机器人的运动路线是：B→______→______→______→A（请选填“O”，“C”，“D”）； (2)补全图2中的函数图象； (3)______，______． 50．（24-25九年级上·湖南邵阳·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 51．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 52．（20-21八年级下·浙江·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 题型7 特殊平行四边形背景下的最值问题 转化路径+对称：利用正方形对称性作对称点，化折线为直线（如将军饮马）；或构造相似△转移线段．最值模型首选 "垂线段最短" 和 "三点共线"，必要时建函数求极值． 53．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 54．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在菱形中，O为对角线的交点，为边和上的动点，且，连接，将线段绕点M顺时针旋转45°得到线段，连接，则的最小值为 ． 55．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点E、F、G、H分别是边、、、中点，在直线上方有一动点P，且满足，则周长的最小值为 ． 56．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是 ． 57．（24-25八年级下·广东·期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 58．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 59．（24-25八年级下·福建福州·期中）平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 60．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．    (1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______； (2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； (3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值． 61．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________．    62．（2024·辽宁·一模）数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究： 如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接． 【知识初探】 （1）如图1，小明提出的问题是可以得到的结论，并得到老师的肯定．请你帮他说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，小颖在小明的基础上继续探究，连接交于点，连接，可以得到的结论，也得到老师的肯定．请你帮她说明理由； 【特例探究】 （3）如图3，小华在小明和小颖的基础上继续探究，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，请你帮她求出的最小值． 培优综合练 63．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 64．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接． (1)如图，若点恰好落在对角线上，连接，求的度数． (2)如图，连接，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图，连接，记的面积为，的面积为，若，求的值． 65．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边在坐标轴上，D为线段上一点，且，连接． (1)点D的坐标为______； (2)若点M从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点A重合时运动停止设点M的运动时间为t秒，连接AM，t为何值时？ (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标______． (4)过A，C两点的直线沿着y轴向上平移过程中，直线上是否存在点P满足为等腰直角三角形，请求出直线的表达式． 66．（21-22八年级下·江苏泰州·阶段练习）【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 67．（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 68．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）截长补短法是初中数学几何题中的一种常用方法，也是把几何题化难为易的一种思想，常常用来探究三条线段之间的数量关系． 【探索发现】如图，在中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，若点为的中点，求证：； 解题思路：抓住平行四边形对边平行的性质，结合中点，只需延长交的延长线于点，通过全等将线段转移到的位置，实现补短的目的，再证明与相等，即可解决问题．请按此思路完成证明． 【类比迁移】如图，在正方形中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，求证：； 【综合应用】如图，在菱形中，，延长至点，使，连接，点为上一点，连接，作的平分线交于点，连接，若，，求的面积． 69．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）数学探究小组研究矩形中的折叠问题，在矩形中，点M，N分别在边上，沿着折叠矩形，使点A，B分别落在E，K处，且点K在直线上，连接． (1)如图1，直接写出图中两对全等三角形； (2)如图2，当点K与点D重合时，求证：四边形为菱形； (3)探究小组利用周长为14，面积为12的矩形继续操作，过点M作于点F，连接分别交于H、R，当四边形为正方形时，有图3和图4两种情况，利用图3求出的长，直接写出图4中的长． 70．（2025·陕西宝鸡·二模）【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 试卷第2页，共173页 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 与正方形有关的综合问题（7大题型） 题型1 正方形的判定问题 抓核心条件——先证平行四边形（一组对边平行且相等），再补 "邻边相等+一个直角" 或 "对角线相等且垂直"．若直接四边等且四角90°，则无需平行四边形过渡。注意隐含条件（如等腰Rt△提供直角和邻边等）． 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形、正方形的判定定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键； 根据矩形、正方形的判定定理，全等三角形性质和判定，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分， 四边形为矩形， A. 当时，四边形为正方形，不符合题意； B. 当时，四边形为正方形，不符合题意； C. 当时，推不出四边形为正方形，符合题意； D. 当时， ， ， ， 则四边形为正方形，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 但当，四边形不一定是正方形，故添加不使平行四边形成为正方形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 故选：． 4．（2025·山西长治·二模）如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（   ）    A．一定会出现平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当，且时四边形为正方形 D．当，且时，四边形为菱形 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行四边形的判定，矩形、正方形和菱形的判定．先证明和，推出四边形是平行四边形，再根据矩形，菱形和正方形性质和判定定理逐一证明判断即可． 【详解】解：当时， ∵、、都是等边三角形； ∴， ， ∴， 故， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵当时 ∴， ∴平行四边形是矩形，故B正确，选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴矩形为正方形，故C正确，选项C不符合题意； ∵，且， ∴， ∴平行四边形是菱形，故D正确，选项D不符合题意； 当， ∴， 即D，A，F三点在同一直线上， ∴四边形不存在， 故A不正确，选项A符合题意； 故选：A． 5．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，且，那么四边形是正方形．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行四边形的定义，一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，正方形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由， 四边形是平行四边形， 故选项①正确； 又， 平行四边形为矩形，选项②正确； 又平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形， 选项③正确； 又，， 平分， 同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形； 选项④错误， 则其中正确的是①②③ ． 故选：A． 6．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 7．（24-25八年级下·河北保定·期末）数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　） A．小明和小红正确，小刚错误 B．小红和小刚正确，小明错误 C．小明和小刚错误，小红正确 D．小明和小红错误，小刚正确 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的判定与性质，正方形的判定，等边三角形的判定与性质，由菱形的性质证明，，由作图可得：，可得，再进一步的分析即可. 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∴，， 由作图可得：， ∴， ∴四边形为菱形；为等边三角形， ∴， ∴， ∴小明认为：只有当时，四边形是菱形；说法错误； 小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，说法正确； 当时，而， ∴四边形不是正方形， 小红认为：当时，四边形是正方形，说法错误； 故选D 8．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，点D为边的中点，在平面内取一点E，连接、使，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当中，时，四边形是正方形，见解析 【分析】本题考查了菱形和正方形的判定，直角三角新的斜边中线，等腰三角形的性质，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形．再根据直角三角形斜边中线，得到，即可证明结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再结合正方形的判定定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，点D为AC边的中点， ∴． ∴四边形是菱形． （2）解：当中，当时，四边形是正方形． 理由：∵，，点D为边的中点， ∴． ∴． 由（1）可知，四边形是菱形， ∴菱形是正方形． 9．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 【答案】(1)当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 (3)不会，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，菱形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，同理可得，则，当，可得与相等且互相平分，据此可证明四边形是矩形； （2）当时，可证明，进而证明，据此可证明四边形是正方形； （3）连接交于G，可证明，若四边形是菱形，则，但在中，不可能存在两个角为，故四边形不会是菱形． 【详解】（1）解：当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴与相等且互相平分， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （3）解：四边形不会是菱形，理由如下： 如图所示，连接交于G， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为， ∴四边形不会是菱形． 10．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，菱形的对角线相交于点O，，，过点C作，且，连接． (1)在图1中，的度数为______；的长为______； (2)请判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，将沿射线方向移动得到，直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，设． ①当以，，C，O为顶点的四边形是正方形时，求x的值； ②当以，E，C，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出符合条件的x值． 【答案】(1)，； (2)四边形为矩形，理由见解析 (3)①当x为或时，以，，C，O为顶点的四边形是正方形；②当x为或时，以、E、C、F为顶点的四边形是菱形． 【分析】（1）根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理即可得到结论； （3）①分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用，列式计算即可求解； ②分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，再利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：四边形为矩形， 理由：四边形是菱形， ，， ，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （3）解：①第一种情况：当点在线段上时， ， ， 四边形是正方形， ，即， ， 第二种情况：当点在线段的延长线上时， ， ， 四边形是正方形， ，即， ， 综上所述，当x为或时，以，，C，O为顶点的四边形是正方形； ②当点在线段上时， ， ， 由平移的性质知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ； 当点在线段的延长线上时， ， ，由平移的性质知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ； 综上，当x为或时，以、E、C、F为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，二次根式的混合运算．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型2 正方形性质与判定的综合 已知正方形时活用对角线垂直平分、四边等长、四角90°性质；需证正方形时，先证菱形补直角或先证矩形补邻边等。综合题常结合全等△和勾股定理求边长/角度． 11．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 12．（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A．    B．    C．    D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 【答案】（1）①A；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据判断全等三角形的方法，证明，即可解答； ②利用全等三角形的性质，得到，，可得，，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）延长交于点，延长使得，证明，再利用全等三角形的性质和正方形的性质，证明，利用角度转换即可得到，． 【详解】（1）①解： D，E分别是边的中点， ， 在与中， ， ， 故选：A； ②， ，， ， 点是的中点， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在和中， ， ， ， , , ； （3）如图，延长交于点，延长使得， 根据（2）中原理，可得， ，， 四边形与四边形均为正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ，． 13．（22-23八年级下·浙江·周测）在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．    (1)四边形如图1所示，四边形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）； (2)四边形如图2所示，且，四边形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． (3)四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)菱形；； (2)正方形；成立，理由见解析； (3)E在B右侧时，的度数为，E在B左侧时，的度数为，当E在上时，的度数为或． 【分析】（1）根据轴对称的性质，得到，，，又因为，即可证明四边形是菱形，得到再证明，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理，即可得到与之间的数量关系； （2）根据一个角是直角的菱形是正方形即可判断四边形是正方形，过点P作，先根据平行线的性质，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，然后根据轴对称的性质得到，推出，最后利用三角形内角和定理和平角的性质，求出，即可得到与之间的数量关系； （3）分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：设、相交于点F， 根据轴对称的性质可知，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：菱形；； （2）解：同理可证，四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 故答案为：正方形； 过点P作交于点M，交于点N， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由题意可知四边形是菱形， ∴， ∴， 当E在C右侧时，如图：   ，， ， ， ， ∵， ， ， ． 当E在B左侧时，如图∶   ，， ， ， ， ∵， ， ， ， 当E在上时，第一种情况，如图∶ ，， ， ， ∵， ， ， ； 当E在上时，第二种情况，如图∶ ，， ， ， ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 14．（20-21八年级下·广东广州·期末）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上． (1)如图1，若，，则的度数为________； (2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长； (3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度． 【答案】(1)67.5° (2)40 (3) 【分析】（1）证明△ADE≌△CDF，得∠ADE=∠CDF= ×45°=22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数； （2）延长BC到点K，使，连接DK，构造全等三角形，证明EF=AE+CF，即可求得△EBF的周长； （3）过点D作DL∥EH，交AB于点L，作DM∥FG，交BC于点M，连接LM，运用（2）中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可． 【详解】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°， ∵AE=CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠ADE=∠CDF， ∵∠EDF=45°， ∴∠ADE+∠CDF=90-45°=45°， ∴∠CDF+∠CDF=45°， ∴∠CDF=22.5°， ∴∠DFC=90°-22.5°=67.5°． （2）如图2，延长BC到点K，使，连接DK， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的周长为40； （3）如图3，作，交AB于点L，交FG于点P，作，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM， ∵，， ∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形， ∴，，， ∴； 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是正确地作出辅助线构造全等三角形． 15．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)如图，若，连接、和，判断的形状？并说明理由； (3)如图，若，，，是的中点，是的中点，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 (3) 【分析】此题是四边形的综合题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． （1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出≌，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明≌可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）解：是等边三角形， 理由：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ，， 由（1）知，四边形是菱形， 连接， ，， ，， ∵， ， 是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ≌， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形； （3）解：如图中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形，， 四边形为正方形． 是的平分线，， ， ∵， ， ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ≌， ，． ， 是等腰直角三角形． 是的中点， ， ，， ， ． 16．（24-25八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 如图是华师版八年级下册数学教材18.1.1平行四边形的性质章节中的部分内容． 探究如图，在中，连接，，并设它们相交于点O，与，与有什么关系？ （1）如图①，在中，与数量关系为______，与数量关系为______； 【性质应用】 （2）如图②，的对角线，相交于点O，过点O且与，分别相交于点E、F，连接． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，，周长是18，，则的长是______． 【答案】（1），；（2）①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定定理和性质定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质即可求解； （2）①即可求证； ②先证明四边形是正方形，得，最后由勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 故答案为：； （2）①证明：在中， ∵， ， 在和中， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； ②由①得四边形是平行四边形， ， ∴四边形是正方形， ， ∵周长是 18 ，即， ， ∴，即， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得：． 17．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 题型3 正方形的折叠问题  折痕即对称轴：抓折叠前后对应边相等、对应角相等，构造等腰Rt△或全等△．关键利用 "45°角"（由90°角折叠产生）和勾股定理列方程求长度，折痕过中心时必平分对角． 18．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 19．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接、，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③⑤ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据正方形和折叠的性质，易证，可判断①结论；根据全等三角形的性质和勾股定理，可判断②结论；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断③结论；根据三角形面积公式可判断④结论；根据叠的性质和全等三角形的性质，结合三角形内角和定理，可判断⑤结论． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，，， ， 在和中， ， ，①结论正确； ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， ， ，②结论正确； ， ， ， ，， ， ，③结论正确； ，， ，④结论正确； 由折叠的性质可知，， 由全等的性质可知，，， ， ， ， ， ，⑤结论错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 20．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交于点，连接，则①垂直平分；②；③；④，下列结论正确的是 填编号 【答案】①②④ 【分析】由正方形和折叠的性质可得，，证明可得，即可由线段垂直平分线的性质判断①；由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求，可判断②；利用三角形的面积公式可得，即可判断③；由，可得即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∴；故②正确； ∵，，， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 21．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质及角的等量代换，得到，根据正方形的性质即可得证； （2）过点B作于K，根据题意及正方形的性质，证明，，求出，即可解答； （3）根据题意及正方形的性质，求得，过点B作于K，设，则，根据勾股定理，列方程求出x，进而求出HF，设，，列方程求出y，即可解答． 【详解】（1）证明：沿直线将正方形折叠， ，， ， ， 即， 正方形， ， ， ． （2）解：如图，过点B作于K， 则， 正方形ABCD， ，， ，， 由（1）得， 又， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， ； （3）解：正方形， ， 点M为的中点， ， 如图，过点B作于K， 由(2)可知， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 设，， 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 22．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在数学课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 动手操作： 第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②； 第二步：沿直线折叠，使点D落在处，设交于点G．如图③； 第三步：延长交于点H，连接交于点M，如图④． 解决问题： (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． （I）求的长； （Ⅱ）求的值． 【答案】(1)见解析 (2)（I）（Ⅱ） 【分析】（）根据正方形的性质可得，，再根据折叠性质可得，，证明即可； （）（）由折叠性质可知，，，正方形的性质得，，，再由勾股定理即可求解； （）连接，由折叠的性质可知，垂直平分，则，，，再证是的中位线得，最后由折叠性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）（）由折叠性质可知，，， 由（）知， ∵正方形的边长为， ∴，，， 在中，， 即， 解得； （）连接，如图， 由折叠的性质可知，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）12或． 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得， ∵在正方形中，， ∴． ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴； （2）证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即； （3）根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示．    ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴； ②当点在的延长线上时，如图所示．      同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为12或， 故答案为：12或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 24．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到 点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点 点 B的对应点为点 将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9， ①如图3，若线段 恰好经过点D，求的长， ② 如图4， 连接， 直接写出 的最小值． 【答案】（1）；（2）猜想：，证明见解析；（3）①；②的最小值为 【分析】（1）由翻折的性质及正方形的性质，可证明，则折痕与的数量关系为； （2）过点A作，由翻折的性质得，则由（1）可知，从而有；易证四边形是平行四边形，有；由正方形的性质及即可得线段之间的数量关系． （3）①设上点H的对应点为点D，连接，则，，从而得四边形是平行四边形，有，；设，则，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； ②过点A作交于点K，则得四边形是平行四边形，有；过点K在直线下方作，且，易证，得，则，当且仅当H、E、F三点依次共线时取得最小值；过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形，有， ，从而有；与（1）中同理，，得，从而求得；最后在中，由勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：（1）由折叠知，， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， 即折痕与的数量关系为； 故答案为：； （2）猜想：； 证明如下：过点A作，如图， 由翻折的性质得， ∴； 由（1）可知， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，即，； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵ ， 即可得线段之间的数量关系为； （3）①如图，由于线段 恰好经过点D， 故设上点H的对应点为点D，连接， 由翻折知，； ∵， ∴； ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形为正方形，其边长为9， ∴， ∴， ∴，； 设，则； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； ②如图，过点A作交于点K； ∵即， ∴四边形是平行四边形， ∴； 过点K在直线下方作，且， 则； ∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当三点依次共线时，取得最小值； 过H作，交延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∴ 由（1）中同理，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型4 正方形与一次函数的综合应用  坐标化解题：设顶点坐标，利用待定系数法求函数解析，根据一次函数的图象和性质，解决问题，注意k为变量时，一次函数图象存在旋转特性，当b为变量时，图象存在平移特性，注意以此为基础，讨论图象与特殊点的位置关系． 25．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，是轴上一个动点，将线段绕点顺时针旋转到线段（即，）． (1)如图1，当点在线段上（点不与、B重合），求点的纵坐标； (2)如图2，当取最小值时，请画出图形，并求出点的坐标； (3)如图3，点在线段上（点不与、B重合），射线交轴于点，交射线于点，且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过D点作于点P，证明，问题即可作答； （2）在（1）中求出，即可知点D在直线上，作点A关于直线的对称点，连接，此时有最小值，根据对称性可得，再利用待定系数法求出直线的解析式为，问题随之得解； （3）过F点作轴于点T，过D点作轴于点S，过C点作于点W，连接，先证明，即有，可得，再证明四边形是矩形，接着证明、是等腰直角三角形，即可得，进而可得，即有矩形是正方形，则有，再证明，可得，进而可得，问题随之得解． 【详解】（1）过D点作于点P，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的纵坐标； （2）在（1）中求出，即可知点D在直线上，作点A关于直线的对称点，连接，此时有最小值，如图，    ∵，点A与点关于直线的对称， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 即； （3）过F点作轴于点T，过D点作轴于点S，过C点作于点W，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，待定系数法等知识，问题的难点在第三问，作出合理的辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键． 26．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点B和点A，且．    (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，把沿翻折得到（点O和点C是对应点），点D在的延长线上，连接，过点O作，垂足为点E，交于点F，连接，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作的平行线，分别交和y轴于点T和点G，连接，的面积是，且，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线解析式可求出，再结合，即可求出，进而即可求出k的值，即得出直线的解析式； （2）由翻折可知，即得出四边形为正方形．过点A作，垂足为点M，过点A作，垂足为点N． 易证，从而可证，即得出，说明是的角平分线，即； （3）过点C作，垂足为点Q，连接和，在上取一点P，使，连接．结合题意证明，得出 ，，从而证明，得出，进而证明，得出．设，则，由可求出a的值为或1，再根据，可确定a的值为，即，，得出，．由待定系数法可求出．又易证，得出，即，由待定系数法可求出，最后联立和，解出x和y的值，即为点E的横坐标与纵坐标． 【详解】（1）解：对于，令，则， 解得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵沿翻折得到， ∴． ∵， ∴四边形为正方形． 过点A作，垂足为点M，过点A作，垂足为点N，如图，    ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴，即； （3）解：如图，过点C作，垂足为点Q，连接和，在上取一点P，使，连接．    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 设，则， ∴， 解得：，． ∵， ∴，， ∴，． 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴． ∵直线和直线的交点为E， ∴可列方程组，解得：， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，翻折的性质，平行线的性质等知识，综合性强，为压轴题．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 27．（21-22八年级下·湖南长沙·期末）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MNOA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝t． (1)求点M的坐标（用含t的代数式表示）； (2)求直线OB的解析式； (3)求线段MN的长度． 【答案】(1)(t+4，t) (2)y＝x (3)4 【分析】（1）作ME⊥x轴于E，则∠MEP＝90°，先证出∠PME＝∠CPO，再证明△MPE≌△PCO，得出ME＝PO＝t，EP＝OC＝4，求出OE，即可得出点M的坐标； （2）利用待定系数法可求解析式； （3）连接AM，AB与MN交于点F，先证明四边形AEMF是正方形，得出∠MAE＝45°＝∠BOA，AM∥OB，再证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN＝OA＝4． 【详解】（1）解：作ME⊥x轴于E，如图所示，则∠MEP＝90°，ME∥AB， ∴∠MPE+∠PME＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠POC＝90°，OA＝OC＝AB＝BC＝4，∠BOA＝45°， ∵PM⊥CP， ∴∠CPM＝90°， ∴∠MPE+∠CPO＝90°， ∴∠PME＝∠CPO， 在△MPE和△PCO中，， ∴△MPE≌△PCO（AAS）， ∴ME＝PO＝t，EP＝OC＝4， ∴OE＝t+4， ∴点M的坐标为：（t+4，t）； （2）∵AB＝OA＝4，∠OAB＝90°， ∴点B（4，4）， 设直线OB解析式为y＝kx， ∴4＝4k， ∴k＝1， ∴直线OB解析式为y＝x； （3）连接AM，AB与MN交于点F，如图所示： ∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA＝90°， ∴四边形AEMF是矩形， 又∵EP＝OC＝OA， ∴AE＝PO＝t＝ME， ∴四边形AEMF是正方形， ∴∠MAE＝45°＝∠BOA， ∴AM∥OB， ∴四边形OAMN是平行四边形， ∴MN＝OA＝4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 28．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)6，6；3，0 (2)①详见解析；②详见解析；③； (3)6 【分析】（1）由算术平方根的意义可得出，则可得出答案； （2）①取的中点K，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出； ②延长，并在延长线上截取，连接，证明（），由全等三角形的性质得出，证明（），可得，即可得到平分； ③由全等三角形的性质可得，同理可得，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案； （3）由可证，可得，则，即当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数a，b使式子， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6，6，3，0； （2）①证明：取的中点K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，K为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②证明：延长，并在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴（）， ∴， 由①知， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴（）， ∴， ∴平分； ③∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∴； （3）在上截取，连接， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 29．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果） (3)如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点． ①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标； ②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象写出结果即可； （3）①由点在上得点的坐标为其中，过点作垂直轴于点，作垂直轴于点，证明得，求出的横坐标为； ②证明矩形为正方形得，作于点G，作于点E，证明得，，求出可知点在上． 过点作轴交轴于点，由，可知当，，三点共线时，最小，最小值为的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：直线过点， ，解得， 将点代入得：，解得 （2）解：如图，当函数的值既大于函数的值，也大于函数的值时，的取值范围是． （3）解：①由（1）得直线的解析式为， 当时，，所以的坐标为， 当时，，所以的坐标为， 点在上， 点的坐标为其中 过点作垂直轴于点，作垂直轴于点， ， ，， 即， ． ． ． 的横坐标为； ②． 由①得， 矩形为正方形， 作于点G，作于点E， ， 又 又， ， ， 点在上， 在正方形中， ， 作关于的对称点，则坐标为，且，过点作轴交轴于点， ，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长． 坐标为， 又， ， ，即的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 30．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，以点为端点分别作射线，将射线所组成的图形记为图象V． (1)射线的解析式为________，自变量的取值范围是_______． (2)射线的解析式为________，自变量的取值范围是________． (3)点为轴上一动点，其纵坐标为．连接，以为边向右作正方形． ①当点在上时，________． ②当点在图象V上时，求的值． ③当图象V与正方形有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②或；  ③或或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）用待定系数法求函数的解析式即可； （3）①由题可知轴，则； ②当时，，将点M代入求出m的值；当时，，将点M代入求出m的值； ③当时，图象V与正方形一定有两个公共点；当时，此时图象V与正方形有三个公共点，则时，图象V与正方形有两个公共点；当时，图象V与正方形有两个公共点，则时，图象V与正方形有三个公共点． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点代入，可得， ∴射线的解析式为，， 故答案为：，； （2）解：设射线的解析式为， 将A、B的坐标代入，可得， 解得， ∴射线解析式为，， 故答案为：，； （3）解：①∵四边形是正方形， ∴轴， ∵A点在上， ∴； 故答案为：； ②当时，， ∴， ∴， ∵点M在图象V上， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 综上所述：m的值为4或； ③当时，图象V与正方形一定有两个公共点； 当时，M点、O点在正方形上，此时图象V与正方形有三个公共点， ∴时，图象V与正方形有两个公共点； 当时，N点，此时B点、O点在正方形上，图象V与正方形有两个公共点； ∴时，图象V与正方形有三个公共点； 综上所述：或或时，图象V与正方形有两个公共点． 31．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)若点M是直线上位于第一象限内的一点，且满足，请求出点M的坐标； (3)如图2，设点F为线段中点，点G为y轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点G的运动过程中，当顶点Q落在直线上时，求点G的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先计算，结合，求直线的解析式即可； （2）设，根据题意，得；，根据得即列式计算即可． （3）当点G在y轴的正半轴上时，过点G作轴于点G，过点F作于点M，过点Q作于点N，则轴，得到，设，则，， ，，利用正方形的性质，一线三直角全等模型，分类解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，根据面积求点的坐标，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握待定系数法，图象过点的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且． 故， 解得， 故的解析式为， 故点， 由， 故点， 设的解析式为， 故 解得， 故直线的解析式为； （2）解：根据（1）得，，， 故；， 由直线的解析式为， 设，且横坐标，纵坐标都是正数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故， 故点． （3）解：当点G在y轴的正半轴上时，如图， 过点G作轴于点G，过点F作于点M，过点Q作于点N，则轴， ∴， 根据（1）得，，且点F为线段中点， ∴， 设，则，， ， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵顶点Q落在直线上, ∴, 解得，此时点； 当点G在y轴的负半轴上时，如图， 过点G作轴于点G，过点F作于点D，过点Q作于点E，则轴， ∴， 根据（1）得，，且点F为线段中点， ∴， 设，则，， ， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵顶点Q落在直线上, ∴, 解得，此时点； 综上所述，符合题意的点G坐标为或． 题型5 中点四边形问题  抓中位线性质：原四边形对角线决定中点四边形形状——对角线相等时为菱形，垂直时为矩形，既等又垂则为正方形．解题时直接连接原对角线，无需计算中点坐标． 32．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（    ） A．相等且平分 B．垂直且平分 C．相等且垂直 D．相等、平分且垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质定理，三角形中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的性质是解题的关键． 根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形各边、、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，， 故选：C． 33．（24-25八年级下·广东汕头·期末）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是矩形，则四边形的两条对角线一定是（　　） A．互相平分 B．相等 C．互相平分且相等 D．互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理．根据中点四边形为矩形，得到四边形的对角线互相垂直，即可得出结果． 【详解】解：如图，H，G，F，E分别为的中点，四边形为矩形， 则，， 四边形为矩形， ， ， 四边形的两条对角线一定是互相垂直, 故选D． 34．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（   ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理，根据三角形中位线定理可证，，根据可证，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形为菱形． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点，为，的中点， 是的中位线， ，， 点，为，的中点， ，， ，， 同理可证，， ， ， 四边形为菱形． 故选：A． 35．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形； ④若，，则四边形是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理，菱形，矩形和正方形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵在四边形中，，，，依次是，，，的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 当时，则：， ∴四边形是菱形；故②正确； 当时，则：， ∴， ∴四边形是矩形；故③正确； 当，，则：，， ∴四边形是正方形；故④正确； 故选D 36．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，已知不共线三点A，B，C，点D是平面内的动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q．下列关于四边形的说法正确的是：（   ） ①存在无数个平行四边形；    ②存在无数个菱形； ③存在无数个矩形；    ④存在两个正方形． A．① B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：平面内任意取一点D，与点A，点B，点C构成四边形，连接，，如图， ∵M、N、P、Q分别是，，，的中点， ，，，，，，，， ，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴存在无数个四边形是平行四边形，故①正确； 当时，即以点B为圆心，的长为半径画圆，在圆弧上任取一点D（不与三点A，B，C中两点共线），如图， 同上得，， 则有， ∴四边形是菱形， ∴存在无数个四边形是菱形，故②正确； 当时，即过点作垂线，为垂线上任一点（不与三点A，B，C中两点共线）时，如图， 同上得，， ∴， 即， ∴四边形是矩形， ∴存在无数个四边形是矩形，故③正确； d当且仅当，时，即，时，中点四边形才是正方形，即点必须在以点B为圆心，的长为半径的圆上，且在过点作的垂线上，这样的点D在左侧，右侧各一个共有2个，如图， 故存在两个四边形是正方形， 故④正确． 故选：D． 37．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明．作辅助线，构建四边形，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论． 【详解】解：如图：连接、、、，与相交于点O， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴， ∴， 同理， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴，，， ∴ ； 故选：C． 38．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形和矩形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）连接，根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）连接，分别过M、P作平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是菱形， ． 分别为四边中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ， 为矩形； （2）解：连接，分别过M、P做平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 由作法得：， ∴四边形、、均是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 39．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 【答案】见解析 【分析】选择图2：利用三角形中位线性质证明，即可得出结论； 选择图3：利用三角形中位线性质证明四边形为平行四边形，再根据，利用平行线的性质证明，即可得出结论； 选择图4：先证明四边形为菱形，再证明，即可得出结论． 【详解】解：选择图2； 提出猜想：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是菱形； 证明∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； 选择图3； 提出猜想：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是矩形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 选择图4； 提出猜想：对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， ， 求证：四边形是正方形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查中点四边形，三角形中位线，平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定．熟练掌握三角形中位线性质和菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 40．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 【答案】（1）②④； （2）四边形为正方形，理由见解析；（3）或． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质． （1）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及“等角线四边形”逐一判断即可； （2）由中位线定理及等角线四边形的定义可得，，，，，，，证明四边形是菱形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是正方形； （3）分两种情况讨论，由（2）可得中点四边形为正方形，即可求解． 【详解】解：（1）①平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ②矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； ③菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ④正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 综上，一定是等角线四边形的有②④． 故答案为：②④； （2）四边形为正方形，理由如下： ∵E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点， ∴，，，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）分以下两种情况： 当点在的上方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 当点在的下方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 综上，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或． 41．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）【主题学习】定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．为了探索中点四边形，某校八年级数学兴趣小组开展一次主题学习活动． 【成果展示】经过合作探究，相互交流，各小组将他们的成果进行汇报，部分信息汇总如下： 原四边形 任意四边形 矩形 菱形 图形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 发现 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 对角线 ① 的四边形，它的中点四边形是菱形． 对角线 ② 的四边形，它的中点四边形是矩形． （1）填写上表中的空格①______；②______； 【逆向探究】在探究过程中，有小组提出“正方形的中点四边形是正方形”． （2）判断命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明，如果是假命题，请画图说明． 【拓展延伸】如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，……，如此进行下去，得到四边形． （3）设，，则：四边形的面积等于______，四边形的周长等于______． 【答案】（1）①相等；②相互垂直；（2）命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是假命题，理由见解析；（3）； 【分析】（1）由三角形中线的性质结合四边形的中点四边形一定是平行四边形，即可得出结论； （2）先写出逆命题，再画出示意图，结合（1）中所得结论即可说明； （3）先证明，进而证明，推出；结合（1）中所得结论，得到当为奇数时，四边形是矩形，四边形的面积是；当为偶数时，四边形是菱形，四边形的周长是；即可解答． 【详解】（1）解：如图：矩形中，分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形，即对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形； 同理，菱形的中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，即对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形， 故答案为：相等，互相垂直； （2）解：命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是“中点四边形是正方形的四边形是正方形”是假命题，理由如下： 如图：四边形中，且，分别是的中点， 由题意知任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，则四边形是平行四边形， ∵， 由（1）对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形，则四边形是矩形， ∵， 由（1）对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形，则四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴只需满足对角线相等且互相垂直的四边形，它的中点四边形是正方形， ∴命题“正方形的中点四边形是正方形”的逆命题是“中点四边形是正方形的四边形是正方形”是假命题； （3）解：设交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， 由（1）知对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形； ∴四边形是矩形； 根据中位线的性质知，， 四边形的面积周长为； 连接， ∴， ∵四边形是矩形各边中点得到的四边形， 由（1）知对角线相等的四边形，它的中点四边形是菱形； ∴四边形是菱形， 根据中位线的性质知，， ∴四边形的周长为； ∵四边形是菱形各边中点得到的四边形， 由（1）知对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形； ∴四边形是矩形， ∵， ∴根据中位线的性质知，， ∴四边形的面积为； 同理，四边形是菱形，周长为； 同理，四边形是矩形，四边形的面积是； ； ∴当为奇数时，四边形是矩形，四边形的面积是； 当为偶数时，四边形是菱形，四边形的周长是； ∴四边形的面积等于，四边形的周长等于． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系． 题型6 （特殊）平行四边形背景下的动点问题  分段建模：根据动点速度分时段（如t秒），用 "起点+方向×时间" 表坐标（如P(2t,4−t)）结合几何约束（如点在线段上满足0≤x≤60≤x≤6）列方程，关键时段画图定临界位置，再根据图象解题． 42．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 43．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，见解析 (2)EP，FP，EF之间的数量关系为：； 【分析】（1）如图，过点作于点，结合正方形的性质证明四边形是矩形，得，，根据勾股定理及正方形的性质得，，继而得到，在中，推出，求得，得到，进一步推出，即可得证； （2）如图，设平行四边形的边与交于点，证明四边形是矩形，推出平分，即与的交点为符合条件的点，然后在中，，，，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形； 证明：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形； （2），，之间的数量关系为：． 如图，设平行四边形的边与交于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即平分， 即与的交点为符合条件的点， 在中，，，， ∴，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握特殊四边形形的判定与性质是解题的关键． 44．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，会作出适当的辅助线灵活构造全等三角形是解题的关键． （1）通过已知条件，易求，，根据勾股定理得，，利用梯形面积公式即可求解； （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【详解】（1）解：，， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ． 在中，，，， 根据勾股定理得，， ， ； （2），理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 45．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 【答案】①四边形是平行四边形，理由见详解② 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 探究：①证明，由，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形是平行四边形； ②设运动时间为，由题意得，列出方程，据此求解即可； 【详解】解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②设运动时间为，四边形为平行四边形， ∴，，， 由题意得， ∴， 得． 46．（2025·贵州遵义·三模）如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 【答案】(1)四边形一定是平行四边形，理由见解析 (2) (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）由题意得，由矩形的性质得，，所以，由分别是的中点得，证明得，所以，进而得，即可得解； （2）如图，连接，证明四边形是矩形得，当四边形是矩形时，，所以，解出即可； （3）如图，连接与相交于点，由四边形为菱形，得垂直平分，，，进而得，由题意得，所以，证明出平行四边形为菱形，所以，设，则，由勾股定理，得，即，解得，所以，解出即可． 【详解】（1）解：四边形一定是平行四边形，理由： 由题意，得， 四边形是矩形， ，， ， 分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形，， ， 当四边形是矩形时，， ， ， 解得：； （3）解：如图，连接与相交于点， 四边形为菱形， 垂直平分，，， ， 又是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为， ， ， ， 平行四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， 解得：， 当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 47．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4)， 【分析】（1）根据时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可； （2）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （3）根据菱形的性质可得，结合（1）的结论，分别求得的长，即可得出结论； （4）当四边形是正方形时，，进而求得，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，则 当时，四边形是平行四边形； ∴ 解得： （2）解：∵，， ∴当时，四边形是矩形； ∵，， ∴ 解得： （3）解：不存在，理由如下， 由（1）可得，当时，四边形是平行四边形； ∴若此时，则四边形是菱形， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴四边形不是菱形， 故答案为：不存在． （4）解：当四边形是正方形时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形是正方形时，，． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，正方形，平行四边形，矩形，菱形的性质与判定，及勾股定理解三角形，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 48．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动，设运动时间为． (1)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积与运动时间的函数关系； (3)四边形可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，见解析； (2) (3)可能，． 【分析】（1）由矩形的性质可得出，再得出，即可得出四边形是平行四边形． （2）得出，再根据四边形的面积代入求解即可． （3）由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，再根据代入求出t值即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ∴， ∵点P从点A出发，以的速度沿向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向终点B运动， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴； （3）解：四边形可能为菱形． ∵一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定，矩形的性质和菱形的性质，勾股定理等知识，利用t值表示出各边是解题的关键 49．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图1是一个轨道的示意图，其中四边形为菱形，边长，对角线与交于点O，在此菱形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点B处安装了一台观测仪．小宇操作机器人以的速度沿轨道匀速运动，机器人从点B出发，依照设定的顺序分别经过O，C，D三点各一次并最终到达点A．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用时间忽略不计． 在机器人运动结束后，小宇发现观测仪出现故障，只得到了部分观测结果．经整理后，观测仪中所记录的y与x的函数关系的部分对应值如表1所示，其部分函数图象如图2所示． 0 1 2 4 5 6 a 0 1 2 2 1 b 2 表1 根据上述信息回答： (1)机器人的运动路线是：B→______→______→______→A（请选填“O”，“C”，“D”）； (2)补全图2中的函数图象； (3)______，______． 【答案】(1)C，D．O (2)见解析 (3)， 【分析】本题属于函数综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用表格中的数据结合函数图象，可得结论； （2）分别求出当时，当时及当时，函数关系式，再利用描点法画出函数图象即可； （3）先求出，再利用路程速度，求出的值，再求出当时的函数关系式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：从函数图像上看，函数图象共分为四段，第一段的取值范围为，此时机器人从点B运动到点C，第二段的取值范围为，此时机器人从点C运动到点D，第三段的取值范围为，此时机器人从点D运动到点O，第四段的取值范围为，此时机器人从点O运动到点A， 所以机器人的运动路线是：， 故答案为：C、D、O： （2）解：如图，过点B作， 四边形为菱形，， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， 当时，此时机器人从点C运动到点H， ， 当时，此时机器人从点H运动到点D， ， 当时，此时机器人从点D运动到点O， ， 补全的函数图象如下图： （3） ， 当时，此时机器人从点O运动到点A， ， 当时，， ， 故答案为：， 50．（24-25九年级上·湖南邵阳·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)能， (2)不能，理由见解析 【分析】（1）由已知条件可得中，即可知，然后问题可求证； （2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可知； （3）四边形不为正方形，若该四边形是正方形即，即，此时，根据求得的值，继而可得，可得答案． 【详解】（1）四边形能够成为菱形，理由如下： ∵中，，， ． 在中，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即，解得：， 即当时，四边形是菱形； （2）四边形不能为正方形，理由如下： 当时，． ， ， ， ， 时， 但， 四边形不可能为正方形． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 51．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定可知：，列方程可解答； （2）根据梯形面积公式可解答； （3）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 如图2，当点的对称点在线段上时， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图3，当点的对称点在线段的延长线上时， ， ， 点的对称点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是2或6． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 52．（20-21八年级下·浙江·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）证明是等边三角形即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题； （3）分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 如图，过点C作于点K，则， ∴， ； （3）解：如图③所示： ， 当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当时，，， ，解得：； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 或或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 题型7 特殊平行四边形背景下的最值问题 转化路径+对称：利用正方形对称性作对称点，化折线为直线（如将军饮马）；或构造相似△转移线段．最值模型首选 "垂线段最短" 和 "三点共线"，必要时建函数求极值． 53．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质定理，勾股定理，等腰直角三角形正方形的性质，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可． 【详解】解：中，，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 当A、D、E、C在同一直线上时，最小即为， ∵中，， ∴， ∴最小即为， 故选：A． 54．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在菱形中，O为对角线的交点，为边和上的动点，且，连接，将线段绕点M顺时针旋转45°得到线段，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上取点Q，使得，连接，作，且，连接，先根据得出，根据推出，从而得到为定值，从而得到P的轨迹，然后构造三角形与全等，最后根据勾股定理求解最小值即可． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及轴对称-最短路程问题，菱形的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 【详解】解：在上取点Q，使得，连接，作，且，连接，如图： 由旋转的性质可知，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P在与夹角的线段上， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∵O是菱形对角线的交点， ∴， ∴． 故答案为：． 55．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点E、F、G、H分别是边、、、中点，在直线上方有一动点P，且满足，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】证明出四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，说明点在上，作点关于的对称点，连接，交于点，则三角形为所求，利用勾股定理求出，即可求出最小周长． 【详解】解：如图，连接、交于， 点、、、分别是边、、、中点， 、为、的中位线， ，， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ， ， 四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为， ， 点在上， 作点关于的对称点，连接，交于点， 由对称得，， ， 由两点间线段最短得，此时最短， 周长最短， ，， 为等边三角形， ， ， ， 点、分别是边、的中点，且， 为等边三角形， ， 到的距离为， 点到的距离为， 点到的距离为， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称线段最短问题，菱形性质、中点四边形性质及三角形中位线性质的应用是本题的解题关键． 56．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取的中点，则与关于对称，过点作，，交于点，连接，则四边形是平行四边形，，根据轴对称的性质可以得出，利用三角形三边关系可以得出，根据两点间的距离最短进一步得出，在中，根据勾股定理即可解此题． 本题主要考查了正方形的性质、勾股定理以及利用平移和对称求最值问题，关键在于通过平移和对称将所求线段和转化为两点之间的距离． 【详解】，解：四边形是正方形，， ， ， 是的中点， ， 取的中点，则与关于对称， ， 过点作，，交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， 又点是上的动线段， ， 当点在一条直线上时，取最小值， ， , 在中，，，根据勾股定理， 最小值为， 故答案为：． 57．（24-25八年级下·广东·期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，；② (2) 【分析】（1）①，先证明是的中位线，是的中位线，推出；再证明，得到，，即可推出，再证明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解； （2）如图，分别取、、、的中点、、、，连接同理（1）①可得；当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴； ∴ ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 58．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 59．（24-25八年级下·福建福州·期中）平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解； （2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决； （3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）证明：，理由如下： 如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键． 60．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．    (1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______； (2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； (3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)5 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质推出条件判定，根据全等三角形的性质即可推出线段与的数量关系； （2）连接，判定，根据全等三角形的性质即可推出（1）中的结论仍然成立； （3）当旋转角是时，、、三点共线，取得最大值，根据的最大值，用勾股定理即可求出的值． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，点是的中点， ∴，， 是等腰直角三角形，， ， 四边形是正方形， ， ， ． 故答案为：； （2）如图2，连接，    由（1）得：， 根据旋转可得：， ， 又，， ， ． 即（1）中的结论仍然成立； （3）如图3，    当、、三点共线，，取得最大值， ， ， 又， ， 在中，，， ， 当为最大值时，的值为5． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定和性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 61．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 【答案】(1) (2) (3)①，② (4) 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识； （1）只要证明即可解决问题； （2）如图，连接，作于，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，．②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ∴， ， ．， ， ． 故答案为：． （2）如图，连接，作于，则，，   四边形是菱形， ，， ， 矩形中，， ， ，即， ， ， ，， ． 与的函数关系式； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，    在中，， 的最大值． ②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小， 此时易证， ， ， ； 故答案为：①，②． （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段， 即点运动的路线长的长， 故答案为：． 62．（2024·辽宁·一模）数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究： 如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接． 【知识初探】 （1）如图1，小明提出的问题是可以得到的结论，并得到老师的肯定．请你帮他说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，小颖在小明的基础上继续探究，连接交于点，连接，可以得到的结论，也得到老师的肯定．请你帮她说明理由； 【特例探究】 （3）如图3，小华在小明和小颖的基础上继续探究，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，请你帮她求出的最小值． 【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3） 【分析】根据旋转的性质得出，，进而证明，即可得证； （2）证明垂直平分，再，即可得证； （3）如图所示，延长，交于点，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，进而得出，则，当取得最小值时，即时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ； （2）证明： 是等边三角形， ， ， ， 垂直平分， ， 又， ，， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 垂直平分， ，， ， ，， ， ， （3）解：依题意，如图所示，延长，交于点， 由（2）可知是等边三角形， ， 将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， ，， ， 是等边三角形， ， 由（2）可得， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由（2）可知是的中点，则， ， ， 折叠， ， ， 又， ， 当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 培优综合练 63．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 64．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接． (1)如图，若点恰好落在对角线上，连接，求的度数． (2)如图，连接，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图，连接，记的面积为，的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（）利用正方形和轴对称的性质可得，，，进而可得，再根据角的和差关系即可求解； （）延长交于，由轴对称的性质可得，，进而由平行线的性质得，再证明得，即可求证； （）作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于，不妨设正方形的边长是，由正方形的性质可得，，，，由轴对称的性质得，，，，即可由得，又由可得是等腰直角三角形，即得，利用勾股定理进而求出即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，延长交于， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于， 不妨设正方形的边长是， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 65．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边在坐标轴上，D为线段上一点，且，连接． (1)点D的坐标为______； (2)若点M从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点A重合时运动停止设点M的运动时间为t秒，连接AM，t为何值时？ (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标______． (4)过A，C两点的直线沿着y轴向上平移过程中，直线上是否存在点P满足为等腰直角三角形，请求出直线的表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)平移后的直线解析式为或或 【分析】（1）根据正方形的边长为 6 ，得到，结合，得到，结合点在轴的正半轴，计算坐标即可． （2）根据题意，得，分点在上运动和在上运动，两种情况解答即可． （3）根据题意，分三种情况解答即可． （4）先求出直线的解析式，设沿着y轴向上平移了c个单位，则平移后的直线解析式为，分为当时，当时，当时，分别画图，根据全等三角形的性质和判定求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为 6 ， ， ， ， ∵点在轴的正半轴， ． （2）解：根据题意，得， ， 当点在上运动时，， 则，解得：； 当点在上运动时，， 则，解得：； 综上，或． （3）解：∵正方形的边长为 6 ， ， ， ， ， ， ， 当时，点一定在上，此时点记作，此时， 根据勾股定理，得， ， 故； 当时，点一定在上，此时点记作， 设，则， 根据勾股定理，得， ， ， ， 解得， 此时； 当时，点可能在上，也可能在上，当点在上记作，当点在上记作，过点作于点， 则， ∴四边形是矩形， ， ， 此时； 根据题意，得， 此时； 综上所述，符合题意的的坐标为． （4）解：∵， 设直线的解析式为， 则，解得， 则直线的解析式为， 设沿着y轴向上平移了c个单位，则平移后的直线解析式为， 当时， 如图，过点作轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入得，解得：， 则平移后的直线解析式为； 当时， 如图，过点作轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入得，解得：， 则平移后的直线解析式为； 当时， 如图，过点作轴，， 则， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得，解得：， 则平移后的直线解析式为； 综上，平移后的直线解析式为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形与坐标，一次函数几何综合，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的分类计算，勾股定理的应用，直角三角形的性质，化为最简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 66．（21-22八年级下·江苏泰州·阶段练习）【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 【答案】（1）；；（2）①；，理由见解析；②，过程见解析；（3） 【分析】（1）延长交于J．证明，即可； （2）①延长，交的延长线于点H，证明，即可；②过点G作，证明，可得，再由勾股定理，即可求解； （3）作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则，根据题意可得点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，从而得到，在中，根据勾股定理可得的长，由（2）得：，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图1中，延长交于J． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． （2）①结论：；．理由： 如图，延长，交的延长线于点H， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图3，过点G作， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图4中，作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则， 由（2）得：可知，，， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4， 即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题． 67．（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①当时，重叠部分是菱形，此时； 当时，此时； ② 【分析】（1）①根据，，计算；结合平行四边形，得到，结合，得到点C与点D的纵坐标相同即，设直线的解析式为，代入解答即可；根据，得到点，代入解析式解答即可． ②过点H作于点Q，根据平行四边形，得到，根据矩形得到，得证四边形为平行四边形．根据坐标，得到，据勾股定理，得，结合，得到，得证四边形为菱形； （2）①设直线的解析式为，确定解析式，过点G作于点P， 则，当时，重叠部分是菱形，此时；过点H作于点N，当时，重叠部分是四边形，此时； ②过点N作，交于点Q，则四边形是平行四边形，，当E，N，Q三点共线时，取得最小值，解答即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵平行四边形，得到， ， ∴点C与点D的纵坐标相同即， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． ②过点H作于点Q， ∵平行四边形， ∴， ∵矩形 ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，据勾股定理，得， ∵， ∴, ∴四边形为菱形． （2）①∵，， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． 过点G作于点P， 则， 当时，重叠部分是菱形，此时； 过点H作于点N， ∵，， 当时，重叠部分是四边形，此时，， ；此时； ②根据题意，得的中点为，矩形对角线的交点为，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴，， 过点N作，交于点Q， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当E，N，Q三点共线时，取得最小值， 设与的交点为R， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点H作于点P， 则四边形是矩形， ∴；， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时的值为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定，三角形中位线定理的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定是解题的关键． 68．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）截长补短法是初中数学几何题中的一种常用方法，也是把几何题化难为易的一种思想，常常用来探究三条线段之间的数量关系． 【探索发现】如图，在中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，若点为的中点，求证：； 解题思路：抓住平行四边形对边平行的性质，结合中点，只需延长交的延长线于点，通过全等将线段转移到的位置，实现补短的目的，再证明与相等，即可解决问题．请按此思路完成证明． 【类比迁移】如图，在正方形中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，求证：； 【综合应用】如图，在菱形中，，延长至点，使，连接，点为上一点，连接，作的平分线交于点，连接，若，，求的面积． 【答案】探索发现：详见解析； 类比迁移：详见解析； 综合应用：． 【分析】[探索发现]由四边形是平行四边形，得，，则有，，证明，所以，通过角平分线定义可得，从而，则，，从而求证； [类比迁移]延长至点，使得，连接，由四边形是正方形，则，，，证明，所以，又平分，则，令，则，，故有，则可证，又，从而求证； [综合应用]先证是等边三角形，则，延长至点，使，连接，证明，所以，，又平分，则，设，则，所以，，可证，设，则，，过点作于点，得，，故有，，由勾股定理得，即，则，（舍），求得，，，，，，由勾股定理得，过点作于点，又，则，，，从而判定，则． 【详解】探索发现：证明∶如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 类比迁移：证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综合应用：解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 延长至点，使，连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， 过点作于点， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴，（舍）， ∴，，，，， ∴， 在中，， 过点作于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 69．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）数学探究小组研究矩形中的折叠问题，在矩形中，点M，N分别在边上，沿着折叠矩形，使点A，B分别落在E，K处，且点K在直线上，连接． (1)如图1，直接写出图中两对全等三角形； (2)如图2，当点K与点D重合时，求证：四边形为菱形； (3)探究小组利用周长为14，面积为12的矩形继续操作，过点M作于点F，连接分别交于H、R，当四边形为正方形时，有图3和图4两种情况，利用图3求出的长，直接写出图4中的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)图3，；图4， 【分析】（1）根据折叠的性质解答即可； （2）根据折叠的性质以及矩形的性质解答即可； （3）根据矩形的周长以及面积可设，则，可求出a的值，从而得到，，，，再根据勾股定理可得，图3，证明，可得，，，从而得到，，再证明，可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即可求出的长；图4，证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得，然后证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∴； ∵， ∴； （2）解：由折叠的性质得：，，， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （3）解： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵矩形的周长为14，面积为12， ∴，， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，，， ， ∴， ， ， 由折叠的性质得：，垂直平分， 如图3， ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得：， 即， ∴， ∴， 即； 如图4    ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用类比思想解答是解题的关键． 70．（2025·陕西宝鸡·二模）【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）米 【分析】（1）可证得，从而， （2）连接，连接，交于，根据三角形中位线的性质得出，从而得出当时，最小，从而最小，根据可求得，进而得出结果； （3）取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，可证得是矩形，从而，进而求得的值，可证得，从而，从而得出，作于，则最小值是的值，进一步得出结果． 【详解】（1）如下图， 四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 连接，连接，交于， 点、分别是、的中点， ， 当时，最小，从而最小， 四边形是菱形， ，，， ， ， 由， ， ， ； （3）如图， 取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， ， ，， 米， ， ， ， ， 是的中点， ， ， 作于， 则最小值是的值， 米， 米， 米， 灌溉水渠总长度的最小值为：米． 【点睛】本题考查了正方形，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 试卷第2页，共173页 2 / 170 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $