第二部分 题型三 二次函数的实际应用-【练客中考】2026年安徽新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数实际应用、建模问题等核心考点，紧密对接中考说明，分析二次函数综合题（如2022安徽中考23题）的高频考查权重，归纳出求函数表达式、最值计算、实际情境判断等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+建模指导+素养提升”模式，通过石块打水漂、仿青蛙机器人运动等实例，培养学生数学建模意识和运算能力，如用顶点式求二次函数表达式解决运动轨迹问题。助力学生掌握压轴题答题技巧，教师可依此开展专题突破，提升复习效率。

二轮重难题型培优 数学 第二部分　安徽重难题型攻关 题型三　二次函数的实际应用 (2022.23) 更符合安徽新中考 建模问题(2022.23) 　(2025贵州)用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图1，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图2所示.❶石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且C1：y＝ax2＋bx＋c，❷石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线C2，且C2：y＝－x2＋mx＋n.(小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计) 图1 图2 例1题图 ❶点F是抛物线C1，C2的公共点，且点F的纵坐标为0； ❷点G的纵坐标为0. 更符合安徽新中考 (1)如图2，❸当a＝－，b＝时，若点F的坐标为(2，0)，求抛物线C1的表达式； ❸a，b已知，c未知，代入点F坐标，表达式可求. 解：当a＝－，b＝时，C1：y＝－x2＋x＋c， ∵点F的坐标为(2，0)，∴0＝－×22＋×2＋c， 解得c＝1， ∴抛物线C1的表达式为y＝－x2＋x＋1. 例1题图2 更符合安徽新中考 (2)在(1)的条件下，❹若FG＝4，在水面上有一个截面❺宽AB＝1，高BC＝0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为(4.5，0)，判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 解：不能，理由如下： ∵FG＝4，点F的坐标为(2，0)，∴G(6，0)， ∴C2：y＝－(x－2)(x－6)＝－x2＋x－. ∵点A的坐标为(4.5，0)，AB＝1，∴B(5.5，0)， ∴将x＝5.5代入y＝－x2＋x－＝＜0.5， ∴此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物. ❹由FG＝4，可求点G的坐标，由交点式可得抛物线C2的表达式； ❺由AB＝1、点A坐标可求点B坐标，要判断是否能越过障碍物，需要比较当x＝xC＝xB时，yC与高BC的大小. 更符合安徽新中考 (3)小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个❻正方形MNPQ区域内(包括边界)，且点F在(3，0)和(4，0)之间(包括这两点)，其中M(，1)，N(1，1)，Q(，)，求a的取值范围.(在抛掷过程中正方形与抛物线C1在同一平面内) 解：∵四边形MNPQ是正方形，M(，1)，N(1，1)， Q(，)，∴P(1，). 如解图所示， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0. 由图象可得，当抛物线顶点为M，且经 过点(4，0)时，开口最大，此时a最大， 例1题解图 ❻由正方形MNPQ和点M，N，Q坐标可求出点P坐标，｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大，当抛物线顶点为M，且经过点(4，0)时，a的值最大；当抛物线顶点为P，且经过点(3，0)时，a的值最小. 更符合安徽新中考 ∴设C1的表达式为y＝a(x－)2＋1. 将(4，0)代入，得0＝a(4－)2＋1， 解得a＝－； 由图象可得，当抛物线顶点为P，且经过点(3，0)时，开 口最小，此时a最小， ∴设C1的表达式为y＝a(x－1)2＋， 将(3，0)代入，得0＝a(3－1)2＋， 解得a＝－， ∴a的取值范围为－≤a≤－. 例1题解图 更符合安徽新中考 1.(2025山西)综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合. 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm. 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 3 2 1 图1 图2 第1题图 更符合安徽新中考 解：顶点N的坐标为(80，60).由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为(80，60). 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－80)2＋60， ∵图象过原点，∴a(0－80)2＋60＝0， 解得a＝－， ∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－80)2＋60； 第1题图1 3 2 1 更符合安徽新中考 问题解决： 已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变. (2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0，75)，点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； 第1题图1 3 2 1 更符合安徽新中考 解：∵点P的坐标为(0，75)， ∴第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的函数表达式为y＝－(x－80)2＋60＋75＝－(x－80)2＋135， ∴令y＝－(x－80)2＋135＝0， 解得x1＝200，x2＝－40(舍去)， ∴起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200 cm. 第1题图1 3 2 1 更符合安徽新中考 (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57 cm，BC＝40 cm，CD＝48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度.(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内) 解：该平台的高度为6 cm. 第1题图2 3 2 1 更符合安徽新中考 2.(2024合肥庐江县二模)“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便.清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售.根据往年的销售经验，这种明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售量会减少5千克.设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，销售单价高于收购价，且不超过收购价的2倍. (1)试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 3 2 1 利润问题(2018.22，2017.22) 解：由题意得y＝80－5×＝－x＋180， ∵160＜x≤2×160，∴160＜x≤320， ∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋180(160＜x≤320)； 更符合安徽新中考 (2)销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？ 解：设日利润为w元，根据题意得w＝(x－160)(－x＋180)＝－x2＋260x－28800＝－(x－260)2＋5000. ∵－＜0，且160＜x≤320， ∴当x＝260时，w有最大值为5000元. 即销售单价为260元时，所获得的日利润最大，最大日利润为5000元. 3 2 1 更符合安徽新中考 (3)由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在(2)的条件下全部销售完之后，明后春茶上市.李明提高了m％的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高m％，每千克的利润不变.所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值. 解：由题意可知，320×(260－160)＋320×40(1＋m％)＋320×40(1＋m％)2＝80000， 解得m1＝50，m2＝－350＜0 (舍去)， ∴m的值为50. 3 2 1 更符合安徽新中考 3.某农场计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植x亩的总成本y(万元)由三部分组成，分别是农机成本、管理成本、其他成本.其中农机成本固定不变为100万元，管理成本(万元)与x成正比例，其他成本(万元)与x的平方成正比例.在生产过程中，获得如下数据： (1)求y与x之间的函数关系式； 3 2 1 x(单位：亩) 10 30 y(单位：万元) 160 340 解：设y＝ax2＋bx＋100，把(10，160)，(30，340)代入得， ，解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝0.1x2＋5x＋100； 更符合安徽新中考 (2)已知每亩的平均成本为11.5万元，求该农场计划种植新型农作物多 少亩？ 解：由题意得11.5x＝0.1x2＋5x＋100， 即0.1x2－6.5x＋100＝0， 解得x1＝25，x2＝40. 答：该农场计划种植新型农作物25亩或40亩； x(单位：亩) 10 30 y(单位：万元) 160 340 3 2 1 更符合安徽新中考 (3)设每亩的收益为Q(万元)且有Q＝kx＋b(k，b均为常数)，已知当x＝50时，Q为12.5万元，且此时农场总利润最大，求k，b的值. 【注：总利润＝总收益－总成本】 解：设总收益为W元，则W＝x(kx＋b)－(0.1x2＋5x＋100)＝(k－0.1)x2＋(b－5)x－100， 当x＝－时，W有最大值，即－＝50， ∵x＝50时，Q＝12.5＝50k＋b， 联立方程组， 解得k＝0.05，b＝10. 3 2 1 更符合安徽新中考 $