第二部分 题型四 二次函数综合题 综合训练-【练客中考】2026年安徽新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数综合题（23题必考）核心考点，紧密对接安徽中考说明，结合近三年真题分析题型分布，归纳代数推理、平移变换、面积问题等五大常考类型，明确各考点权重，突出备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题改编+分层突破+素养提升”模式，如通过2025合肥包河区三模代数推理题，示范利用方程思想和推理意识破解参数关系，培养学生运算能力与几何直观。设置“易错步骤标注”和“解题模板”，助力学生掌握分类讨论等得分技巧，教师可依此精准指导，提升复习效率。

二轮重难题型培优 数学 第二部分　安徽重难题型攻关 题型四　二次函数综合题(23题必考) 综合训练 更符合安徽新中考 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，其图象上不同两点的坐标分别为(m，n)，(2－m，n)，记y的最小值为p. (1)若p＝－4，请直接写出该二次函数图象的顶点坐标； 二次函数中的代数推理(2025.23，2024.23) 解：该二次函数图象的顶点坐标为(1，－4)； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 (2)若n－p＝9a，求m的值； 解：∵(m，n)在函数y＝a(x－1)2＋p的图象上，∴n＝a(m－1)2＋p， ∴n－p＝a(m－1)2＝9a，∵a＞0，∴(m－1)2＝9，∴m1＝4，m2＝－2； 更符合安徽新中考 (3)点(m＋t，n＋t)与(2－m＋t，n－2t)(t≠0)也在该函数图象上，判断 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 解：是定值. ∵(m＋t，n＋t)和 (2－m＋t，n－2t)在函数y＝a(x－1)2＋p的图象上， ∴n＋t＝a(m＋t－1)2＋p①， n－2t＝a(2－m＋t－1)2＋p②， 由①－②得，3t＝4at(m－1)， ∵t≠0，∴a(m－1)＝. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 ∵(m，n)在函数y＝a(x－1)2＋p的图象上， ∴n＝a(m－1)2＋p③， 由①－③得t＝at(2m＋t－2)， ∵t≠0， ∴2a(m－1)＋at＝1，∴at＝－， ∴＝－， ∴＝－. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 2.(2025合肥包河区三模)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴为直线 x＝1，且与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线表达式及顶点坐标； 解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，且与x轴交于A(－1，0)，B两点， ∴根据对称性可得B(3，0)， 故可设y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a， 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋3，∴－3a＝3， 解得a＝－1， ∴抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3，当x＝1时，y＝4， ∴顶点坐标为(1，4)； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)已知点P为抛物线对称轴上一点，若S△PCA＝4，求P点的坐标； 解：画出抛物线如解图所示，A(－1，0)，C(0，3)， 延长AC交直线x＝1于点D. 由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝3x＋3， ∴D(1，6). 设P(1，p)，∴S△PCA＝DP·(1－0)＝4， ∴OP＝8，∴｜6－p｜＝8， 解得p＝－2或p＝14， ∴P(1，－2)或(1，14)； 第2题解图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (3)若抛物线y＝ax2＋(b＋m)x＋3＋n上仅存在一个点Q(x1，y1)，使得2x1＋y1＝0，且0≤m≤2，求n的最大值. 解：由抛物线y＝ax2＋(b＋m)x＋3＋n上仅存在一个点Q(x1，y1)，使得2x1＋y1＝0， 则联立， 即方程ax2＋(b＋m＋2)x＋3＋n＝0有两个相等的实数根， ∴方程－x2＋(4＋m)x＋3＋n＝0有两个相等的实数根， 令Δ＝0，即(4＋m)2＋4(3＋n)＝0， 整理可得n＝－m2－2m－7＝－(m＋4)2－3， ∵0≤m≤2，∴当m＝0时，n有最大值－7. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 3.(2025合肥蜀山区一模)已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线y＝x2＋bx－上的两个不同点. (1)若P，Q两点都在直线y＝－上，求线段PQ的长； 解：∵P，Q两点都在直线y＝－上， ∴令x2＋bx－＝－， 解得x1＝，x2＝， ∴｜x1－x2｜＝｜－｜＝1， ∴线段PQ的长为1； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)若抛物线关于y轴对称，直线PQ过坐标原点O，求＋的值； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 解：∵抛物线y＝x2＋bx－关于y轴对称， ∴－＝0，解得b＝0，∴y＝x2－. 若P，Q都在x轴上，由x2－＝0可得x＝－或x＝， ∴OP＝OQ＝，∴＋＝2＋2＝4； 若直线PQ不与x轴重合，设直线PQ的表达式为y＝kx， 联立，可得x2－kx－＝0，解得x＝， 更符合安徽新中考 不妨设x2＞x1，则x2＞0，x1＜0，∴x1＋x2＝k，x1x2＝－， ∴x1－x2＝－(不符合题意的已舍去)， ∴＋＝＋ ＝＋ ＝＋)＝· ＝·＝4，综上，＋＝4； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (3)若点P，Q在抛物线对称轴的左侧，x1，x2为整数，且x1＜x2，证明：x1－x2＋y1－y2为正值. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 证明：x1－x2＋y1－y2＝x1－x2＋＋bx1－－－bx2＋＝(x1－x2)(x1＋ x2＋b＋1)， ∵点P，Q在抛物线对称轴的左侧，且x1＜x2，∴x1＜x2＜－，x1－x2＜0， ∵x1，x2为整数，∴x1≤x2－1＜－－1， ∴x1＜－－1，∴x1＋x2＋b＋1＜－－1－＋b＋1＝0， ∴x1－x2和x1＋x2＋b＋1都是负数， ∴(x1－x2)(x1＋x2＋b＋1)是正数， 即x1－x2＋y1－y2为正值. 更符合安徽新中考 4.(2025合肥庐江县二模)已知抛物线C1：y＝x2－2mx＋m2＋m－1的顶点为M；抛物线C2：y＝(x－n)2－n＋3的顶点为N. (1)点M是否在直线y＝x－1上？请说明理由； 解：在，理由如下： y＝x2－2mx＋m2＋m－1＝(x－m)2＋m－1， ∴点M的坐标为(m，m－1)， 把x＝m代入y＝x－1，得y＝m－1， ∴点M在直线 y＝x－1上； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)已知点N在直线y＝x－1上，m＝2n－1，点A(s，t)在抛物线C2上，且s≠n，点B在抛物线C1上. ①若AN∥BM，求直线BM的表达式(用s表示)； 解：∵点N的坐标为(n，－n＋3)，点N在直线y＝x－1上， ∴－n＋3＝n－1，解得n＝2， ∴m＝2n－1＝3， ∴抛物线C1：y＝x2－6x＋11＝(x－3)2＋2，∴M(3，2)， ∵抛物线C2：y＝(x－2)2＋1，∴N(2，1)， 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 ∵点A(s，t)在抛物线C2上，∴t＝(s－2)2＋1； 设直线AN的表达式为 y＝kx＋b(k≠0)， ∴，解得， ∵AN∥BM， ∴设直线BM的表达式为 y＝(s－2)x＋c， 代入点M(3，2)，得2＝3(s－2)＋c， ∴c＝8－3s， ∴直线BM的表达式为y＝(s－2)x＋8－3s； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 ②若点B的坐标为(s＋p，t＋q)，且p＝s＋1，求q的最小值. 解：∵点N的坐标为(n，－n＋3)，点N在直线y＝x－1上， ∴－n＋3＝n－1，解得n＝2，∴m＝2n－1＝3， ∴抛物线C1：y＝x2－6x＋11＝(x－3)2＋2，∴M(3，2)， ∵抛物线C2：y＝(x－2)2＋1，∴N(2，1)， ∵点A(s，t)在抛物线C2上，∴t＝(s－2)2＋1； ∵点B(s＋p，t＋q)在抛物线C1上，t＝(s－2)2＋1，∴t＋q＝(s＋p－3)2＋2， ∴(s－2)2＋1＋q＝(s＋p－3)2＋2，∴q＝p2＋2sp－2s－6p＋6， ∵p＝s＋1，∴q＝p2＋2sp－2s－6p＋6＝3s2－4s＋1＝3(s－)2－， ∵3＞0，∴q的最小值为－. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 5.已知点(1，2)在抛物线y1＝x2＋2bx＋c(b，c为常数)上. (1)用含b的代数式表示c； 解：把点(1，2)代入y1＝x2＋2bx＋c， 得2＝12＋2b＋c， 解得c＝1－2b； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)当b的值变化时，抛物线y1＝x2＋2bx＋c的顶点总在另一抛物线y2＝ －x2＋px＋q上. (i)求p，q的值； 解：抛物线y1＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2的顶点坐标为(－b，c－b2)， ∵c＝1－2b， ∴抛物线y1＝x2＋2bx＋c的顶点坐标为(－b，－b2－2b＋1)， 令－b＝x，则－b2－2b＋1＝－x2＋2x＋1， ∴顶点总在二次函数y2＝－x2＋2x＋1的图象上， ∴p＝2，q＝1； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (ii)若抛物线y1＝x2＋2bx＋c和抛物线y2＝－x2＋px＋q围成的封闭区域内(不包含边界)有且只有2个横纵坐标均为整数的点，求b的取值范围. 解：∵y2＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2， ∴抛物线y2的顶点坐标为(1，2)， 如解图，当－b＜1，即b＞－1时，抛物线 y1＝x2＋2bx＋1－2b经过点(0，－1)时， 是临界状态， 此时－1＝1－2b，解得b＝1， 封闭区域内的整点为(0，0)； 第5题解图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 当抛物线y1＝x2＋2bx＋1－2b经过(－3，0)时， 为临界状态，此时0＝9－6b＋1－2b， 解得b＝； 此时区域内有(0，0)，(0，－1)两个整点， 满足题意，∴1＜b≤； 当－b＞1，即b＜－1时， 由抛物线的对称性可得－≤b＜－3， 综上，b的取值范围为1＜b≤或－≤b＜－3. 第5题解图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 6.(2025南充改编)抛物线y＝ax2＋2ax－(a≠0)与x轴交于A(3，0)，B两点，N是抛物线顶点. (1)求抛物线的表达式及点B的坐标； 解：把A(3，0)代入y＝ax2＋2ax－，得a＝， ∴抛物线的表达式为y＝x2＋x－， 令y＝0，则x2＋x－＝0， 解得x1＝－5，x2＝3， ∴B(－5，0)； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)抛物线上两点P(m，y1)，Q(m＋2，y2)，若PQ∥BN，求m的值； 解：∵y＝x2＋x－＝(x＋1)2－4，N是抛物线顶点， ∴N(－1，－4)，设直线BN的表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)， ∵B(－5，0)，N(－1，－4)，∴，解得， ∴直线BN的表达式为y＝－x－5， ∵PQ∥BN，∴可设直线PQ的表达式为y＝－x＋n， 则点P(m，m2＋m－)，Q(m＋2，(m＋2)2＋(m＋2)－)， ∴m2＋m－＝－m＋n且(m＋2)2＋(m＋2)－＝－(m＋2)＋n， 解得m＝－4； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (3)已知点M(－1，－5)，如果不垂直于y轴的直线l分别与抛物线在第三、四象限交于点G，H，满足∠GMN＝∠HMN.探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 解：直线l过定点. 设直线l的表达式y＝kx＋b(k≠0)， 直线l与抛物线相交于点G(x3，y3)，H(x4，y4)， ∴， 第6题解图 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 ∴x2＋(2－4k)x－15－4b＝0， ∴Δ＞0，x3＋x4＝4k－2，x3x4＝－15－4b， 如解图，分别过点G，H作直线MN的垂线， 垂足分别为C，D， 则GC＝－1－x3，MC＝y3＋5， HD＝x4＋1，MD＝y4＋5， ∵∠GMN＝∠HMN， ∴tan∠GMN＝tan∠HMN，即＝， 第6题解图 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 ∴＝，∴(x3＋1)(y4＋5)＋(x4＋1)(y3＋5)＝0， ∴(x3＋1)(kx4＋b＋5)＋(x4＋1)(kx3＋b＋5)＝0， ∴2kx3x4＋(k＋b＋5)(x3＋x4)＋2b＋10＝0， ∴2k(－15－4b)＋(k＋b＋5)(4k－2)＋2b＋10＝0， ∴－4k(b－k＋3)＝0，∵直线l不垂直于y轴， ∴k≠0，∴b－k＋3＝0，∴b＝k－3， ∴直线l的表达式为y＝kx＋k－3＝k(x＋1)－3， ∵无论k为何值，x＝－1时，y＝－3，∴直线l过定点(－1，－3). 第6题解图 更符合安徽新中考 7.(2025宜宾改编)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A(3，0)，C(0，3). (1)求b，c的值； 二次函数的平移变换(2020.22) 解：依题意，分别把A(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得，解得， ∴b＝2，c＝3； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)点D为抛物线上第一象限内一点，连接BD，与直线AC交于点E，若DE ∶BE＝1 ∶2，求点D的坐标； 解：由(1)得y＝－x2＋2x＋3， 令y＝0，则0＝－x2＋2x＋3， 解得x1＝3，x2＝－1，故B(－1，0)， 如解图，分别过点E，D作 EN⊥OA于点N， DM⊥OA于点M， 第7题解图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 则∠ENB＝∠DMB＝90°， 又∵∠DBM＝∠EBN， ∴△DMB∽△ENB， ∴＝＝， ∵DE ∶BE＝1∶2， ∴＝＝＝. 设点M的横坐标为a，则BM＝a＋1， ∴BN＝(a＋1)， 第7题解图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 ∴点N的横坐标为a－， ∴AN＝3－(a－)＝－a， 由题意易得△EAN为等腰直角三角形， ∴EN＝AN＝－a，∴DM＝－a)＝5－a， 由(1)得y＝－x2＋2x＋3， ∴DM＝－a2＋2a＋3，∴5－a＝－a2＋2a＋3， 解得a＝1或a＝2， ∴点D的坐标为(1，4)或(2，3)； 第7题解图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (3)若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P(m，n)(m＞1)，若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连接FP，PN，∠FPN＝120°.探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点.若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 解：存在. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，F为抛物线的顶点， ∴F(1，4)，如解图，过点P作PH⊥FN于点H. 由题意得平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－m)2＋n， 把x＝1代入，得yN＝－(1－m)2＋n， 第7题解图 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 第7题解图 ∵点P(m，n)在y＝－(x－1)2＋4上， ∴n＝－(m－1)2＋4，∴(m－1)2＝4－n， ∴yN＝－(1－m)2＋n＝－4＋n＋n＝－4＋2n， ∴N(1，－4＋2n)，∴PF2＝(m－1)2＋(n－4)2， PN2＝(m－1)2＋[n－(－4＋2n)]2＝(m－1)2＋(n－4)2， ∴PF2＝PN2，即PF＝PN， ∴△FPN是等腰三角形， ∵∠FPN＝120°，∴∠FPH＝×120°＝60°， 则tan∠FPH＝tan 60°＝＝＝， ∴4－n＝(m－1)， 更符合安徽新中考 令t＝m－1，∴4－n＝t，即n＝－t＋4， ∵n＝－(m－1)2＋4， ∴－t＋4＝－t2＋4，即t2－t＝0， ∴t(t－)＝0，∴t1＝0，t2＝， ∴m－1＝0或m－1＝， 解得m＝1(舍去)或m＝＋1，∴P(1＋，1)， ∴平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－1－)2＋1， 令y＝0，则0＝－(x－1－)2＋1， 解得x1＝2＋，x2＝，则｜x1－x2｜＝2， ∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 第7题解图 更符合安徽新中考 8.抛物线G：y＝x2－2mx＋m＋5(m为常数)的顶点为C. (1)求点C的坐标(用含m的式子表示)； 解：∵抛物线G：y＝x2－2mx＋m＋5＝(x－m)2－m2＋m＋5的顶点为C， ∴C(m，－m2＋m＋5)； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移n(n＞0)个单位长度后，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上. (i)求n与m之间的关系； 解：∵C(m，－m2＋m＋5)，∴抛物线H的表达式为y＝－x2＋x＋5， 将抛物线G向右平移n个单位长度后， 抛物线的表达式为y＝(x－m－n)2－m2＋m＋5， 此时的顶点D(m＋n，－m2＋m＋5)， ∵抛物线顶点D仍在抛物线H上， ∴－m2＋m＋5＝－(m＋n)2＋(m＋n)＋5， 整理得n2＋2mn－n＝0，即n(n＋2m－1)＝0. ∵n＞0，∴n＝－2m＋1； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (ii)若y＝x2－2mx－m＋5在x≤3时，都有y随x的增大而减小，设抛物线H的顶点为E，求直线CE与x轴交点的横坐标的最大值. 解：∵C(m，－m2＋m＋5)， ∴抛物线H的表达式为y＝－x2＋x＋5， 将抛物线G向右平移n个单位长度后， 抛物线的表达式为y＝(x－m－n)2－m2＋m＋5， 此时的顶点D(m＋n，－m2＋m＋5)， ∵y＝x2－2mx－m＋5在x≤3时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线x＝m≥3， ∵抛物线H：y＝－x2＋x＋5＝－(x－)2＋，∴E(，)， 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 设直线CE的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C，E的坐标分别代入， 得，解得， ∴y＝(－m＋)x＋m＋5， 当y＝0时，得x＝＝＝＋·，∴x随m的增大而减小， 又∵m≥3，∴当m＝3时，x有最大值， ∴直线CE与x轴交点的横坐标的最大值为. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 9.(2025合肥瑶海区二模)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝－x2＋bx＋c(b＞0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点，直线PC交x轴于点D. (1)若点C的坐标为(0，3). (i)当点A的坐标为(－1，0)时，求抛物线的顶点坐标； 二次函数与几何图形的面积问题(2023.23) 解：把点A和点C的坐标代入抛物线的表达式中得， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (ii)当PC＝CD时，求直线PD的表达式； 解：在y＝－x2＋bx＋c(b＞0)中，当x＝0时，y＝c，∴C(0，c). ∵点C的坐标为(0，3)，∴c＝3. ∵PC＝CD，∴C为PD的中点. ∵直线PC交x轴于点D，即点D的纵坐标为0， ∴点P的纵坐标为6， ∵抛物线的表达式为y＝－x2＋bx＋3＝－(x－)2＋＋3， ∴P(，＋3)，∴＋3＝6， 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 ∴b＝2或b＝－2(舍去)， ∴P(，6)， 设直线PD的表达式为y＝kx＋b'(k≠0)， 则将点P与点C的坐标代入， 得， 解得， ∴直线PD的表达式为y＝x＋3； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)若c＝4－，S△PBC＝3，求b的值. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 解：当c＝4－时， 抛物线的表达式为y＝－x2＋bx＋4－＝－(x－)2＋4， ∴点P的坐标为(，4)， 令y＝－(x－)2＋4＝0， 解得x＝＋2或x＝－2，∴B(＋2，0)， 可求出直线BC的表达式为y＝x＋4－， 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 如解图所示，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E， 则E(，·＋4－)，即E(，4－b)， ∴PE＝4－(4－b)＝b. ∵S△PBC＝S△PCE＋S△PBE， ∴PE·(xE－xC)＋PE·(xB－xE)＝3， ∴b·＋b(＋2－)＝3，∴b2＋4b－12＝0， 解得b＝2或b＝－6(舍去)， ∴b的值为2. 第9题解图 更符合安徽新中考 10.已知抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于A(－3，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C. (1)求此抛物线的函数表达式； 解：∵抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A(－3，0)，B(2，0)， ∴将点A，点B的坐标分别代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋x－6； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)已知点D是抛物线上位于第三象限内的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AC交DE于点F，设点D的横坐标为m. (i)当FD＝2EO时，求m的值； 解：如解图，根据题意可知点D(m，m2＋m－6)， 且－3＜m＜0，则点E(m，0)， 当x＝0时，y＝－6， ∴C(0，－6). 设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 第10题解图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 将点A，点C的坐标分别代入， 得，解得， ∴直线AC的表达式为y＝－2x－6， ∴F(m，－2m－6)， ∴FD＝－2m－6－(m2＋m－6)＝－m2－3m， EO＝－m. ∵FD＝2EO，∴－m2－3m＝－2m， 解得m＝0(不合题意，舍去)或m＝－1， ∴m的值为－1. 第10题解图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (ii)连接BD，EC交于点P，连接CD，设S1＝S△BEP，S2＝S△CDP，S＝S1－S2.试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值；若不存在，请说明理由. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 解：在点D运动的过程中，S存在最大值. 如解图，根据题意可知点D(m，m2＋m－6)， 且－3＜m＜0，则点E(m，0)， ∴DE＝－m2－m＋6，OE＝－m，BE＝2－m. ∵S△BEP＝S△BDE－S△DEP，S△CDP＝S△CDE－S△DEP， S1＝S△BEP，S2＝S△CDP， 第10题解图 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 ∴S＝S1－S2＝S△BEP－S△CDP＝S△BDE－S△DEP－S△CDE＋S△DEP ＝S△BDE－S△CDE ＝DE·BE－DE·OE ＝DE(BE－OE) ＝(－m2－m＋6)(2－m＋m) ＝－(m＋)2＋， ∵－1＜0，∴S有最大值， 即当m＝－时，S的最大值是. 第10题解图 更符合安徽新中考 11.(2025合肥庐阳区一模)已知抛物线C：y＝(a＋c)x2＋(a＋c)x＋c与x轴只有1个交点，且c＞0. (1)若c＝1，求a的值； 二次函数与直线的交点问题(2021.22) 解：当c＝1时，y＝(a＋1)x2＋(a＋1)x＋1， ∵抛物线C：y＝(a＋c)x2＋(a＋c)x＋c与x轴 只有1个交点， ∴Δ＝(a＋1)2－4(a＋1)＝0， 解得a＝－1(不合题意，舍去)或a＝3， ∴a的值为3； 第11题图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)抛物线将所在平面分成两个区域，若抛物线的开口向上，我们把抛物线上方的区域叫作抛物线的内部，把抛物线下方的区域叫作抛物线的外部；若抛物线的开口向下，我们把抛物线下方的区域叫作抛物线的内部，把抛物线上方的区域叫作抛物线的外部.抛物线的内部和外部均不包括抛物线本身.如图，区域A和区域E分别为两条抛物线的内部，区域B和区域F分别为这两条抛物线的外部.点P(－2，3)在抛物线C：y＝(a＋c)x2＋(a＋c)x＋c的内部. (i)求c的取值范围； 第11题图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 解：∵抛物线C：y＝(a＋c)x2＋(a＋c)x＋c与x轴只有1个交点， ∴Δ＝(a＋c)2－4c(a＋c)＝(a＋c)(a－3c)＝0， ∵a＋c≠0，∴a－3c＝0，∴a＝3c， ∴抛物线C的表达式为y＝4cx2＋4cx＋c， ∵c＞0，∴抛物线开口向上， ∵点P(－2，3)在抛物线C的内部， ∴4c·(－2)2＋4c·(－2)＋c＜3， 解得0＜c＜； 第11题图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (ii)点Q的坐标为(3，5).若线段PQ与抛物线C只有1个公共点，求c的取值范围. 第11题图 解：当x＝－2时， y＝4c·(－2)2＋4c·(－2)＋c＝9c， 当x＝3时，y＝4c·32＋4c·3＋c＝49c， ∵抛物线C的对称轴为直线x＝－＝－， ∴点P，Q在对称轴的两侧， 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 第11题图 ∵点Q的坐标为(3，5)，线段PQ与抛物线C只有1个公共点， 点P在抛物线的内部， ∴9c＜3，解得c＜， ∵点P在抛物线的内部， ∴点Q在抛物线上或外部， ∴49c≥5，解得c≥， ∴c的取值范围为≤c＜. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 12.(2025合肥瑶海区一模改编)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线对应的函数表达式； 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)， ∴，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋3x＋4； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)若点E为线段BC上任意一点(不与端点重合)，过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以EF，FG为邻边构造矩形EFGH. (i)设点E的横坐标为m，矩形EFGH的周长为L，求L关于m的函数表达式； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 解：∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， 当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)， 设直线BC对应的函数表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)， 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 ∴，解得， ∴直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋4， ∵点E的横坐标为m， ∴E(m，－m＋4)， ∵EF∥y轴， ∴F(m，－m2＋3m＋4)， ∴EF＝－m2＋3m＋4－(－m＋4)＝－m2＋4m， 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 如解图1，当点E在点H左侧，即0＜m＜时， 由抛物线的对称性得F，G关于直线x＝对称， ∵FG⊥y轴， ∴G点横坐标为3－m， ∴FG＝3－m－m＝3－2m， ∴矩形EFGH的周长L＝2(EF＋FG) ＝2(－m2＋4m＋3－2m)＝－2m2＋4m＋6； 第12题解图1 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 如解图2，当点E在点H右侧，即＜m＜4时， 由抛物线的对称性得F，G关于直线x＝对称， ∵FG⊥y轴，∴G点横坐标为3－m， ∴FG＝m－(3－m)＝2m－3， ∴矩形EFGH的周长L＝2(EF＋FG) ＝2(－m2＋4m＋2m－3)＝－2m2＋12m－6， 综上可得，L关于m的函数表达式为 L＝； 第12题解图2 更符合安徽新中考 (ii)当直线y＝n1与(i)中函数L的图象交点有3个(从左到右依次为P1，P2，P3)，直线y＝n2与(i)中函数L的图象交点有2个(从左到右依次为Q1，Q2)，且满足P1P2＝Q1Q2时，直接写出n2－n1的值. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 解：4或3－2. 【解法提示】函数L的图象如解图3， ∵两段图象a相同，∴可以通过平移得到. 第12题解图3 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 当0＜m＜时，L＝－2m2＋4m＋6＝－2(m－1)2＋8，设顶点坐标为M(1，8)，当＜m＜4时，L＝－2m2＋12m－6＝－2(m－3)2＋12，设顶点坐标为N(3，12)，当P1P2＝Q1Q2时，点M到直线y＝n1的距离等于点N到直线y＝n2的距离，∴n2－n1＝4；如解图4，直线y＝n2过顶 点M(Q1与M重合)时，Q2(3－，8)， ∵Q1Q2＝3－－1＝2－＝P1P2， ∴点P2的横坐标为，点P2的纵坐 标为5＋2，∴n2－n1＝8－(5＋2) ＝3－2，综上，n2－n1＝4或3－2. 图3 第12题解图 图4 更符合安徽新中考 13.(2025合肥包河区一模改编)抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC＝3OA. (1)求抛物线的对称轴； 二次函数与几何图形的判定 解：令x＝0，则y＝6，∴C(0，6)，∴OC＝6， ∵抛物线与x轴负半轴交于点A， 与x轴正半轴交于点B，OB＝OC＝3OA， ∴A(－2，0)，B(6，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)点P(m，n)(m≥2)是抛物线上一个动点，连接AP，CP，AP交y轴于点D，作PQ⊥x轴于点Q. (i)若点Q是OB的中点，求△PAC的面积； 解：将A(－2，0)，B(6，0)代入y＝ax2＋bx＋6， 得，解得， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋6， ∵Q是OB的中点， ∴Q(3，0)， 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 当x＝3时，y＝－×32＋2×3＋6＝，则P(3，)， 设直线AP的表达式为y＝kx＋b1(k≠0)， 则，解得， ∴直线AP的表达式为y＝x＋3， 令x＝0，则y＝3， ∴D(0，3)，∴OD＝3，∴CD＝6－3＝3， ∴S△APC＝CD×｜xP－xA｜＝×5＝； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (ii)若以点C，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求m的值. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 解：∵点P(m，n)(m≥2)是抛物线上一个动点， ∴P(m，－m2＋2m＋6)，则Q(m，0)， 当点D在原点上方时，如解图1， ∴OA＝2，AQ＝m＋2，PQ＝－m2＋2m＋6， 由题意得OD∥PQ， ∴△AOD∽△AQP， 第13题解图1 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 ∴＝，即＝， ∴OD＝， ∴CD＝6－OD＝m， ∵以点C，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴CD＝PQ，即m＝－m2＋2m＋6， 解得m＝1±， ∵m≥2，∴m＝1＋； 第13题解图1 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 当点D在原点下方时，如解图2， ∴OA＝2，AQ＝m＋2， PQ＝－(－m2＋2m＋6)＝m2－2m－6， ∵OD∥PQ， ∴△AOD∽△AQP， ∴＝，即＝， ∴OD＝， ∴CD＝6＋OD＝m， 第13题解图2 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 ∵以点C，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴CD＝PQ， 即m＝m2－2m－6， 解得m＝3±， ∵m≥2， ∴m＝3＋. 综上，m的值为1＋或3＋. 第13题解图2 更符合安徽新中考 14.(2025泸州改编)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过点(2，3)，与x轴交于点A(－1，0)和点B. (1)求该抛物线的函数表达式； 解：把(2，3)，A(－1，0)代入y＝－x2＋bx＋c， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3； 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (2)第一象限内点C，D在直线y＝x＋上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第 一象限的点，若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标； 解：如解图，过点F作FH⊥x轴于点H，设直线CD交y轴于点K. 在y＝x＋中，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝－1， ∴K(0，)，直线y＝x＋与x轴交点为A(－1，0)， ∴OK＝，OA＝1，∴tan∠KAO＝＝， ∵四边形CDEF是正方形， ∴EF∥CD，DE＝EF，∴∠FEH＝∠KAO， ∴tan∠FEH＝＝， 第14题解图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 设FH＝t，则EH＝2t， ∴EF＝＝t，∴DE＝EF＝t， ∵∠ADE＝90°，∴tan∠KAO＝＝，∴AD＝2DE＝2t， ∴AE＝＝＝5t， ∴AH＝AE＋EH＝5t＋2t＝7t， ∴OH＝AH－OA＝7t－1，∴F(7t－1，t)， 把F(7t－1，t)代入y＝－x2＋2x＋3得t＝－(7t－1)2＋2(7t－1)＋3， 解得t＝0(舍去)或t＝， ∴F(，)； 第14题解图 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 更符合安徽新中考 (3)设点P(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，点Q(x1，y2)在抛物线y＝x2－(4m－2)x＋4m2＋2上，当1≤x1≤2时，y2－y1的最小值为3，求m的值. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 解：∵点P(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，点Q(x1，y2)在抛物线 y＝x2－(4m－2)x＋4m2＋2上， ∴y1＝－＋2x1＋3，y2＝－(4m－2)x1＋4m2＋2， ∴y2－y1＝－(4m－2)x1＋4m2＋2－(－＋2x1＋3) ＝2－4mx1＋4m2－1 ＝2(x1－m)2＋2m2－1， 更符合安徽新中考 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 当m≤1时，若1≤x1≤2，则x1＝1时，y2－y1的最小值为3， ∴2(1－m)2＋2m2－1＝3，解得m＝(舍去)或m＝，∴m＝； 当1＜m＜2时，若1≤x1≤2，则x1＝m时，y2－y1的最小值为3， ∴2m2－1＝3，解得m＝或m＝－(舍去)，∴m＝； 当m≥2时，若1≤x1≤2，则x1＝2时，y2－y1的最小值为3， ∴2(2－m)2＋2m2－1＝3，解得m1＝m2＝1(舍去). 综上所述，m的值为或. 更符合安徽新中考 $