上海市2025-2026学年九年级数学一模考试（接轨已考区难度）实战模拟卷

2025-2026学年上海九年级数学一模考试 “接轨已考区难度”实战模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 一、单选题 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质∶熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．在中，，已知，，那么的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的余弦值 【分析】利用锐角三角函数求出结果即可． 【详解】解：如图，    在中，， ，， ， 故选C． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦是解题的关键． 3．在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理，正确掌握正切公式是解题的关键．先由勾股定理求得，再由正切的定义求解． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 4．下列命题中假命题是（    ） A．任意两个等腰直角三角形都相似 B．任意两个含36°内角的等腰三角形相似 C．任意两个等边三角形都相似 D．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似 B.  任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似 C. 等边三个角都相等，故两三角形相似； D.  任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似 故选：B 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 5．抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由该抛物线开口向下，可知，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为，结合，可得，即可判断选项B；由图像可知，当时，可有，即可判断选项C；由图像可知，当时，可有，即可判断选项D． 【详解】解：A.该抛物线开口向下，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 该抛物线对称轴为，又因为，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 由图像可知，当时，可有，故该选项正确，不符合题意； D. 由图像可知，当时，可有，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 6．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断． 【详解】解：A、若直线过点， 则，解得， 所以， 当时，，故不在直线上，故A不合题意； B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意； C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得 ，解得，符合题意； D、由C可知，不合题意． 故选：C． 【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 二、填空题 二、填空题 7．已知，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 8．如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与的图像重合，那么这个二次函数的解析式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据二次函数平移前后的形状和开口方向不变，即二次项系数不变进行求解即可． 【详解】解：∵平移后的二次函数解析式为， ∴原二次函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键． 9．二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么 ． 0 1 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解． 【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线， 所以和时的函数值相等， 即当时，y的值为． 故答案为：． 10．如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么 ．（用、的线性组合表示） 【答案】/ 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查了平面向量，三角形法则，解题的关键是掌握三角形法则． 利用三角形法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 【答案】，答案不唯一 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“零点”的定义可知二次函数的图象经过一个点，据此写出一个函数的解析式即可． 【详解】解：∵一个二次函数有且只有一个“零点”， ∴这个二次函数的解析式可以是，答案不唯一． 故答案为：，答案不唯一． 12．请写出一个以直线为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 ．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式） 【答案】，答案不唯一 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题答案不唯一，根据顶点式写抛物线的解析式，只需要对称轴为，开口向上即可． 【详解】解：根据题意可得满足条件抛物线解析式可为： 故答案为：，答案不唯一 【点睛】此题考查了二次函数的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧，随增大而减小，根据二次函数性质解答是关键． 13．一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 相等（填锐角三角比名称） 【答案】余弦值 【知识点】求一个角的余角、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了余角，以及三角函数的相关知识，通过举例可得出结论． 【详解】解：例如：，的余角为， ∴． 又∵ ∴一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的余弦值相等， 故答案为：余弦值． 14．如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡 米．    【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】根据斜坡的坡度与的值先求出，再根据斜坡的坡度，求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，, 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 15．如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为： ．    【答案】 【知识点】重心的概念、向量的线性运算 【分析】先求出，再根据重心是三角形三条中线的交点得到，由此可由求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵经过的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，正确表示出是解题的关键． 16．请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半轴 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数． 【详解】解：二次函数为， 故答案为：． 17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、黄金分割、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，过点作交于点，证明，得到，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵是梯形的“黄金分割线”， ∴，， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18．在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、利用平移的性质求解 【分析】延长交于P，连，作于，证，得，推出；根据，求出，，得到为的中点；证即可求解； 【详解】解：延长交于P，连，作于， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴； ∵， ， ； 则为的中点； 由平移可知：， ∴，； ∵， ∴； ∴，即：； ， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、利用平移的性质求解，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 3、 解答题 19、如图，已知平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且 (1)求证：； (2)设，，用关于、的线性组合表示． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由平行四边形的性质可得，，所以∽，则同理可得，根据相似三角形的判定得到，即可得到结论； （2）由向量的差可知，，可得所以 ，由此可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴, 同理可得：, ∴, 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， 由（1）知， ∴, ∴, 又∵， ∴， ， ． 22．已知二次函数的解析式为． (1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【答案】(1)，过程见解析 (2)答案见解析 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、把y=ax²+bx+c化成顶点式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及画二次函数图象，正确掌握配方法以及用描点法画二次函数图象的步骤是解题关键． （1）直接利用配方法把该二次函数的解析式化为顶点式即可； （2）列表、描点、连线，画出该二次函数的图象即可． 【详解】（1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图： 21．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．    (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．    (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点G，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛物线的解析式； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明，得出，求出直线的解析式为，设，则，可得出，解方程可得出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为． 将代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，即； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，   ， ， ． 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ． ， 整理得， 解得， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23、如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边： （1）先证明得到，再由三角形中线的定义得到，据此可证明结论； （2）先由相似三角形的性质得到，再证明，得到，导角证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 又是边上中线， ， ， 又， ； （2）证明：，   ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ． 24．诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员． 如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是米，即米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线经过遮光板外侧的点P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．于点B，两侧驾驶员行驶路线之间的距离米，光线和行驶路线的夹角，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一平面内．（参考数据： ） (1)的长度是多少米？ (2)相邻遮光板的距离是多少米？ 【答案】(1)20米 (2)米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形： （1）根据锐角三角函数的定义求解即可； （2）过P作于E，过Q作于F，中轴线l与交于点O，然后根据平行线的性质求出的长，再根据矩形的判定与性质求出以及的长，最后根据平行线的性质，求出，从而可以求出． 【详解】（1）解： ∴（米）； （2）解：过P作于E，过Q作于F，中轴线l与交于点O，如图： ∵， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵O是中点，也是的中点， ∴米，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 答：相邻遮光板的距离是米． 25．小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解直角三角形： （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）过点F分别作于点G、于点H，解直角三角形，求出的长，证明，求出的长，在中，利用三角函数进行求解即可． 【详解】（1）原式； （2）过点F分别作于点G、于点H， 在中，， ， 在中，, , 又 又 ∴四边形是矩形， ， 在中， 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海九年级数学一模考试 “接轨已考区难度”实战模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，已知，，那么的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．在中，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中假命题是（    ） A．任意两个等腰直角三角形都相似 B．任意两个含36°内角的等腰三角形相似 C．任意两个等边三角形都相似 D．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似 5．抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 6．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，那么的值是 ． 8．如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与的图像重合，那么这个二次函数的解析式是 ． 9．二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么 ． 0 1 10．如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么 ．（用、的线性组合表示） 11．一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 12．请写出一个以直线为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 ．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式） 13．一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 相等（填锐角三角比名称） 14．如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡 米． 15．如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为： ．    16．请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半轴 17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么 ． 18．在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是 ． 3、 解答题 19、如图，已知平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且 (1)求证：； (2)设，，用关于、的线性组合表示． 20、已知二次函数的解析式为． (1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 21．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．    (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．    (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点G，如果，求点P的坐标． 23、如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． (1) 求证：； (2)当时，求证：． 24．诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员． 如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是米，即米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线经过遮光板外侧的点P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．于点B，两侧驾驶员行驶路线之间的距离米，光线和行驶路线的夹角，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一平面内．（参考数据： ） (1)的长度是多少米？ (2)相邻遮光板的距离是多少米？ 25．小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 学科网（北京）股份有限公司 $