培优02 矩形的常见类型题（9大题型）数学鲁教版五四制八年级下册

培优02 矩形的常见类型题（9大题型） 题型1 利用矩形性质求解  活用"对角线相等且平分"性质，结合Rt△特性（如勾股定理）求长度/角度；利用对边平行导内错角相等，结合等腰三角形求角度。 关键：遇对角线必连，构造全等△或转化线段关系。 1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得． 【详解】解：由对顶角相等得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，直线过矩形对角线的交点O，分别交于点E、F，且，那么图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据题意得出，，然后进一步证明和全等，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 等底同高的三角形面积相等， ， 阴影部分的面积是． 故选A． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵分别是边的中点，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来 盆花． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的对角线性质在实际生活中的应用，分类讨论的数学思想．根据矩形的对角线相等且互相平分可知当一条对角线有偶数盆花时，另一条对角线要有相同盆数；当一条对角线有奇数盆花时，另一条对角线的盆数要少一盆． 【详解】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以当一条对角线有24盆花时，另一条对角线要有相同盆数即24盆； 如果一条对角线用了35盆花，因为两对角线的交点处有一盆，所以还需要从花房运来34盆花． 如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来盆花． 故答案为：，，． 5．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，然后向左扭动框架，得到新的四边形（点在BC的上方），若在扭动后四边形面积减少了32，点和分别为矩形和四边形对角线的交点，则PQ的长 ． 【答案】 【分析】连接、、，先证是的中位线，得出，再证四边形是平行四边形，根据矩形的面积得出平行四边形的面积，即可求出的长，进一步求出、的长，根据勾股定理即可求出的长，从而求出的长． 【详解】解：连接、、， ∵点和分别为四边形和四边形对角线的交点， ∴过点过点， ∴点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， 在矩形框架中，， ∴矩形的面积为， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵扭动后四边形面积减少了32， ∴四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期末）将一个相邻两边之比为的矩形分成四部分，其中有两个全等的等腰直角三角形，其腰长与矩形较长边之比为，如图1，它是一个中心对称图形．现拼成不重叠、无缝隙的轴对称的“鱼”形，如图2，寓意“鱼跃龙门”．若对称中心到矩形较长边的距离为4，则图1矩形较短边的长为 ，图2中“鱼”首尾高的值为 ． 【答案】 【分析】过点作直线垂直矩形长边，交点为，如图所示，由矩形性质及题意即可得到答案；由题意中的比例关系求出矩形的边长、等腰直角三角形腰长，再由等腰直角三角形性质及勾股定理求出，数形结合表示出“鱼”首尾高，代值求解即可得到答案． 【详解】解：过点作直线垂直矩形长边，交点为，如图所示： 对称中心到矩形较长边的距离为4， 图1矩形较短边的长为； 即矩形的短边长为， 矩形相邻两边之比为， 矩形的长边长为， 等腰直角三角形的腰长与矩形较长边之比为， 等腰直角三角形的腰长为， 过点作，如图所示： ， 由等腰直角三角形性质可得， 在等腰中，由勾股定理得到斜边长为，则， 图2中“鱼”首尾高的值为； 故答案为：，． 【点睛】本题考查求线段长，涉及矩形性质、比例求线段长、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识．数形结合，根据比例求出相关线段长度是解决问题的关键． 7．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、等边对等角等知识，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的性质和已知即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，由矩形的性质和等边对等角得到，最后由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 在矩形中，， ∴， 在中，． 8．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，是直角三角形，，现将补成矩形，使的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形和矩形． (1)设图中矩形和矩形的面积分别为、，则______填“”、“”、“”； (2)如图，若是钝角三角形，按此要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出______个，在图中画出来． (3)如图，若是锐角三角形且三边满足，按要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出______个，请画出来． 【答案】(1) (2)1，图见解析 (3)3，图见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意，，由此可得结论； （2）以为矩形的一边，过点A作，点B作，过点C作交于E，于F，则四边形即为所求； （3）分别以、、为矩形的一边，同（2）画法作出矩形、矩形、矩形，即可． 【详解】（1）解：∵矩形 ∴ 过点C作于G， ∵矩形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：=． （2）解：如图中，矩形即为所求， 故答案为：； （3）解：如图，矩形，矩形，矩形即为所求． 故答案为：． 题型2 矩形的判定问题  分两步走：先证平行四边形（一组对边平行且相等），再补一个直角（如邻边垂直）或对角线相等；特殊情形可直接证三个直角。 陷阱：避免误用"对角线垂直"（此为菱形性质）。 9．（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在中，点，分别是，的中点．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是 (写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得． 【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时，点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，在点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 11．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，对角线与交于点． （1）添加一个条件 ，则可判定四边形是矩形； （2）若，，则与的周长之差为 ． 【答案】 （答案不唯一） 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定． （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加一个条件即可； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的周长表达式，计算即可． 【详解】解：（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件， 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵平行四边形中，对角线与交于点O，，， ∴，，， ∴与的周长之差为， 故答案为：2． 12．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． (1)证明：； (2)当____________时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)1；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和是的中点，易证，得到，结合，得证； （2）根据已知条件易得四边形是平行四边形，然后根据等腰三角形三线合一，可知当时，可推出，从而根据平行四边形的一个角为直角得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， 又， ， ， ， ． （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ，即，， ， ， 平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，综合运用这些知识点是解题关键． 13．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件：________，四边形是矩形； 当与满足条件：________，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形和菱形的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，再由线段中点的定义可得，据此可证明结论； （2）当时，由三线合一定理得到，则四边形是矩形；当时，由直角三角形的性质可得，则平行四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M、N分别为和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，证明如下： ∵，点M为的中点， ∴， ∴平行四边形是矩形； 当时，四边形是菱形，证明如下： ∵，点M为的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 如图① ，在中，点，分别是边，的中点．则，． 【问题解决】(1)如图② ，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形为平行四边形． (2)连接，，加上条件 后能使得四边形为矩形．请从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个进行填空(写序号)． 【答案】（1）见解析；②见解析 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定是解题的关键． （1）连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定证明； （2）根据三角形中位线定理得到，得到，根据矩形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：如图②，连接、， ，，，分别是，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：时，四边形为矩形， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ，，， ， 平行四边形为矩形， 故答案为：②． 题型3 矩形背景下的作图问题  根据作图要求、作图痕迹得到条件作为解析的依据，同时利用好矩形的性质，进行解答．常见方法：作两条互相平分的等长线段（定对角线），或作邻边垂直且等长；网格作图优先保证横平竖直的直角边。 15．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解作图过程，熟练运用矩形的性质解题．根据作图过程和矩形的性质可以证明，进而可得线段与线段的位置关系以及与的数量关系，进一步推导与，与的数量关系即可． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，，，， ∴， 由题意得，， ∴，，故A正确， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，，故B、D正确． 无法证明；C不一定成立； 故选：C． 16．（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质．核心素养表现为推理能力和空间观念．先证明，，进而得出，按作图要求得出四边形可能是平行四边形，得出结论． 【详解】解：平分． ， ， ， ， ．以点为圆心，长为半径作弧交射线于点，点会有两个位置，右侧的点可以使四边形为平行四边形，左侧的点使四边形为梯形， 四边形可能是平行四边形． 当时，点仅会有一个位置，故四边形一定是矩形， 故选B． 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线交点）为端点的线段． (1)以为边作菱形，使得C、D两点都在格点上，A并且菱形的面积为20； (2)以为对角线作矩形，点E在的左侧，点F在的右侧，使其面积等于菱形面积的一半； (3)连接，直接写出的长度． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了基本作图，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识． （1）网格中，由勾股定理得，则菱形的边长为5， 而点A到经过点B的水平线的距离为4，从而得出作法， （2）连接、交于点F；网格中，过点B作的平行线、过点A作的平行线，两条平行线交于点E，则四边形即为所求，由作法知∶，，则四边形是平行四边形，由“菱形对角线互相垂直平分”知∶，，则四边形是矩形且 （3）由（2）得F为的中点，即，利用勾股定理求出，进而可得出． 【详解】（1）解：如下图：菱形即为所求： （2）解：连接、交于点F；网格中，过点B作的平行线、过点A作的平行线，两条平行线交于点E，则四边形即为所求： （3）解：由（2）得F为的中点，即， 由勾股定理，得， ∴． 18．（24-25八年级下·浙江温州·期末）尺规作图：在矩形中，要求用直尺和圆规作菱形，使点分别在边上． 小明：如图1，作的中垂线分别交于点，连结． 小刚：如图2，连结，作的中垂线分别交于点，连结． 请选择一位同学的作法，判断是否正确，并说明理由．（注：若全选，按第一种作答评分） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——过一点作已知直线的垂线，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用垂线段最短可判断，进而判断出，则可判断小明的作法错误；利用矩形的性质和已知条件得出，再得出四边形是平行四边形，最后利用有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得出结论，则可判断小刚的作法正确． 【详解】解：小明的作法错误，理由如下： 在矩形中，， ， 又， ， 四边形不是菱形，故小明的作法错误． 小刚的作法正确，理由如下： 记与交点为， 则， 在矩形中，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 是的中垂线， 为菱形，故小刚的作法正确． 19．（24-25八年级下·福建莆田·期中）请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线） (1)如图1，在中，为边上一点，在上找点，使得； (2)在平行四边形中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）连接、，交于点，连接并延长交于点即可； （2）设矩形的对角线交点为点，连接、，交于点，过点、作直线即可． 【详解】（1）解：如图，连接、，交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是平行四边形，对角线、交于点， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 则点即为所作； （2）如图，设矩形的对角线交点为点，连接、，对角线、相交于点，过点、作直线， 设直线将分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为），直线将矩形分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为）， ∵平行四边形和矩形都是中心对称图形，且直线同时经过和矩形的对角线的交点， ∴，， ∴， ∴直线左边剩余部分的面积等于直线右边剩余部分的面积， 即直线将剩下图形的面积平分， 则直线即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，中心对称图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 20．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． (1)如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积． (2)如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）旋转变换的性质作出点的对应点即可，连接交网格线于点，作直线交于点即可； （2）取格点，连接交于点，取格点，网格线的中点，连接交于点，作直线交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，点，直线即为所求． （2）解：如图，点，直线即为所求． 21．（23-24八年级下·广西百色·期末）【操作与思考】 已知：矩形． 【动手操作】以下是小华完成的尺规作图的过程． 第1步：分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F； 第2步：作直线； 第3步：在的右侧，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接． 【解决问题】根据小华的尺规作图步骤，完成以下问题： （1）填空： ． （2）过点D作，交直线于点H． 求证：四边形是平行四边形； 【数学思考】（3）在（2）的条件下，设平行四边形的面积为，矩形的面积为，请问与存在有何种数量关系？请写出来，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查尺规作垂线，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由作图知，是线段的垂直平分线，，得到，推出是等边三角形，于是得到结论； （2）根据矩形的性质得到，推出，得到四边形是平行四边形； （3）设与交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：，理由如下： 如图，设与交于O， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 22．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】 老师的问题：已知：如图1，在中，．求作：矩形． 小明的作法：(如图2) （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，交于点； （3）连接并延长，截取； （4）连接，．四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 (1)如图2，请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． (2)如图2，直线分别交，于点，，连接，，当，时，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）由题意可知垂直平分，则，结合得出四边形为平行四边形，又，即可得证四边形是矩形； （2）先证明四边形为菱形，然后根据勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可知垂直平分， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形． （2）解：∵， ，且， ． ， ， 四边形为菱形， 设，则， 在中，根据勾股定理， ，解得， ， 四边形的周长为． 23．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知是的对角线．小滨和小江分别用尺规作特殊的平行四边形： (1)小滨：如图1作的中垂线，分别交于点，连结，则得到的四边形是菱形．请问小滨的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由． (2)小江：如图2，过中点作直线，分别交于点．以点为圆心，长为半径画弧，与边交于点，连结并延长交于点，连结，，，则得到的四边形是矩形．请问小江的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定，解题的关键是熟练掌握这些图形的判定定理和性质定理． （1）小滨的作法正确，利用平行四边形性质和中垂线性质证明四边形是菱形； （2）小江的作法正确，利用平行四边形性质和矩形判定定理证明四边形是矩形． 【详解】（1）小滨的作法正确． 理由：由作图可知垂直平分线段， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）作法正确． 理由：∵四边形都是平行四边形， ， ， ， ， ， 同法可证， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形． 24．（24-25八年级下·吉林辽源·期末）如图1，在四边形中，．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在上作点，使得四边形是矩形． 小丽：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连结． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连结． 根据所学知识判断小丽和小明的作法是否正确，并选择一个说明理由． 【答案】小丽和小明的作法都正确，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，尺规作图，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 小丽作法中可得出，再结合，先证四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角，可证是矩形； 小明作法中可得出，进而通过证明，得到，后续证明同上即可． 【详解】解：小丽和小明的作法都正确 小丽作法，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵由题意知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 小明作法，理由如下： 连结AE，BD， 由题意，知， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 25．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图是三张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上（小正方形的顶点）． (1)在图1中，点在格点上，画出以为边，为对角线交点的平行四边形； (2)在图2中，点P在格点上，作出点关于直线的对称点； (3)在图3中，画出一个以线段为对角线、面积为6的矩形，且点和点均在格点上．（要求仅用无刻度的直尺画图，不写作法，保留画图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）连接并延长，使得，连接，，即可； （2）利用数形结合的思想解决问题即可； （2）构造边长分别为，的矩形即可． 【详解】（1）解：如图，连接并延长，使得，连接，，，平行四边形即为所求； （2）如图：点Q即为所求； （3）， 边长分别为，的矩形面积为6， 如图四边形即为所求； 题型4 矩形的拼接问题 计算有效面积：总拼接面积减重叠区域；若裁切后拼矩形，需保证裁切线平行边且长度匹配，利用面积不变性列方程。 示例：两矩形拼新矩形→边长需满足倍数关系。． 26．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）小丽在一次拼图游戏时，先用图形①②③④拼出矩形，又用图形①②③⑤拼出矩形，图形④⑤都是矩形，且 ，记图形④的面积为 ，图形⑤的面积为. 若 ，则 的值是 ． 【答案】35 【分析】本题考查面积代换，矩形的性质和应用，熟练掌握面积之间的关系是解题的关键；根据图形分析面积的关系，结合矩形的性质即可得解． 【详解】解：如下图： 在矩形中，， ， 在矩形中，， ， 由图形①②③，可知， ，，， ， ， ， 则④和⑤的宽相等， 设， ， ， 即， 设，则， 可知， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 27．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）综合与实践    (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，E、F是边、上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则________； (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为_______； ②证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)①1  ②证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质等． （1）观察可得：； （2）①观察可得：，即可得出比值； ②由题意得，E、F、G、H是，，，的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空处．证明，，得出四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）①解：观察可得：， ∴与的比值为1， 故答案为：1； ②证明：由题意得，E、F、G、H是，，，的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空处，    则，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴K，Q，L三点共线，同理K，P，J三点共线， 由操作得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 28．（24-25八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材122页的部分内容． 我们知道，一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形． 【问题探究】如图①，四边形中，，小明分别取的中点，作于点，于点，再分别作、关于的中心对称图形、．这样就可以将梯形剪拼为一个矩形．以下是小明证明四边形是矩形的部分过程． 证明：由【问题探究】的作法可知： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 同理可证四点共线． 证明过程缺失 ∴四边形是矩形， 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】如图②，取四边形四边中点，连接对边中点，将四边形分为I、II、III、IV四个部分，如图操作，作II、IV的中心对称图形，并将III平移，拼成四边形，判断此时四边形的形状是 ． 【问题应用】如图③，取四边形四边中点，连接，过点作于点，过点作于点，若四边形的面积为48，，直接写出的长 ． 【答案】【问题探究】见解析；【问题解决】平行四边形；【问题应用】3 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质； 【问题探究】根据作图得到四点共线，然后根据矩形的判定定理证明即可； 【问题解决】设中点为，，，，连接，，，，，即可根据三角形的中位线定理得到是平行四边形，进而得到，，然后根据旋转和平移得到，，即可得到结论； 【问题应用】连接，，，，，连接交于点，可得是平行四边形，然后证明，即可得到，，然后把四边形绕点G旋转，把四边形绕点E旋转，平移四边形，得到四边形，即可得到是矩形，根据矩形的性质解答即可． 【详解】解：【问题探究】由【问题探究】的作法可知： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 同理可证四点共线． 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 【问题解决】如图，设中点为，，，，连接，，，，， 则，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 根据旋转和平移可得点，，N三点共线，，，Q三点共线，，，，， ∴，， ∴是平行四边形； 【问题应用】连接，，，，，连接交于点， 由【问题解决】可得是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 类比【问题解决】把四边形绕点G旋转，把四边形绕点E旋转，平移四边形，得到四边形， 则是矩形，且，， ∴， 即， 解得． 29．（2025·山西吕梁·三模）综合与实践问题情境： 综合与实践课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线，将沿射线方向平移得到．点的对应点分别为． 猜想证明： （1）如图②，当线段经过点时，连接、．请判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）若中，．将图②中的继续沿射线方向平移，得到．点的对应点分别为．老师让同学们提出问题并解答． 如图③，“创新小组”画出的四边形是菱形，提出问题是：求此时菱形的对角线与的长． 【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析；（2） 【分析】（1）由平移得到，根据直角三角形斜边中线得到，然后先证明四边形是平行四边形，再得到 ，即可证明矩形； （2）由先勾股定理求出．过点作于，连接．由三角形中位线得到，则，再由菱形即可求出． 【详解】解：（1）四边形是矩形；理由如下： ∵平移得到， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）∵， ∴． 过点作于，连接． ∵四边形是菱形， ∴． 由（1）得， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴菱形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，平移的性质，三角形中位线定理，菱形的性质等知识点． 30．（24-25八年级下·河南新乡·期中）在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题． 如图1，，其中，，． 操作与发现： (1)如图2，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究： (2)创新小组在图2的基础上，将纸片沿方向平移至如图3的位置，其中点与的中点重合，连接，．经过探究后发现四边形是菱形．请你证明这个结论． (3)创新小组在图3的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图4所示，连接，，创新小组经过观察与推理后发现四边形是矩形.请你证明这个结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，证明，可得，从而可得结论； （2）结合平移可得：，，可得四边形是平行四边形，然后根据直角三角形的性质，求出，证明，可得四边形是菱形； （3）如（2）图， 证明为等边三角形，可得，，证明，如（3）图，由，可得，证明为等边三角形，可得，，证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）证明：由（1）图可得：四边形是矩形； ∴，， 由（2）图结合平移可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∵，点E与的中点重合， ∴， ∴四边形是菱形； （3）证明：如（2）图，∵， ∴为等边三角形， ∴，而， ∴， ∵， ∴， 如（3）图，∵， ∴， 由旋转可得：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，而， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，理解题意数形结合的方法的应用都是解本题的关键． 题型5 矩形背景下的图形变换问题  根据图形平移、旋转和轴对称的性质，到相应结论，融合矩形的性质解答即可． 31．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形 ∴ ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：D． 32．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质和折叠性质，得出，利用勾股定理求出的长度，设，并表示出，在中，再利用勾股定理表示出三边关系列出方程，解出方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ． 设，则． 由折叠的性质，得 ，点在边的延长线上， ． 在中， ， 解得 的长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质、矩形的性质和勾股定理，根据性质找到相等线段及一些关系，并利用直角三角形的三边关系列出方程是解题关键． 33．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在上，且，则旋转角等于 度． 【答案】45 【分析】本题考查了矩形的性质，图形旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质．根据矩形的性质及图形旋转的性质可求得，是等腰直角三角形，据此即得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ，即旋转角等于45度． 故答案为：45． 34．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． (1)如图1，若，，求折痕的长； (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． （1）由勾股定理求出，的长，设，则，得出，解方程即可得解； （2）设，则，得出，设，则，在中，得出，则，根据勾股定理列方程解出的值，求出和的长，再利用勾股定理求出，则答案可求出． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； （2）解：， 设，则， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 在中，， ， ， ，， ， ． 35．（2025·山西·三模）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点E落在线段上时，连接交于点H，连接，，． 特例探究：（1）试判断和的数量关系，并说明理由． 探索发现：（2）如图2，当点E落在对角线上时，连接交于点P，“奋进”小组发现垂直平分，请你证明这个结论． 拓展延伸：（3）在矩形旋转的过程中，当E，D，F三点在同一条直线上时，连接．若，，请直接写出此时的长． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）的长为或 【分析】（1）过点作于，证明即可得出结论； （2）设与相交于，得，从而可证得，得出，则，即，再利用等腰三角形“三线合一”的性质可得出结论． （3）分两种情况：当三点在同一条直线上，点在下方时，当三点在同一条直线上，点在上方时，分别求解即可． 【详解】解：（1）， 理由：如图 1，过点作于， ∵矩形， ， ∵矩形， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 由旋转可得：， ， ， ， ， ，即， 在与中， ， ， ， （2）如图，设与相交于， ∵矩形， ， ， 由旋转可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即垂直平分． （3）当三点在同一条直线上，点在下方时，如图， 由旋转可得：， ∵矩形， ， ， ， ； 当三点在同一条直线上，点在上方时，如图， 由旋转可得：， ∵矩形， ， 在中，由勾股定理，得， ， 在 中，由勾股定理，， 综上，当三点在同一条直线上时，的长为或． 【点睛】本题考查矩形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，本题属旋转综合题目，掌握相关性质与判定是解题的关键． 36．（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 【答案】（1）①；；②依然成立，证明见解答； （2）或． 【分析】（1）①根据题意判定和为等腰直角三角形，然后通过证明即可得出结论； ②通过辅助线推出，然后根据证明结论； （2）根据（1）的结论得出点P为的中点，然后判定为菱形，当其为正方形时面积最大，然后判定当旋转角或时均符合题意，然后构造即可求解． 【详解】解：（1）①根据旋转的性质可知： ， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 故答案为：；； ②如图，过点F作交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理①可证：（）， ∴， 故依然成立； （2）根据（1）可知，点P为中点， ， ∴、为的中位线， ， ∵， ∴四边形是边长为的菱形， 设四边形底边上的高为h． 由于，故当时，四边形面积取最大值， 此时，四边形为正方形，分为旋转角或两种情况，如图： ①当时，作，H为垂足， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ②当时，四边形为正方形，作，为垂足， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴， 故的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 37．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：数学老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． （1）如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______； ②求证：． （2）如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点C、A、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由； （3）如图5，小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线与点，小红说她可以计算出的长，则______． 【答案】（1）①2；②见解析；（2）小明的发现正确，理由见解析；（3） 【分析】（1）①先由折叠得：，，由勾股定理得，可得的长； ②连接，过点F作于点G，利用面积法可得，证明，可得结论； （2）如图4，连接，由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形，先证明，则，，再证明四边形是平行四边形，，即可解答； （3）如图5，连接，先证明，由面积法可得，设，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）①解：∵四边形是矩形， ∴， 由图1和图2可得：，， ∴， ∴； 故答案为：2； ②证明：如图3，连接，过点F作于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：小明的发现正确，理由如下： 如图4，连接， 由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴C，A，B三点共线； （3）解：如图5，连接， 由（2）知：C，A，B三点共线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及了矩形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 38．（24-25八年级下·河南南阳·期末）数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．如图①，矩形和矩形重合，．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针方向旋转． 【问题初探】 （1）如图②，创新小组同学将矩形的顶点旋转至边上，则的长度为____________． 【质疑再探】 （2）如图③，创新小组同学继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，连接，四边形是平行四边形，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由． 【深度探究】 （3）在（2）的条件下，如图④，连接交于点M，延长交的延长线于点N，请直接写出的长． 【答案】（1）2；（2）创新小组同学的发现正确，见解析；（3） 【分析】（1）根据矩形性质得，，用勾股定理求出，即可用线段和差求解； （2）连接，，证明，得，，进而得，可证明四边形是平行四边形； （3）连接，，根据四边形是平行四边形，得，设，，根据勾股定理建立方程求出即可求解． 【详解】（1）矩形中，，． ，， 中，， ； （2）创新小组同学的发现正确， 理由∶连接，， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， （3）由（2）知：四边形是平行四边形， ， ， 在同一条直线上； 连接，， 四边形是平行四边形， ， 设，， 在中，， 即①； 在中，， 即②， 得，， 整理得， ，， ，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型6 矩形背景下的最值问题  抓对称点转化：以对边中垂线为对称轴翻折，化折线为直线；利用"垂线段最短"或"将军饮马"模型求最值． 关键：动点在线段上时，端点常为极值点． 39．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点为边上的一点，且满足，为射线上一动点，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．延长到点， 使，作直线，得出四边形为平行四边形，则在平行的直线上运动，当时，最小，进而根据已知，结合含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】解：延长到点， 使，作直线，如图： 四边形为平行四边形， ， ∴， 四边形为平行四边形， 在平行于的直线上运动， 当时，最小， ， 四边形为平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ∴的最小值是． 故选：D． 40．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键．连接，可知当点落在上时，取得最小值．根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即为所求． 【详解】解：如图，连接，可知当点落在上时，取得最小值． 根据折叠的性质，， ， 是边的中点，， ， ∴ ，， ， ． 的最小值是， 故选：C． 41．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】设与EF的交点为O，过点A作于H，由平行四边形的性质可得，即当时，有最小值，即有最小值，由面积法可求，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：设与EF的交点为O，过点A作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 42．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，点为斜边上的一个动点，过分别作于点，作于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题点线模型，涉及矩形的判定与性质、点到直线距离的最小值、勾股定理及等面积法求线段长等知识，熟练掌握矩形判定与性质、点到直线距离最值是解决问题的关键． 先由矩形的判定与性质，将线段的最小值转化为线段的最小值，再由点到直线距离中垂线段最短，过作，如图所示，再利用勾股定理求出长，最后利用等面积法求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，， 四边形是矩形， ， 点为斜边上的一个动点， 线段的最小值为线段的最小值，由点到直线的距离中垂线段最短，过作，如图所示： 在中，， ∴， 由等面积法可得，即， 解得， 故答案为：． 43．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平行四边形中，，，点E是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点B作，取，连接，易证可得，则当取最小值时，也取最小值；如图：过点G作交延长线于点M，过点C作于点H，即为的最小值．根据平行四边形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、、、，再证明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差可得即可解答． 【详解】解：如图：过点B作，取，连接， ∵为等腰三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当取最小值时，也取最小值． ∵点E是射线上一点， ∴最小值为点G到射线的距离， 如图：过点G作交延长线于点M，过点C作于点H，即为的最小值． ∵，四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∴最小值为． 故答案为：． 44．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点在上，点在外，，，是的中点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，证明是解题的关键． 在等腰中，求出，延长至，使，连接，，作于，于，证明，可得，从而得到的最小值为的长，即的最小值为，在中，利用直角三角形的性质可得 ，进而得到，再证明四边形是矩形，可得，，然后利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：在等腰中，，， ∴， ∴， 延长至，使，连接，，作于，于． ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长，即的最小值为， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为： 45．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，点E为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形AEF，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点E为线段的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，作，同理求出的长，线段的和差求出的长，再利用面积公式进行求解即可． （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 作，则：，， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角性质的性质，全等三角形的判定和性质，利用轴对称解决线段和最小问题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 46．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，过点A的直线交边于点P． (1)求点A，点P的坐标； (2)已知点D在x轴上，且为等腰直角三角形，求出点D坐标； (3)如图2，在x轴上另有一点G的坐标为，请在直线和y轴上分别找一点M、N，使的周长最小，并求出此时点M的坐标和周长的最小值． 【答案】(1) (2)D点坐标为或 (3)，周长的最小值为 【分析】（1）利用一次函数与x轴交点问题即可求出点坐标，再根据题意得到，由矩形的性质可得点P的纵坐标为，根据点的坐标特点求解即可； （2）先求出，分当时，当时；两种情况讨论即可； （3）作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F，当E、N、M、F四点共线时，的周长有最小值为；再求出直线的解析式为，联立，即可解答． 【详解】（1）解：令，解得， ∴直线与x轴的交点， ∵四边形是矩形，矩形的边在x轴上，且， ∴， ∴点P的纵坐标为， 令时，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，则为等腰直角三角形， 此时，D点与A点关于直线对称， ∴， 当时，则为等腰直角三角形， 此时，； 综上所述：D点坐标为或； （3）解：作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F， ∵， ∴， ∴F点在上， ∴， ∵， ∴当E、N、M、F四点共线时，的周长有最小值， ∴， ∴周长的最小值为， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，矩形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 题型7 斜边上的中线  遇Rt△必连斜边中线：立即得"中线=斜边一半"，结合等腰△求角度；矩形中可转化为对角线一半求解． 延伸：若中线等于直角边，则原Rt△为等腰． 47．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．72 B．24 C．48 D．96 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得． 根据菱形的性质得为的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得的长度，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积． 故选：C． 48．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，，，是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．连接，交于点，先根据折叠的性质可得，则可得垂直平分，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理可得的长，最后根据三角形的中位线定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵在中，，，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵，，是的中点， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 又∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 49．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边中线等于斜边一半，是解题的关键． 根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出 【详解】解：，E分别为的中点， 是的中位线， ， 在中，D为的中点，， 则， ， 故答案为： 50．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知，如图，中，，以为斜边在左侧作直角三角形，使，连接，取、的中点分别为E、F，连接，若， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出，根据等腰三角形的性质即可得出； （2）根据题意可得，，根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：连接，， ，点E是的中点， ，， ， 点F是的中点，， ； （2）解：点E是的中点，点F是的中点，，， ，， 在中， 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是本题的关键． 51．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，M为中点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)1． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）由题意可知为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （2）由（1）可得：，根据等边对等角和三角形外角的性质得，，进而可得； （3）设，由（2）可得，由，解出x的值，得，过点E作于点F，由即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴为直角三角形， ∵M为中点， ∴， ∴； （2）解：由题意可得：， 由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴； （3）解：设，由（2）可得： ， ∵， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点F， ∴， ∴． 52．（24-25八年级下·吉林·期末）在等腰直角三角形纸片中，点D是斜边的中点，，点E为上一点，将纸片沿折叠，点B的对应点为点，与交于点 (1)如图，连接、，若，则： 求证：四边形为菱形； 的形状为______； (2)如图，若与不平行，则的周长为______． 【答案】(1)详见解析；等腰三角形 (2) 【分析】（1）①由折叠得，，，由，得，得，所以，则，即可证明四边形为菱形； ②由，，点D是斜边的中点，得，，，而，，所以，，则，推导出，则是等腰三角形，于是得到问题的答案； （2）连接、，则，所以，而，则，所以，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）①证明：由折叠得，，， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． ②解：是等腰直角三角形，点D是斜边的中点， ，，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． （2）解：如图②，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 53．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点为的中点，是延长线上一点，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)证明：； (2)如图，取的中点，连接，． ）证明：； ）连接，当平分时，，且点到直线的距离为，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)）见解析；）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键 （）连接，证明和全等即可得到； （））延长到，使得，连接，证明和全等，然后证明和全等，即可得到结论； ）根据平分，可以证出，，从而得到和的关系，即和的关系，根据的面积求出，从而求得的面积． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵，，是中点， ∴，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2））证明：延长到，使得，连接，如图： ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ）解：如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， 由（）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型8 一次函数与矩形性质的综合问题  本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质． 54．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由等腰直角三角形的性质得出，，由等腰直角三角形求出点的坐标，根据折叠的性质得出的坐标，代入直线求出即可． 【详解】解：过点C作于D，如图， 是等腰直角三角形， ，， ∵， ∴， ∴， 直线，当时，， ， ， ， ， ∵关于轴对称的， ∴， 把点代入直线得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，关于轴、轴对称的点的坐标特征，求得点的坐标是解题的关键． 55．（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和矩形的性质等知识．先求出矩形的对称中心为，根据过矩形对称中心的直线平分矩形的周长，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上． ∴矩形的对称中心为， 设直线的解析式为，把和代入得到， 解得 ∴直线的解析式为， 故答案为： 56．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)直接写出直线的解析式　　　； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点．且以，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答； （3）根据题意进行分类讨论：①为矩形的边时；②为矩形的对角线时． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∵绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为 故答案为： （2）∵， ∴， ∵点E在线段上， ∴设， ∵轴，轴， ∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为， 把代入得：； 把代入得：，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴ 解得：． ∴． （3）①当为矩形的边时， 过点M作，交直线于点，过点O作，交直线于点N，过点N作交于点P，过点作交于点， 根据作图可得：四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵绕点O顺时针旋转得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点，， ∴，，即点N为中点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得 ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式为： ，解得：， ∴， ②当为矩形的对角线时， 过点M作轴于点P，过点M作轴于点N， ∵，， ∴轴， 过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点C和点N重合， ∴， 综上：点N的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质． 57．（24-25八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，两直线交于点E，，． (1)如图1，求k和b的值； (2)如图2，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围； (3)如图3，点H在直线上，点F在x轴上，点G在直线上，连接和，当四边形为矩形，且矩形相邻两边比为时，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或或或 【分析】（1）首先表示出A、B的坐标，再根据，求出C、D的坐标，最后利用待定系数法即可求出k和b的值； （2）设点P的横坐标为t，则，，利用线段MN的长为d，即可表示出d与t之间的函数关系式，联立两直线的解析式，求出交点E的坐标，根据过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N即可求出t的取值范围； （3）分三种情况讨论：F在线段上；F在A的左侧；F在C的右侧，根据等腰直角三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当时，，当时，， ，， 即，， 又，， ，， ，， 将，代入直线，得 ， ； （2）解∶ 如图， 设点P的横坐标为t，则，， 线段的长为d， ， 即， 联立方程组 即， ； （3）解∶由（1）知，， 又， ，， ， 当F在线段上时，如图，过G作于M， 四边形为矩形， ， ， 、都是等腰直角三角形， ， ，， 当时，， 又， ， ，，， ， ， G的坐标为； 当时，， 同理可求，，， G的坐标为； 当F在A的左侧时，如图，过G作于M， 当时，， 又， ， ，，， ，此时M和A重合， G的坐标为； 当时，，此时，不符合题意舍去； 当F在C的右侧时，如图，过G作于M， 当时，， 又， ， ，，， ， ， G的坐标为； 当时，，此时，不符合题意舍去； 综上，G的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查求函数解析式、已知两点坐标表示线段长度、一次函数与几何图形相结合，熟练掌握函数性质、正确画出图形是解题的关键． 58．（24-25八年级下·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G． (1)如图1，当点E落在边上时，线段 ，旋转角 °； (2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式； (3)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度． 【答案】(1)，45； (2)； (3)2 【分析】（1）由矩形的性质得，，，，根据勾股定理求得，进而可求出，进而可求出旋转角； （2）由（1）可得，求得直线的表达式为，过点G作轴于点A，利用勾股定理求得，设的函数表达式为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点M作于点N，连接、，旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，证明四边形是矩形，可得，可证，可得，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵矩形是矩形旋转得到， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，45； （2）解：由（1）可知，， 设直线的表达式为， 把点代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， 设的函数表达式为， 过点G作轴于点A， ∵，， ∴， ∴， ∴， 把点代入得，， 解得， ∴的函数解析式为； （3）解：如图，过点M作于点N，连接、， ∵矩形是矩形旋转得到， ∴，， ∵C、E、F三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长度为2； 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质与判定、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 59．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线，直线上点A的横坐标为2，过点A作轴交直线于点B．以长为边向上构造矩形 (1)当直线在直线的上方时，求自变量x的取值范围； (2)将矩形先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点A的对应点落在直线上． ①求n关于m的函数关系式； ②直线交直线于点P，交直线于点Q，当点P和Q关于点成中心对称时，求m的值； ③直线，直线与矩形的边，分别交于点M，N，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)① ；②；③或 【分析】（1）先求出交点坐标，然后集合图象即可求解； （2）①表示出点的坐标，然后代入直线即可求解； ②先表示出点P和点Q的坐标，然后根据中心对称的性质求解即可； ③先表示出点M和点N的坐标，然后根据两点间的距离公式求解即可 【详解】（1）解，得， ∴交点坐标为， ∴当直线在直线的上方时，自变量x的取值范围是； （2）①∵直线上点A的横坐标为2， ∴， ∴ 由平移的性质得， ∵点落在直线上 ∴ ∴； ②∵轴 ∴轴，点B纵坐标为5， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵以长为边向上构造矩形 ∴ ∴，， ∴，， ∵， ∴，． ∵直线交直线于点P，交直线于点Q，轴， ∴，， ∴，． ∵点P和Q关于点成中心对称， ∴， ∴； ③∵， ∴ ∵直线与矩形的边交于点M， ∴， ∴ ∴， 同理可求： ∵ ∴ 解得或， ∴或 【点睛】本题考查了坐标与图形变换－平移，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，中心对称的性质等知识，掌握平移的性质是解答本题第二问关键． 60．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图1，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)求和的值； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）将分别代入，，即可求解； （2）先根据的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）将点代入， ， 解得； 将点代入， ， 解得； （2）∵点E的横坐标为m， ，， ， 与y轴的交点， ， ， ， 解得或； （3）解：将代入一次函数得：，解得， ∴点坐标为； 将代入直线得：，即， ∴，， ∴， ∴， ∵点为直线上一点，且在中，， ∴分以下两种情况： ①如图，以、、、四个点构成的是矩形， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对角线互相平分，， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 61．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一次函数的图象分别交 x轴和y轴于点 A 和点 B． (1)如图1， 求的度数； (2)如图2， 在x轴上有一点， 点 E 在线段 上， 直线交y轴于点 D，，求经过 C、E 两点的一次函数的解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P 在直线上，Q是平面内一点，当以 O、E、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点 Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，得到，再根据，利用三角形内角和定理即可求解； （2）设，根据，可得点是点中点，由点D的横坐标为，求出e的值，可得点E的坐标，再利用待定系数法即可求解； （3）由（2）可求出，易得，求出，则，由（1）知，求出，分当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的边时，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的对角线时，两种情况讨论，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， 令，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴点是点中点， ∵点D在y轴上，即点D的横坐标为， ∴， 解得：，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：由（2）知直线的解析式为， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 如图，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的对角线时，则点Q在直线上， 设， 由（2）知， ∴， 解得：， 则， ∴； 如图，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的边时， 设， 在中，， ∴，即， ∴，则， ∴， ， 解得：， ∴； 综上，点 Q的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数与坐标轴的交点问题，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是得出的函数关系式． 题型9 矩形性质与判定的综合问题  利用矩形的判定和性质，结合折叠问题，平移的等图形变换，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 62．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形，延长至点E，使，与交于点O，点F、G在直线上（F，A，D，G依次排列），连接、，． (1)求证：； (2)若四边形为矩形，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质． （1）先根据矩形的性质证明，，从而证明，得到，进而求出答案即可； （2）根据（1）中所证条件证明，求出，设，则，在和中，由勾股定理求出，，，再根据平行线分线段成比例定理求出和，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：如图，和交于点M， 由（1）可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 63．（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)①结论：四边形是矩形，理由见解析；②四边形的面积不变，四边形的面积，理由见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，进行判断即可； （2）①取的中点，连接，先证明是等边三角形，推出，同理推出，进而得到，结合，即可得出结论； ②过点D作于点J，于点K，易得四边形是矩形，求出四边形的面积，证明，推出四边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】（1）解： ，． 理由：四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知， ， ， ， ， ； （2）①结论：四边形是矩形． 理由：取的中点，连接． ， ， 是等边三角形， ， ， 同法可得， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； ②四边形的面积不变． 理由：如图过点D作于点J，于点K， ， ∴四边形是矩形， ， ， 矩形的面积， 由平移变换的性质可知， ， 的面积的面积， ∴四边形的面积矩形的面积． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠问题，平移的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 64．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可； （2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可； （3）根据直角的不同分类讨论，根据角三角形三边关系以及全等三角形，先求出和的数量关系，然后根据勾股定理求解，即可得到和的比值． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图： 同理可得，， ， ， 延长交于， ， △为等边三角形， ， ， ， 在线段上， ， △不存在， 故不符合题意； ③当时，连接延长交于，如图： 设， ， ， ， 在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，含角的直角三角形三边关系，等腰三角形的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 65．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图1，在等腰三角形中，，D为上一点．过点B作，且，过点E作的平行线分别与的延长线交于点G，点F，连接． (1)①四边形的形状为 ； ②线段与的数量关系为 ；判断这一数量关系时，需要用到的全等三角形是 ； (2)在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明； (3)如图2，其他条件不变，若射线恰好过的中点O，且，求证：． 【答案】(1)①平行四边形；②；； (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）①根据题意平行四边形的判定定理解答即可； ②证明，即可解答； （2）根据平行四边形的性质可得，从而得到，进而得，再由，可得，，然后结合，可得，从而得到，然后根据等腰三角形的性质解答即可； （3）连接，结合平行四边形的性质可得，从而得到四边形是矩形，再证出是线段的垂直平分线，即可解答． 【详解】（1）解：①四边形是平行四边形；理由如下： ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； ②∵， ∵， ， ∴； 故答案为：；；； （2）解：与的位置关系为；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：连接， ∵四边形是平行四边形，点O是的中点， ∴点O也是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 66．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，以为边在外作菱形，对角线交于点F，连接，．    (1)如图（1），若，请直接写出的长； (2)如图（2），若，求证； (3)如图（3），若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，，可求出，再证明得，可证四边形是平行四边形，因为，得四边形是矩形，得； （2）延长至点G，使，连接．由四边形是菱形，再由，得，从而可证，，； （3）由得，再根据，得，得；在中，由勾股定理，可得，再根据等面积法求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴ ∵， ∴，即； ∴ ∴， ∴ ∵，； ∴； ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ （2）证明：延长至点G，使，连接． ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴；      （3）设相交于点O ∵，； ∴； ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； ∵， ∴, ∴ ∴ 在中， ∴， 由①②可得：， ∵， ∴， ∴； 解得， ∴ ∴；    【点睛】本题是一道几何综合题，考查全等三角形的综合运用，勾股定理，矩形的判断和性质，菱形的性质等；理解并能灵活运用相关知识点是解题的关键． 67．（24-25八年级下·河南商丘·期末）【问题情境】 （1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质．如图1，菱形的边长为，，则_____，_____． 【操作发现】 （2）如图2，在图1的基础上，小亮在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），连接，以为边向左侧作菱形，且，连接． ①求证：． ②随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）中，连接，若，直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；②不变，；（3） 【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质证得为等边三角形，即可求解； （2）①根据菱形的性质可得，，再由以及平行线的性质可得，从而得到，即可求证；②根据全等三角形的性质可得，即可解答； （3）连接，交于点，过点作于点，则，证明四边形是矩形，可得，即可解答． 【详解】解：（1）如图，连接，交于点O， ∵四边形是菱形，且边长为， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）①证明：四边形，四边形都是菱形， ，，，， ，． ， ， ， ． ，， ． ②的度数不变．理由如下： 四边形是菱形，， ． ， ， ， 故的度数不变，． （3）如图，连接，交于点，过点作于点，则． 四边形，四边形都是菱形，，， ，，，，， ， ． ，， ， ∵， ， ∴． ， ， 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 培优综合练 68．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为），则称这个四边形为“圆满四边形”． 【概念理解】 （1）在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 ；（请填写序号） 【性质探究】 （2）如图1，已知四边形是“圆满四边形”，若，，对角线，求四边形的周长． 【判定探究】 （3）如图2，已知平分，点在射线上，于点，于点，点在射线上，点在线段上，，连接，．求证：四边形GOHC为“圆满四边形”． 【答案】（1）①；（2）14；（3）见解析． 【分析】（1）根据“圆满四边形”定义即可解决问题； （2）证明，得，根据“圆满四边形”定义和勾股定理即可解决问题； （3）证明，得，然后证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：矩形的四个内角都是， 矩形的两组对角的和为， 矩形是“圆满四边形”， 故答案为：①； （2）解：，，， ， ， 四边形是“圆满四边形”， ， ， ，， ， 四边形的周长； （3）证明：平分，于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 四边形为“圆满四边形”． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解“圆满四边形”定义． 69．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，圆的有关概念，由四边形为矩形，则，，则有，又，从而得，故有点在以为直径的圆上运动，取中点，连接，，所以，通过，即可求出最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，取中点，连接，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 70．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图①，已知矩形，为对角线，，延长到点，使，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)点是边上一动点（不与点，点重合），连接，将绕点逆时针旋转得，连接、． ①在图②中，求证：； ②取中点，连接和，当，时，直接写出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或． 【分析】（1）根据矩形的性质，得出，再得出垂直平分，得到，即可证明结论； （2）①连接，根据旋转的性质，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质，先证明，再证明，即可得到结论； ②连接交于点，取的中点，根据矩形的性质，得出点的运动轨迹为线段（不与点和点重合），过点作于点，根据含30度角的直角三角形，得出，，再分两种情况讨论：利用勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 为等边三角形； （2）解：①如图，连接， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ， 由（1）可知，为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②如图，连接交于点，取的中点， 四边形是矩形，， ，，， ，， 是等边三角形， 当点在点处时，点与点重合，此时即为，中点为， 是等边三角形， 当点在点处时，点与点重合，此时即为，中点为， 点的运动轨迹为线段（不与点和点重合）， 过点作于点，则， ， 在中，， ，， 当点在点左侧时， ， ， ； 当点在点右侧时， 在中，， ， 综上可知，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 71．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形 的顶点A、C分别在y轴、 x轴的正半轴上，点 B的坐标为，直线的图象与边分别交于点 D、E， 并且满足， 点P 是线段上的一个动点． (1)直接写出点E的坐标 ；直线l的表达式 ； (2)若点P在 平分线上，则点 P 的坐标为 ； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，求点P 的坐标； (4)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）先求出点D的坐标，再结合矩形的性质可得点E的坐标，然后把点E的坐标代入解析式，即可求解； （2）点P在直线上，然后联立解方程组，即可求解； （3）设点P的坐标为，可得，再由把四边形面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分两种情况讨论，结合菱形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， ∵点 B的坐标为， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵点P在 平分线上，即点P在 第一、三象限的平分线上， ∴点P在直线上， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为； （3）解：设点P的坐标为，则， ∴， 根据题意得：四边形面积为， ∵把四边形面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （4）解：如图，若以为对角线，设交于点G，此时点P，Q关于y轴对称，，， ∴点P，Q的纵坐标为3， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴点Q的坐标为； 如图，若以为对角线，设交于点G，则， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为，即 ∴，解得：或0（舍去）， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，正方形的判定与性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键． 72．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践： 折叠问题是初中数学中的一个几何题型．折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕所在的直线是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题． 问题情境： 如图1，在长方形纸片中，，，，点P是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． （1）如图2，连接，当点Q落在上时，的长为__________． 深入探究： （2）如图3，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长． 拓展应用： （3）如图4，点M是的中点，连接，． ①的最小值为__________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②或4 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据轴对称的性质得到，求得； （2）由点是的中点，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，求得，连接，根据勾股定理得到； （3）①通过，可得出点的运动轨迹，是以点为圆心， 4 为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的点为最短的长度； ②通过分类讨论，来求得对应的的坐标即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ， ， ， ∵是由沿翻折所得到的图形， ， ， 故答案为：； （ 2 ）∵点是的中点， ， ， ， ∵是由沿翻折所得到的图形， ， ， 连接， ， ， ； （3）如图2， ①∵， ∴点的运动轨迹，是以为圆心， 4 为半径的圆弧， ∴的最小值在的连线上，如图，即为所求， ∵是中点，， ， ， 故答案为：； ②如图， 设，则， ， 当时，， ， ， ； 当时，如图，若点在上， 则， ， ， ， ， ； 综上，的长为或 4 ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 73．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）综合与实践-操作探究 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们探索以矩形为背景的折叠变化中的数学结论． 【操作探究】在矩形中，，，E是射线上一个动点，连接并延长交直线于点F，将沿直线折叠得到，延长交直线于点H． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E运动到点C位置时（此时点C，E，F重合），与交于点P，求的长； (3)在点E的运动过程中，是否存在的情况？若存在，直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)存在，或． 【分析】(1)由矩形的性质可得,由折叠的性质可得,进而可得,由等角对等边得. （2）结合矩形的性质和折叠的性质可得，根据证明，则可得．设，则，，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解． （3）分两种情况：①当E点在线段上时，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，进而可得，．设，则可得，，．在中，根据勾股定理列方程求得x的值为．②当E点在线段的延长线上时，同①可得，，．在中，根据勾股定理列方程求得x的值为． 【详解】（1）证明：∵矩形中，，F点在的延长线上． ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：①如图，当E点在线段上时， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， 解得， ∴． ②如图，当E点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中， ，     ∴， 解得， ∴． 综上，点E的运动过程中，存在的情况， 的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． 74．（23-24八年级下·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境 复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，中，． 初步探究 (1)将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点P从点A出发以的速度向点B运动，同时，动点Q从点F出发以的速度向点E运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若，判断四边形的形状，并说明理由： ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 深入探究 (2)将图1中的两个三角形纸板按图3所示的方式摆放，使点A和点D重合，边落在边上，再将绕点 A顺时针旋转得到，在旋转的过程中，直线与直线交于点O．是否存在，使得以点，，O，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2)的值为或． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质． （1）①证明，由，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形是平行四边形； ②设运动时间为，由题意得，列出方程，据此求解即可； （2）先求得，现分情况讨论，画出图形，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②设运动时间为，四边形为平行四边形， ∴，，， 由题意得， ∴， 解得； （2）解：存在，的值为或． ∵， ∴， 由题意得， 如图， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 如图， ∵四边形为平行四边形，，则， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 综上，的值为或． 75．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图1，将矩形放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标为，且a，b满足．把矩形沿对角线所在直线翻折，点C落到点D处，交于点E． (1)点B的坐标为________； (2)求的面积： (3)如图2，过点D作，交于点G，交于点H，连接． ①求证：四边形为菱形： ②点M是坐标平面内一点，且使以A，E，D，M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的M点的坐标：________． 【答案】(1) (2)6 (3)①见解析；②，， 【分析】（1）根据非负性解答即可； （2）根据矩形及折叠的性质可得，，设，则．在中，得到，解答即可求得，即可求解； （3）①根据菱形的判定定理证明即可； ②根据平行四边形的性质，中点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴，， ∴B点坐标为． 故答案为：； （2）解：∵B点坐标为， ∴，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 由翻折可知，，，，， ∴， ∴，则， ∴， 设， 则． 在中， ∵， ∴． ∴， ∴，即 ∴； （3）①证明：∵， ∴． 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ②由题意可得：， 由（2）可得：，，． 在中，可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，，设， 当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：， ∴； 当为对角线时，，，，设， 由中点坐标公式得：，解得：， ∴； 当为对角线时，，，，设， 由中点坐标公式得：，解得：， ∴． 综上所述，满足条件的点M的坐标为，，． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，中点坐标公式，勾股定理，实数的非负性，分类思想的应用，熟练掌握折叠性质，平行四边形的性质，中点坐标公式是解题的关键． 76．（24-25八年级下·广东广州·期末）小天和小河在学完《平行四边形》之后，研究教材的数学活动；折纸做，，角．学习了以下折法：如图1，先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段，把纸片展平．两人对此展开了命题研究和折纸拓展，提出了以下3道由易到难的数学题．请你解答． (1)已知矩形纸片中，，．以点为原点建立平面直角坐标系，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，分别设直线，，的解析式为，，．得到以下四个结论，其中正确的是（   ） A．  B．  C．  D． (3)在图1的折法基础上，两人再次动手操作：如图2，若将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，把纸片再次展平，连接．试证明四边形是菱形． 【答案】(1) (2)A、C、D (3)见解析 【分析】本题考查矩形的折叠，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定． （1）根据矩形的性质得到，于是得到； （2）根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，待定系数法求得直线，，的解析式分别为，，，于是得到结论； （3）根据折叠的性质，则，，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可推出结论． 【详解】（1）解：如图所示； 四边形是矩形， ， ，． ； （2）解：由折叠的性质得，，， ∴， ， ，； 把，，代入，得，解得， ∴设直线的解析式为， 把，代入，得，解得， ∴直线的解析式为； 把，代入，得，解得， 直线的解析式分别为， ∴A．，正确； B．，错误； C．，正确； D．，正确； 故正确的是A，C，D， 故答案为：A，C，D； （3）证明：连接， 为折痕， 垂直平分， ， 由折叠所得， ， ，， ， 为等边三角形， ， ； ， ， ， 是等边三角形， ， 沿折叠得到， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 试卷第2页，共149页 2 / 147 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 矩形的常见类型题（9大题型） 题型1 利用矩形性质求解  活用"对角线相等且平分"性质，结合Rt△特性（如勾股定理）求长度/角度；利用对边平行导内错角相等，结合等腰三角形求角度。 关键：遇对角线必连，构造全等△或转化线段关系。 1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，直线过矩形对角线的交点O，分别交于点E、F，且，那么图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来 盆花． 5．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，然后向左扭动框架，得到新的四边形（点在BC的上方），若在扭动后四边形面积减少了32，点和分别为矩形和四边形对角线的交点，则PQ的长 ． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期末）将一个相邻两边之比为的矩形分成四部分，其中有两个全等的等腰直角三角形，其腰长与矩形较长边之比为，如图1，它是一个中心对称图形．现拼成不重叠、无缝隙的轴对称的“鱼”形，如图2，寓意“鱼跃龙门”．若对称中心到矩形较长边的距离为4，则图1矩形较短边的长为 ，图2中“鱼”首尾高的值为 ． 7．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 8．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，是直角三角形，，现将补成矩形，使的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形和矩形． (1)设图中矩形和矩形的面积分别为、，则______填“”、“”、“”； (2)如图，若是钝角三角形，按此要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出______个，在图中画出来． (3)如图，若是锐角三角形且三边满足，按要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出______个，请画出来． 题型2 矩形的判定问题  分两步走：先证平行四边形（一组对边平行且相等），再补一个直角（如邻边垂直）或对角线相等；特殊情形可直接证三个直角。 陷阱：避免误用"对角线垂直"（此为菱形性质）。 9．（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在中，点，分别是，的中点．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是 (写出一个即可)． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． 11．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，对角线与交于点． （1）添加一个条件 ，则可判定四边形是矩形； （2）若，，则与的周长之差为 ． 12．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． (1)证明：； (2)当____________时，四边形是矩形？并说明理由． 13．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件：________，四边形是矩形； 当与满足条件：________，四边形是菱形． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 如图① ，在中，点，分别是边，的中点．则，． 【问题解决】(1)如图② ，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形为平行四边形． (2)连接，，加上条件 后能使得四边形为矩形．请从① ；② ；③ 这三个条件中选择一个进行填空(写序号)． 题型3 矩形背景下的作图问题  根据作图要求、作图痕迹得到条件作为解析的依据，同时利用好矩形的性质，进行解答．常见方法：作两条互相平分的等长线段（定对角线），或作邻边垂直且等长；网格作图优先保证横平竖直的直角边。 15．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线交点）为端点的线段． (1)以为边作菱形，使得C、D两点都在格点上，A并且菱形的面积为20； (2)以为对角线作矩形，点E在的左侧，点F在的右侧，使其面积等于菱形面积的一半； (3)连接，直接写出的长度． 18．（24-25八年级下·浙江温州·期末）尺规作图：在矩形中，要求用直尺和圆规作菱形，使点分别在边上． 小明：如图1，作的中垂线分别交于点，连结． 小刚：如图2，连结，作的中垂线分别交于点，连结． 请选择一位同学的作法，判断是否正确，并说明理由．（注：若全选，按第一种作答评分） 19．（24-25八年级下·福建莆田·期中）请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线） (1)如图1，在中，为边上一点，在上找点，使得； (2)在平行四边形中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分． 20．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． (1)如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积． (2)如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使． 21．（23-24八年级下·广西百色·期末）【操作与思考】 已知：矩形． 【动手操作】以下是小华完成的尺规作图的过程． 第1步：分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F； 第2步：作直线； 第3步：在的右侧，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接． 【解决问题】根据小华的尺规作图步骤，完成以下问题： （1）填空： ． （2）过点D作，交直线于点H． 求证：四边形是平行四边形； 【数学思考】（3）在（2）的条件下，设平行四边形的面积为，矩形的面积为，请问与存在有何种数量关系？请写出来，并说明理由． 22．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】 老师的问题：已知：如图1，在中，．求作：矩形． 小明的作法：(如图2) （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，交于点； （3）连接并延长，截取； （4）连接，．四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 (1)如图2，请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． (2)如图2，直线分别交，于点，，连接，，当，时，求四边形的周长． 23．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知是的对角线．小滨和小江分别用尺规作特殊的平行四边形： (1)小滨：如图1作的中垂线，分别交于点，连结，则得到的四边形是菱形．请问小滨的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由． (2)小江：如图2，过中点作直线，分别交于点．以点为圆心，长为半径画弧，与边交于点，连结并延长交于点，连结，，，则得到的四边形是矩形．请问小江的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由 24．（24-25八年级下·吉林辽源·期末）如图1，在四边形中，．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在上作点，使得四边形是矩形． 小丽：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连结． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连结． 根据所学知识判断小丽和小明的作法是否正确，并选择一个说明理由． 25．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图是三张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上（小正方形的顶点）． (1)在图1中，点在格点上，画出以为边，为对角线交点的平行四边形； (2)在图2中，点P在格点上，作出点关于直线的对称点； (3)在图3中，画出一个以线段为对角线、面积为6的矩形，且点和点均在格点上．（要求仅用无刻度的直尺画图，不写作法，保留画图痕迹） 题型4 矩形的拼接问题 计算有效面积：总拼接面积减重叠区域；若裁切后拼矩形，需保证裁切线平行边且长度匹配，利用面积不变性列方程。 示例：两矩形拼新矩形→边长需满足倍数关系。． 26．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）小丽在一次拼图游戏时，先用图形①②③④拼出矩形，又用图形①②③⑤拼出矩形，图形④⑤都是矩形，且 ，记图形④的面积为 ，图形⑤的面积为. 若 ，则 的值是 ． 27．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）综合与实践    (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，E、F是边、上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则________； (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为_______； ②证明：四边形为平行四边形． 28．（24-25八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材122页的部分内容． 我们知道，一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形． 【问题探究】如图①，四边形中，，小明分别取的中点，作于点，于点，再分别作、关于的中心对称图形、．这样就可以将梯形剪拼为一个矩形．以下是小明证明四边形是矩形的部分过程． 证明：由【问题探究】的作法可知： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 同理可证四点共线． 证明过程缺失 ∴四边形是矩形， 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】如图②，取四边形四边中点，连接对边中点，将四边形分为I、II、III、IV四个部分，如图操作，作II、IV的中心对称图形，并将III平移，拼成四边形，判断此时四边形的形状是 ． 【问题应用】如图③，取四边形四边中点，连接，过点作于点，过点作于点，若四边形的面积为48，，直接写出的长 ． 29．（2025·山西吕梁·三模）综合与实践问题情境： 综合与实践课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线，将沿射线方向平移得到．点的对应点分别为． 猜想证明： （1）如图②，当线段经过点时，连接、．请判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）若中，．将图②中的继续沿射线方向平移，得到．点的对应点分别为．老师让同学们提出问题并解答． 如图③，“创新小组”画出的四边形是菱形，提出问题是：求此时菱形的对角线与的长． 30．（24-25八年级下·河南新乡·期中）在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题． 如图1，，其中，，． 操作与发现： (1)如图2，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究： (2)创新小组在图2的基础上，将纸片沿方向平移至如图3的位置，其中点与的中点重合，连接，．经过探究后发现四边形是菱形．请你证明这个结论． (3)创新小组在图3的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图4所示，连接，，创新小组经过观察与推理后发现四边形是矩形.请你证明这个结论． 题型5 矩形背景下的图形变换问题  根据图形平移、旋转和轴对称的性质，到相应结论，融合矩形的性质解答即可． 31．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 33．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在上，且，则旋转角等于 度． 34．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． (1)如图1，若，，求折痕的长； (2)如图2，若，求的值． 35．（2025·山西·三模）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点E落在线段上时，连接交于点H，连接，，． 特例探究：（1）试判断和的数量关系，并说明理由． 探索发现：（2）如图2，当点E落在对角线上时，连接交于点P，“奋进”小组发现垂直平分，请你证明这个结论． 拓展延伸：（3）在矩形旋转的过程中，当E，D，F三点在同一条直线上时，连接．若，，请直接写出此时的长． 36．（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 37．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：数学老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． （1）如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______； ②求证：． （2）如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点C、A、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由； （3）如图5，小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线与点，小红说她可以计算出的长，则______． 38．（24-25八年级下·河南南阳·期末）数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．如图①，矩形和矩形重合，．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针方向旋转． 【问题初探】 （1）如图②，创新小组同学将矩形的顶点旋转至边上，则的长度为____________． 【质疑再探】 （2）如图③，创新小组同学继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，连接，四边形是平行四边形，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由． 【深度探究】 （3）在（2）的条件下，如图④，连接交于点M，延长交的延长线于点N，请直接写出的长． 题型6 矩形背景下的最值问题  抓对称点转化：以对边中垂线为对称轴翻折，化折线为直线；利用"垂线段最短"或"将军饮马"模型求最值． 关键：动点在线段上时，端点常为极值点． 39．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点为边上的一点，且满足，为射线上一动点，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 40．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是 ． 42．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，点为斜边上的一个动点，过分别作于点，作于点，连接，则线段的最小值为 ． 43．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平行四边形中，，，点E是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是 ． 44．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点在上，点在外，，，是的中点，连接，，则的最小值是 ． 45．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，点E为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形AEF，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点E为线段的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 46．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，过点A的直线交边于点P． (1)求点A，点P的坐标； (2)已知点D在x轴上，且为等腰直角三角形，求出点D坐标； (3)如图2，在x轴上另有一点G的坐标为，请在直线和y轴上分别找一点M、N，使的周长最小，并求出此时点M的坐标和周长的最小值． 题型7 斜边上的中线  遇Rt△必连斜边中线：立即得"中线=斜边一半"，结合等腰△求角度；矩形中可转化为对角线一半求解． 延伸：若中线等于直角边，则原Rt△为等腰． 47．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．72 B．24 C．48 D．96 48．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，，，，是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 49．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且，若，，则的长为 ． 50．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知，如图，中，，以为斜边在左侧作直角三角形，使，连接，取、的中点分别为E、F，连接，若， (1)求证：； (2)求的长． 51．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，M为中点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求． 52．（24-25八年级下·吉林·期末）在等腰直角三角形纸片中，点D是斜边的中点，，点E为上一点，将纸片沿折叠，点B的对应点为点，与交于点 (1)如图，连接、，若，则： 求证：四边形为菱形； 的形状为______； (2)如图，若与不平行，则的周长为______． 53．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点为的中点，是延长线上一点，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)证明：； (2)如图，取的中点，连接，． ）证明：； ）连接，当平分时，，且点到直线的距离为，求的面积． 题型8 一次函数与矩形性质的综合问题 ． 54．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 55．（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为 ． 56．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)直接写出直线的解析式　　　； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点．且以，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 57．（24-25八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，两直线交于点E，，． (1)如图1，求k和b的值； (2)如图2，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围； (3)如图3，点H在直线上，点F在x轴上，点G在直线上，连接和，当四边形为矩形，且矩形相邻两边比为时，求点G的坐标． 58．（24-25八年级下·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G． (1)如图1，当点E落在边上时，线段 ，旋转角 °； (2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式； (3)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度． 59．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线，直线上点A的横坐标为2，过点A作轴交直线于点B．以长为边向上构造矩形 (1)当直线在直线的上方时，求自变量x的取值范围； (2)将矩形先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点A的对应点落在直线上． ①求n关于m的函数关系式； ②直线交直线于点P，交直线于点Q，当点P和Q关于点成中心对称时，求m的值； ③直线，直线与矩形的边，分别交于点M，N，当时，求点的坐标． 60．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图1，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)求和的值； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 61．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一次函数的图象分别交 x轴和y轴于点 A 和点 B． (1)如图1， 求的度数； (2)如图2， 在x轴上有一点， 点 E 在线段 上， 直线交y轴于点 D，，求经过 C、E 两点的一次函数的解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P 在直线上，Q是平面内一点，当以 O、E、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点 Q的坐标． 题型9 矩形性质与判定的综合问题  利用矩形的判定和性质，结合折叠问题，平移的等图形变换，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 62．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形，延长至点E，使，与交于点O，点F、G在直线上（F，A，D，G依次排列），连接、，． (1)求证：； (2)若四边形为矩形，，求证：． 63．（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 64．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 65．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图1，在等腰三角形中，，D为上一点．过点B作，且，过点E作的平行线分别与的延长线交于点G，点F，连接． (1)①四边形的形状为 ； ②线段与的数量关系为 ；判断这一数量关系时，需要用到的全等三角形是 ； (2)在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明； (3)如图2，其他条件不变，若射线恰好过的中点O，且，求证：． 66．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，以为边在外作菱形，对角线交于点F，连接，．    (1)如图（1），若，请直接写出的长； (2)如图（2），若，求证； (3)如图（3），若，请直接写出的值． 67．（24-25八年级下·河南商丘·期末）【问题情境】 （1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质．如图1，菱形的边长为，，则_____，_____． 【操作发现】 （2）如图2，在图1的基础上，小亮在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），连接，以为边向左侧作菱形，且，连接． ①求证：． ②随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）中，连接，若，直接写出的长． 培优综合练 68．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为），则称这个四边形为“圆满四边形”． 【概念理解】 （1）在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 ；（请填写序号） 【性质探究】 （2）如图1，已知四边形是“圆满四边形”，若，，对角线，求四边形的周长． 【判定探究】 （3）如图2，已知平分，点在射线上，于点，于点，点在射线上，点在线段上，，连接，．求证：四边形GOHC为“圆满四边形”． 69．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 70．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图①，已知矩形，为对角线，，延长到点，使，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)点是边上一动点（不与点，点重合），连接，将绕点逆时针旋转得，连接、． ①在图②中，求证：； ②取中点，连接和，当，时，直接写出线段的长度． 71．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形 的顶点A、C分别在y轴、 x轴的正半轴上，点 B的坐标为，直线的图象与边分别交于点 D、E， 并且满足， 点P 是线段上的一个动点． (1)直接写出点E的坐标 ；直线l的表达式 ； (2)若点P在 平分线上，则点 P 的坐标为 ； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，求点P 的坐标； (4)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 72．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践： 折叠问题是初中数学中的一个几何题型．折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕所在的直线是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题． 问题情境： 如图1，在长方形纸片中，，，，点P是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． （1）如图2，连接，当点Q落在上时，的长为__________． 深入探究： （2）如图3，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长． 拓展应用： （3）如图4，点M是的中点，连接，． ①的最小值为__________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 73．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）综合与实践-操作探究 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们探索以矩形为背景的折叠变化中的数学结论． 【操作探究】在矩形中，，，E是射线上一个动点，连接并延长交直线于点F，将沿直线折叠得到，延长交直线于点H． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E运动到点C位置时（此时点C，E，F重合），与交于点P，求的长； (3)在点E的运动过程中，是否存在的情况？若存在，直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 74．（23-24八年级下·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境 复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，中，． 初步探究 (1)将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点P从点A出发以的速度向点B运动，同时，动点Q从点F出发以的速度向点E运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若，判断四边形的形状，并说明理由： ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 深入探究 (2)将图1中的两个三角形纸板按图3所示的方式摆放，使点A和点D重合，边落在边上，再将绕点 A顺时针旋转得到，在旋转的过程中，直线与直线交于点O．是否存在，使得以点，，O，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 75．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图1，将矩形放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标为，且a，b满足．把矩形沿对角线所在直线翻折，点C落到点D处，交于点E． (1)点B的坐标为________； (2)求的面积： (3)如图2，过点D作，交于点G，交于点H，连接． ①求证：四边形为菱形： ②点M是坐标平面内一点，且使以A，E，D，M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的M点的坐标：________． 76．（24-25八年级下·广东广州·期末）小天和小河在学完《平行四边形》之后，研究教材的数学活动；折纸做，，角．学习了以下折法：如图1，先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段，把纸片展平．两人对此展开了命题研究和折纸拓展，提出了以下3道由易到难的数学题．请你解答． (1)已知矩形纸片中，，．以点为原点建立平面直角坐标系，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，分别设直线，，的解析式为，，．得到以下四个结论，其中正确的是（   ） A．  B．  C．  D． (3)在图1的折法基础上，两人再次动手操作：如图2，若将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，把纸片再次展平，连接．试证明四边形是菱形． 试卷第2页，共149页 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $