第二部分 题型二 填空压轴题-【练客中考】2026年安徽新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦安徽新中考填空压轴题，系统覆盖新定义代数推理、反比例函数与几何综合、二次函数性质、几何图形基本性质及折叠五大核心考点，对接中考说明分析考点权重，归纳常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于结合中考真题（如2025宁国一模、合肥包河区二模）设计分层训练，通过新定义题参数法培养抽象能力，函数几何题坐标法提升几何直观，助力学生掌握解题技巧，教师可依此制定冲刺计划，高效提升学生得分率。

二轮重难题型培优 数学 第二部分　安徽重难题型攻关 题型二　填空压轴题 更符合安徽新中考 新定义——代数推理(2025.14) 　我们规定：若一个正整数A能写成m2－n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2－n的过程，称为“方减分解”.例如：因为602＝252－23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252－23的过程就是“方减分解”. (1)最小的“方减数”为____； 82 【解析】设m为最小的两位数10，则n＝18， 102－18＝82； m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，要写出最小的方减数，可设m为最小的两位数，则n可知，即可求出满足条件的方减数； 更符合安徽新中考 (2)把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2－n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m＋n＝k2(k为整数)，则满足条件的正整数A为______. 可设m＝10a＋b，则n＝10a＋8－b(a，b为整数且1≤a ≤9，0≤b≤8)，则B＝1000a＋100b＋10a＋8－b，根据题意一步步求解. 4564 更符合安徽新中考 【解析】 设3m＝10a＋b，则n＝10a＋8－b(a，b为整数且1≤a≤9，0≤b≤8)，∴B＝1000a＋100b＋10a＋8－b＝1010a＋99b＋8，∵B除以 19余数为1，∴1010a＋99b＋7能被19整除，∴＝53a＋5b＋ 为正整数，又∵2m＋n＝k2 (k为整数)，∴2(10a＋b)＋10a＋8－b＝30a＋b＋8是完全平方数，∵1≤a≤9，0≤b≤8，∴38≤30a＋b＋8≤286，∴7≤k≤16，设3a＋4b＋7＝19t，t为正整数，则1≤t≤3， 当t＝1时，3a＋4b＝12，则b＝3－a，30a＋b＋8＝30a＋3－a＋8是完全平方数，又∵1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解；当t＝2时，3a＋4b＝31，则b＝，30a＋b＋8＝30a＋＋8是完全平方数，又∵1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解；当t＝3时，3a＋4b＝50，则b＝，30a＋b＋8＝30a＋＋8 是完全平方数，若a＝6，b＝8，则3a＋4b＋7＝57＝19×3，30×6＋8＋8＝196＝142，∴t＝3，k＝14，此时m＝10a＋b＝68，n＝10a＋8－b＝60，∴A＝682－60＝4564. 更符合安徽新中考 1.对一组数(x，y)的一次操作变换记为P1 (x，y)，定义其变换法则如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)，且规定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y)) (n为大于1的整数).例如：P1(1，2)＝(3，－1)，P2(1，2)＝P1(P1(1，2))＝P1(3， －1)＝(2，4). (1)P3(1，2)＝__________； (2)P2026(1，－1)＝__________________. (6，－2) (21013，－21013) 更符合安徽新中考 2.小聪在研究一个数字游戏，具体规则如下：①第一轮的初始数为85，经过若干轮，变换至91即为游戏胜利；②每轮只能在以下两种变换中选择一种进行变换.变换A：将本轮初始数乘2；变换B：将本轮初始数减去3；③每轮变换后得到的结果作为下一轮的初始数.小聪想利用除以3的余数分析：2(3k＋1)＝3(2k)＋2，2(3k＋2)＝3(2k＋1)＋1.上式表明(3k＋1)型的数经过一次变换A后变为(3k＋2)型的数，(3k＋2)型的数经过一次变换A后变为(3k＋1)型的数. (1)想要游戏胜利至少需要进行___次变换A； (2)若先进行变换A，在变换A进行次数最少的前提下，想要游戏胜利至少要进行____次变换B. 2 83 更符合安徽新中考 3.一个三位自然数m，其个位上的数字比十位上的数字大2，称m为“不二数”.一个“不二数”m十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积，将 m的个位数字与百位数字的 平方差记作n，十位数字与百位数字的差记作k，并规定F(m)＝. (1)最小的“不二数”是_____； 102 【解析】易知最小的“不二数”是102； 更符合安徽新中考 (2)当F(m)为偶数时，则满足条件的“不二数”m的最大值与最小值之差为_____. 【解析】设m的百位数字为h，十位数字是t，当t＝1时，两位数是13，不符合题意；当t＝2时，两位数是24＝4×6，符合题意，此时m＝100h＋24；当t＝3时，两位数是35＝5×7，符合题意，此时m＝100h＋35；同理可求，当t＝4，5，6，7时，所得两位数均不符合题意；当t＝2时， n＝42－h2＝16－h2，k＝2－h，F(m)＝＝＝2＋h＋，当h＝1时，F(m)＝2＋1＋＝7，不符合题意；当h＝3时，F(m)＝2＋3＋ ＝1，不符合题意；当h＝4时，F(m)＝2＋4＋＝4，符合题意； 600 更符合安徽新中考 当h＝5时，F(m)不是整数，不符合题意；当h＝6时，F(m)＝2＋6＋＝7，不符合题意；当h≥7时，F(m)不是整数，不符合题意；∴m＝424，当t＝3时，n＝52－h2＝25－h2，k＝3－h，F(m)＝＝＝3＋h＋，当 h＝1时，F(m)＝3＋1＋＝8，符合题意；当h＝2时，F(m)＝3＋2＋＝13，不符合题意；当h＝4时，F(m)＝3＋4＋＝－1，不符合题意；当h＝5时，F(m)＝3＋5＋＝4，符合题意；当h＝6时，F(m)＝3＋6＋＝，不符合题意；当h＝7时，F(m)＝3＋7＋＝8，符合题意；当h＝8时，F(m)＝3＋8＋＝，不符合题意；当h＝9时，F(m)＝3＋9＋＝，不符合题意；∴m＝135或m＝535或m＝735，满足条件的“不二数”m的最大值与最小值之差为 735－135＝600. 更符合安徽新中考 4.(2025重庆)我们规定：一个四位数M＝，若满足a＋b＝c＋d＝10，则称这个四位数为“十全数”.例如：四位数1928，因为1＋9＝2＋8＝10，所以1928是“十全数”.若一个“十全数”M＝，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个 新的数M'＝，记F(M)＝，G(M)＝. (1)最小的“十全数”是______； 1919 【解析】设四位数M＝，要求最小的“十全数”，∴a＝1，c＝1，∴b＝10－1＝9，d＝10－1＝9，∴最小的“十全数”是1919； 更符合安徽新中考 (2)若与均是整数，则满足条件的M的值是______. 【解析】∵一个“十全数”M＝，∴a＋b＝c＋d＝10，∴b＝10－a， d＝10－c，∴M＝＝1000a＋100(10－a)＋10c＋10－c＝900a＋9c＋1010，∴M'＝＝1000(10－c)＋100c＋10(10－a)＋a＝－9a－900c＋ 10100，∴F(M)＝＝×[900a＋9c＋1010－(－9a－900c＋10100)]＝a＋c－10，G(M)＝＝×[900a＋9c＋1010＋(－9a－900c＋ 10100)]＝81a－81c＋1010，∴ ×[4(a＋c－10)＋81a－81c＋1010＋15]＝ ＝6a－6c＋76＋， 3782 更符合安徽新中考 ∴＝×(10a＋10－a＋10c＋10－c)＝＝a＋c＋1－.∵与均是整数，∴与均是 整数，∴7a＋c－3能被13整除，8a＋8c－3能被17整除.∵1≤a≤9，1≤c≤9，∴7≤7a≤63，－2≤c－3≤6，∴5≤7a＋c－3≤69，∴7a＋c－3的值可以为13，26，39，52，65，∴依次代入，当a＝3，c＝8时，＝2，＝5均是整数，符合题意，∴b＝10－a＝7，d＝10－c＝2，∴满足条件的M的值是3782. 更符合安徽新中考 【多解法】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ▱OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数y＝(x＞0)，y＝ (x＞0)的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知▱OABC的 面积为8.(1)k＝___； 反比例函数与几何图形结合(2023.14) 例2题图 9 【解析】设点 A(m，)，则 B(km，)， ∴OC＝AB＝km－m＝m(k－1)，∵▱OABC的面积为8，∴m(k－1)× ＝8，解得k＝9； (1)设点A坐标，可得点B坐标，根据平行四边形的性质可得OC＝AB，根据点坐标表示线段长，由面积公式列等式即可求解； 更符合安徽新中考 (2)延长OA交反比例函数y＝(x＞0)的 图象于点D，连接BD，则△ABD的面 积为___. 例2题图 8 【解析】解法1：如解图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，DF交AB于点G，由(1)可知两个反比例函数的表达式分别为y＝和y＝，∴S△AOE＝，S△DOF＝，∵AE∥DF，∴△AOE∽△DOF，∴＝，∴＝，∵AE＝FG，∴DG＝2AE，∵AB＝OC，S▱OABC＝OC·AE＝8，∴AB·DG＝OC·2AE＝16，∴S△ABD＝AB·DG＝8. 例2题解图 解法1：分别过点A，D作x轴的垂线，构造相似三角形即可求解； 更符合安徽新中考 解法2：设A(a，)，则B(9a，)，可得直线OA的 表达式为y＝，联立，可得x2＝9a2， 解得x＝3a(负值已舍去)， ∴点D的坐标为(3a，)， ∴AB＝9a－a＝8a，点D到AB的距离为－＝， ∴S△ABD＝×8a·＝8. 例2题解图 (2)延长OA交反比例函数y＝(x＞0)的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积为___. 8 例2题图 解法2：设点A坐标，得直线OA的表达式，与双曲线的表达式联立可得点D坐标，根据三角形面积公式即可求解. 更符合安徽新中考 5.(2025宁国一模改编)如图，一次函数y＝2x＋4的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B，且AB＝3. (1)k＝___； (2)若C(不与点A，B重合)是线段AB上的动点， 过点C作x轴的平行线，交反比例函数y＝的 图象于点D，CE⊥x轴，DF ⊥x轴，垂足分别 为E，F，则四边形CDFE面积的最大值为___. 6 8 第5题图 更符合安徽新中考 6.(2025合肥包河区二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(8，4)，B 为反比例函数y＝(x＞0)图象上两点，BC⊥y轴于点C. (1)S△BOC＝____； 16 【解析】∵点A(8，4)，B为反比例函数 y＝(x＞0)图象上两点，∴k＝8×4＝32， ∴反比例函数的表达式为y＝.∵BC⊥ y轴于点C，∴S△BOC＝｜k｜＝×32＝16； 第6题图 更符合安徽新中考 (2)若∠BOC＋2∠AOB＝90°，则B点坐标为___________. 第6题图 (2，) 【解析】如解图，延长OA交CB的延长线于点F，过点A作AD ⊥x轴于点D，∵A(8，4)，∴tan∠AOD＝＝， ∵∠BOC＋ 2∠AOB＝90°，∠BOC＋∠AOB＋∠AOD＝90°，∴∠AOB ＝∠AOD，∵BC⊥y轴，∴BC∥x轴，∴∠F＝∠AOD， ∴∠AOB＝∠F，∴BO＝BF，tan F＝tan∠AOD＝， ∴CF＝2CO，设B(m，)，∴BF＝CF－BC＝－m， BO2＝m2＋()2，∴(－m)2＝m2＋()2，解得m＝2 或m＝－2(舍去)，经检验，m＝2是原分式方程的解， ∴＝＝，∴B(2，). 第6题解图 更符合安徽新中考 7.(2024合肥肥西县二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C(0，－4)，AC与x轴交于点D. (1)若OB＝1，求tan∠OBC＝___； 4 【解析】∵C(0，－4)，∴OC＝4， 在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝4， ∴tan∠OBC＝＝4； 第7题图 更符合安徽新中考 (2)若CD＝4AD，点A在y＝(x＞0)的图象上，且y轴平分∠ACB，则k＝. 第7题图 【解析】如解图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，∵∠AED＝∠COD ＝90°，∠ADE＝∠CDO，CD＝4AD，∴△ADE∽△CDO，∴＝ ＝＝，∴AE＝1，又∵y轴平分∠ACB， CO⊥BD，∴∠OCB＝ ∠OCD，∠COB＝∠COE＝90°，∴∠CBO＝90°－∠OCB＝90° －∠OCD＝∠CDO，∴CB＝CD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°－∠CBO＝∠BCO＝∠DCO∵∠AEB＝∠DOC＝ 90°，∴△ABE∽△DCO，∴＝，设DE＝n，则BO＝OD＝4n， ∴BE＝BO＋DO＋DE＝4n＋4n＋n＝9n，∴＝，解得n＝或 n＝－(舍去)，∴OE＝5n＝，∴A(，1)，∵点A在y＝(x＞0)的图 象上，∴k＝×1＝. 第7题解图 更符合安徽新中考 8.(2024合肥庐江县二模)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图 所示，对角线AC，BD的交点与坐标原点重合，AD与y轴的交点为E. 已知点A(－2，1)，且BD＝2AC.(1)双曲线y＝恰好经过点D，则k的 值为___； 第8题图 【解析】如解图，设AB交x轴于点M，CD交x轴于点N， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OB， ∵BD＝2AC，∴tan∠ABO＝＝.∵A(－2，1)，∴tan∠AOM ＝，∴tan∠ABO＝tan∠AOM，∴∠ABO＝∠AOM，∵∠AOM ＋∠BOM＝90°，∴∠ABO＋∠BOM＝90°，∴∠BMO＝90°， ∴AB∥CD∥y轴.∵∠AOD＝90°，∴∠AOM＋∠DON＝90°， 第8题解图 8 更符合安徽新中考 ∵∠AMO＝90°，∴∠MAO∠AOM＝90°，∴∠MAO＝∠DON，又∵∠AMO＝∠DNO＝90°，∴△AMO∽△OND，∵BD＝2AC.∴OD＝2AO，∴ ＝＝＝，∵A(－2，1)，∴OM＝2，AM＝1，∴ON＝2，DN＝4，∴D(2，4)，∵双曲线y＝恰好经过点D，∴k＝8； 第8题解图 更符合安徽新中考 【解析】∵AB∥OE，∴△DEO∽△DAB，∴＝＝，∴E是 AD的中点.∵A(－2，1)，D(2，4)，∴E(0，)，当经过点E的直 线平行于x轴时，此时与(1)中的双曲线仅有一个交点，∴经过点 E的直线表达式为y＝；当经过点E的直线不平行于x轴时，设经 过点E的直线的表达式为y＝kx＋(k≠0)，令kx＋＝，整理 得2kx2＋5x－16＝0，∵经过点E的直线与(1)中的双曲线仅有一 个交点，∴Δ＝25－4×2k×(－16)＝0，解得k＝－，∴直线的 表达式为y＝－x＋. 第8题解图 (2)若经过点E的直线与(1)中的双曲线仅有一个交点，则这条直线的表达 式为____________________. y＝或y＝－x＋ 第8题图 更符合安徽新中考 　(2025合肥蜀山区二模)已知函数y＝x2＋mx(m为常数)的图象经过点(－5，5). (1)m＝___； (2)当－5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值为______________. 二次函数性质(2021.14) 4 －3或－2 (1)将(－5，5)代入函数表达式即可求解m； (2)区间一个端点及对称轴已定，需分类讨论： ①n在对称轴左侧； ②n在对称轴右侧(分两种情况).分别求出不同条件下y的最大、最小值，列方程求解. 更符合安徽新中考 9.(2025合肥四十二中一模)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，m)，(3，m)， (1)抛物线的对称轴为直线x＝___； (2)点(t，y1)，(t＋2，y2)在抛物线上，且y2－y1＜8，则t的取值范围是______. 1 t＜2 更符合安徽新中考 10.(2024合肥蜀山区一模)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y＝a(x－h)2＋k(a＜0)上任意两点. (1)若对于x1＝1，x2＝5，有y1＝y2，则h＝___； (2)若对于0＜x1＜1，4＜x2＜5，都有y1＞y2，则h的取值范围是______. 3 h≤2 更符合安徽新中考 11.(2025合肥四十二中三模)对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点A(m，2m)是这个函数的“二倍点”，已知二次函数y＝x2＋3x＋k. (1)若点A(1，2)是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是____________； (2)若此函数有两个相异的“二倍点”A(m，2m)，B(n，2n)，且m＜1＜n，则k的取值范围为________. (－2，－4) k＜－2 更符合安徽新中考 12.(2025合肥蜀山区二模)在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1：y＝ ax2－2atx(a＞0)向右平移2个单位得到抛物线C2，点A(，y1)在抛物线C1 上，点B(x2，y2)在抛物线C2上. (1)当t＝1时，抛物线C2的对称轴为直线x＝___； 3 【解析】抛物线C1的对称轴为直线x＝－＝t，当t＝1时，直线x＝1， ∴抛物线C2的对称轴为直线x＝1＋2＝3； 更符合安徽新中考 (2)当t＝2a，5＜x2＜6时，总有y1＞y2，则a的取值范围是_________. ≤a≤3 【解析】当t＝2a时，抛物线C1的表达式为y＝ax2－4a2x＝a(x－2a)2－ 4a3，∴C2的表达式为y＝a(x－2a－2)2－4a3.∵点A(，y1)在抛物线C1 上，∴y1＝a(3a－2a)2－4a3＝a3－4a3＝－3a3.∵点B(x2，y2)在抛物线C2上，∴y2＝－4a3，∵y1＞y2，∴－3a3＞－4a3，整理得a＜a3，∵a＞0，∴＜a2，即－a＜x2－2a－2＜a，解不等式－a＜x2－2a－2可得x2＞a＋2；解不等式x2－2a －2＜a可得x2＜3a＋2；又∵5＜x2＜6时，总有y1＞y2，∴，解得≤a≤3. 更符合安徽新中考 13.(2025合肥校级月考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴交于点A(－1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C，且OC＝3. (1)抛物线的顶点坐标为________； (1，4) 【解析】∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，∴可设抛物线为y＝a(x＋1)(x－3)(a＜0)，∴y＝a(x2－2x－3)＝ax2－2ax－3a.令x＝0，则y＝－3a，∴OC＝｜－3a｜＝－3a＝3，∴a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)； 更符合安徽新中考 (2)点M，N是抛物线上的两个动点(点M在点N左侧)，且这两个点之间的水平距离为定值s(1≤s≤2)，设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为. 【解析】设M的横坐标为m，N的横坐标为m＋s，∴M的纵坐标为yM＝－m2＋2m＋3，N的纵坐标为yN＝－(m＋s)2＋2(m＋s)＋3，∴纵坐标之和为h＝yM＋yN＝(－m2＋2m＋3)＋[－(m＋s)2＋2(m＋s)＋3]＝－2m2＋(4－2s)m＋(6＋2s－s2).∵－2＜0，∴关于m的二次函数的图象开口向 下，最大值在顶点处取得.∵顶点横坐标为，代入得hmax＝8－，∵－＜0，∴当s＝1时，hmax最大，最大值为. 更符合安徽新中考 14.(2025合肥高新区一模)定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”.例如：“半值函数”y＝x＋1，其“半值点”为(－2，－1). (1)函数y＝的图象上的“半值点”是____________________. (4，2)和(－4，－2) 【解析】设函数y＝的图象上的“半值点”的坐标是(a，)，则有a·＝8， 解得a＝±4，∴函数y＝的图象上的“半值点”的坐标是(4，2)和 (－4，－2)； 更符合安徽新中考 (2)若关于x的函数y＝x2＋(m－k＋)x＋的图象上存在唯一的“半值点”， 且当－1≤m≤1时，n的最小值为k，则k的值为_________. 0或 【解析】由题意得x＝x2＋(m－k＋)x＋，整理得x2＋(m－k)x＋＝0，∵该函数图象上存在唯一的“半值点”，∴Δ＝(m－k)2－4×＝0，即n＝(m－k)2.当－1＜k＜1时，当m＝k时，n取最小值，n的最小值为0，即k＝0，符合题意；当k≤－1时，此时n随m的增大而增大，∴当m＝－1时，n有最小值k，即(－1－k)2＝k，此时方程无解；当k≥1时，此时n随m的增大而减小，∴当m＝1时，n有最小值k，即(1－k)2＝k，解得k1＝，k2＝(舍去)，综上所述，k的值为0或. 更符合安徽新中考 　(2025芜湖一模)在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，垂足为H. (1)AF ∶DE的值为； (2)当HF＝2EH时，AE的长为___. 几何图形的基本性质(2022.14) 例4题图 5 找模型：矩形中有一组垂直的线段，属于“十字模型”.由“十字模型”可得△ABF∽△DAE； 延长CB，DE交于点M，可得△AEH∽△MFH，根据线段关系即可求解. 更符合安徽新中考 15.(2024合肥瑶海区一模)如图，在四边形ABCD中，BC⊥DC，点E是四边形外一点，连接CE交AD于点F，O在CE上，连接OA，OB，AE，OA＝OB＝AE＝BC＝CD，∠AOB＝90°. (1)若∠E＝25°，则∠BCE＝____°； 65 【解析】∵OA＝AE，∠E＝25°，∴∠AOE＝∠E＝25°. ∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝180°－∠AOE－∠AOB＝ 180°－25°－90°＝65°.∵OB＝BC，∴∠BCE＝ ∠BOC＝65°. 第15题图 更符合安徽新中考 (2)若OA＝13，OC＝10，则tan∠OAD＝. 第15题图 【解析】如解图，分别过点A，D，B作CE的垂线，垂足分别为S，M，N，过点F作FR⊥OA于点R，∴∠ASO＝∠BNO＝∠DMC＝∠AOB＝90°，则AS∥DM∥BN，∴∠AOS＋∠BON＝90°，∠OBN＋∠BON＝90°，∴∠AOS＝∠OBN.在△AOS和△OBN中，∴△AOS≌ △OBN(AAS)，∴AS＝ON，OS＝BN.∵OB＝BC＝OA＝13，OC＝10，BN⊥OC，∴CN＝ON＝5.在Rt△OBN中，ON＝5，OB＝13，由勾股定理得BN＝＝12， 第15题解图 更符合安徽新中考 ∴AS＝5，OS＝12.∵BC⊥DC，∠DMC＝90°，∴∠BCN＋∠DCM＝90°，∠DCM＋∠CDM＝90°，∴∠BCN＝∠CDM.在△BCN和△CDM中，，∴△BCN≌△CDM(AAS)，∴CM＝BN＝12，CN＝DM＝5，∴OM＝CM－OC＝12－10＝2，AS＝CN＝DM＝5，∴SM＝OS－OM＝12－2＝10.在△ASF和△DMF中，，∴△ASF≌△DMF(AAS)，∴SF＝MF＝SM＝5， ∴OF＝MF＋OM＝5＋2＝7.∵∠FRO＝∠ASO＝90°， ∠FOR＝∠AOS，∴△OFR∽△OAS，∴＝＝， 即＝＝，∴FR＝，OR＝，∴AR＝OA－OR ＝13－＝，∴tan∠OAD＝＝. 第15题解图 更符合安徽新中考 16.(2025合肥庐江县二模)如图，AB＝AC＝AD，∠BAC＝90°，AB与CD相交于点O，作CE⊥BD于点E. (1)若∠BCE＝30°，则∠BCD＝____°； 第16题图 15 【解析】由题意得，点B，C，D在以点A为圆心，AD长为半径的圆上，如解图，∵∠BAC＝90°，∴∠BDC＝45°.∵CE⊥DE，∴∠ECD＝45°，∴∠BCD＝∠DCE－∠BCE＝45°－30°＝15°； 第16题解图 更符合安徽新中考 (2)若BD＝BE，则的值为. 第16题图 【解析】如解图，过点A作AP⊥DB于点P，过点C作CQ⊥AP交PA的延长线于点Q，交BA的延长线于点M. ∵CE⊥BD于点E，∴∠E＝90°，∵CQ⊥AP，AP⊥DB，∴四边形CEPQ为矩形，∴CQ＝PE，CE＝PQ.∵∠CDB＝∠DCE＝45°，∴CE＝DE，∵AB＝AD，AP⊥DB，∴DP＝PB， 第16题解图 更符合安徽新中考 ∵DB＝BE，∴DE＝2BD＝4PB＝4DP，∴PE＝3PB＝CQ，∵∠PAB＋∠CAQ＝90°，∠CAQ＋∠ACQ＝90°，∴∠PAB＝∠ACQ，又∵∠APB＝∠CQA＝90°，AB＝AC， ∴△ABP≌△CAQ(AAS)，∴PB ＝AQ，PA＝CQ＝3PB，∵四边形CEPQ是矩形，∴DE∥CM， ∴△ABP∽△AMQ，∴＝＝3，∴QM＝PB，∴CM＝ PB，∵DE∥CM，∴△OCM∽△ODB，∴＝＝. 第16题解图 更符合安徽新中考 17.(2025合肥寿春中学三模)如图，正方形ABCD的边长为4，点P为射线BC上一动点，连接PA，PD，在PA上取一点E，使∠ADE＝∠APD，连接BE. (1)求∠AEB＝______； 90° 【解析】∵∠ADE＝∠APD，∠DAE＝∠PAD， ∴△DAE∽△PAD，∴＝，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝AD，∴＝ ，又∵∠BAE＝∠PAB，∴△BAE∽△PAB， ∴∠AEB＝∠ABP＝90°； 第17题图 更符合安徽新中考 (2)则的最小值为. 【解析】∵△DAE∽△PAD，∴＝，∴＝＝， ∴当DE有最小值时，有最小值.如解图，取AB的中点O， 连接OD，EO，∵∠AEB＝90°，∴OE＝OA＝AB＝2， ∵DE≥OD－OE，∴当点E在线段OD上时，DE有最小值， 最小值为OD－OE的值，在Rt△ADO中，由勾股定理得 OD＝＝2，∴DE的最小值为2－2， ∴的最小值为＝. 第17题图 第17题解图 更符合安徽新中考 18.(2025池州三模)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC边 上一点，F是CD边上一点，∠EAF＝60°，连接EF交AC于点G. (1)若∠CEF＝α，则∠EAC＝__________(用含α的式子表示)； 第18题图 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝180°－60°＝120°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠B＝∠BAC＝60°，∴∠ACF＝∠BCD－∠ACB＝60°，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF(ASA)， ∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°＝∠ACE，∵∠AGF＝∠EGC，∴∠CEF＝∠CAF＝α，∴∠CAE＝∠EAF－∠CAF＝60°－α； 60°－α 更符合安徽新中考 【解析】∵EG＋GF＝EF，∴GF＝EF－EG，∴EG·GF＝EG(EF－EG)， 设EG＝x，EF＝t，∴EG·GF＝EG(EF－EG)＝x(t－x)＝－x2＋xt＝ －＋t2，∴当x＝t时，EG·GF取得最大值t2，∴此时FG＝ t－t＝t，即EG＝GF，∵△AEF为等边三角形，∴此时AG⊥EF，∠EAG＝∠FAG＝∠EAF＝30°，∴此时∠BAE＝60°－∠EAG＝30°，∴AE平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形， ∴AE⊥BC，∵AB＝4，∴BE＝CE＝2，∴EF＝AE ＝2，∴EG＝GF＝EF＝，∴EG·GF＝× ＝3，即EG·GF的最大值为3. (2)若AB＝4，则EG·GF的最大值是___. 3 第18题图 更符合安徽新中考 　(2025合肥四十五中一模)如图，在正方形ABCD中， E，F为边BC，CD上的点，将△ABE，△ADF分别沿AE， AF折叠，点B，D恰好落在EF上的点G处，再将△CEF沿 EF折叠，点C落在AF上的点H处，EH交AG于点M. (1)sin∠DAF＝； (2)若DF＝，则AM的长为_________. 几何图形的折叠(2024.14，2020.14) 例5题图 6－2 由折叠可△ABE≌△AGE，△CEF≌△HEF△ADF≌ △AGF，根据折叠的性质可 得相关线段和相关角的关系. (1)由折叠的性质可得∠DFA ＝∠EFA＝∠EFC，继而得到∠DAF； (2)利用三角函数、正方形的性质得到AF，CF，再根据折叠的性质得到CF＝FH，Rt△AMH中，∠MAH＝∠DAF，根据三角函数得出AM. 更符合安徽新中考 19.(2024合肥校级模拟)如图，在矩形纸片ABCD中，点E在AB上，将矩形ABCD沿着CE折叠，使得点B的对应点落在AD边上的点F处，G为CD的中点，连接BG，分别交CE，CF于点M，N. (1)若AB＝6，AE＝2，则∠AFE的度数为______. 第19题图 30° 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD， AB＝CD，由折叠的性质得EF＝BE＝AB－AE＝4，∴在 Rt△AEF中，sin∠AFE＝＝＝，∴∠AFE＝30°； 更符合安徽新中考 【解析】设BE＝a，AE＝b，∴AB＝EB＋AE＝a＋b，∴CD＝AB＝a＋b，∵G是CD的中点，∴CG＝CD＝，∵BM＝BE，∴∠BEM＝∠BME，∵AB∥CD，∴∠MCG＝∠BEM，又∵∠GMC＝∠EMB，∴∠GMC＝∠GCM，∴GM＝GC＝，∴BG＝a＋，由折叠的性质得∠FEC＝∠BEC，EF＝BE＝a，∴∠FEC＝∠EMB，∴EF∥BG，∴∠AEF＝∠ABG， ∵∠AFE＝90°－∠AEF＝90°－∠ABG＝∠GBC， ∴sin∠AFE＝sin∠GBC，∴＝，即＝， 解得b＝(－1)a(负值已舍去)，∴sin∠AFE＝＝ －1. (2)若BM＝BE，则sin∠AFE的值为_______. －1 第19题图 更符合安徽新中考 20.(2025安庆模拟)如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，将正方形沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG，BF，请完成下列探究： (1)∠GDE的大小为______； 第20题图 45° 【解析】∵将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于 点G，∴△DCE≌△DFE，∴∠C＝∠DFE＝90°，∠CDE＝ ∠FDE，DC＝DF＝AD.在Rt△DFG和Rt△DAG中，，∴Rt△DFG≌Rt△DAG(HL)，∴∠ADG＝∠FDG， ∴∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝∠ADF＋∠CDF＝∠ADC＝45°； 第20题解图 更符合安徽新中考 (2)当∠DEC＝60°时，的值为. 第20题图 【解析】∵△DCE≌△DFE，∴∠DEC＝∠DEG＝60°， EC＝EF，∴∠BEG＝180°－∠DEC－∠DEG＝60°， ∠EDF＝30°，在Rt△DEF中，＝.在Rt△GBE中，∠BGE ＝30°，∴＝＝，∴△BEF∽△GED，∴＝，即BF＝ GD.如解图，过点G作GH⊥DE，垂足为H.在Rt△GDH中， ∠GDE＝45°，∴＝，即GH＝GD.∵EG平分∠BED， ∴GH＝BG，BG＝GD，∴＝＝. 第20题解图 更符合安徽新中考 21.(2025阜阳太和县二模)如图，现有一张矩形纸片ABCD，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形纸片沿着直线EF折叠，使点B的对应点B'落在CD上，点A的对应点为点A'，连接BB'，BE. (1)当点B'与点D重合时，若∠ABE＝α，则∠BB'F＝__________； (用含α的代数式表示) 45°－α 【解析】如解图1，由折叠的性质得∠BFE＝∠B'FE，EF垂 直平分BB'，∴BE＝B'E，BF＝B'F，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠B'EF＝∠BFE，∴∠B'EF＝∠B'FE，∴B'E ＝B'F，∴BE＝B'E＝B'F＝BF，∴四边形BEB'F是菱形， ∴∠B'BE＝∠B'BF.又∵∠ABC＝90°，∴α＋∠B'BE＋∠B'BF ＝90°，∴α＋2∠B'BF＝90°，∴∠B'BF＝＝45°－α； 第21题解图1 第21题图 更符合安徽新中考 (2)若AB＝3，BC＝4，过点E作EM⊥BC于点M，当四边形EMCD为正方形时，CF的长为. 第21题图 【解析】如解图2，连接B'E，由折叠的性质得，EF垂直平分 BB'，∴BF＝B'F，BE＝B'E，∵四边形EMCD是正方形， ∴EM＝MC＝CD＝ED＝3，∴AE＝BM＝4－3＝1，在Rt△EMB 和Rt△EDB'中，，∴Rt△EMB≌Rt△EDB'(HL)， ∴DB'＝BM＝1，∴CB'＝CD－DB'＝3－1＝2，设CF＝x， 则BF＝B'F＝4－x，在Rt△CB'F中，由勾股定理得CF2＋B'C2＝ B'F2，即x2＋22＝(4－x)2，解得x＝，∴CF的长为. 第21题解图2 更符合安徽新中考 22.(2025合肥寿春中学二模)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为边AD上一个动点，将△ABE沿BE折叠得到△A'BE，∠A'ED的平分线分别交BD，CD于点G，F. (1)当G为EF的中点时，AE的长为； 【解析】由折叠的性质得∠A'EB＝∠AEB，又∵EF平分 ∠A'ED，∴∠A'EF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠A'EB＋∠A'EF ＝(∠AEA'＋∠DEA')＝90°，∴∠ABE＝∠DEF＝90°－ ∠AEB，∵G为EF的中点，∠EDF＝90°，∴DG＝EG＝FG， ∴∠DEF＝∠GDE.∵AD∥BC，∴∠GDE＝∠DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴△ABE∽△CBD，∴＝，即＝，∴AE＝； 第22题图 更符合安徽新中考 【解析】如解图1，连接A'G，A'G≥BG－A'B，如解图2，当A'，G，B三点共线时，A'G最小，则DG最大.∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°.在Rt△BAD中，BD＝＝10.由折叠的性质得AB＝A'B＝6，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，∴A'D＝BD－A'B＝4.∵DE2＝A'E2＋A'D2，∴(8－AE)2＝AE2＋42，解得AE＝3，∵∠ABE＝∠DEF＝90°－∠AEB，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∠AEB＝∠DFE，∴＝，∴DF＝.∵∠EGA'＝90°－∠EBA'＝90°－∠EBA＝∠AEB＝∠EFD，∠EGA'＝∠DGF， ∴∠DGF＝∠DFG，∴DG ＝DF＝，∴DG的最大值为. (2)点E从点A运动到点D的过程中，DG的最大值为. 图1 图2 第22题解图 第22题图 更符合安徽新中考 $