精品解析：吉林省长春市第五中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

长春市第五中学长春市田家炳实验中学 2025－2026学年度高二年级上学期 期末考试数学学科试题 满分150分 考试时间：120分钟 出题人：徐徽 审题人：李春光 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线可知其斜率为， 所以， 因为， 所以. 故选：C. 2. 已知，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等函数导数公式求导，然后即可得答案. 【详解】因为，所以． 故选：C． 3. 已知数列是等差数列，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式即可得解． 【详解】设公差为，则：， ． 故选：B． 4. 已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由实轴长为1可列方程求出参数的值，即可求得渐近线方程. 【详解】双曲线，即， 所以双曲线的实轴长为，则，解得 ， 所以， ，双曲线的渐近线方程为． 故选：D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解. 【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,，得为等边三角形，则， 所以C的离心率为. 故选：B 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以 ，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以 ，故 . 故选：A. 7. 已知圆，圆分别是圆和圆上的动点，则由坐标原点 和点A，B构成的三角形的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得和的最大值，且此时 ，的面积最大，利用三角形面积公式计算可得结果. 【详解】由题知，所以，所以． 当点为的延长线与圆的交点时，取最大值 ，当点 为的延长线与圆的交点时，取最大值， 并且当和均取最大值时， ，此时的面积最大，其最大值为． 故选：A. 8. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. 2 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设曲线的切点可得，进而可根据得解. 【详解】由求导得，令得切线斜率， 故在点处的切线方程为，即 ， 由求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. -2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B. 0是函数的极小值点 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的单调递减区间是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项. 【详解】由题意可得，当 时， ， 当时，， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误. 故选：BC 10. 记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 【答案】BD 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得，然后由得出的可能情形，再计算和． 【详解】∵是等比数列，∴， ∴， 又，， ∴分别为或或或， 或. 故选：BD． 11. 已知点是抛物线 上一点， 是抛物线 的焦点，直线与抛物线 相交于不同于的点 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将点的坐标代入抛物线 的方程，求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦半径公式可判断B选项；将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点 的坐标，结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】将点的坐标代入抛物线 的方程，可得，可得 ，A对； 所以，抛物线 的方程为 ，其准线方程为，故，B对； 易知点，直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得或，即点， 所以，，C对； ，故、不垂直，D错. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆与圆的公共弦长等于______. 【答案】 【解析】 【分析】两圆相减得出公共弦所在直线方程，再根据勾股定理计算公共弦长 【详解】联立,得公共弦所在直线方程为 . 圆心 到 距离 所以公共弦长为 故答案为： 13. 已知直线与直线相互垂直，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线与直线垂直的条件列出方程求解即可. 【详解】直线，直线，， 则，解得. 故答案为：. 14. 若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】函数存在与直线平行的切线，等价于在上有解，分离出参数，转化为求函数值域问题即可求得答案． 【详解】解：函数存在与直线平行的切线， 即在上有解， 而， 即在上有解， 得在上有解， ，当且仅当时“＝”成立． ， 的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题先把问题转化为在上有解，从而用分离参数法再转化为求函数的值域． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）；（2），最小值为–16． 【解析】 【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果； （2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以． [方法二]：函数+待定系数法 设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：邻项变号法 由可得．当，即，解得，所以的最小值为， 所以的最小值为． [方法2]：函数法 由题意知，即， 所以的最小值为，所以的最小值为． 【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解； （2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值； 方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值． 16. 已知函数的图象在点 处的切线斜率为，且当时，有极值． （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为10，最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意可得解方程组求出的值，然后再检验即可， （2）先对函数求导，然后令，得， ，再通过列，的值随的变化情况表可求得函数的最值 【小问1详解】 由题意可得，． 由解得，此时 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由上表可知：在时，有极大值． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，．令，得， ， ，的值随的变化情况如下表： 2 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数值 10 2 由表可知在上的最大值为10，最小值为． 17. 过椭圆 的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、 两点. （1）求弦长； （2）求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值； （2）求出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得 的面积. 【小问1详解】 在椭圆 中，， ，所以，，则点， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，其方程为， 联立消去可得， ，设点、， 由韦达定理可得，， 由弦长公式可得. 【小问2详解】 原点 到直线的距离为， 故 的面积为. 18. 记数列的前项和为，已知. （1）证明：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和为. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由数列的前项和，结合与的关系，求得，进而得到，即可得证； （2）由（1）求得，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：因为数列的前项和， 当时，可得， 当时，可得， 经检验当时也成立，所以， 则，且， 所以数列是首项为，公比为等比数列． 【小问2详解】 解：由（1）知：，可得， 所以， 则， 两式相减，可得， 即． 19. 已知函数 ． （1）若在上存在极小值，求实数的取值范围 （2）讨论在上的零点个数． 【答案】（1） （2） 当或时，在上无零点； 当或时，在上有个零点； 当 时，在上有个零点． 【解析】 【分析】（1）分类讨论 和 ，根据的单调性分析出极小值点，由此可得关于的不等式，则的取值范围可求； （2）将问题转化为方程根的数目，构造，利用导数分析出的单调性和取值情况，然后对进行分类讨论，由此可分析出的零点个数. 【小问1详解】 的定义域为， ，当 时，，单调递减，无极值，不合题意； 当 时，令，得，即 ， 当 时，，单调递减，当 时，，单调递增， 所以在 处取得极小值，故 ，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 令 ，得，令，则， 当 时， ，单调递增，当时，，单调递减， 又 ，，， 当时，方程无解，所以在上无零点， 当时，方程有个根，所以在上有个零点， 当 时，方程有个根，在上有个零点， 当时，方程有个根，在上有个零点， 当时，方程无解，在上无零点． 综上所述，当或时，在上无零点； 当或时，在上有个零点； 当 时，在上有个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第五中学长春市田家炳实验中学 2025－2026学年度高二年级上学期 期末考试数学学科试题 满分150分 考试时间：120分钟 出题人：徐徽 审题人：李春光 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 3. 已知数列是等差数列，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 4. 已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 已知圆，圆分别是圆和圆上的动点，则由坐标原点和点A，B构成的三角形的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 （ ） A. B. C. 2 D. －2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. -2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B. 0是函数的极小值点 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的单调递减区间是 10. 记等比数列的前 项积为，且，若，则的可能取值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 11. 已知点是抛物线 上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆与圆的公共弦长等于______. 13. 已知直线与直线相互垂直，则的值为________. 14. 若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 16. 已知函数的图象在点 处的切线斜率为，且当时，有极值． （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值． 17. 过椭圆 的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点. （1）求弦长； （2）求 的面积. 18. 记数列的前 项和为，已知. （1）证明：数列为等比数列； （2）记，求数列的前 项和为. 19. 已知函数 ． （1）若在上存在极小值，求实数的取值范围 （2）讨论在上的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $