专题15 材料阅读问题 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题15 材料阅读问题目录 A · 重难点题型分类 题型1：三角形与全等三角形中材料阅读问题………………………………… 1 题型2：整式的乘法与因式分解中材料阅读问题……………………………… 8 题型3：分式中材料阅读问题…………………………………………………… 15 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 20 重难点题型分类 【题型1：三角形与全等三角形中材料阅读问题】 【例1】将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最小值． (2)若，，比较M、N的大小．（写出比较过程） (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3)17 【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，类比（1）可知，可得，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． （2）∵，， ∴． ∵，则， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰三角形的两边，且， ∴等腰三角形的三边分别为3、7、7， ∴这个等腰三角形的周长为． 【变式1-1】先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1），证明见解析；（2）成立，证明见解析；（2），证明见解析． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）延长至点，使，连接，证出，由证明，得出，，证出，再由证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由： 如图1，延长到点，使，连接， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ； （2）结论仍成立，理由： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）；理由如下： 延长至点，使，连接，如图3所示， ，， ， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式1-2】阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】求解本题的关键是熟练掌握 “截长补短”的方法，结合全等三角形的判定条件 “”，证明构造的三角形全等， （1）掌握全等三角形的判定，证明，然后，利用三角形三边关系“两边长度之和大于第三边，两边长度之差小于第三边” 即可得出范围； （2）关键是作辅助线，延长到，使，利用全等三角形的判定条件得到和，即可证明结论． 【详解】（1）解：延长到点使，连接，在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）证明：延长到，使如下图所示， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 【变式1-3】阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在中，，小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，则垂直平分． (1)根据小明的作图方法，如图①，他得出“垂直平分”的依据是______； (2)如图②，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线，请你帮助小明说明理由． 【答案】(1)等腰三角形三线合一的性质 (2)详见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线性质定理的逆定理． （1）由等腰三角形三线合一的性质，即可得到答案； （2）由等腰三角形得到性质推出，得到，推出，由线段垂直平分线性质定理的逆定理即可推出垂直平分． 【详解】（1）解：他得出“垂直平分”的依据是等腰三角形三线合一的性质， 故答案为：等腰三角形三线合一的性质． （2）证明， ， ， ， ， ， ∴C在的垂直平分线上， ， ∴A在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【题型2：整式的乘法与因式分解中材料阅读问题】 【例1】阅读材料： 类比是常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法． ∴． ， ③ ． 理解应用： (1)请仿照上面的竖式方法计算：． (2)已知两个多项式的和为其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (3)已知一个长为、宽为的长方形，将它的长增加，宽增加，得到一个新长方形（如图），若长方形的周长是 的周长的倍，求长方形的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可； （）根据已知条件，先求出，再根据面积公式列式求解即可； 本题考查了整式的运算，理解阅读材料的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴另一个多项式为； （3）解：∵长方形的周长是长方形的周长的倍， ∴， 整理得：， ∴长方形的面积为：． 【变式1-1】阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴ ． 【变式1-2】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)＞ (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、实数的大小比较，解答本题的关键是明确实数的大小比较方法． （1）由，，再比较大小即可； （2）由，，再仿照材料中的例题，比较大小即可； （3）由，，再比较大小即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即， 故答案为：＞． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：， ， ∵， ∴， 即． 【变式1-3】阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：，其中，则________，________． （3）若，则________． 【拓展延伸】 （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：________． （5）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1） （2）1，2 （3） （4） （5）1，7，13，29 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，数形结合思想和多项式乘以多项式法则是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于四个小长形面积和，列式即可； （2）根据，得到，，解之即可求解； （3）根据即可求解； （4）设，根据，得，，解之即可求解； （5）设，得，，，再根据a、b、m、n为整数，求解即可． 【详解】解：（1）由图可得， 故答案为：； （2）∵， ∴，， 解得：或， ∵ ∴， 故答案为：1；2． （3）∵ ∴ 故答案为：； （4）设， 则 ∴，， 解得：，， 故答案为：； （5）设 ∴，，， ∵a、b、m、n为整数， ∴或或或或或或或或或或或， ∵k为正整数， ∴． ∴正整数的值为1，7，13，29． 【题型3：分式中材料阅读问题】 【例1】阅读材料，并解答问题． 【材料】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以． 所以解得， 所以． 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式． 【问题】请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法．根据阅读材料内容进行拆分：由分母为，可设计算即可． 【详解】解：由分母为，可设， 因为， 所以， ， ， ． 【变式1-1】阅读材料，完成下列任务： 部分分式分解 我们知道，将一个多项式转化成若干整式的积的形式，叫做分解因式．分解因式的结果中，每一个因式的次数都低于原来多项式的次数．而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式，我们称之为部分分式分解． 例如：将部分分式分解的方法如下： 因为， 所以设． 去分母，得． 整理，得． 所以    ，解得． 所以    ，即． 显然，部分分式分解的结果中，各分母的次数都低于原分式分母的次数． 任务： (1)将部分分式分解； (2)已知部分分式分解的结果是则的值为_____． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新定义运算和分式的化简，解决此题的关键是把分母正确进行分解因式； （1）仿照例子，把分母分解因式，根据恒等的关系得到方程组即可解决问题； （2）把分式通分，根据恒等的关系得到方程组即可得到答案； 【详解】（1）解∶∵， ∴设 去分母，得， 整理，得， 所以， 解得， 所以，， 即 （2）解：， ∵，， ∴， 故答案为∶． 【变式1-2】阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题： (1)分式是_____（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式可以化为带分式的形式； (3)如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)0或6或或 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据已知条件中的真分式的定义进行判断即可； （2）根据题意，逆用分式的加法法则，从而写成带分式的形式； （3）把分子写成的形式，然后逆用分式的加法法则，从而写成带分式的形式，再根据x为整数，求分式的值为整数，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵的分子次数为0，分母次数为1， ∴分式是真分式； 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数，分式的值为整数， ∴， 解得：，，，， 则所有符合条件的值为0，，，． 【变式1-3】在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则 ，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设， 则， ． 能力提升 一、解答题 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 2．（24-25七年级下·山东济南·期末）【材料阅读】在数学探究课程《玩转学具》中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．同学们踊跃参与，尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），设计出不同的题目，请你帮他们完成作答． (1)【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ①请在图1中找出一对全等三角形，并在横线上填出推理所得的结论： 在和中 ___________ ②若，，则___________； (2)【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (3)【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 【答案】(1)①；②5 (2)，见解析 (3)42 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，以及线段之间的和差关系，熟记相关定理内容，合理借助辅助线构造全等三角形是进行几何推理的解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，由图中进行等量代换，即可得线段，，之间的数量关系； （3）过点作，交的延长线于点，图见解析．由两个三角形全等的判定定理得到，从而得到，则可根据求得，再由内错角相等证明，即可由“平行线间距离处处相等”得到的底为则高为，代入面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②， ，， ； （2）；理由如下： （3）如图， 过点作，交的延长线于点， 3．（2025·山东青岛·模拟预测）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2，4，3 (3)见详解 (4)1 【分析】本题考查整式的混合运算、同底数幂相乘，同底数幂相除，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可以把指数式写成对数式； （2）运用对数的定义进行解答便可； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式以及的逆运用求解即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意，将指数式转化为对数式为， 故答案为： （2）解：∵ ∴，，， 故答案为：2，4，3； （3）解：依题意，设，， ∴， ∴， ∴由对数的定义得， ∵，， ∴ ∴． （4）解：由（3）得 以及题干得 得． 4．（24-25七年级下·四川巴中·期末）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1； (2)． 【分析】本题考查了完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意可知当时，取最小值0，当时，取最小值0，代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：，1； （2）解： ， ∴，， ∵当时，取最小值0，当时，取最小值0， ∴，， ∴． 5．（24-25七年级下·北京延庆·期末）阅读下面的材料． 问题：已知，，求的值． 思考：根据整式的乘法公式的学习经验，可以用两种方法进行探究． 方法一 方法二 ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ． 如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 请你仿照阅读材料中的方法，选择其中一种，解决下面的问题：如图，点C是线段上的一点，，大小两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据提供的方法，选择喜欢的一种解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算和几何意义的应用，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】解： 方法（1）：设． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 方法（2）：如图，补全图形为大正方形，设． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）先阅读材料，再解答问题： 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的相关知识及整体思想的应用．具体包括完全平方公式、平方差公式的灵活运用，以及通过换元法将多项式转化为可直接因式分解的形式，体现了整体思想在简化问题中的重要作用．同时，第三问还考查了利用因式分解解决实际几何问题（求长方形周长）的能力，强调了代数知识与几何应用的结合． （1）把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解； （2）先把前三项利用完全平方公式变形，再利用平方差公式继续分解； （3）先对给定的等式进行变形，通过因式分解求出的值，进而求出长方形的周长． 【详解】（1）解：因式分解， 设，则原式可化为， 则． 再把代回，得到原式． （2）解：因式分解， 先把前三项进行变形，则． 此时原式变为， 又因为， 则． （3）解：已知， 先把变形为， 则原式变为， 设，则， 则，即，解得． 因为长方形的周长， 把代入，得到． 7．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例：分解因式． 解：． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解因式即可； （2）把配方，根据非负数的性质得到，的值，根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， ，， ，， ， 边的取值范围为． 8．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下列材料： 提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式． 例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式； （1）分成两组先分解因式，再提取公因式即可； （2）分成两组先分解因式，再提取公因式，再代入即可求值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ． ， ． ． 9．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）阅读材料：在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 则原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的_____． A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法． 故选：C； （2）解：， 设， 则：原式 ． 故答案为：； （3）解：， 设， 则：原式 ． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式． 11．（2025·福建福州·三模）福州鼓山位于福建省福州市，主峰海拔米，总面积达平方千米，有今古名山之称，蓬莱左股之誉，是第四批国家级风景名胜区．小庄在五一长假来福州旅游，在登鼓山之前，通过查找资料做了以下的旅游攻略： 材料1：鼓山拥有丰富的登山路线，以下是几条经典的路线： 路线1——古道登山路线：该路线从廨院出发，途经喝水岩、十八景等点，最终到达涌泉寺（山顶），全程石板路，路程约4千米． 路线2——松之恋线：起点为廨院（松之恋登山道入口与廨院相近），终点为涌泉寺，全程约千米．该路线坡度较缓，适合休闲出行． 路线3——骑行线：起点为山脚下院（与廨院起点相近），沿盘山公路骑行，终点为涌泉寺，全程约千米．该路线为公路，适合快速上下山． 材料2：对于陡峭路线（如古道），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于平缓路线（如松之恋线），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于骑行路线（公路），下山骑行速度大约是上山骑行速度的倍． 材料3：在登山前，小庄参照自己一年来的登山的具体时长整理到表格中： 山名 路线名称 长度（） 登山时长 武夷山 天游峰登山步道 分钟 泉州清源山 主步道 小时 龙岩冠豸山 石门湖→长寿亭步道 小时 宁德太姥山 悬空栈道环线 小时小时 假设小庄的上山步行速度千米/时恒定，下山速度基于路线类型和方式确定．他在登山时从廨院出发，沿选择一条路线至涌泉寺，然后再选择一条下山路线返回起点． (1)若小庄选择骑行线上下山，整个行程用时一小时，求小庄上山骑行的速度； (2)若小庄从廨院步行至涌泉寺，再步行返回，请你设计小庄的一条步行路线（例如：从某路线上山，从某路线下山），使他以材料三中任意合理的速度上、下山时，整个行程的总时间都不超过小时，并说明理由． 【答案】(1)小庄上山骑行的速度为 千米/时． (2)上山走松之恋线（路线 2），下山走古道线（路线 1），理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用，厘清题干中的材料信息是解题的关键； （1）根据材料 2，骑行路线下山速度是上山速度的 2 倍，骑行线全程为 8 千米，设上山速度为 千米/时，则下山速度为 千米/时．根据总时间为小时列出分式方程，解方程，即可求解． （2）分析表格，求得上山的速度范围，根据材料确定下山的速度范围，进而选取路线，即可求解． 【详解】（1）解：骑行线全程为 8 千米（上山 8 千米，下山 8 千米），总行程用时 1 小时． 根据材料 2，骑行路线下山速度是上山速度的 2 倍． 设上山速度为千米/时，则下山速度为千米/时． 上山时间：小时，下山时间：（小时）． 总时间：． 解得：（千米/时）． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：小庄上山骑行的速度为千米/时． （2）解：设计方案：上山走松之恋线（路线 2），下山走古道线（路线 1）． 上山距离：千米（松之恋线），下山距离：千米（古道线）． 理由： 根据材料 3，小庄的上山步行速度范围为（千米/时）（龙岩冠豸山）到（千米/时）（武夷山或宁德太姥山最小时间）． 下山速度根据路线类型确定（材料 2）： 古道线（陡峭）：下山速度为上山速度的 倍到 倍，最小倍数为 ． 松之恋线（平缓）：下山速度为上山速度的 倍到 倍，最小倍数为． 为确保总时间不超过 4 小时，需考虑上山速度最小且下山速度倍数最小． 对于本方案：上山路线为松之恋线（平缓），下山路线为古道线（陡峭）． 最小上山速度 千米/时（来自龙岩冠豸山数据）． 下山速度最小倍数：古道线最小倍数为 2，故下山速度最小为 （千米/时）． 上山时间：（小时）． 下山时间：（小时）． 总时间： 小时． 当上山速度更大（如 2 千米/时）或下山速度倍数更大时，总时间更短，均小于 4 小时． 因此，以材料 3 中任意合理的上山速度（在 1.6 千米/时到 2 千米/时之间）和对应的下山速度，总时间均不超过 4 小时． 12．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解决问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：，，即，，． 根据材料解决问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组：； (3)已知为正整数，当分式等于（为不等于0的常数且为整数）时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）根据完全平方公式化简即可； （2）用换元法解方程组； （3）用完全平方公式对分式化简变形，根据条件求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得：，即， ， ， ； （2）解：原方程组整理得， ， 令，， 则， 解得， ， 经检验，是原方程组的解； （3）解：， ， 即：， 为常数且为整数，为正整数， 为整数， ，， 为正整数， 或4． 13．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 14．（24-25七年级下·山东济南·期中）【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设1，，则， ∵， ∴． 我们把解决上述问题的这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化运算的目的，体现了转化的数学思想．用换元法解决问题： (1)若满足，求的值； 【类比应用】 (2)若满足，则的值是_______； 【迁移应用】 通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，这种解决数学问题的思想方法叫数形结合，利用这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．例如，图1可以得到． 结合上述阅读材料，解决下列问题： (3)两块完全相同的直角三角板()如图2所示放置，其中，，在同一直线上．连接，，若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了换元法的应用，涉及到完全平方公式的应用，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）仿照示例，得到，，即可得到的值，得到结果； （2）把原式变形为，仿照示例，得到，，即可求得的值，从而得到结果； （3）由题意，得到，，仿照示例求得的值，即可得到结果． 【详解】解：（1）设，， 则， ， ； （2）， ， 设，， 则， ， ， ， ， 故答案为：； （3）设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， 由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ，即一块直角三角板的面积为． 15．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．       (1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； (2)如图4，四边形中，E是上一点，，，，探究之间的数量关系，并证明． (3)活学活用 如图5，是四边形的对角线，，求证：． (4)思维拓展 如图6，在中，，点D是的中点，交于点E，点O在上，，请直接写出，，三者之间的数量关系 ． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明，得到，，再根据等腰三角形的判定和外角性质证得，则，进而可得结论； （3）如图5所示：延长到E，使，连接，先根据已知和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，再利用三角形的内角和定理推导出，进而证明得到，，证明是等边三角形得到，进而可得结论； （4）如图6，连接，过点O作，根据含30度角的直角三角形的性质得到，，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质 ，再求得，进而得到，然后由得结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 证明：在上截取，使得，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴； （3）解：如图5所示：延长到E，使，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴； （4）解：如图6，连接，过点O作，    ∵，， ∴，， ∵点D是的中点，， ∴，又， ∴，又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题型，主要考查了三角形的内角和外角性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，涉及知识点较多，解答的关键学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于考试压轴题． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题15 材料阅读问题目录 A · 重难点题型分类 题型1：三角形与全等三角形中材料阅读问题………………………………… 1 题型2：整式的乘法与因式分解中材料阅读问题……………………………… 5 题型3：分式中材料阅读问题…………………………………………………… 9 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 13 重难点题型分类 【题型1：三角形与全等三角形中材料阅读问题】 【例1】将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最小值． (2)若，，比较M、N的大小．（写出比较过程） (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【变式1-1】先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【变式1-2】阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【变式1-3】阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在中，，小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，则垂直平分． (1)根据小明的作图方法，如图①，他得出“垂直平分”的依据是______； (2)如图②，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线，请你帮助小明说明理由． 【题型2：整式的乘法与因式分解中材料阅读问题】 【例1】阅读材料： 类比是常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法． ∴． ， ③ ． 理解应用： (1)请仿照上面的竖式方法计算：． (2)已知两个多项式的和为其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (3)已知一个长为、宽为的长方形，将它的长增加，宽增加，得到一个新长方形（如图），若长方形的周长是 的周长的倍，求长方形的面积（用含的代数式表示）． 【变式1-1】阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 【变式1-2】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 【变式1-3】阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：，其中，则________，________． （3）若，则________． 【拓展延伸】 （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：________． （5）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【题型3：分式中材料阅读问题】 【例1】阅读材料，并解答问题． 【材料】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以． 所以解得， 所以． 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式． 【问题】请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 【变式1-1】阅读材料，完成下列任务： 部分分式分解 我们知道，将一个多项式转化成若干整式的积的形式，叫做分解因式．分解因式的结果中，每一个因式的次数都低于原来多项式的次数．而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式，我们称之为部分分式分解． 例如：将部分分式分解的方法如下： 因为， 所以设． 去分母，得． 整理，得． 所以    ，解得． 所以    ，即． 显然，部分分式分解的结果中，各分母的次数都低于原分式分母的次数． 任务： (1)将部分分式分解； (2)已知部分分式分解的结果是则的值为_____． 【变式1-2】阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题： (1)分式是_____（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式可以化为带分式的形式； (3)如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【变式1-3】在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则 ，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 能力提升 一、解答题 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 2．（24-25七年级下·山东济南·期末）【材料阅读】在数学探究课程《玩转学具》中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．同学们踊跃参与，尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），设计出不同的题目，请你帮他们完成作答． (1)【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ①请在图1中找出一对全等三角形，并在横线上填出推理所得的结论： 在和中 ___________ ②若，，则___________； (2)【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (3)【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，求的面积． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 4．（24-25七年级下·四川巴中·期末）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 5．（24-25七年级下·北京延庆·期末）阅读下面的材料． 问题：已知，，求的值． 思考：根据整式的乘法公式的学习经验，可以用两种方法进行探究． 方法一 方法二 ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ． 如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 请你仿照阅读材料中的方法，选择其中一种，解决下面的问题：如图，点C是线段上的一点，，大小两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）先阅读材料，再解答问题： 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 7．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例：分解因式． 解：． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围． 8．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下列材料： 提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式． 例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，且，求的值． 9．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）阅读材料：在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 则原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的_____． A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 11．（2025·福建福州·三模）福州鼓山位于福建省福州市，主峰海拔米，总面积达平方千米，有今古名山之称，蓬莱左股之誉，是第四批国家级风景名胜区．小庄在五一长假来福州旅游，在登鼓山之前，通过查找资料做了以下的旅游攻略： 材料1：鼓山拥有丰富的登山路线，以下是几条经典的路线： 路线1——古道登山路线：该路线从廨院出发，途经喝水岩、十八景等点，最终到达涌泉寺（山顶），全程石板路，路程约4千米． 路线2——松之恋线：起点为廨院（松之恋登山道入口与廨院相近），终点为涌泉寺，全程约千米．该路线坡度较缓，适合休闲出行． 路线3——骑行线：起点为山脚下院（与廨院起点相近），沿盘山公路骑行，终点为涌泉寺，全程约千米．该路线为公路，适合快速上下山． 材料2：对于陡峭路线（如古道），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于平缓路线（如松之恋线），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于骑行路线（公路），下山骑行速度大约是上山骑行速度的倍． 材料3：在登山前，小庄参照自己一年来的登山的具体时长整理到表格中： 山名 路线名称 长度（） 登山时长 武夷山 天游峰登山步道 分钟 泉州清源山 主步道 小时 龙岩冠豸山 石门湖→长寿亭步道 小时 宁德太姥山 悬空栈道环线 小时小时 假设小庄的上山步行速度千米/时恒定，下山速度基于路线类型和方式确定．他在登山时从廨院出发，沿选择一条路线至涌泉寺，然后再选择一条下山路线返回起点． (1)若小庄选择骑行线上下山，整个行程用时一小时，求小庄上山骑行的速度； (2)若小庄从廨院步行至涌泉寺，再步行返回，请你设计小庄的一条步行路线（例如：从某路线上山，从某路线下山），使他以材料三中任意合理的速度上、下山时，整个行程的总时间都不超过小时，并说明理由． 12．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解决问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：，，即，，． 根据材料解决问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组：； (3)已知为正整数，当分式等于（为不等于0的常数且为整数）时，求的值． 13．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 14．（24-25七年级下·山东济南·期中）【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设1，，则， ∵， ∴． 我们把解决上述问题的这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化运算的目的，体现了转化的数学思想．用换元法解决问题： (1)若满足，求的值； 【类比应用】 (2)若满足，则的值是_______； 【迁移应用】 通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，这种解决数学问题的思想方法叫数形结合，利用这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．例如，图1可以得到． 结合上述阅读材料，解决下列问题： (3)两块完全相同的直角三角板()如图2所示放置，其中，，在同一直线上．连接，，若，，求一块直角三角板的面积． 15．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．       (1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题； (2)如图4，四边形中，E是上一点，，，，探究之间的数量关系，并证明． (3)活学活用 如图5，是四边形的对角线，，求证：． (4)思维拓展 如图6，在中，，点D是的中点，交于点E，点O在上，，请直接写出，，三者之间的数量关系 ． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $